Вещественный и комплексный анализ: В 6 ч. Ч. 2. Интегральное исчисление функций скалярного аргумента. Ч. 3. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента

Э. И. Зверович

ВЕЩЕСТВЕННЫЙ И КОМПЛЕКСНЫЙ

АНАЛИЗ

В шести частях

Часть 2
Интегральное исчисление
функций скалярного аргумента
Часть 3
Дифференциальное исчисление
функций векторного аргумента

Допущено
Министерством образования Республики Беларусь
в качестве учебного пособия для студентов
математических специальностей учреждений,
обеспечивающих получение высшего образования

Минск
«Вышэйшая школа»
2008

УДК 517(075.8)
ББК 22.16я73
З-43
Р е ц е н з е н т ы :
кафедра
теории
функций,
функционального

анализа
и
прикладной
математики
Гродненского 
государственного университета им. Янки Купалы;
А.П.Старовойтов,
доктор
физико-математических
наук,
профессор кафедры математического анализа Гомельского
государственного университета им. Франциска Скорины

Все права на данное издание защищены. Воспроизведение всей книги

или любой ее части не может быть осуществлено без разрешения
издательства.

Зверович, Э. И.
Вещественный и комплексный анализ: учеб. пособие.
В 6 ч. Ч. 2. Интегральное исчисление функций скалярного 
аргумента. Ч. 3. Дифференциальное исчисление функций
векторного аргумента / Э. И. Зверович. Минск. Выш. шк.,
2008. - 306 с.
ISBN 978-985-06-1305-9.

Во второй части учебного пособия излагается теория неопределенного 
интеграла, теория определенного интеграла Римана,
несобственные интегралы, интеграл Римана — Стилтьеса, и некоторые 
приложения. В третьей части рассматриваются алгебраические, 
топологические и метрические свойства конечномерных
векторных пространств, пределы и непрерывность отображений 
конечномерных векторных пространств, дифференциальное
исчисление таких отображений и некоторые его приложения.
Для студентов математических специальностей вузов.
УДК 517(075.8)
ББК 22.16Я73

c⃝Зверович Э.И., 2008
I SBN 978-985-06-1305-9(ч.2,3)
c⃝Издательство «Вышэйшая
школа», 2008

Предисловие

Во второй части учебного пособия излагаются: теория
неопределенного интеграла, теория определенного интеграла 
Римана, несобственные интегралы, а также приложения
интегрального исчисления к вычислению площадей плоских
фигур, длин дуг кривых, площадей поверхностей вращения
и объемов некоторых тел. В качестве дополнительного материала 
включена глава, посвященная теории интеграла Рима-
на — Стилтьеса. Кроме того, дается теория криволинейных
интегралов по плоским кривым.
Нумерация глав продолжает нумерацию глав первой части. 
Сохранена также линия на сближение учебных дисциплин
вещественного и комплексного анализа. Например, обоснование 
теоремы об интегрировании рациональных функций и
метода Остроградского дано с использованием основной
теоремы алгебры комплексных чисел. Кроме того, теория
определенного интеграла излагается не только для вещественнозначных, 
но и для комплекснозначных функций.
Введено также понятие «обобщенной первообразной», которое 
использовано при доказательстве «второй теоремы о
среднем». Теория несобственных интегралов изложена без
подразделения их на интегралы 1-го и 2-го рода, что также
ведет к экономии учебного времени.
В третьей части излагаются алгебраические, топологические 
и метрические свойства конечномерных векторных пространств, 
пределы и непрерывность отображений конечно-
мерных векторных пространств, дифференциальное исчисление 
таких отображений и некоторые его приложения (экстремумы 
функций векторного аргумента, теоремы о неявных и
обратных отображениях, условный экстремум). Отметим одну 
особенность принятого здесь изложения: под отображением 
понимается векторнозначное отображение, а в тех случаях,
когда отображение скалярнозначное, оно обычно называется
функцией.
В основном тексте даются образцы решения типовых задач. 
В конце каждой главы приведены небольшие подборки
задач, дополняющие основной текст. Эти подборки составила

доцент О.Б. Долгополова. Ссылки на литературные источники 
даются в квадратных скобках.
Из огромного количества имеющейся учебной литературы
по математическому анализу в списке литературы представлены 
учебники и учебные пособия [2–7], [9–12], а также задачники [
1], [8]. Учебники и пособия подобраны по принципу
близости по содержанию и методике изложения к предлагаемому 
мною учебному пособию. К тому же по крайней мере
большинство книг [1–12] доступны студентам университетов
Республики Беларусь.
Выражаю
благодарность
профессорам
В.Г.
Кротову,
П.П.
Забрейко
и
кандидату
физико-математических
наук 
Е.К. Щетникович за квалифицированную помощь при
подготовке оригинала в издательской системе LATEX 2ε, а также 
доценту Т.Н. Жоровиной за тщательное вычитывание
оригинала. Выражаю благодарность рецензентам: ректору
Гродненского
государственного
университета
профессору
Е.А. Ровбе и профессору того же университета Ю.М. Вуву-
никяну, а также профессору Гомельского государственного
университета А.П. Старовойтову.
Э.И. Зверович

9. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

9.1.
ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ.
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ТАБЛИЦА
ОСНОВНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

9.1.1.
Первообразная функция
и неопределенный интеграл

В
дифференциальном
исчислении
рассматривалась
задача
нахождения
производной
от
заданной
функции.
В интегральном исчислении возникает обратная задача:
найти функцию, если известна ее производная. Настоящая
глава посвящена изложению основных способов решения этой
задачи. При этом всегда предполагается, что подынтегральная 
функция рассматривается как функция, определенная
на некотором промежутке.
Определение 9.1. Функция F называется перво´образной 
по отношению к функции f : ⟨a , b⟩ −→ C на промежутке ⟨
a , b⟩ ⊂ R, если на этом промежутке функция F
дифференцируема, причем1 F ′ = f.

Так как производная постоянной функции тождественно
равна нулю, то первообразная функции, тождественно равной 
нулю, равна произвольной постоянной. Более того, в силу
теоремы Лагранжа о конечных приращениях любая функция,
первообразная к функции f(x) ≡ 0 на промежутке ⟨a , b⟩, равна 
произвольной постоянной. Отсюда заключаем, что если
функция F — первообразная к f на ⟨a , b⟩, то любая другая
функция, первообразная к f на ⟨a , b⟩, представима в виде
F(x) + C, где C — некоторая постоянная.

1Напомним, что равенства типа F ′ = f понимаются в следующем
смысле: F ′(x) = f(x) для всех x.

9.1. Первообразная функция. Неопределенный интеграл
7

Определение
9.2.
Неопределенным
интегралом
от
функции f на некотором промежутке называется обозначаемая 
символом
f(x) dx общая формула, представляющая
все функции, первообразные к функции f на заданном промежутке, 
и только эти функции.
В силу этого определения и сделанного выше замечания
имеем
f(x) dx := F(x) + C,
(9.1)

где F — любая первообразная для f, а C — произвольная
постоянная. Равенства, аналогичные (9.1), т.е. содержащие
неопределенные интегралы, понимаются в следующем смысле: 
две функции считаются равными, если разность между
ними — некоторая функция, постоянная на данном промежутке.

Поясним обозначение для неопределенного интеграла.
Символ
— стилизованная буква S — называется знаком 
интеграла; f(x) называется подынтегральной функцией;
f(x) dx — подынтегральным выражением (дифференциалом).
Задача нахождения неопределенного интеграла (или, что
равносильно, первообразной) по заданной подынтегральной
функции f называется задачей (неопределенного) интегрирования. 
Решение этой задачи существует не для всякой функции 
f. Из теоремы Дарбу [2, гл. 7] следует, что для существования 
первообразной от функции f необходимо, чтобы
эта функция принимала в некоторых точках промежутка все
значения, заключенные между значениями на концах этого
промежутка. Таким свойством обладают, например, функции,
непрерывные на отрезке, и в следующей главе будет доказано,
что все они имеют первообразные. С другой стороны, кусочно-
постоянные функции (рис. 1), определенные на отрезках, не
принимают всех промежуточных значений, и потому на этих
отрезках не существует и функций, первообразных к данным
кусочно-постоянным функциям.
Отметим простейшие свойства неопределенного интеграла.

1◦. Интеграл от дифференциала функции F равен F(x) +

9. Неопределенный интеграл

+C, где C — произвольная постоянная, т.е.
dF(x) = F(x) + C .

◀ Так как F — пер-

-

6

O
X

Y

Рис. 1. График кусочно-постоянной
функции

вообразная для F ′, то в
силу равенства (9.1) имеем
dF(x) =
F ′(x) dx =

= F(x) + C .
▶

2◦. Дифференциал от неопределенного интеграла равен
подынтегральному выражению, т.е.

d
f(x) dx
= f(x) dx .

◀ Из равенства (9.1) получим

d
f(x) dx
= d(F(x) + C) =

= dF(x) + dC = F ′(x) dx = f(x) dx . ▶

3◦. Производная от неопределенного интеграла равна
подынтегральной функции, т.е.

d
dx

f(x) dx
= f(x) .

◀ Из равенства (9.1) находим

d
dx

f(x) dx
= d

dx(F(x) + C) = F ′(x) + d

dx C = f(x) . ▶

Эти свойства показывают, что операции интегрирования
и дифференцирования являются в некотором смысле взаимно
обратными.

9.1. Первообразная функция. Неопределенный интеграл
9

9.1.2.
Непосредственное (табличное)
интегрирование

Учитывая, что
f(x) dx = F(x) + C
⇐⇒
F ′(x) = f(x) ,
(9.2)

можно в некоторых случаях найти первообразную на основании 
формул для производных от элементарных функций.
Например,

sin x dx = − cos x + C ,
так как
d
dx(− cos x) = sin x ;

dx

x2 + 1 = arctg x + C ,
так как
d
dx arctg x =
1

x2 + 1 ;

dx

x − λ = ln |x − λ| + C ,
так как
d
dx ln |x − λ| =
1

x − λ .

Во многих случаях отыскание первообразной с помощью
попытки обращения операции дифференцирования не представляет 
больших затруднений, например

e2xdx = 1

2

e2xd(2x) = e2x

2 + C .

Читателю рекомендуется запомнить следующую таблицу
интегралов от некоторых (часто встречающихся) элементарных 
функций:

0 · dx = C ;
dx = x + C ;

xαdx = xα+1

α + 1 + C ,
α ̸= −1 ;

dx

x = ln | x| + C ;

9. Неопределенный интеграл

axdx = ax

ln a + C ,
a ̸= 1 , a > 0 ;

exdx = ex + C ;

dx

x2 − a2 = 1

2a ln
x − a
x + a

+ C , a ̸= 0

(формула «короткого логарифма»);

dx
√

x2 + α
= ln
x +
√

x2 + α
+ C , α ̸= 0

(формула «длинного логарифма»);

dx

x2 + a2 = 1

a arctg x

a + C , a > 0 ;

dx
√

a2 − x2 = arcsin x

a + C , a > 0 ;

sin x dx = − cos x + C ;
cos x dx = sin x + C ;

dx

cos2 x = tg x + C ;

dx

sin2 x = − ctg x + C ;

tg x dx = − ln |cos x| + C ;
ctg x dx = ln |sin x| + C .

Каждая формула этой таблицы справедлива в любом промежутке, 
содержащемся в естественной области определения
соответствующей подынтегральной функции. Читателю предлагается 
проверить все формулы таблицы интегралов с помощью 
дифференцирования.

Иногда в таблицу включают следующие интегралы, содержащие 
под знаком интеграла гиперболические функции: