Тензорная алгебра и тензорный анализ

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации



САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ
ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ПЕТРА ВЕЛИКОГО






Е. Н. Вилъчевская





        ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА И ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ





Учебное пособие









                           ■ ПОЛИТЕХ-ПРЕСС Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого

Санкт-Петербург

2019

  УДК 539.3(075.8)
        В46


Рецензенты:
Доктор физико-математических наук, профессор, директор Института проблем машиноведения Российской академии наук А. К. Беляев
Член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой «Теоретическая механика» Санкт-Петербургского политехнического университета Петра Великого
А. М. Кривцов



  Вилъчевская Е. Н. Тензорная алгебра и тезорный анализ : учеб, пособие / Е. И. Вилъчевская. - СПб. : ПОЛИТЕХ-ПРЕСС, 2019. - 124 с.


     Соответствует государственному образовательному стандарту и содержанию направления подготовки бакалавров, обучающихся по специальности 01.03.03 «Механика и математическое моделирование». Предназначено для студентов высших учебных заведений, обучающихся по физико-математическим и техническим специальностям.
     В учебном пособии на языке прямого (бескоординатного) тензорного исчисления, наиболее соответствующего потребностям современной механики, рассмотрены основы тензорной алгебры, теории тензорных функций и тензорного анализа. Представлена теория симметрии тензоров и тензорных функций. Приведены основные определения и теоремы тензорной алгебры и тензорного анализа, а также ряд полезных формул и тождеств, широко применяемых во многих курсах при изучении механических специальностей.

Табл. 1. Ил. 10. Библиогр.: 29 назв.

Печатается по решению
Совета по издательской деятельности Ученого совета
Санкт-Петербургского политехнического университета Петра Великого.


                                     © Вильчевская Е. Н., 2019
                                     © Санкт-Петербургский политехнический

университет Петра Великого, 2019


ISBN 978-5-7422-6705-8
doi:10.18720/SPBPU/2/idl9-193

Ministry of science and higher education of the Russian Federation



PETER THE GREAT
ST. PETERSBURG POLYTECHNIC UNIVERSITY






E. N. Vilchevskaya






            TENSOR ALGEBRA

            AND TENSOR ANALYSIS






Textbook












POLYTECH-PRESS
Peter the Great
StPetersburg Polytechnic
University

Saint-Petersburg

2019

Peer reviewed by:
Professor Dr.Sc. Mult., d.h.c., director of the Institute for Problems in Mechanical Engineering, Russian Academy of Sciences
A. K. Belyaev
Corr, member of the Russian Academy of Sciences, D.Sci. in Mathematics and Physics, Head of Department «Theoretical and Applied Mechanics» of the Peter the Great Saint Petersburg Polytechnic University
A. M. Krivtsov

   Vilchevskaya E. N. Tensor algebra and tensor analysis : textbook / E. N. Vilchevskaya. - Saint Petersburg: POLYTECH-PRESS, 2019. 124 p.

     The textbook corresponds to the state educational standard and the content of the bachelor’s program «Mechanics and mathematical modeling». It is intended for students of higher educational institutions studying in physics and mathematics and technical specialties.
     The focus of the textbook lies mainly on acquiring an understanding of the principles and ideas of the direct (component-free) tensor language, which is widely used now-days in mechanics. The concepts and techniques of tensor algebra, theory of tensor functions and tensor analysis are introduced. The symmetries of tensors and tensor functions are considered. The basic definitions and theorems of tensor algebra and tensor analysis are given, as well as a number of useful formulas and identities widely used in many mechanical courses.

Figures 10. References 29.

Printed by the Publishing Council of the Peter the Great St. Petersburg polytechnic university Academic Council






                                                    © Vilchevskaya E. N., 2019
                                                    © Peter the Great St. Petersburg polytechnic university, 2019


ISBN 978-5-7422-6705-8
doi:10.18720/SPBPU/2/idl9-193

ОГЛАВЛЕНИЕ



Введение..................................................... 7
1. Тензорная алгебра......................................... 9
  1.1. Векторы и тензоры в трехмерном пространстве........... 9
     1.1.1. Система отсчета и система координат. Полярные и аксиальные объекты............................................ 9
     1.1.2. Скаляры или тензоры нулевого ранга,............. 11
     1.1.3. Векторное пространство.......................... 11
     1.1.4- Тензорное пространство ........................ 14
     1.1.5. Векторный и тензорный базисы. Координаты тензора ...... 17
  1.2. Действия над тензорами второго ранга................. 20
     1.2.1. Симметричный и антисимметричный тензоры .......... 21
     1.2.2. Умножение тензоров ............................. 21
     1.2.3. Единичный тензор и тензор Леви-Чивиты .......... 26
     1.2.4- След тензора второго ранга,..................... 28
     1.2.5. Векторный инвариант. Сопутствующий вектор ......... 29
     1.2.6. Линейные отображения........................ 31
     1.2.7. Определитель тензора......................... 32
     1.2.8. Обратный тензор. Теорем,а, Кэйли-Гамильтона......34
     1.2.9. Норм,а, тензора второго ранга. Тензорные ряды,...36
  1.3. Ортогональное отображение............................ 37
     1.3.1. Тензор поворота................................. 40
     1.3.2. Проекторы и тензоры отражений................... 46
  1.4. Разложения тензоров второго ранга.....................48
     1.4.1. Спектральное разложение тензора................. 48
     1.4.2. Разложение тензора на шаровую часть и девиатор . 51
     1.4-3. Полярное разложение............................. 53
  1.5. Тензоры высших рангов................................ 56
     1.5.1. Основные действия с тензорами................... 56
     1.5.2. Симметрия тензоров. Изотропные тензоры............ 59

5

        1.5.3. Тензоры четвертого ранга. Специальные тензорные базисы. ... 64
  2. Функции тензорного аргумента.................................... 67
     2.1. Тензорные функции.......................................... 67
     2.2. Изотропные функции. Инварианты системы тензоров............ 68
     2.3. Операции дифференцирования ................................ 72
        2.3.1. Дифференцирование тензора по скалярному аргументу..... 72
        2.3.2. Дифференцирование скалярно-значной функции............ 74
        2.3.3. Дифференцирование тензорных функций по тензорному аргументу ....................................................... 79
  3. Тензорные поля ................................................. 83
     3.1. Криволинейные ортогональные координаты..................... 83
     3.2. Набла-оператор Гамильтона.................................. 86
     3.3. Дифференциальные операции над произведением................ 90
     3.4. Двухкратное дифференцирование.............................. 92
     3.5. Ортогональные системы координат............................ 94
        3.5.1. Цилиндрическая, система координат..................... 94
        3.5.2. Сферическая, система координат........................ 96
     3.6. Интегральные формулы ......................................100
        3.6.1. Преобразование объемного интеграла, в поверхностный...100
        3.6.2. Теорем,а, Стокса,.....................................101
  4. Неортогональная система координат. .............................103
     4.1. Основной и взаимный базисы.................................103
        4.1.1. Преобразование базиса,................................105
        4-1.2. Фундаментальная матрица...............................106
     4.2. Векторное произведение. Определитель тензора...............109
     4.3. Ковариантное дифференцирование.............................110
        4-3.1. Набла-оператор в неортогональном базисе...............110
        4-3.2. Производные базисных векторов. Сим,волы, Кристоффеля,.111
        4-3.3. Преобразование символов Кристоффеля,..................116
        4.3.4- Ковариантное дифференцирование тензора второго ранга,.117
        4-3.5. Дифференциальные операции в криволинейных координатах. . . 118
  Библиографический список...........................................121

6

ВВЕДЕНИЕ


    Историческими предшественниками тензоров были векторы, матрицах и системы с индексами, использовавшиеся в алгебре, геометрии, теории поверхностей, механике и других областях науки. Операции над системами с индексами были весьма громоздки и требовали развития нового математического аппарата. К середине XIX в. Дж. У. Гибе создал векторную алгебру с операциями сложения, скалярного и векторного умножения и векторный анализ — теорию дифференциального исчисления векторных полей. Вскоре Дж. Риччи обобщил векторное исчисление на системы с произвольным числом индексов. К середине XX века тензорное исчисление развилось в эффективный математический аппарат, широко используемый в различных областях науки: в механике, дифференциальной геометрии, электродинамике, теории относительности и многих других. Более подробное описание истории развития тензорного исчисления можно найти, например, в [3,4].
    В настоящее время существует два основных подхода к изложению теории тензоров: координатный и прямой. При координатном подходе под тензором понимается матрица, компоненты которой преобразуются при переходе от одного координатного базиса к другому по определенным формулам (см. например [3, 10, 19]). При прямом подходе тензор рассматривается как элемент линейного пространства, полученного специальным перемножением векторных пространств. В этом случае никакие координатные системы не привлекаются к рассмотрению, а сами тензоры не зависят от выбора системы координат.
    От прямой записи тензора легко перейти к его координатному представлению, введя в пространство тензоров базис. Таким образом, с чисто математической точки зрения оба подхода эквивалентны. Тем не менее именно язык прямого тензорного исчисления наиболее адекватно отражает сущность основных понятий и представлений механики сплошных сред и поэтому хорошо приспособлен к задачам теории упругости, дина

7

мики твердого тела, гидродинамики, теории пластичности и пр.
    Теории тензоров посвящено болвшое число фундаментальных монографий и учебников (см. [1,3,9,18,21]). Не ставя перед собой задачи представления подробного обзора литературы, упомянем толвко работах [7,18,20], знакомящие начинающих с основами тензорного исчисления; книгу [13], описывающую применение тензорных методов в аналитической и дифференциальной геометрии, а также в динамике твердого тела, гидродинамике и теории электромагнитного поля; книги [25,26], в которых подробно описывается применение тензорного анализа в теории упругости и теории пластин и оболочек. Отдельного упоминания заслуживают приложения в книгах [11,12], где на языке прямого тензорного исчисления приводятся основные определения и формулы тензорной алгебры и тензорного анализа, необходимые при изучении теории упругости; книга [4], включающая в себя изложение векторного и тензорного исчисления с приложениями к описанию движения тел, теории симметрии тензоров, тензорных функций, введение аксиальных объектов и многое другое; а также [16], где в доступной форме, простым и понятным языком излагаются основы тензорной алгебры и тензорного анализа, демонстрируются простота и компактность уравнений механики, получаемых с использованием прямого тензорного исчисления и обсуждается инвариантность тензорных соотношений.
    Данное пособие базируется в первую очередь на материалах, представленных в [4,7,11,12,16]. В пособии рассмотрены основные положения тензорной алгебры, теории тензорных функций, тензорного анализа, представлена теория симметрии тензоров и тензорных функций. Большая часть материала, приведенного в пособии, излагается с точки зрения прямого тензорного исчисления, позволяющего избежать координатной записи при выводе и анализе основных уравнений механики сплошных сред, поскольку многоиндексная координатная запись зачастую делает формулы более громоздкими и затрудняет понимание рассматриваемых

8

явлений. Тем не менее иногда координатная форма записи бывает более удобна для проведения промежуточных выкладок при доказателвстве тензорнвхх соотношений. Тогда целесообразно исполвзоватв простейшую декартову систему координат, возвращаясв к инвариантной форме записи после получения конечного резулвтата. Координатах также вводятся на конечной стадии постановки задачи, при этом выбор системы координат определяется особенностями конкретной задачи.
    В большинстве классических работ по механике сплошных сред используют вмороженные в тело «материальные» координаты, позволяющие естественным образом связать изменение внутренней геометрии тела с его деформацией (см. [14,22,23]). Эти координаты порождают неортогональный базис, что, в свою очередь, влечет за собой необходимость введения взаимного базиса, ковариантных и контрвариантых компонент, символов Кристоффеля и т. и. Основные понятия и операции тензорной алгебры и тензорного анализа в неортогональном базисе будут рассмотрены в последнем разделе данного пособия.
    Автор благодарит К. П. Фролову за помощь в подготовке пособия.

1. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА
1.1. Векторы и тензоры в трехмерном пространстве

1.1.1. Система отсчета и система координат. Полярные и аксиальные объекты
    В соответствии с идеологией прямого тензорного исчисления понятие вектора и тензора любого ранга лишено всякого смысла вне системы отсчета. Система отсчета является в большей степени философским понятием, существование которого невозможно доказать, а можно только постулировать. Задание системы отсчета означает в частности построение модели абсолютного пространства, все точки которого параметризованы путем введения в данной системе отсчета трех независимых на

9

правлений и масштаба длины. Классическая механика постулирует существование бесконечного числа равноправных систем отсчета, причем все физические законах должны быть инвариантны, т. е. неизменны относительно перехода от одной системы отсчета к другой. Кроме того, положение любой точки в данной системе отсчета можно задать тройкой чисел. Способ, посредством которого каждой точке системы отсчета ставится во взаимно однозначное соответствие тройка чисел, называется выбором системы координат. В выбранной системе отсчета можно ввести множество различных систем координат, каждая из которых является равноправной. Необходимо отчетливо осознавать различие между системой отсчета и системой координат. В частности, многие физические величины (скорость, ускорение, кинетическая энергия и др.) зависят от выбора системы отсчета, но ни одна физическая величина не зависит от выбора системы координат в данной системе отсчета.
    В выбранной системе отсчета необходимо ввести дополнительное соглашение о том, какие повороты считать положительными, т. е. выбрать ориентацию пространства. Система отсчета называется правоориентированной, если положительным считается поворот против хода часовой стрелки, и левоориентированной, если положительным считается поворот по часовой стрелке.
    Все физические объекты делятся на два типа по отношению к выбору ориентации в системе отсчета. Объекты, не зависящие от ориентации системы отсчета, называются полярными; объекты, которые умножаются на —1 при замене ориентации системы отсчета на противоположную, называются аксиальными. Например, температура, перемещения и трансляционная скорость являются полярными объектами. Аксиальные объекты обычно связаны с ориентацией тел в пространстве. Типичными примерами аксиальных объектов являются вектор поворота, угловые скорость и ускорение.

10

    Отметим, что ориентация системы отсчета производится до выполнения каких-либо операций над объектами в данной системе отсчета и в далвнейшем никакие операции с объектами не меняют выбранной изначалвно ориентации. В частности, ориентация пространства сохраняется при зеркальных отражениях.
1.1.2. Скаляры или тензоры нулевого ранга
    Определение. Скаляром или тензором нулевого ранга называется физическая величина, независящая от ввхбора системах координат и определяемая заданием одного вещественного числа.
    Примерами скаляров в механике являются температура, плотность, энергия и т. и. Не все числа можно назвать скалярами. Например, координаты вектора скалярами не являются, поскольку они зависят от выбора системы координат. Следует отметить, что скалярные величины могут оставаться прежними или изменяться при замене системы отсчета. Например, температура, плотность и внутренняя энергия не меняются при переходе к другой системе отсчета, в то время, как кинетическая энергия зависит от выбора системы отсчета. Скаляры могут быть функциями точек системы отсчета, например распределение температуры в теле. В этом случае рассматривается скалярное поле.
    Будем считать скаляры элементами множества вещественных чисел, T0, на котором введены операции сложения, умножения и деления по правилам элементарной арифметики. Будучи физическими величинами, скаляры имеют размерность. Складывать и вычитать можно только скалярные величины одного типа, имеющие одинаковые размерности. При этом делить и умножать можно скаляры разных размерностей.
1.1.3. Векторное пространство
    Исходным элементом векторного пространства является вектор или тензор первого ранга, понимаемый как направленный отрезок и определяемый своей длиной и направлением. В качестве примера векторных

11

величин в механике можно привести перемещения, трансляционная и угловая скорости, вектор поворота. Нулевым вектором будем называть вектор, длина которого равна нулю. Очевидно, что направление нулевого вектора не имеет значения.
    Введем на множестве векторов четвхре закона композиции.
    1.     Правило сложения векторов однозначнвхм образом ставит в соответствие каждвхм двум векторам одного типа третий вектор того же типа согласно правилу параллелограмма или треуголвника. Легко устанавливаются следующие свойства операции сложения:
    - коммутативности: a + b = b + a;
    - ассоциативность: (a + b) + c = a + (b + c);
    - существование нулевого вектора: a + o = o + a = a;
    - существование противоположного вектора: a + (-a) = o.
    2.     Правило умножения вектора на т^аляр. Любому вектору a и скаляру а можно однозначным образом сопоставить вектор b = aa, имеющий длину |a||a| и направление, совпадающее с направлением a, если а > 0, и противоположное, если а < 0. Принятое правило обладает следующими свойствами:
     (а + P)a = aa + |3a; a(a + b) = aa + |3a; a(^a) = (a^)a.
Тип вектора сохраняется при умножении на полярный скаляр и меняется на противоположный при умножении на аксиальный скаляр.
    Множество векторов с заданными на нем двумя законами композиции, удовлетворяющими перечисленным свойствам, называется линейным векторным пространством.
    3.     Скалярное умножение векторов. Скалярное умножение каждой паре векторов a и b ставит в соответствие скаляр а = a^b = |a||b| cos(a, b) и обладает следующими свойствами:
    - коммутативность: a • b = b • a;
    - дистрибутивность: (oa + |3b) • c = а^ • c) + |3(b • c);
    - положительная определенность: a • a > 0; a • a = 0 О a = o.

12