Математика : сборник контрольных заданий

 

 
РОССИЙСКАЯ МЕЖДУНАРОДНАЯ 

АКАДЕМИЯ ТУРИЗМА 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
МАТЕМАТИКА 
 
 

 

Сборник контрольных заданий 
 
 
 
 
 
 
Под общей редакцией  
профессора В.И. Горелова 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
Москва  Университетская книга  2017 

УДК 51 
ББК 22.11 
 
М34 
 
 
 
Составители: 
 
В.И. Горелов, Т.Н. Ледащева, О.Л. Карелова 
 
 
 
Рецензенты: 
 
А.Б. Мосягин, кандидат технических наук,  
доцент кафедры прикладных информационных технологий  
Института общественных наук РАНХиГС; 
Б.М. Пранов, доктор технических наук,  
заведующий кафедрой менеджмента, информационных  
технологий и международного туризма РМАТ 
 
 
 
 
М34 
Математика : сборник контрольных заданий / сост.
В.И. Горелов, Т.Н. Ледащева, О.Л. Карелова ; под общ.
ред. профессора В.И. Горелова ; Российская международная 
академия туризма. – М. : Университетская книга,
2017. – 63, [5] с. 
 
ISBN 978-5-98699-228-0 
 
В сборнике представлены контрольные задания по дисциплине «
Математика» в соответствии с требованиями ФГОС. 
Структура сборника полностью соответствует структуре интернет-
экзамена по данной дисциплине. 
Для студентов бакалавриата заочной и очно-заочной форм 
обучения по направлениям: «Менеджмент», «Туризм», «Управление 
персоналом», «Государственное и муниципальное управление», «
Дизайн». 
 
 
УДК 51 
 
ББК 22.11 
 
ISBN 978-5-98699-228-0 
© Горелов В.И., Ледащева Т.Н.,  
    Карелова О.Л., составление, 2017 
© Российская международная академия 
    туризма, 2017 
© Оформление. РМАТ, Университетская 
    книга, 2017 

 

 
 
 
 
 
 
Предисловие 
 
Сборник контрольных заданий по дисциплине «Математика» 
содержит варианты для самостоятельной работы 
студентов бакалавриата заочной и очно-заочной форм обучения 
по всем изучаемым темам. Пособие может быть 
также использовано для самостоятельной подготовки студентов 
РМАТ, обучающихся по всем направлениям, с учетом 
требований федеральных государственных образовательных 
стандартов третьего поколения. 
Выполнение самостоятельных заданий рассчитано на 
весь период обучения по дисциплине «Математика». Для 
выполнения заданий и усвоения курса рекомендуется использовать 
учебное пособие «Математика: курс лекций» 
(под общ. ред. профессора В.И. Горелова; М., 2017), а также «
Математика: сборник задач и упражнений» (в той же 
редакции; М., 2016). 
В сборнике представлены 30 вариантов заданий, каждый 
из которых охватывает все разделы, изучаемые по 
данной дисциплине. 
Первые пять заданий относятся к разделу «Линейная  
алгебра», следующие два – к «Векторной алгебре», 8 –  
к «Аналитической геометрии». Девятый пример относится 
к «Пределам», 10 – к «Производной функции одной переменной», 
а 11 – к «Исследованию функции одной переменной». 
Следующие три примера охватывают раздел 
«Определенный, неопределенный и несобственный интеграл». 
Оставшиеся примеры относятся к разделу «Теория 
вероятности». 
В конце книги приведен список рекомендуемой лите- 
ратуры. 
 
 

 

 

 
 
 
 
 

Вариант 1 

 
1. Выполнить действия:  
 
А2 – 3Е, если 
 
4
1
1
3
3
2
0
2
1
A














 .

 

 
2. Найти А–1, если 
 
6
3
2
4
A


 



 .
 

 
3. Найти ранг матрицы: 
 
7
1
3
10
3
7
4
1
5
3
2
4
3
14
22
1
1
1
2
3

A











 









 .

 

 
4. Решить методом Крамера: 
 
7
7
22,

3
7
3
2,
2
4
5.

x
y
z
x
y
z
x
y
z



 




 




 


 

 
5. Решить методом Гаусса: 
 
4
8
5
8,

3
5
19,
7
3
5
11.

x
y
z

x
y
x
y
z












 


 

 

6. Найти скалярное и векторное 

произведения 
векторов  
а – 3b и 2b – a:  
 
a = {1, 4, 0} и b = {5, 1, 2}. 
 
7. Три вектора отложены из 
одной точки. Найти высоту 
образованной ими пирамиды, 
опущенную из конца векто- 
ра с: 
 
a = {3, 7, 4}, b = {3, –6, 2},  
 
c = {5, 1, 1}. 
 
8. Даны вершины треугольника 
АВС:  
 
А(–2; 4), В(3; 1), С(10; 7). 
 
Найти:  
 
а) уравнение стороны АВ; 
 
б) уравнение высоты СН; 
 
в) уравнение прямой, проходящей 
через вершину С параллельно 
стороне АВ. 
 
9. Найти предел: 
 

а) 

2

2
4
(3
1)
lim
4
1
х
x

x
x
x






; 

 

б) 

5
2

2
1
3
1
lim
2
3
x
x
x
x
x







; 

 

 
Вариант 1 
5

 

 

в) 

3

0
2
1
lim ln(1
2 )

x

x
e
x

x




; 

 

г) 

3
2

2
0
2
1
lim
3
1

x

x

x
x
x

x
x
















. 

 
10. Найти yx: 
 
а) 
ln(2
1);
?
y
x
dy


  

 
б) 
2
2
(3
1).
x
y
e
x
x



 
 
11. Исследовать функцию и по-    
строить график:  
 

2

2
4
2
3
5
x
y
x
x





. 

 
12. Найти неопределенный ин- 
теграл: 
 

а) 

2
(2
3)
x
dx
x


;  

б) 
ln
dx
x
x

;  

 
в) cos(3
5 )
x dx


. 
 
13. Вычислить определенный 
интеграл: 
 
1
3

0
(2
1)
x
x
e dx


. 

14. Вычислить несобственный 
интеграл или установить его 
расходимость:  
 

1

dx

x



. 

 
15. Из 20 банков 10 расположены 
за пределами города. 
Для исследования случайно 
выбрали 5 банков. Какова вероятность 
того, что среди выбранных 
в пределах города 
окажется 3 банка. 
 
16. В 
коробке 
перемешаны 
электролампы 
одинакового 
размера и формы: мощностью 
100 Вт – 7 шт., мощностью  
75 Вт – 13 шт. Взято произвольно 
3 лампы. Какова вероятность 
того, что они одинаковой 
мощности? 
 
17. Распределение дискретной 
случайной величины задано 
формулой:  
 



2,
P X
k
Ck


  
k = 1, 2, 3, 4 
 
А. Найти константу С. 
 
В. Найти вероятность события 

4
1.
X 

 

 
 
 
 
 

Вариант 2 

 

 

1. Выполнить действия:  
 
А2 + 5Е, если 
 
0
3
1
4
2
1
4
3
1
A






 








 .

 

 
2. Найти А–1, если 
 
1
6

2
4
A



 


 .
 

 
3. Найти ранг матрицы: 
 
1
1
2
7
2
3
5
2
3
2
3
5
5
5
8
3
2
3
5
2

A





















 .

 

 
4. Решить методом Крамера: 
 
2
3
2
3,
3
2
6,
3
3
0.

x
y
z
x
z
x
y
z
















 

 
5. Решить методом Гаусса: 
 
4
13
12,
6
5,
7
4
5
3.

x
y
z
x
y
z
x
y
z



 

 









 

 
6. Найти скалярное и векторное 

произведения 
векторов  
2а – b и 2b – a:  
 
a = {2, 6, 6} и b = {4, 3, 4}. 

7. Даны два вектора. Убедиться, 
что они образуют прямоугольный 
треугольник, найти 
его площадь:  
 
a = {1, 2, 2}, b = {3, 8, –5}. 
 
8. Даны вершины треугольника 
АВС:  
 
А(–3; –2), В(14; 4), С(6; 8). 
 
Найти:  
 
а) уравнение стороны АВ; 
 
б) уравнение высоты СН; 
 
в) уравнение прямой, проходящей 
через вершину С параллельно 
стороне АВ. 
 
9. Найти предел: 
 

а) 

4
3
2

3
2
2
5
12
lim
2
2
x
x
x
x

x
x
x









;  

 

б) 

2
2

2
2
lim
2

n

n
n
n

n
n












;  

 

в) 
cos2
lim
sin
x

x
x

x
x



;  

 

г) 
2
0

2
ln(
)
2
lim
1
x
x

x
x

e






. 

 
10. Найти yx: 
 

а) 
arctg
;
?
2
x
y
dy


 

 
б) 
3 ( cos
sin )
x
y
e
x
x
x


. 

 

 
Вариант 2 
7

 

 

11. Исследовать функцию и по-           
строить график:  
 

2

2
2

(
1)

x
y
х




. 

 
12. Найти неопределенный ин- 
теграл: 
 
а) 
3
(2
1)
x
dx


;  

 

б) 

2
5
3

x
dx
x 

;  

 

в) 

3
3 2x
e
dx


.  
 
13. Вычислить определенный 
интеграл: 
 

0
cos3
x
xdx



. 

 
14. Вычислить несобственный 
интеграл или установить его 
расходимость:  
 

ln
e

dx

x
x



. 

 
15. Экспедиция 
издательства 
отправила газеты в три почтовых 
отделения. Вероятность 
своевременной доставки в 1-е 

отделение равна 0,95, во 2-е 
отделение – 0,9, в 3-е отделение – 
0,8. Найти вероятность 
таких событий: 
 
А. Только одно отделение получает 
газеты своевременно. 
 
В. Хотя бы одно отделение 
получает газеты с опозданием. 
 
16. У 
работника-кладовщика 
есть 3 детали 1-го сорта  
и 7 деталей 2-го сорта. Он  
берет сначала одну деталь,  
а потом вторую. Найти вероятность 
того, что первая из 
взятых деталей 1-го сорта,  
а вторая – 2-го сорта. 
 
17. Охотник, у которого есть  
4 патрона, стреляет по дичи  
до первого попадания или  
до потери всех патронов. Вероятность 
попадания с перво- 
го выстрела равна 0,6, а в каждом 
следующем уменьшается 
на 0,1: 
 
Необходимо: 
 
А. Составить закон распределения 
количества патронов, 
потраченных охотником; 
 
В. Найти 
математическое 
ожидание и дисперсию случайной 
величины. 

 
 
 
 
 
 

Вариант 3 

 

 

1. Выполнить действия:  
 
А2 – 4Е, если 
 
1
4
1
1
3
2
2
1
0
A






 






 .

 

 
2. Найти А–1, если 
 
1
5

2
2
A



 


 .
 

 
3. Найти ранг матрицы: 
 
2
4
2
8
10
1
1
1
2
1
2
3
2
6
6
2
1
2
2
2

A









 








 .

 

 
4. Решить методом Крамера: 
 
5
2
6
17,
7
10,
7
7
3
31.

x
y
z
y
z
x
y
z





 








 

 
5. Решить методом Гаусса: 
 
2
7
10,
3
13
3
0,
7
20.

x
y
z
x
y
z
x
y
z




 












 

 
6. Найти скалярное и векторное 

произведения 
векторов  
а – 2b и 3b – a:  
 
a = {0, 2, 5} и b = {6, 5, 2}. 
 

7. Найти углы треугольника, 
образованного данными векторами, 
отложенными из одной 
точки: 
 
a = {2, 5, –1}, b = {–4, 2, 1}. 
 
8. Даны вершины треугольника 
АВС:  
 
А(1; 7), В(–3; –1), С(11; –3). 
 
Найти:  
 
а) уравнение стороны АВ; 
 
б) уравнение высоты СН; 
 
в) уравнение прямой, проходящей 
через вершину С параллельно 
стороне АВ. 
 
9. Найти предел: 
 

а) 

2

3
6
3
4
3
1
lim
1
5
x
x
x

x
x
x





 
;  

 

б) 
1
lim
lnsin 2

x

x
e

x





 ;  

 

в) 

2

3
2
2
4
lim
3
x
x

x
x
x





;  

 

г) 

3
2

2
0
2
1
lim
3
1

x

x
x
x
x
x













. 

 
10. Найти yx: 
 
а) 
arcsin(2 );
?
y
x
dy

   

 

б) 

2
3.
3
x
y
x




  

 
Вариант 3 
9

 

 

11. Исследовать функцию и по-       
строить график:  
 

2
1
4
x
y
x



. 

 
12. Найти неопределенный ин- 
теграл: 
 

а) 

2
(2
3
)
x
dx
x


;  

 

б) 
2
(ln
1)

dx

x
x 

;  

 

в) 3
5
dx

x


.  

 
13. Вычислить определенный 
интеграл: 
 
1
2

0
(
1)
x
x
e
dx


. 

 
14. Вычислить несобственный 
интеграл или установить его 
расходимость:  
 

3
1

dx

x x



. 

 
15. Контролер ОТК, проверив 
качество шитья 16+А паль- 
то, установил, что 16 и них  

1-го сорта, а остальные –  
2-го сорта. Найти вероятность 
того, что среди взятых произвольно 
из этой партии трех 
пальто одно будет 2-го сорта. 

16. Пусть Х – выручка фирмы, 
у. е. Найти распределение выручки 
Z = XY в рублях в пересчете 
за курсом у. е., если выручка 
Х не зависит от Y, а законы 
распределения случайных 
величин Х и Y имеют вид: 
 
Х 
1000А 
2000А 

Р 
0,7 
0,3 

 
Y 
25 + A 
27 + A 

Р 
0,4 
0,6 

 
17. Имеется две партии одинаковых 
изделий. Первая состоит 
из 10 изделий завода № 1  
и 5 изделий завода № 2.  
Во второй партии 15 изделий 
завода № 1 и 6 – завода № 2. 
Из наудачу выбранной партии 
взяли одно изделие, которое 
оказалось изготовленным на 
заводе № 1. После этого испытание 
повторили. Найти вероятность 
того, что второе взятое 
изделие изготовлено на заво- 
де № 2. 
 
 
 
 
 
 

Вариант 4 

 

 

1. Выполнить действия:  
 
2Е – А2, если 
 
3
2
3

1
2
3
4
0
2
A














 .

 

 
2. Найти А–1, если 
 
0
3

1
2
A


 



 .
 

 
3. Найти ранг матрицы: 
 
1
3
1
3

7
1
3
1
5
5
5
7

10
0
5
3
11
3
4
0

A











 










 .

 

 
4. Решить методом Крамера: 
 
3
3
5
18,

5
2
6
13,
5
5
14.

x
y
z

x
y
z
x
y
z




 




 

 

 


 

 
5. Решить методом Гаусса: 
 
2
6
2,

3
2
3
4,
7
9
0.

x
y
z

x
y
z
x
z








 






 

 
6. Найти скалярное и векторное 

произведения 
векторов  
3а – b и 2b – a:  
 
a = {4, 1, 6} и b = {1, 2, 5}. 

7. Данные векторы, отложенные 
из одной точки, образуют 
две 
стороны 
треугольника. 
Найти высоту, опущенную на 
третью сторону:  
 
a = {2, 4, –1}, b = {1, 5, 2}. 
 
8. Даны вершины треугольника 
АВС:  
 
А(1; 0), В(–1; 4), С(9; 5). 
 
Найти:  
 
а) уравнение стороны АВ; 
 
б) уравнение высоты СН; 
 
в) уравнение прямой, проходящей 
через вершину С параллельно 
стороне АВ. 
 
9. Найти предел:  
 

а) 
2
3
13
4
lim
2
3
x
x

x
x







;  

 

б) 

2

0
sin 2
lim lncos5
x

x
x

;  

 

в) 

2
2

2
2
lim
2
1

x

x
x
x
x
x













;  

г) 
2
1
arctg
lim
(
1)
x

x
x

x


. 

 
10. Найти yx: 
 
а) 
sin(1
2 );
?
y
x
dy



 

 
б) 
5
2
(
5).
x
y
e
x
x


