Математическая статистика. Практикум
Покупка
Основная коллекция
Тематика:
Математическая статистика
Издательство:
НИЦ ИНФРА-М
Авторы:
Апалькова Тамара Геннадьевна, Глебов Владимир Ильич, Зададаев Сергей Алексеевич, Криволапов Сергей Яковлевич, Левченко Кирилл Геннадиевич
Год издания: 2024
Кол-во страниц: 254
Дополнительно
Вид издания:
Учебное пособие
Уровень образования:
ВО - Магистратура
ISBN: 978-5-16-017913-1
ISBN-онлайн: 978-5-16-110927-4
Артикул: 777801.02.01
Доступ онлайн
В корзину
В учебном пособии приведены условия задач и решения примеров по основным разделам математической статистики с использованием Microsoft Excel и языка R.
Соответствует требованиям федеральных государственных образовательных стандартов высшего образования последнего поколения.
Для студентов высших учебных заведений, обучающихся по экономическим специальностям.
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
- ВО - Бакалавриат
- 38.03.01: Экономика
- 38.03.02: Менеджмент
- 38.03.03: Управление персоналом
- 38.03.04: Государственное и муниципальное управление
- 38.03.05: Бизнес-информатика
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. ПРАКТИКУМ Т.Г. АПАЛЬКОВА В.И. ГЛЕБОВ С.А. ЗАДАДАЕВ С.Я. КРИВОЛАПОВ К.Г. ЛЕВЧЕНКО УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ Москва ИНФРА-М 202
УДК 519.22(075.8) ББК 22.172я73 А76 Р е ц е н з е н т ы: Н.В. Белотелов, кандидат физико-математических наук, доцент, старший научный сотрудник Федерального исследовательского центра «Информатика и управление» Российской Академии Наук; О.В. Шашков, кандидат физико-математических наук, доцент, до- цент департамента математики Финансового университета при Правительстве Российской Федерации ISBN 978-5-16-017913-1 (print) ISBN 978-5-16-110927-4 (online) © Апалькова Т.Г., Глебов В.И., Зададаев С.А., Кривола пов С.Я., Левченко К.Г., 2023 Апалькова Т.Г. А76 Математическая статистика. Практикум : учебное пособие / Т.Г. Апалькова, В.И. Глебов, С.А. Зададаев [и др.]. — Москва : ИНФРА-М, 2024. — 254 с. — (Высшее образование). — DOI 10.12737/1896790. ISBN 978-5-16-017913-1 (print) ISBN 978-5-16-110927-4 (online) В учебном пособии приведены условия задач и решения примеров по основным разделам математической статистики с использованием Microsoft Excel и языка R. Соответствует требованиям федеральных государственных образова- тельных стандартов высшего образования последнего поколения. Для студентов высших учебных заведений, обучающихся по экономи- ческим специальностям. УДК 519.22(075.8) ББК 22.172я73
Авторский коллектив Финансового университета при Правительстве Российской Федерации Апалькова Тамара Геннадьевна — кандидат экономических наук, доцент, доцент департамента математики. Глебов Владимир Ильич — кандидат физико-математических наук, доцент, доцент департамента математики. Зададаев Сергей Алексеевич — кандидат физико-математических наук, доцент, руководитель департамента математики. Криволапов Сергей Яковлевич — кандидат физико-математических наук, доцент, доцент департамента математики. Левченко Кирилл Геннадиевич — кандидат физико-математических наук, доцент департамента математики.
Основные обозначения ( ) A P — вероятность события A. ( ) | A B P — условная вероятность события A при условии события B. ( ) X F x — функция распределения случайной величины X. ( ) X f x — плотность распределения случайной величины X. ( ) X E — математическое ожидание случайной величины X. 2 ( ), X X σ Var — дисперсия случайной величины X. X σ — стандартное (среднее квадратическое) отклонение случайной величины X. ( ) k X ν — начальный момент k-го порядка случайной величины X. ( ) k X μ — центральный момент k-го порядка случайной величины X. X A — коэффициент асимметрии случайной величины X. X E — коэффициент эксцесса случайной величины X. med x — медиана случайной величины X. mod x — мода случайной величины X. xα — квантиль уровня α случайной величины X. 1 x α −α ω = — 100 % α -ная точка случайной величины X. Bin( ; ) n p — случайная величина, распределенная по биномиальному закону с параметрами n и p. Pois( ) λ — случайная величина, распределенная по закону Пуас- сона с параметром λ. Geom( ) p — случайная величина, распределенная по геометрическому закону с параметром p. ( ; ) a σ — случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами a и σ. zα — квантиль уровня α стандартной нормально распределенной случайной величины X. ( , ) a σ — случайная величина, распределенная по логнор- мальному закону с параметрами a и σ. Unif( ; ) a b — случайная величина, равномерно распределенная на отрезке [ ; ] a b . Exp( ) λ — случайная величина, равномерно распределенная по экспоненциальному закону с параметром λ. n T — случайная величина, распределенная по закону Стьюдента с числом степеней свободы n. ;n tα — квантиль уровня α случайной величины, распределенной по закону Стьюдента с числом степеней свободы n.
2n χ — случайная величина, распределенная по закону хи-квадрат с числом степеней свободы n. 2;n α χ — квантиль уровня α случайной величины, распределенной по закону хи-квадрат с числом степеней свободы n. ;n k F — случайная величина, распределенная по закону Фишера с числом степеней свободы n и k. ; ;n k fα — квантиль уровня α случайной величины, распределенной по закону Фишера с числом степеней свободы n и k. cov( , ) X Y — ковариация случайных величин X и Y. xy r — коэффициент корреляции случайных величин X и Y. ( )i x — элемен ты вариационного ряда. x — выборочное среднее. ( ) 2 2 1 ˆ 1 n i X i x x n = σ = − ∑ — выборочная дисперсия, смещенная оценка дисперсии генеральной совокупности. 2 ˆ ˆ X X σ = + σ — выборочное стандартное отклонение. ( ) 2 2 1 1 1 n i i s x x n = = − − ∑ — исправленная (уточненная) выборочная дисперсия, несмещенная оценка дисперсии генеральной совокупности. 2 s s = + — исправленное выборочное стандартное отклонение.
Предисловие Учебное пособие содержит краткие теоретические сведения по основным разделам математической статистики. Каждый раздел снабжен примерами решения задач и содержит большое количество задач для самостоятельного решения. Для задач приведены ответы (если не предполагается случайного ответа). Цель предлагаемого пособия — помочь студентам, изучающим математическую статистику, приобрести навыки применения ее результатов к решению различных прикладных вопросов. Подбор материала является традиционным для курса математической статистики, излагаемого студентам экономических специальностей университетов, и включает предварительную обработку и визуализацию данных, точечное и интервальное оценивание параметров, проверку гипотез, элемен ты дисперсионного анализа. В главе 1 приводится справочный материал о математических средствах языка R, используемых в дальнейшем изложении. В главе 2 рассмотрены методы первичной обработки статистических данных, средства визуализации данных в R и Excel. В главе 3 рассмотрены выборочные характеристики случайных величин, методы получения описательной статистики средствами R и Excel. В главе 4 рассматриваются средства оценивания функции распределения и плотности распределения. Глава 5 посвящена точечному оцениванию основных параметров случайных величин. Подробно рассмотрены свойства получаемых оценок. В главе 6 рассматриваются два основных метода получения точечных оценок: метод момен тов и метод максимального правдоподобия. Глава 7 посвящена интервальному оцениванию. Рассмотрены методы получения интервальных оценок математического ожидания, дисперсии и вероятности события, в том числе с использованием соответствующих функций языка R. В главе 8 рассматриваются методы проверки гипотез. Изучены критерии, касающиеся математического ожидания, дисперсии и вероятности события: критерии согласия (хи-квадрат, Колмогорова, критерии нормальности); критерии однородности (хи-квадрат и Колмогорова — Смирнова) и независимости; непараметрические критерии Уилкоксона и Манна — Уитни. Глава 9 посвящена введению в дисперсионный анализ. Рассмотрены методы однофакторного и двухфакторного дисперсионного анализа и их реализации в Excel и R.
Пособие соответствует требованиям ФГОС ВПО к профессиональным образовательным программам по специальности 38.03.01 «Экономика». Предназначено для студентов экономических специальностей. В результате изучения материалов учебного пособия студент будет: знать • основные понятия теории вероятностей и математической статистики; • методы точечного и интервального оценивания параметров случайных величин; • способы проверки статистических гипотез о параметрах и законах случайных величин; уметь • выбирать вероятностные модели, подходящие для исследования соответствующих случайных признаков; • моделировать с помощью метода статистических испытаний случайные признаки, описывающие статистические системы; • использовать компьютерные технологии при реализации математических методов и моделей; владеть навыками • вычислительной работы в Excel и RStudio.
Глава 1. ВВЕДЕНИЕ В СРЕДСТВА ЯЗЫКА R Установка. Для установки R по ссылке https://cran.r-proect.org скачайте загрузчик R. Для установки RStudio по ссылке https:// www.rstudio.com/products/rstudio/downloads/ скачайте загрузчик RStudio. Оператором комментария является символ решетки #. Строчные и прописные буквы различаются. Для вывода на экран нужно набрать имя переменной или использовать функцию печать print(). Для вывода справки о функции с именем F — набрать ?F. Загрузка библиотек. Библиотеки, отсутствующие в базовой версии языка, необходимо установить один раз для каждого компьютера. Например, требуется библиотека Matrix. Команда для установки — install.packages("Matrix"). В дальнейшем всякий раз, когда нужно использовать этот пакет, необходимо в начале сессии запускать команду активации: library(Matrix). Арифметические операции. Присваивание: x < –10 или x = 10. Сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень: +, −, *, /, ^. Целочисленное деление: целая часть — %/%; остаток от деления — %%. Типы данных. Логические (logical): TRUE — истина; FALSE — ложь. Проверка на равенство: ==. Пример 1.1 a <- 5 a == 4 FALSE Целочисленные (integer). Вещественные числа (numeric). Комплексные числа (complex). Текстовые (character). Списки (list). Проверить тип. Пример 1.2 x <- 1:7 is.integer(x) TRUE
Векторы. Могут содержать данные только одного типа. Способы задания векторов 1. Функция c(). Пример 1.3 c(1,3,7) print(c) 1,3,7 2. Совокупность последовательных целых чисел. Пример 1.4 1:10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5:0 5 4 3 2 1 0 3. Функция seq(from, to, by). Пример 1.5 seq(2, 14, 3) 2 5 8 11 14 4. Совокупность одинаковых чисел: rep(x, times). Пример 1.6 rep(0,5) 0 0 0 0 0 Индексирование Пример 1.7 a <- 11:20 print(a[3]) 13 print(a[6:8]) 16 17 18 print(a(c(2,4,6))) 12 14 16 Все, кроме первых пяти: print(a[−c(1:5)]) 16 17 18 19 20
С помощью условного оператора: print(a[a > 18]) 19 20 print(a[a > 10 & a < 15]) # & — "". 11 12 13 14 print(a[a == 12 | a == 20]) # | — "". 12 20 Атрибуты вектора Тип данных — функция mode(). Длина вектора — функция length(). Пример 1.8 a <- c(1,4,8) mode(a) "numeric" length(a) 3 Действия над векторами. Арифметические операции выполняются почленно: a <- c(1,2,3) b <- c(5,0,-1) print(a+b) 6 2 2 print(a*b) 5 0 -3 print(2^b) 32.0 1.0 0.5 Скалярное произведение векторов: crossprod(a,b) 2 Сортировка — функция sort() Пример 1.9 a <- c(7,3,5,9,6,3,4) b <- sort(a) print(b) 3 3 4 5 6 7 9 c <- sort(a, decreasing=TRUE) # # print(c) 9 7 6 5 4 3 3
Доступ онлайн
В корзину