Методы многомерного статистического анализа данных в социологии

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 
Федеральное государственное автономное образовательное 
учреждение высшего образования 
«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» 

А. В. ДЯТЛОВ 
П. Н. ЛУКИЧЕВ 

МЕТОДЫ  
МНОГОМЕРНОГО  
СТАТИСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА 
ДАННЫХ В СОЦИОЛОГИИ 

Учебник

Ростов-на-Дону – Таганрог 
Издательство Южного федерального университета 
2023 

УДК 316:303.1(075.8) 
ББК 60.56+60.6я73 
Д99 

Печатается по решению кафедры экономической социологии  
и регионального управления Института социологии и регионоведения 
Южного федерального университета (протокол № 10 от 20 мая 2022 г.) 

Рецензенты: 

доктор социологических наук, профессор кафедры 

«Социальные и гуманитарные науки» Южно-Российского государственного 
политехнического университета (НПИ) имени М. И. Платова Л. И. Щербакова; 

кандидат социологических наук, доцент кафедры теоретической 

социологии и методологии региональных исследований Института социологии 

и регионоведения Южного федерального университета Н. А. Вялых 

 Дятлов, А. В. 

 
Методы многомерного статистического анализа данных в социоло- 
Д99 гии : учебник / А. В. Дятлов, П. Н. Лукичев ; Южный федеральный университет. – 
Ростов-на-Дону ; Таганрог : Издательство Южного федерального 
университета, 2023. – 236 с. 

ISBN 978-5-9275-4265-9 

Основная цель учебника – дать читателю-гуманитарию представление 
о многомерных методах статистического анализа и вывода. Содержание 
издания является продолжением материала по математической 
статистике, изложенного в учебнике А. В. Дятлова и П. Н. Лукичева «Методы 
математической статистики в социальных науках». Приложение
содержит статистические таблицы.  
Предназначен для аспирантов, обучающихся по направлению 5.4 «Социология», 
магистрантов и студентов бакалавриата, обучающихся по 
направлению 39.04.01 «Социология», а также для всех интересующихся 
указанной проблематикой. 
ISBN 978-5-9275-4265-9 

УДК 316:303.1(075.8) 
ББК 60.56+60.6я73 

© Южный федеральный университет, 2023 
© Дятлов А. В., Лукичев П. Н., 2023 
© Оформление. Макет. Издательство 
Южного федерального университета, 2023 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

ГЛАВА 1. МЕТОДЫ МНОЖЕСТВЕННОГО СРАВНЕНИЯ............................................ 7 

Post hoc тесты для множественных сравнений .......................................................... 9 

Уровень ошибки первого рода ............................................................................................. 9 

Метод Тьюки (Т-метод) ......................................................................................................... 12 

Метод Стьюдента–Ньюмана–Кеулса (SNK) ................................................................ 14 

Сравнение методов Тьюки и Стьюдента–Ньюмана–Кеулса ............................ 16 

Post hoc тесты при неравном объеме выборок ........................................................ 16 

Метод Шеффе (S-метод)......................................................................................................... 17 

Метод Шеффе для парных сравнений ........................................................................... 18 

Метод Шеффе со сложными контрастами .................................................................. 22 

Предварительно планируемые тесты ........................................................................... 23 

Планируемые ортогональные контрасты .................................................................. 23 

Тренд-анализ ................................................................................................................................ 29 

Заключение ................................................................................................................................... 35 

ГЛАВА 2. ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ: 
ОЦЕНКА ПО ДВУМ ФАКТОРАМ (ПЕРЕМЕННЫМ) ................................................... 38 

Факторный эксперимент ...................................................................................................... 38 

Преимущества факторного эксперимента ................................................................. 40 

Переменные при факторном эксперименте .............................................................. 42 

Разложение дисперсии в двухфакторном эксперименте .................................. 44 

Разложение суммы квадратов ........................................................................................... 46 

Проверка нулевой гипотезы ............................................................................................... 48 

Формулы для вычисления суммы квадратов ........................................................... 49 

Главные эффекты ...................................................................................................................... 54 

Взаимодействия ......................................................................................................................... 55 

Уменьшение остаточной дисперсии в двухфакторном ANOVA ..................... 58 

Допущения в двухфакторном ANOVA ............................................................................ 61 

Линейная модель ....................................................................................................................... 61 

Модели двухфакторного дисперсионного анализа .............................................. 62 

Ожидаемый средний квадрат для ANOVA-модели ................................................ 64 

Методы множественных сравнений  в двухфакторном ANOVA ..................... 67 

Двухфакторный дисперсионный анализ 
с неравным количеством наблюдений в ячейке ..................................................... 70 

Заключение .................................................................................................................................... 75 

ГЛАВА 3. НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ТЕСТЫ ДЛЯ ПРОВЕРКИ ГИПОТЕЗ ........ 78 

Распределение хи-квадрат ................................................................................................... 79 

Критические значения распределения хи-квадрат ............................................... 83 

Номинальные данные – одна выборка .......................................................................... 85 

Номинальные данные – две независимых выборки ............................................. 87 

Определение ожидаемых частот ....................................................................................... 89 

Определение степеней свободы ........................................................................................ 92 

Таблица сопряженности 2 × 4 ............................................................................................. 93 

Таблица сопряженности 2 × 2 ............................................................................................. 94 

Номинальные данные – более двух независимых выборок ............................. 96 

Малые ожидаемые значения в таблице сопряженности .................................... 97 

Коэффициент контингенции .............................................................................................. 97 

Номинальные данные – две связанные выборки ................................................... 98 

Ранговые данные – две независимые выборки .................................................... 100 

Медианный тест ....................................................................................................................... 101 

U-тест Маннa–Уитни.............................................................................................................. 103 

U-тecт Манна–Уитни для больших выборок ........................................................... 106 

Ранговые данные – k независимых выборок .......................................................... 106 

Совпадающие ранги ............................................................................................................... 109 

Ранговые данные – две связанные выборки .......................................................... 109 

Тест Уилкоксона для больших выборок .................................................................... 111 

Заключение ................................................................................................................................. 112 

ГЛАВА 4. ЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ – ОЦЕНКА И ПРОГНОЗ ............................... 116 

Принципы предположения ............................................................................................... 117 

Стохастическая прогностическая связь между двумя переменными ..... 120 

Определение регрессионной линии ............................................................................ 122 

Обратная (вторая) линия регрессии ............................................................................ 125 

Оценочные значения и их распределение ............................................................... 126 

Ошибки предположения ..................................................................................................... 129 

Стандартная ошибка предполагаемого значения (оценки) .......................... 130 

Допущения при построении линии регрессии ...................................................... 130 

Связь между корреляцией и регрессией .................................................................... 132 

Разложение дисперсии зависимой переменной ................................................... 132 

Корреляция и регрессионные коэффициенты ...................................................... 134 

Предположение стандартных значений y по 
стандартным значениям x .................................................................................................. 136 

Вероятности, связанные с регрессией и предположением ............................ 137 

Доверительные интервалы предположения .......................................................... 139 

Заключение ................................................................................................................................. 140 

ГЛАВА 5. МНОЖЕСТВЕННАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ, 
МНОЖЕСТВЕННАЯ РЕГРЕССИЯ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ .................................. 141 

Принципы множественного предположения ......................................................... 141 

Геометрическое представление множественного прогноза ......................... 142 

Стандартная форма множественного прогноза .................................................... 145 

Свойства коэффициента множественной корреляции ..................................... 148 

Стандартная ошибка оценки ............................................................................................ 150 

Выбор независимых переменных .................................................................................. 150 

Подавляющие переменные ............................................................................................... 151 

Количество независимых переменных ...................................................................... 152 

Эмпирические процедуры выбора независимых переменных .................... 153 

Использование коэффициента  множественной корреляции 
в статистическом выводе ................................................................................................... 157 

Проверка разницу между двумя коэффициентами ............................................. 157 

Проверка нулевой гипотезы: множественный коэффициент 
корреляции генеральной совокупности равен нулю ........................................ 159 

Коэффициент множественной корреляции  
генеральной совокупности ................................................................................................ 160 

Множественная регрессия и ANOVA ............................................................................ 161 

Связь между множественной регрессией и ANOVA ............................................. 164 

Частная и частичная корреляция .................................................................................. 165 

Заключение ................................................................................................................................. 167 

ГЛАВА 6. АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ ..................................................................... 170 

Представление и изучение временных рядов ....................................................... 172 

Декомпозиция временных рядов .................................................................................. 176 

Автокорреляция и коррелограмма ............................................................................... 179 

Использование и интерпретация коррелограммы ............................................. 182 

Выбор модели прогнозирования ................................................................................... 192 

Методы прогнозирования временных рядов ......................................................... 196 

Точность прогноза .................................................................................................................. 197 

Наивные методы ...................................................................................................................... 198 

Методы усреднения ............................................................................................................... 199 

Метод экспоненциального сглаживания .................................................................. 201 

Пример применения различных моделей  
и расчета среднеквадратичной ошибки (MSE) ...................................................... 203 

Анализ компонентов временного ряда ...................................................................... 204 

Анализ тренда ........................................................................................................................... 204 

Анализ сезонности ................................................................................................................. 206 

Заключение ................................................................................................................................. 211 

Приложение .................................................................................................................................. 213 

Литература .................................................................................................................................... 232 

ГЛАВА 1. МЕТОДЫ МНОЖЕСТВЕННОГО СРАВНЕНИЯ 

Ключевые термины: вероятность ошибки эксперимента; вероятность 
ошибки сравнения; вероятность ошибки первого рода; коэффициенты 
ортогональных полиномов; сравнения; метод Стьюдента–
Ньюмана–Кеулса (Student–Newman–Keuls, SNK); метод Тьюки (Тukеу, 
T-метод, HSD); метод Шеффе (Scheffe, S-метод); предварительно планируемые 
тесты; планируемые ортогональные тесты; попарные
сравнения; post hoc тесты для множественных сравнений; распределение 
стьюдентизированного размаха (Q); сложные сравнения (контрасты); 
тренд-анализ.

При одномерном однофакторном дисперсионном анализе 
(ANOVA) рассматривается процедура проверки нулевой гипотезы 
об одновременном равенстве средних k генеральных совокупностей. 
Нулевая гипотеза отклоняется, когда наблюдаемое 
F-отношение превышает соответствующее критическое значение, 
а затем делается вывод, что существует различие между
средними. Использование ANOVA предполагает, что вероятность
ошибки первого рода была предварительно зафиксирована на
уровне α.

Если нулевая гипотеза отклоняется, возникает вопрос, какие 
пары или комбинации средних не равны. Отсюда следует, что 
часто ANOVA является лишь первым шагом в анализе данных. 
Методы, описанные в этой главе, применяются для определения 
того, какие именно средние значимо различаются, после того 
как установлено с применением ANOVA, что F-отношение является 
значимым. Эти методы обычно называются post hoc тестами 
для множественных сравнений. Кроме этого, будут рассмотрены 
методы проверки специфичных нулевых гипотез, которые 
в некотором смысле являются альтернативными для ANOVA 
(например, если нам нужно проверить, отличаются ли средние 
трех экспериментальных групп от средней одной контрольной 
группы). Также часто приходится определять, есть ли тенденция 

(тренд) в воздействии различных уровней независимой переменной. 
Эти процедуры обычно называют предварительно 
(apriori) запланированными сравнениями.  

В этой главе также введено несколько новых концепций. 

Описываются аналитические процедуры, которые могут быть 
использованы после дисперсионного анализа, когда F-отношение 
статистически значимо, или в ситуациях, когда можно заранее 
планировать интересующие сравнения. Обсуждаемые процедуры 
показаны на рис. 1 в контексте их применения.  

 

 

Рис. 1. Процедуры множественного сравнения 

в контексте их применения 

 

Выбор методов зависит, во-первых, от того, какие гипотезы, 

нуждающиеся в проверке, являются специфичными и требуют 
предварительного планирования, либо сначала мы будем использовать 
ANOVA, а затем post hoc тесты для нескольких сравнений. 
Во-вторых, если мы выбираем post hoc тесты, то этот выбор 
зависит от того, равны ли по объему выборки для уровней 
независимой переменной (количество случаев в отдельных 
группах) или нет. 

Post hoc тест для 
множественных 

сравнений

Предварительно 
запланированные 

сравнения

Равны n
Не равны n
Ортогональные 

сравнения 
(контрасты)

Тренд-анализ

Метод 

Стьюдента–
Ньюмана–

Кеулса

Метод 
Шеффе 

Post hoc тесты для множественных сравнений 

 
Post hoc тесты используются после отклонения нулевой гипо-

тезы в ANOVA. Когда нулевая гипотеза отклонена, становится ясно, 
что по крайней мере два средних значения существенно различаются. 
Вероятно, существует также комбинация средних, которая 
отличается от других постулированных значений. Вспомним, 
как изменяется вероятность ошибки первого рода, когда  
t-тест используется многократно. Напомним, что если данные поступают 
из шести различных групп, количество возможных попарных 
сравнений составляет 15. Если каждый тест является независимым 
и имеет фиксированный уровень значимости 0,05, то 
вероятность ошибки первого рода составит (1 – (1 – 0,05)15), или 
0,54. Post hoc тесты организованы таким образом, чтобы предварительно 
фиксированная вероятность ошибки первого рода не 
изменялась при проведении серии попарных сравнений с t-тестом, 
после того как отвергли нулевую гипотезу с помощью дисперсионного 
анализа. Поэтому вместо описания в терминах вероятности 
ошибки первого рода, которая используется при проверке 
отдельной гипотезы, эти методы чаще всего описываются в 
терминах вероятности ошибки сравнения и вероятности ошибки 
эксперимента. 

 

Уровень ошибки первого рода 

 
Вероятность ошибки сравнения определяется просто как a, 

или уровень значимости для каждого отдельного сравнения. 
Единственное требование для контроля этой ошибки заключается 
в том, чтобы уровень значимости для проверки каждой пары 
был определен заранее. Например, для эксперимента с шестью 
группами мы можем проверить каждое из 15 возможных 
различий между средними при α = 0,05. В этом случае вероятность 
ошибки первого рода для каждого отдельного сравнения 
будет равна 0,05.  

Вероятность ошибки эксперимента α𝐸 можно определить как 

одновременный уровень значимости для всего множества срав-
нений1. Другими словами, это общая вероятность ошибки первого 
рода, когда выполняется несколько независимых тестов. Выражение 
для определения α𝐸: 
 
α𝐸 = 1 – (1 – 0,05)с,  
(1) 

где с – количество всех возможных сравнений. 

Чтобы сохранить вероятность ошибки эксперимента на 

уровне α𝐸 = 0,05 для нашего эксперимента с шестью группами, 
очевидно, каждое отдельное сравнение должно быть осуществлено 
с вероятностью ошибки меньшей, чем α𝐸, и такой, что  
(1 – (1 – 0,05)15) = 0,05.  

Разрешая это уравнение относительно α𝐸, мы получаем, что 

каждое отдельное сравнение должно быть выполнено с приблизительным 
уровнем значимости 0,0034137. Как уже было 
показано, если каждый отдельный тест имеет уровень значимости 
0,05, то общий уровень α𝐸 = 0,54, а не 0,05. Для маленьких 
значений α (0,01 или меньше) формула (1) может быть переписана 
следующим образом: 
 
α𝐸

, = с × α.  
(2) 

Это приближение дает нам простой метод определения α та-

ким образом, что α𝐸 может сохранить заранее фиксированное 
значение. Путем деления α𝐸 на число сравнений получаем, какова 
должна быть вероятность ошибки сравнения. В свою очередь, 
эта ошибка дает нам желаемый уровень для общей ошибки.  
В нашем примере: 0,05/15 = 0,0033. Эта величина примерно такая 
же, как и полученная по формуле (1). Если мы заменим α на 
0,0033, то получим: α𝐸 = 1 – (1 – 0,0033)15 = 0,0489. 

Данная процедура контролирует вероятность ошибки экспе-

римента (общую вероятность). Неудобством такого подхода яв-

 

1 Вероятность ошибки эксперимента (общая ошибка) определяется как вероят-

ность того, что сделана хотя бы одна ошибка для множества всех возможных 
попарных сравнений. Вероятность ошибки сравнения определяется как вероятность 
ошибки первого рода для каждого из возможных сравнений. 

ляется его исключительная консервативность, т. е. он может показать 
статистически незначимые результаты, даже если F-отношение 
дисперсионного анализа велико и статистически значимо. 

Менее консервативный подход в множественных сравнениях 

дают методы Тьюки (T-метод, HSD) и Стьюдента–Ньюмана–
Кеулса (SNK). Процедура, предложенная Тьюки, сохраняет α𝐸 на 
уровне предварительно фиксированного α – уровне с использованием 
распределения стьюдентизированного размаха (Q) в качестве 
выборочного распределения – в отличие от подхода, который 
использует t-распределение. Подход Стьюдента–Ньюма-
на–Кеулса также использует Q-распределение в качестве выборочного 
распределения. Вероятность ошибки первого рода в 
этих подходах несколько больше, чем вероятность ошибки сравнения, 
но существенно меньше, чем вероятность ошибки эксперимента (
общей ошибки). 

Q-распределение, или распределение стьюдентизированно-

го размаха, получается путем извлечения k случайных выборок 
из одной и той же генеральной совокупности и определения 
разницы между наибольшим и наименьшим средними 

значениями. Путем деления этой разницы на √𝑀𝑆𝑊/𝑛  получены 
выборочные распределения, аналогичные t-распределению, 
но для k выборок. При определении выборочного распределения 
стьюдентизированного размаха количество выборок 
изменяется, но объем каждой выборки остается неизменным. 
Следовательно, n в вышеприведенном выражении – это объем 
каждой отдельной выборки, одинаковый для всех k выборок. 
Значение для 95- и 99-процентных отметок распределения 
стьюдентизированного размаха приведено в табл. П8 приложения. 
Эти процентные значения являются критическими для 
теста множественных сравнений на уровне значимости 0,05 и 
0,01. Как и следовало ожидать, эти значения зависят от количества 
сравниваемых средних и степеней свободы, связанных 
с оценкой дисперсии генеральной совокупности (дисперсии 
ошибки) MSw. 

Метод Тьюки (Т-метод) 

 
Процедура Тьюки, часто называемая Т-методом или HSD-тес-

том (honestly significant difference), планируется так, чтобы все 
попарные сравнения средних имели заранее зафиксированный 
уровень значимости α, в то время как уровень значимости для 
всего эксперимента (общий уровень) есть α𝐸.  

Нулевая гипотеза:  

Н0: μi = μj для i ≠ j, 

т. е. каждая пара средних генеральных совокупностей предполагается 
как равная. Тестовая статистика Q определяется выражением 

𝑄 =
𝑥̅𝑖 − 𝑥̅𝑗

√𝑀𝑆𝑤/𝑛

.
(3)

Эта тестовая статистика аналогична t-статистике. Един-

ственное различие заключается в том, что в качестве выборочного 
распределения используется распределение стьюдентизи-
рованного размаха, а не t-распределение. 

Предположим, что исследователь случайным образом набрал 

выборку из 20 человек, а затем снова случайным образом распределил 
их по четырем группам. Каждая группа получает различную 
мотивирующую инструкцию (уровень независимой переменной) 
для выполнения задания, связанного с попаданием в 
центр мишени. Зависимая переменная – это количество попыток, 
необходимых для успешного выполнения задания. Данные 
приведены в табл. 1. Сразу отметим, что F-отношение, равное 
8,87, больше соответствующего критического значения F для 
уровня значимости, 0,05 и, следовательно, нулевая гипотеза  
(μ1 = μ2 = μ3 = μ4) отклоняется.  

Расчет Q-статистики для всех возможных попарных сравне-

ний показан в табл. 2. Для удобства оценки средних значений 
они приведены в порядке возрастания. Это упорядочение не 
нужно для метода Тьюки, но важно для метода Стьюдента–
Ньюмана–Кеулса.  

Таблица 1 

Данные об иллюстрации метода Тьюки  
и метода Стьюдента–Ньюмана–Кеулса 

Расчетные 
значения

Группа

xi

1
2
3
4

10
6
16
9

16
12
18
12

12
9
14
14

12
8
20
11

18
7
17
16

∑ 𝑥
68
42
85
62

𝑋̅
13,60
8,40
17,00
12,40

ANOVA-таблица 

Источник дисперсии
SS
K
MS
F
𝐹𝑘𝑐(0,05)

Межгрупповая
188,95
3
62,98
8,87
3,24

Внутригрупповая
113,60
16
7,10

Общая
302,55
19

 

Таблица 2 

Вычисление Q-статистики по методу Тьюки 

Расчетные 
значения

Группа

2
4
1
3

𝑋̅
8,40
12,40
13,60
17,00

𝑋̅𝑖 − 𝑋̅𝑗
𝑥̅4 − 𝑥̅2 = 4,00
x̅1 − x̅2 = 5,20
𝑥̅1 − 𝑥̅4 = 1,20

𝑥̅3 − 𝑥̅2 = 8,60
𝑥̅3 − 𝑥̅4 = 4,60
𝑥̅3 − 𝑥̅1 = 3,40

𝑄 = 𝑥̅𝑖 − 𝑥̅𝑗

√𝑀𝑆𝑤/𝑛
3.36
4,37*
1,01

7,23*
3,87
2,86

Примечание: * р < 0,05, Qkc (0,05) = 4,05 для 16 степеней свободы;  
** р < 0,01, Qkc (0,01) = 5,19 для 16 степеней свободы.  

Вторым шагом требуется найти разницы между соответ-

ствующими средними, т. е. определить числитель для Q. Например: 
12,40 – 8,40 = 4,00; 13,60 – 8,40 = 5,20 и т. д. Последний шаг 
состоит в том, чтобы разделить полученные значения на 

√𝑀𝑆𝑤/𝑛 = √7,10/5 = 1,19. В нашем примере: 4,00/1,19 = 3,36; 
5,20/1,19 = 4,37 и т. д. Критическое значение для Q в методе 
Тьюки определяется с учетом максимально возможного размаха 
среднего при сравнении наименьшего среднего с наибольшим 
средним. В общем случае доказано, что максимальный размах k, 
т. е. он равен числу групповых средних. В примере максимальный 
размах равен 4. Следовательно, критическое значение Q для 
числа групп (максимальное ожидаемое) и 16 степеней свободы 
при уровне значимости 0,05, определяемом по табл. П8, составляет 
4,05. Тогда нулевые гипотезы μ1 = μ2 и μ3 = μ4 отклоняются. 
Остальные четыре нулевых гипотезы принимаются. Исследователь 
окончательно может сделать вывод о том, что средние генеральной 
совокупности для мотивирующих инструкций 1 и 3 отличаются 
от средней генеральной совокупности для мотивирующей 
инструкции 2 в терминах количества попыток, необходимых 
для правильного выполнения задания по стрельбе. 

 

Метод Стьюдента–Ньюмана–Кеулса (SNK) 

 
Метод Стьюдента–Ньюмана–Кеулса2 является еще одним ши-

роко используемым подходом, когда ANOVA показывает значимую 
величину для F-отношения, если объемы выборок равны. Этот метод 
основан на последовательном (или пошаговом) алгоритме. 
Когда наблюдаемые средние упорядочены от наименьшего к 
наибольшему, метод предполагает меньшие критические значения 
для Q-статистики для смежных средних, чем для тех, которые 
более удалены. Критические значения для Q варьируются в зависимости 
от количества групп (уровней независимой переменной). 

 

2 Иногда этот подход называют только методом Ньюмана–Кеулса.