Вероятностные структуры макромира: землетрясения, ураганы, наводнения...

ВЕРОЯТНОСТНЫЕ СТРУКТУРЫ 
МАКРОМИРА:

Г.С. Голицын

ЗЕМЛЕТРЯСЕНИЯ,
УРАГАНЫ,
НАВОДНЕНИЯ...

УДК 550.3
ББК 26.2
Г 60

Го л и ц ы н Г. С. Вероятностные структуры макромира: землетрясения, 
ураганы, наводнения... — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2021. — 176 с. —
ISBN 978-5-9221-1922-1.

В
начале
1930-х
гг.
Андрей
Николаевич
Колмогоров
разработал
аналитические методы теории вероятностей. В последующие десятилетия
его ближайшие ученики и коллеги А. М. Обухов, А. М. Яглом, А. С. Монин,
Г. И. Баренблатт применили эту методику к исследованию реальных случайных
процессов, в первую очередь турбулентности. В настоящей книге на основе
теории Колмогорова рассмотрены землетрясения с их параметром подобия,
спектры морского ветрового волнения, энергетический спектр космических
лучей; объяснены природа рельефов поверхностей небесных тел (правило
Каулы), природа ураганов и сходных вихрей с оценкой их мощностей, законы
затопления
осадками
земной
поверхности;
дан
вывод
основных
законов
конвекции, в том числе во вращающейся жидкости. Эти закономерности
десятки лет оставались эмпирическими, но использование законов теории
вероятностей возводит их в ранг законов природы.
Книга предназначена широкому кругу научных работников, студентов и аспирантов, 
интересующихся конкретными и общими природными закономерностями 
и методами их изучения и постижения. Подобные методы могут быть
использованы и в других областях знаний.

ISBN 978-5-9221-1922-1

c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2021

c⃝ Г. С. Голицын, 2021

The aim of the science is to find of view
from which the problem can be solved
most simply and naturally.
J. W. Gibbs

Случайность — необходимый, если
не важнейший элемент мироздания, но
в ней есть определенный порядок, ведущий 
к конкретным, часто устойчивым
структурам. Устойчивость ограничена во
времени и пространстве, которые свои
в конкретных ситуациях.
А. Н. Колмогоров

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8

§ 1. Необходимые сведения из теории случайных процессов . .. . . .
13
1.1. Корреляционные и структурные функции, спектры
энергии . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.2. Дельта-коррелированные случайные процессы . .. . . . . .
17
1.3. Моменты функций распределения А. Н. Колмогорова . .
20
1.4. Поток случайных событий . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .
22
1.5. Специальные показатели спектров и их смысл . .. . . . . .
24
1.6. Некоторые следствия результатов А. Н. Колмогорова
1934 года . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
Приложение . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
Литература
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .
29

§ 2. Турбулентность . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
2.1. Турбулентность Колмогорова–Обухова . .. . . . . . . . . . . .
31
2.2. Турбулентность пассивного скаляра . .. . . . . . . . . . . . . .
33
2.3. Спиральность и спиральная турбулентность . .. . . . . . . .
34
2.4. Двумерная турбулентность
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .
37
Литература
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40

§ 3. Землетрясения . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
3.1. Статистика землетрясений . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
3.2. Теория подобия для ЗТ . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .
44
3.3. Наведенные землетрясения . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
3.4. Акустический шум нагруженных кристаллов . .. . . . . . .
50
3.5. Звездотрясения . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
Литература
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .
54

§ 4. Спектр космических лучей . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
Литература
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61

§ 5. Турбулентность и вращение. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
5.1. Мезомасштабная турбулентность . .. . . . . . . . . . . .. . . .. .
62
5.2. Процесс слияния вихрей . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
Литература
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68

Оглавление

§ 6. Морские ветровые волны . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
6.1. Характеристики волнения и критерии подобия . .. . . . . .
70
6.2. Законы разгона . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
6.3. Частотный спектр волнения . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
Литература
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .
76

§ 7. Турбулентная диффузия в атмосфере и на поверхности океана
78
7.1. Атмосферная диффузия . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
7.2. Коэффициент горизонтальной турбулентной диффузии
на водной поверхности в зависимости от возраста волн
82
Литература
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89

§ 8. Статистическая структура рельефа небесных тел — правило
Каулы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
Литература
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97

§ 9. Случайные движения при заданном вращении (ураганы и др.)
98
9.1. Масштабы явлений и параметры подобия . .. . . . . . . . . .
98
9.2. Ураганы
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
9.3. Ураганоподобные вихри . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. .. . . . 107
Литература
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

§ 10. Распределения по размерам для озер и рек. Ущерб от наводнений . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
110
10.1. Распределения для рек и озер . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . 110
10.2. Число
наводнений
в
зависимости
от
понесенного
ущерба . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
10.3. Статистика мутьевых «грибов» на поверхности океана
вблизи устьев рек . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
Литература
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 118

§ 11. Добавления и комментарии к предыдущим разделам . .. . . . . 119
11.1. Правило скорейшей реакции на внешние воздействия
119
11.2. Природа третьих степеней у показателей в статистических 
законах природных процессов . .. . . . . . . . . . . . . . 124
11.3. Кумулятивные распределения по площадям . .. . . . . . . 126
11.4. Распределение по энергии числа объектов, падающих
на Землю . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 131
11.5. Экспериментальная проверка масштабов Колмогорова
(1.31–1.33) в законах эволюции турбулентного сферического 
пламени . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 132
11.6. Примеры из теории упругости . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 134
Литература
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

Оглавление
7

§ 12. Подобие и размерность, правила действий . .. . . . . . . . . . . . . 136
Литература
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

§ 13. Конвекция. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
13.1. Введение . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
13.2. Основные уравнения . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
13.3. Конвективная неустойчивость
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . 148
13.4. Временные критерии и теплопередача . .. . . . . . . . . . . . 150
13.5. Конвекция во вращающейся жидкости . .. . . . . . . . . . . 155
Литература
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 166

Послесловие . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
Литература
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

Предисловие

За
долгую
научную
карьеру,
начавшуюся
фактически
с 1955 г., я занимался целым рядом процессов в атмосфере, в океане, 
в астрофизике и в некоторых из них оставил, хочется думать,
заметный след. Написано около 350 статей, из которых свыше
60 мною одним, 6 монографий. Эта книга по выходе будет седьмой.
Я много преподавал: на кафедре физики атмосферы физического
факультета МГУ им. М. В. Ломоносова в 1975–2010 гг. и с 1973
по 2019 гг. на кафедре термогидродинамики океана Московского
физико-технического института. Преподавание послужило стимулом 
для написания ряда монографий.
Основные мои достижения до 2012 г. изложены в книге
«Статистика и динамика природных процессов и явлений», М.:
Красанд, 2012, 398 стр. Во время научной деятельности я много
времени отдавал научной, общественной и научно-организационной 
тематике не только в стране, но и за рубежом, участвуя
в различных советах, комитетах, комиссиях, редколлегиях и т. д.
и т. п. С 1988 по 2002 гг. я трижды избирался в члены Президиума 
Академии. С 01.01.1990 по 31.12.2008 я был директором
Института физики атмосферы РАН, т. е. день в день 19 лет.
В эти годы моя трудовая книжка находилась там, и в лихие
1990-е гг. я руководил Институтом на общественных началах,
не отрывая деньги, хоть и мизерные, от фонда зарплаты ИФА.
За это время наш ИФА получал разнообразные иностранные
гранты. В эти годы мной были сделаны существенные работы,
например, объяснен энергетический спектр космических лучей,
закон Гутенберга–Рихтера частота — размер землетрясений, найдены 
закономерности развития ураганов — необходимые, но не
достаточные, для их развития условия и другие. Основой для
построения этих теорий служили теория подобия и размерности,
как и в предыдущих работах.
Однако я помнил конец 1950-х – начало 1960-х гг., когда
многие ученые говорили, что «теория подобия — это подобие
теории» и даже в конце 1990-х гг. после моего доклада в ФИАНе
о спектре космических лучей с меня требовали физической модели, 
т. е. кинетических уравнений. И только в 2017 г. я вдруг
сообразил, что такой моделью в подобных случаях могут слу-

Предисловие
9

жить вероятностные законы Андрея Николаевича Колмогорова
и его школы, доведенные его учениками А. М. Обуховым, потом 
А. М. Ягломом, А. С. Мониным, Г. И. Баренблаттом, развивших 
общие положения своего учителя, до практических методов
и применявших эти методы к конкретным явлениям и процессам,
в первую очередь, к турбулентности (см. §§ 1, 2).
Поэтому пришло время изложить описание многих процессов
именно с точки зрения основной двухстраничной работы Андрея
Николаевича 1934 г., содержащей в себе основы описания не
только турбулентности, как я постиг к середине 2017 г., но
и морского ветрового волнения, тропических и полярных ураганов, 
микроураганов на морской поверхности в виде спиральных
вихрей, открытых спутниками лишь в конце ХХ века, статистической 
структуры неоднородностей гравитационного поля и рельефа 
поверхности небесных тел и т. д. и т. п.
Это все новейшие открытия, глубоко понимаемые лишь
в рамках идей А. Н. Колмогорова 1934 г., доведенных его учениками, 
перечисленными выше, до практических методов описания 
конкретных явлений и процессов. Мне хочется надеяться,
как научному внуку великого математика и естествоиспытателя
и ученику и коллеге перечисленных выше его учеников, что изложенные 
здесь примеры описания конкретных процессов и явлений, 
многие из которых десятилетиями остававшиеся загадками,
послужат основами для понимания смысла будущих открытий.
Вероятностные законы и теория подобия и размерностей — путь
к постижению окружающего нас мира. Здесь еще широкое поле
для истолкования новых открытий.
Первоначально я хотел иметь и третий эпиграф. Вот он:
“Upon this gifted age, in its dark hour,
Rains from the sky a meteoric shower
Of facts ... they lie unquestioned, uncombined
Wisdom enough to leech us of our ill
Is daily spun, but there exists no loom
To weave it into fabric.”
Edna St. Vincent Millay (1892–1950)
Эдна — замечательный американский поэт, известная не
только великолепными стихами, но и бурными романами. Эти
строки четко отражают драматическую ситуацию в науке об
окружающем мире в ХХ веке. Ниже дается мой перевод, приблизительный 
в силу неполного соответствия значений многих
слов в разных языках. Вот он:
В этот одаренный век, в его темный час с неба сыплется
метеорный дождь фактов... они лежат неопрошенные, сами по

Предисловие

себе... Мудрость лечения от наших бед... ежедневная суета, нет
инструмента соткать из фактов единую картину. Для справок:
leech — пиявка, как лечебное средство; loom — ткацкий станок;
fabric — материя и т. п.
Данная книга — что-то вроде попытки выработки единого
взгляда на макромир. Каждый из параграфов писался так, что
после § 1 он мог бы быть понят самостоятельно, но все они
элементы общей картины.
Хочу поблагодарить Веру Григорьевну Кочину за неоценимую
помощь в работе, за неоднократный набор и перенабор параграфов 
книги, которые много раз обсуждались с Евгением Борисовичем 
Гледзером и Отто Гурамовичем Чхетиани, многолетними
сотрудниками.
К предисловию я добавляю два списка. Первый — библиографию 
моих основных работ, относящихся к данной книге. Этот
список позволяет проследить, как, когда и что было сделано.
1. Голицын Г. С. 1960. Флуктуации магнитного поля и плотности 
тока в турбулентном потоке слабо проводящей жидкости. 
Докл. АН СССР, 132(2), 315–318.
2. Голицын Г. С. 1970. Теория подобия для крупномасштабных
движений планетных атмосфер. Докл. АН СССР, 190(3),
323–326.
3. Golitsyn G. S. 1970. A similarity approach to the general
circulation of planetary atmospheres. Icarus, 13(1), 1–24.
4. Голицын Г. С. 1973. Введение в динамику планетных атмосфер. 
Л.: Гидрометеоиздат, 104 с. (NASA transl. TT-15,
627, Dec. 1974).
5. Golitsyn G. S. 1979. Simple theoretical and experimental
study of convection with geophysical applications and analo-
gies. J. Fluid Mech. 95(3), 568–608.
6. Голицын Г. С. 1980. Геострофическая конвекция. Докл.
АН СССР, 251(6), 1356–1360.
7. Голицын Г. С., Грачев А. А. 1981. Среднеквадратичные скорости 
конвекции и теплопередача. Изв. АН СССР. Механика 
жидкости и газа, № 5, 11–18.
8. Голицын Г. С., Грачев А. А., Лапшин А. И. 1984. Тепло-
массообмен при свободной конвекции в многокомпонентной
газовой среде. Докл. АН СССР, 277(4), 858–862.
9. Golitsyn G. S., Grachev A. A. 1986. Free convection of mul-
ticomponent media and parametrization of air-sea interaction
at light winds. Ocean-Air Interaction, 1(1), 57–78.

Предисловие
11

10. Boubnov B. M., Golitsyn G. S. 1986. Experimental study of
convective structures in rotating fluids. J. Fluid Mech. 167,
503–531.
11. Boubnov B. M., Golitsyn G. S. 1990. Temperature and velocity
field regimes of convective motions in a rotating fluid layer.
J. Fluid Mech. 219, 215–239.
12. Голицын Г. С. 1991. Режимы конвекции на различных
вращающихся геофизических и астрофизических объектах.
Изв. АН СССР. ФАО. 27(1), 20–31.
13. Boubnov B. M., Golitsyn G. S. 1995. Convection in Rotating
Fluids. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ. 224 p.
14. Голицын Г. С. 1996. Землетрясения с точки зрения теории
подобия. Докл. РАН. 346(4), 536–539.
15. Голицын Г. С. 1998. Землетрясения на SGR 1806-20 и других 
нейтронных звездах. Письма в Астрон. ж. 24(11),
827–832.
16. Голицын Г. С. 2001. Место закона Гутенберга–Рихтера среди 
других статистических законов природы. Вычисл. сейсмология. № 
32, 138–161.
17. Голицын Г. С. 2004. Статистические закономерности макропроцессов: 
случайные блуждания в пространстве импульсов. 
Докл. РАН, 398(2), 177–180.
18. Голицын Г. С. 2008. Ураганы, полярные и тропические,
их энергия и размеры, количественный критерий их возникновения. 
Изв. РАН. ФАО, 44(5), 579–590.
19. Голицын Г. С. 2009. Энергетический цикл ветровых волн
на поверхности океана и законы разгона. Докл. РАН,
428(5), 686–690.
20. Гледзер Е. Б., Голицын Г. С. 2010. Скейлинг и конечные
ансамбли частиц в движении с притоком энергии. Докл.
РАН. 433(4), 466–470.
21. Голицын Г. С. 2012. О природе спиральных вихрей на поверхности 
морей и океанов. Изв. РАН. ФАО. 48(3), 391–395.
22. Голицын Г. С., Чхетиани О. Г. 2014. Влияние вязкости на
горизонтальную диффузию примеси в поле ветровых волн.
Изв. РАН. ФАО, 50(6).
23. Golitsyn G. S. 2017. On the cumulative distribution of the litho-
spheric plates by their areas. Russ. J. Earth Sci., EC5001,
doi: 10.2205/2017ES000607.
24. Голицын
Г. С.
2018.
Законы
случайных
блужданий
А. Н. Колмогорова 1934 г. Метеорология и гидрология.
№ 3, 5–15.

Предисловие

25. Gledzer E. B., Golitsyn G. S. 2019. Kaula’s rule as a conse-
quence of probability laws by A. N. Kolmogorov and his school.
Russ. J. Earth Sci. ES 60006, doi: 10.2205/2019ES000651.
26. Голицын Г. С., Фортус М. И. 2020. Случайные процессы
со стационарными приращениями и композитные спектры.
Изв. РАН. ФАО. 56(4), 418–427.
27. Голицын Г. С. 2021. Особенности спектра рельефа Луны
и планет. Астрономич. вестник, 55(1), 34–37.
28. Голицын Г. С., Троицкая Ю. И., Байдаков Г. Е. 2021. Анализ 
спектров волнения и законов разгона с точки зрения
вероятностных законов А. Н. Колмогорова и его школы.
Изв. РАН. ФАО., 57(1), 67–71.
Далее идет список наиболее часто встречающихся в тексте
ссылок, которые помечаются сокращенно:
АНК34. Kolmogorov A. N. 1934. Zufallige Bewegungen. Ann.
Math., 35, 116–117. Русский перевод во многих с 1983 г. изданиях 
его трудов.
Г18. Голицын Г. С. 2018. Законы случайных блужданий
А. Н.
Колмогорова 1934
года.
Метеорология и
гидрология,
№ 3, 5–15.
МЯ65. Монин А. С., Яглом А. М. Статистическая гидромеханика. 
М.: ФИЗМАТЛИТ. Т. 1, 1965. English extended edition:
MIT Press. V. 1, 1971.
МЯ67. Монин А. С., Яглом А. М. Статистическая гидромеханика. 
М.: ФИЗМАТЛИТ. Т. 2, 1967. English extended edition:
MIT Press. V. 2, 1975.
ГлГ10. Гледзер Е. Б., Голицын Г. С. 2010. Скейлинг и конечные 
ансамбли частиц в движении с притоком энергии. Докл.
РАН. 433(3), 466–470.
BPW. Bridgman P. W. Dimensional Analysis. Yale Univ. Press,
1921, 1-st ed., 1932, 2-nd ed. (русский перевод: Бриджман П. В.
Анализ размерностей. М.–Ижевск: РХД, 2001).
Б09. Баренблатт Г. И. 2009. Автомодельные явления — анализ 
размерностей и скейлинг. Долгопрудный: Интеллект. (Baren-
blatt G. I. Scaling. CUP, 2002).
Г12. Голицын Г. С. Статистика и динамика природных процессов 
и явлений. М.: Красанд, 2012, 398 стр.
ФАО — Физика атмосферы и океана.

§ 1. Необходимые сведения из теории
случайных процессов

1.1. Корреляционные и структурные функции,
спектры энергии

Для удобства читателя мы приведем здесь основные формулы
теории случайных процессов, необходимые при дальнейшем изложении 
материалов. Многие из них известны, другие находятся 
в малодоступных изданиях, некоторые приводятся впервые.
Эти формулы, в основном касающиеся первых двух моментов
распределений вероятностей, несложны как по выводу, так и по
содержанию, но просто недостаточно широко известны. Некоторые 
из них могут быть получены из соображений подобия и размерности, 
так что представленный здесь материал может служить 
дополнительным обоснованием для их правильности и пределов 
применимости, а также для анализа эмпирических данных.
Изложение будет вестись для временных процессов, т. е. для
процессов в пространстве одного измерения. Статистическая теория 
случайных векторных полей была развита А. М. Обуховым
в 1940-х гг., и ее изложение можно найти во II томе книги
А. С. Монина и А. М. Яглома, МЯ, далее МЯ67.
Рассмотрим стационарный во времени случайный процесс a(t),
для которого существует среднее значение

⟨a⟩ = lim
T→∞
1
T

T0

a(t) dt
(1.1)

и корреляционная функция

Ba(τ) = ⟨a(t + τ)a(t)⟩ = σ2
af(τ),
σ2
a ≡ a2.
(1.2)

Ей соответствует преобразование Фурье, называемое спектральной 
плотностью энергии рассматриваемого процесса:

Ea(ω) = 2

π

∞0

Ba(τ) cos ωτ dτ,
(1.3)