Дискретные модели организационного управления

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное 

учреждение высшего образования

ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Г. А. УГОЛЬНИЦКИЙ

ДИСКРЕТНЫЕ МОДЕЛИ 
ОРГАНИЗАЦИОННОГО 

УПРАВЛЕНИЯ

Учебное пособие

Ростов-на-Дону – Таганрог

Издательство Южного федерального университета

2023

УДК 519.1:519.72(075.8)
ББК 22.176 я73

У26

Печатается по решению кафедры прикладной математики 
и программирования Южного федерального университета

(протокол № 10 от 01 июня 2023 г.)

Рецензенты:

декан факультета экономики, менеджмента и информационных
технологий, заведующий кафедрой "Управление строительством"

Воронежского государственного технического университета,

доктор технических наук, профессор С. А. Баркалов;

профессор кафедры управления развитием пространственно-

экономических систем факультета управления Южного федерального 
университета, доктор технических наук, кандидат экономических наук,

доцент А. Д. Мурзин

Угольницкий, Г.А. 

У26 
Дискретные модели организационного управления : учебное по-

собие / Г. А. Угольницкий ; Южный федеральный университет. –
Ростов-на-Дону ; Таганрог : Издательство Южного федерального
университета, 2023. – 130 с.

ISBN 978-5-9275-4360-1

В учебном пособии рассматриваются модели организационного управ-

ления, описываемые и исследуемые с помощью теории графов, теории 
группового выбора, теории вероятностей, компьютерной имитации. Математическая 
формализация играет ведущую роль в управлении организационными 
системами различного типа как междисциплинарного направления 
исследований и практической работы. 

Книга ориентирована в первую очередь на аспирантов и студентов по

направлению подготовки «Прикладная математика и информатика», однако 
будет полезна также для направлений подготовки «Политология», «Психология», «
Конфликтология», «Менеджмент», может служить справочником 
для руководителей и практических специалистов в указанных областях.

УДК 519.1:519.72(075.8)

ISBN 978-5-9275-4360-1
ББК 22.176 я73

© Южный федеральный университет, 2023
© Угольницкий, Г.А., 2023
© Оформление. Макет. Издательство

Южного федерального университета, 2023

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ..........................................................................................................4

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИКО-ГРАФОВЫЕ МОДЕЛИ СТРУКТУРЫ 

ОРГАНИЗАЦИЙ ..............................................................................6

1.1. Организационные коммуникации................................................................6
1.2. Модели структурного баланса в организациях........................................19
1.3. Попарное сравнение конкурирующих альтернатив.................................27
1.4. Измерение иерархического статуса сотрудников организации .............31
1.5. Ориентируемость и уязвимость.................................................................36

ГЛАВА 2. КОГНИТИВНЫЕ КАРТЫ ОРГАНИЗАЦИОННОГО 

УПРАВЛЕНИЯ...............................................................................46

2.1. Качественная оценка устойчивости организационных систем ..............46
2.2. Импульсные процессы в моделях организационных систем..................52
2.3. Приложения теории устойчивости импульсных процессов к анализу

и управлению организациями ...................................................................55

ГЛАВА 3. МОДЕЛИ КОЛЛЕКТИВНОГО ВЫБОРА

В ОРГАНИЗАЦИЯХ......................................................................69

3.1. Задача коллективного (группового) выбора.............................................69
3.2. Совместное ранжирование организационных агентов и альтернатив...83
3.3. Коллективные решения на основе расстояний между ранжировками ..89

ГЛАВА 4. МОДЕЛИ ЦЕПЕЙ МАРКОВА И УПРАВЛЕНИЕ 

МНЕНИЯМИ В ОРГАНИЗАЦИЯХ ...........................................99

4.1. Цепи Маркова, их классификация и приложения....................................99
4.2. Модели информационного влияния в организациях.............................109
4.3. Управление мнениями и распределение ресурсов в активных 

организационных сетях............................................................................119

ЛИТЕРАТУРА.................................................................................................129

ВВЕДЕНИЕ

При написании пособия автор опирался на многолетний опыт чтения

специальных курсов «Модели системного анализа и управления» и «Дискретные 
математические модели» в Институте математики, механики и компьютерных 
наук им. И.И. Воровича Южного федерального университета.
По этой теме опубликованы учебно-методические работы (Курбатов
и Угольницкий 1998; Угольницкий 2012). Основная часть материала взята
из монографии (Робертс, 1986) с авторскими дополнениями и изменениями, 
поэтому дополнительные ссылки по ходу изложения не приводятся.

Первая глава учебного пособия посвящена теоретико-графовым моделям 

структуры организаций. Приводятся основные сведения из теории графов, 
предоставляющей необходимый математический аппарат для построения этих 
моделей. Рассматриваются теоретико-графовые модели структурного баланса
в малых группах, основанные на социально-психологических исследованиях 
Ф. Хайдера и математических результатах Ф. Харари и Д. Картрайта. Описываются 
турнирные графы как средство решения задачи упорядочения альтернатив, 
излагается подход Дж. Кемени – Дж. Снелла к измерению иерархического 
статуса сотрудников организаций и его обобщение с учетом социальной 
стратификации. Анализируются понятия ориентируемости и уязвимости.

Во второй главе пособия рассматриваются когнитивные карты (знаковые

и взвешенные ориентированные графы) как качественные модели сложных 
систем и их использование для описания импульсных процессов на ориентированных 
графах. Важная теоретическая и прикладная задача состоит 
здесь в анализе устойчивости моделируемых систем, которая исследуется 
как на качественном уровне, так и с использованием аппарата собственных 
значений матриц. Анализируется связь между устойчивостью и структурой 
организационных систем.

В третьей главе описана задача коллективного (группового) выбора,

то есть проблема формирования итогового общего мнения группы (организации) 
на основе индивидуальных мнений ее участников. Формулируются
и обсуждаются классические «парадоксальные» результаты теории группового 
выбора: теорема К. Эрроу, теорема А. Сена, теорема А. Гиббарда –
М. Саттертуэйта, подходы к преодолению парадокса Эрроу, предложенные 
Дж. Кумбсом, Дж. Кемени и Дж. Снеллом. 

Введение

5

В четвертой главе дано введение в теорию цепей Маркова. Рассматрива-

ются классификация цепей Маркова, их примеры и приложения. Детально 
изучаются регулярные и поглощающие цепи Маркова. На этой основе излагаются 
модели влияния, управления мнениями и распределения ресурсов
в активных организационных сетях.

Все параграфы учебного пособия содержат примеры и упражнения.
Основной целевой аудиторией учебного пособия являются студенты, 

обучающиеся по направлению подготовки "Прикладная математика и информатика", 
а также аспиранты специальностей 1.2.2, 2.3.1, 2.3.4. Вместе
с тем, книга будет полезна как пособие для направлений подготовки "Менеджмент", "
Политология", "Конфликтология". Разумеется, что она может 
использоваться также руководителями и практическими специалистами
в указанных областях.

ГЛАВА 1.

ТЕОРЕТИКО-ГРАФОВЫЕ МОДЕЛИ

СТРУКТУРЫ ОРГАНИЗАЦИЙ

Одной из ключевых характеристик организационной (и любой сложной) 

системы является ее структура, под которой принято понимать совокупность 
связей между элементами системы. Наиболее адекватной и распространенной 
математической моделью структуры организационной системы служит 
ориентированный граф (орграф), для более простых моделей используют 
также неориентированные графы.

В первой главе учебного пособия приводятся необходимые сведения

из теории графов, в том числе способ представления орграфов с помощью 
матриц. Излагается алгоритм нахождения вершинных баз орграфа в контексте 
проблемы организационных коммуникаций. Рассматривается теория
структурного баланса в малых группах, основанная на результатах социально-
психологических исследований Ф. Хайдера и их математической формализации 
и обобщении, предложенных Ф. Харари и Д. Картрайтом. Дается 
определение сбалансированности графа (орграфа) как модели отношений
в малой группе и критерии проверки сбалансированности, вводится мера 
сбалансированности, обсуждаются пути возможного развития базовой модели 
структурного баланса.

Рассматривается задача ранжирования альтернатив (в том числе поиска 

наилучшей альтернативы) на основе данных о попарных предпочтениях
и способы ее решения с помощью турнирных графов. Излагается базовая 
модель Дж. Кемени и Дж. Снелла измерения иерархического статуса сотрудников 
организаций и пути ее уточнения с учетом принадлежности сотрудника 
к различным слоям социальной стратификации.

На указанных примерах иллюстрируется методология математического 

моделирования «от простого к сложному», состоящая в построении и исследовании 
иерархии последовательно усложняемых моделей.

1.1. Организационные коммуникации

Одной из важных характеристик организационной системы является 

ее структура. Под структурой принято понимать совокупность связей 
между элементами системы. Связи могут быть обусловлены: подчинением 

1.1. Организационные коммуникации

7

одних элементов другим (иерархия, субординация, руководство, лидерство); 
передачей от одних элементов к другим потоков вещества, энергии, 
информации; объединением элементов в функциональные и иные группы 
(под-системы); классификацией элементов по различным признакам; пространственной, 
временной и иной близостью элементов; однородностью 
некоторых элементов или их относительной независимостью от остальных 
и т. д. 

Структура есть устойчивое образование, способное сохраняться со вре-

менем, в том числе при внешних воздействиях, поэтому структурные свойства 
обычно используются в качестве отличительной характеристики системы. 
Как правило, изменение структуры означает переход системы в новое 
качество или даже ее распад. Знание структуры позволяет указать: 
множество элементов системы; множество связей (отношений) между элементами; 
направленность связей (отношений); множество подсистем в составе 
системы; множество связей и отношений между подсистемами, их
направленность. Во многих случаях известны дополнительные количественные 
характеристики структуры (элементов и связей).

Качественные и количественные характеристики структуры использу-

ются при решении многочисленных прикладных задач, в числе которых: 
управление сложными техническими, организационными, эколого-экономическими 
и иными системами; организация коммуникаций (транспортные потоки, 
газо- и нефтепроводы, линии электропередач, организационные коммуникации); 
выявление предпочтительных альтернатив (проведение соревнований, 
конкурсов, тендеров, выборы кандидатов на должность); описание 
отношений в социальных группах и изучение их конфликтного потенциала; 
определение статуса (ранга) элементов системы (иерархического, трофического, 
экономического и т.п.); выявление связности систем и степени их уязвимости. 


Учет качественных и количественных характеристик структуры орга-

низационных систем и решение практических задач с использованием
этих характеристик требует построения математических моделей. В таблице 
1.1.1 представлена классификация моделей связей между элементами 
организационной системы по критериям направленности и измеримости.

Глава 1. Теоретико-графовые модели структуры организаций

8

Таблица 1.1.1

Модели связей между элементами организационных систем

Измеримость

Направленность

Связь

не измеряется

Связь измеряется 

качественно

Связь измеряется 

количественно

Ненаправленные связи
Граф
Знаковый граф
Взвешенный граф

Направленные связи
Орграф
Знаковый орграф
Взвешенный орграф

Наиболее удобной и распространенной математической моделью струк-

туры служит ориентированный граф (орграф)

𝐷 = (𝑉, 𝐴),
(1.1.1)

где 𝑉 = {𝑢1, 𝑢2, … 𝑢𝑛} – конечное множество вершин; 

𝐴 = {(𝑢𝑖, 𝑢𝑗)} –конечное множество дуг(упорядоченных пар элементов из 𝑉). 

Вершины в модели (1.1.1) соответствуют элементам системы, дуги – свя-

зям (отношениям) между элементами. Более точно, наличие дуги (𝑢𝑖, 𝑢𝑗) ∈ 𝐴
означает существование направленной связи от элемента ui к элементу 𝑢𝑗 ∈ 𝑉.
В расширенной версии модели (1.1.1) каждой вершине 𝑢𝑖 ∈ 𝑉 приписыва-

ется вектор 𝑣𝑖 = (𝑣𝑖

1, … , 𝑣𝑖

𝑘𝑖), где 𝑣𝑖

𝑗 ∈ ℝ – некоторая числовая характери-

стика вершины 𝑢𝑖, а каждой дуге (𝑢𝑖, 𝑢𝑗) ∈ 𝐴 сопоставляется вектор 𝑤𝑖𝑗 =

= (𝑤𝑖𝑗

1 , … , 𝑤𝑖𝑗

𝑘𝑖𝑗), где 𝑤𝑖𝑗 ∈ ℝ – некоторая характеристика дуги (𝑢𝑖, 𝑢𝑗). Если 

вектор 𝑤𝑖𝑗 содержит единственную компоненту, то она называется весом

дуги (𝑢𝑖, 𝑢𝑗).

Наряду с моделью (1.1.1) используется модель 

𝐺 = (𝑉, 𝐸),
(1.1.2)

где 𝑉 = {𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛} – конечное множество вершин, как в модели (1.1.1); 

𝐸 = {(𝑢𝑖, 𝑢𝑗)} – множество неупорядоченных пар элементов 𝑉 (множе-

ство ребер). 𝐺 называют неориентированным графом или просто графом:
в отличие от модели (1.1.1), графовая модель пренебрегает направлением 
связей между элементами системы.

Рассмотрим основные понятия и некоторые результаты, связанные с мо-

делями (1.1.1) и (1.1.2). Будем придерживаться терминологии, принятой
в работе (Робертс 1986).

1.1. Организационные коммуникации

9

Путем в орграфе 𝐷 = (𝑉, 𝐴) называется последовательность 

𝑢1, (𝑢1, 𝑢2), 𝑢2, (𝑢2, 𝑢3), … , 𝑢𝑡, (𝑢𝑡, 𝑢𝑡+1), 𝑢𝑡+1.
(1.1.3)

Легко видеть, что для задания пути (1.1.3) достаточно перечислить вхо-

дящие в него вершины 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑡+1. Целое число 𝑡 называется длиной 
пути. При 𝑡 = 0 получаем вырожденный путь, состоящий из единственной 
вершины 𝑢1, при 𝑡 = 1 путь представляет собой дугу (𝑢𝑖, 𝑢𝑗) ∈ 𝐴.

Путь называется: простым, если ни одна вершина не встречается в нем 

более одного раза; замкнутым, если 𝑢𝑡+1 = 𝑢1; полным, если он содержит 
все вершины из V.

Простой замкнутый путь называется контуром.

Рис. 1.1.1. Примеры путей различного вида

Так, на рисунке 1.1.1 пути (𝑎, 𝑏, 𝑐), (𝑏, 𝑐, 𝑑), (𝑐, 𝑑, 𝑒) простые, путь

(𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑐, 𝑓, 𝑏) замкнутый, путь (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑐, 𝑓, 𝑔, 𝑎) полный, пути (𝑏, 𝑐, 𝑓, 𝑏)
и (𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑐) – контуры.

Определение 1.1.1. Вершина 𝑣 достижима из вершины 𝑢, если суще-

ствует путь из 𝑢 в 𝑣. Будем обозначать этот факт 𝑢→ 𝑣.

В частности, любая вершина достижима сама из себя по вырожденному 

пути. Понятие достижимости естественно трактовать в терминах коммуникаций (
передачи вещества, энергии, информации). Если 𝑢→ 𝑣, то из элемента 
𝑢 в элемент 𝑣 можно передать материалы, сырье, товары, энергию, сообщения, 
распоряжения и т. д.

Теорема 1.1.1. Если 𝑢→ 𝑣, то существует простой путь из 𝑢 в 𝑣.
Доказательство. Выберем из всех возможных путей из 𝑢 в 𝑣 кратчай-

ший и обозначим его 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑡, 𝑢𝑡+1, где 𝑢1 = 𝑢, 𝑢𝑡+1 = 𝑣. Если этот путь

Глава 1. Теоретико-графовые модели структуры организаций

10

не простой, то найдутся такие номера 𝑖 < 𝑗, что 𝑢𝑖 = 𝑢𝑗. Тогда легко прове-

рить, что путь 𝑢1, … , 𝑢𝑖, … 𝑢𝑗+1, … 𝑢𝑡+1 также является путем из вершины 𝑢

в вершину 𝑣, причем более коротким, чем первоначальный, что приводит
к противоречию. Таким образом, исходный путь был простым.

Для организационных коммуникаций эту теорему можно пояснить так: 

если сотрудник 𝑢 может отправить сообщение сотруднику 𝑣, то он способен 
сделать это так, чтобы никто не услышал сообщение дважды.

Длину кратчайшего пути из 𝑢 в 𝑣 называют расстоянием между 𝑢 в 𝑣

и обозначают 𝜌(𝑢, 𝑣). Расстояние от любой вершины до самой себя равно 
нулю.

Иногда достижимость между парой вершин отсутствует, но воз-

можна «опосредованная» коммуникация между ними. Более точно, определим 
полупуть в орграфе 𝐷 = (𝑉, 𝐴) как последовательность вершин
и дуг

𝑢1, 𝑎1, 𝑢2, 𝑎2, … , 𝑢𝑡, 𝑎𝑡, 𝑢𝑡+1,
(1.1.4)

где 𝑎𝑖 – либо дуга (𝑢𝑖, 𝑢𝑖+1), либо дуга (𝑢𝑖+1, 𝑢𝑖).

Понятия простого, замкнутого, полного полпути и полуконтура опреде-

ляются по аналогии с соответствующими понятиями для пути.

Определение 1.1.2. Вершины 𝑢 и 𝑣 соединимы, если существует полупуть 

из 𝑢 в 𝑣. Будем обозначать этот факт 𝑢 − 𝑣.

Заметим, что если 𝑢 → 𝑣, то совсем не обязательно 𝑣 → 𝑢. А вот из опре-

деления полупути (1.1.4) следует, что утверждения 𝑢 − 𝑣 и 𝑣 − 𝑢 равносильны.


Обратимся к модели неориентированного графа (1.1.2). Цепью в графе 

𝐺 = (𝑉, 𝐸) называется последовательность вершин и ребер

𝑢1, (𝑢1, 𝑢2), 𝑢2, (𝑢2, 𝑢3), … , 𝑢𝑡, (𝑢𝑡, 𝑢𝑡+1), 𝑢𝑡+1.

Как и в случае пути, цепь может быть простой, замкнутой и полной 

(определения аналогичны). Простая замкнутая цепь называется циклом.

В случае графа понятия достижимости и соединимости совпадают, т.е. 

𝑢 → 𝑣 ⟺ 𝑢 − 𝑣. Это объясняется отсутствием ориентации ребер, и невозможностью 
тем самым различать путь и полупуть (в графе существует 
только понятие цепи).

Связанные с достижимостью понятия для графов и орграфов собраны

в таблице 1.1.2.

1.1. Организационные коммуникации

11

Таблица 1.1.2

Достижимость и соединимость

Орграф 𝐷

𝑢1, 𝑎1, 𝑢2, 𝑎2, … , 𝑢𝑡, 𝑎𝑡, 𝑢𝑡+1

Граф G

𝑢1, 𝑒1, 𝑢2, 𝑒2, … , 𝑢𝑡, 𝑒𝑡+1, 𝑢𝑡+1
Достижимость
Cоединимость

Путь

𝑎𝑖 = (𝑢𝑖, 𝑢𝑖+1)

Простой путь

путь и 𝑢𝑖 различны

Замкнутый путь

𝑢𝑡+1 = 𝑢1

Полный путь

{𝑢1, … , 𝑢𝑡+1} = 𝑉

Контур
простой 

замкнутый путь

Полупуть

𝑎𝑖 = (𝑢𝑖, 𝑢𝑖+1)

или 𝑎𝑖 = (𝑢𝑖+1, 𝑢𝑖)
Простой полупуть

полупуть и 𝑢𝑖 различны

Замкнутый полупуть

𝑢𝑡+1 = 𝑢1

Полный полупуть
{𝑢1, … , 𝑢𝑡+1} = 𝑉

Полуконтур

простой 

замкнутый полупуть

Цепь

𝑒𝑖 = (𝑢𝑖, 𝑢𝑖+1)

Простая цепь

цепь и 𝑢𝑖 различны

Замкнутая цепь

𝑢𝑡+1 = 𝑢1
Полная цепь

{𝑢1, … , 𝑢𝑡+1} = 𝑉

Цепь

простая 

замкнутая цепь

Понятия достижимости и соединимости позволяют классифицировать 

орграфы следующим образом. Орграф называется:

– сильно связным, если ∀𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉 𝑢 → 𝑣 & 𝑣 → 𝑢 (категория связности 3);
– односторонне связным, если ∀𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉 𝑢 → 𝑣 ⋁ 𝑣 → 𝑢 (категория 2);
– слабо связным, если ∀𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉 𝑢 − 𝑣 (категория 1);
– несвязным, если 𝐷 не является слабо связным (категория 0).
Непосредственное применение этих определений весьма трудоемко, по-

скольку требует попарных проверок на достижимость всех вершин (т.е. для 
𝑛 вершин понадобится 𝐶𝑛

2 проверок). Поэтому используют критерии связно-

сти, позволяющие сократить перебор.

Теорема 1.1.2. Орграф сильно связен тогда и только тогда, когда в нем 

имеется полный замкнутый путь.

Доказательство. Пусть 𝑢1, … , 𝑢𝑛, 𝑢1 – полный замкнутый путь в 𝐷 = (𝑉, 𝐴).

Надо доказать, что ∀𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉 𝑢 → 𝑣 & 𝑣 → 𝑢. В силу полноты пути 
найдутся такие 𝑖 < 𝑗, что 𝑢𝑖 = 𝑢, 𝑢𝑗 = 𝑣. Тогда 𝑢𝑖, 𝑢𝑖+1, … , 𝑢𝑗 – путь из 𝑢 в 𝑣, 

а 𝑢𝑗, 𝑢𝑗+1, … , 𝑢𝑛, 𝑢1, … , 𝑢𝑖 – путь из 𝑣 в 𝑢. Значит, 𝐷 сильно связен.

Пусть теперь 𝐷 сильно связен, 𝑉 = {𝑢1, … , 𝑢𝑛}. Тогда имеются пути 𝑃1 из 

𝑢1 в 𝑢2, 𝑃2 из 𝑢2 в 𝑢3, … , 𝑃𝑛−1 из 𝑢𝑛−1 в 𝑢𝑛, 𝑃𝑛 из 𝑢𝑛 в 𝑢1. Тогда полный 
замкнутый путь в 𝐷 есть 𝑃 = 𝑃1 ∪ 𝑃2 ∪ … ∪ 𝑃𝑛−1 ∪ 𝑃𝑛.