Математические модели и экспериментальные исследования — основа конструирования гетерогенных антифрикционных материалов

УДК 539.3:531.43
ББК 22.253
К 60

К о л е с н и к о в В. И., Б е л я к О. А. Математические модели и экспериментальные 
исследования — основа конструирования гетерогенных
антифрикционных материалов. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2021. — 216 с. —
ISBN 978-5-9221-1916-0.

Монография посвящена исследованию теоретических и экспериментальных 
закономерностей, возникающих при динамических и квазистатических
воздействиях на гетерогенные антифрикционные композиционные материалы.
Теоретические исследования проведены на основе модельных задач, решения
которых построены развитием подходов, применяемых для решения смешанных
задач теории упругости, контактных задач в динамической и квазистатической 
постановке для оснований, снабженных микроструктурой. Теоретические
выводы подтверждены натурными экспериментами, выполненными современными 
средствами и методами, а также результатами, полученными в рамках
других моделей. При этом микроструктура гетерогенных сред с дискретными 
и непрерывными фазами была учтена в рамках моделей микромеханики
и Био–Френкеля. Также рассматриваются вопросы неразрушающего контроля
идентификации дефектов в форме полостей в анизотропных многофазных
средах.
Книга адресована научным и инженерно-техническим работникам, аспирантам, 
специализирующимся в области теории упругости, механики контактных 
взаимодействий, механики сплошных сред, экспериментальной механики,
материаловедения, трибологии.

Р е ц е н з е н т ы:

д-р физ.-мат. наук, академик РАН В. А. Бабешко;
д-р физ.-мат. наук, проф. Б. М. Лагутин

ISBN 978-5-9221-1916-0

c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2021

c⃝ В. И. Колесников, О. А. Беляк, 2021

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6

Г л а в а 1.
Технологии конструирования и экспериментальное изучение 
трибологических и механических свойств полимерных
композитов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.1. Технология изготовления полимерных гетерогенных композитов
с наноразмерными составляющими . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .
15
1.2. Микроскопические и макроскопические исследования структуры
композитов на основе фенилона . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
1.3. Оборудование и методы исследования трибологических характеристик 
композиционных материалов. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29

Г л а в а 2.
Математические модели, описывающие микроструктуру
гетерогенных сред . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
2.1. Определение эффективных модулей гетерогенных сред методами
микромеханики . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
2.1.1. Влияние различных форм объемных включений и их ориентации 
на эффективные модули многофазных материалов.
Комплексирование натурных и численных экспериментов при
нахождении эффективных модулей гетерогенных сред . .. . . .
40
2.2. Математические модели, описывающие флюидосодержащие пористые 
среды, на основе систем дифференциальных уравнений в частных 
производных . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
2.3. Моделирование насыщенных и частично насыщенных флюидом
композитов и определение механических характеристик сред Био
65

Г л а в а 3.
Контактные задачи при наличии сил трения, моделирующие 
напряженно-деформированное состояние гетерогенных
композитов при вибрации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
3.1. Вибрация штампа при наличии трения на поверхности полупространства, 
обладающего микроструктурой . .. . . . . . .. . . . . . . . . .
68
3.1.1. Постановка задачи о вибрации штампа при наличии трения
на поверхности полупространства, обладающего микроструктурой . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69
3.1.2. Построение матрицы Грина задачи об установившихся колебаниях 
полупространства, обладающего микроструктурой . .
70
3.1.3. Сведение краевой задачи о колебаниях штампа на полуогра-
ниченном основании, при учете трения в области контакта,
к интегральному уравнению. Свойства ядра интегрального
уравнения . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
3.1.4. Регуляризация и приближенное решение интегрального уравнения . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

Оглавление

3.1.5. Численный анализ результатов решения задачи об установившихся 
колебаниях штампа на поверхности гетерогенного
полупространства при учете трения в области контакта . .. . .
89
3.1.6. О влиянии взаимодействия фаз и степени насыщенности гетерогенного 
основания на контактные давления при колебаниях
штампа с учетом трения в области контакта . .. . . . . . . . . .
97
3.2. Вибрация штампа при наличии трения на поверхности гетерогенного 
слоя . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
105
3.2.1. Постановка задачи о вибрации штампа при наличии трения 
на поверхности гетерогенного слоя. Построение матрицы
Грина . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
105
3.2.2. Сведение краевой задачи о колебаниях на гетерогенном слое
штампа (при наличии трения в области контакта) к интегральному 
уравнению. Свойства ядра интегрального уравнения . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

111
3.2.3. Построение приближенного решения интегрального уравнения. 
Численный анализ результатов решения контактной задачи 
о колебаниях штампа на поверхности гетерогенного слоя
при учете трения в области контакта . .. . . . . . . . . . . . . . .
117
3.3. Вибрация штампа с учетом трения в области контакта на поверхности 
гетерогенной среды с покрытием . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
122
3.3.1. Постановка задачи о вибрации штампа при наличии трения
на поверхности двухслойного гетерогенного полупространства 
и слоя. Построение матрицы Грина. Структура спектра
двухслойной гетерогенной среды . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
122
3.3.2. Сведение краевой задачи об установившихся колебаниях
двухслойного гетерогенного полупространства к интегральному 
уравнению и построение его решения . .. . . . . . . . . . .
127

Г л а в а 4.
Контактные задачи с учетом сил трения, моделирующие
напряженно-деформированное состояние гетерогенных композитов 
при движении штампа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
134
4.1. Постановка задачи о движении штампа при учете трения по гетерогенному 
полупространству. Сведение краевой задачи к интегральному 
уравнению. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
135
4.2. Построение приближенного решения интегрального уравнения контактной 
задачи о движении штампа с плоским и параболическим
основанием по гетерогенному полупространству при учете трения
139
4.3. Численный анализ результатов решения контактной задачи о движении 
штампов с различной формой основания по гетерогенному
полупространству. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
141

Г л а в а 5.
Гетерогенныесредыс внутреннимидефектами в условиях
динамического нагружения. Идентификация дефектов . . . . . . .
148
5.1. Постановка и решение задач о колебаниях слоя, ослабленного цилиндрическими 
полостями. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
149
5.1.1. Постановка задач о колебаниях слоя, ослабленного цилиндрическими 
полостями. Сведение краевых задач к граничным
интегральным уравнениям
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
150
5.1.2. Асимптотический метод при решении задач о колебаниях
слоя с полостью малого характерного размера . .. . . . . . . . .
158

Оглавление
5

5.2. Численный анализ результатов решения задач о колебаниях слоя
с цилиндрическими полостями . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
164
5.2.1. Исследование задач о колебаниях слоя с полостями на основе
конечно-элементного метода . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
165
5.2.2. Построение численного решения задач о колебаниях слоя
с полостями на основании метода граничных интегральных
уравнений . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
170
5.3. Обратные геометрические задачи идентификации дефекта в виде
цилиндрической полости . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .
179
5.3.1. Решение обратных геометрических задач на основе генетических 
алгоритмов . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
181
5.3.2. Решение обратных геометрических задач на основе асимптотического 
метода для дефектов малого характерного размера
186

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
191

Введение

В трибосистемах фрикционного и антифрикционного назначения
при
относительных
перемещениях
контактируемых
поверхностей
в зоне контакта постоянно выделяется энергия. В этом случае за счет
нелинейности в открытой системе формируются диссипативные структуры, 
а система начинает приобретать эволюционные свойства. Причем
эволюционирует система, как правило, в направлении рационального
взаимодействия со средой, например в направлении минимизации
энергетических потерь в области взаимодействия.
В настоящее время трибология благодаря успехам квантовой химии, 
нанотехнологиям и развитию методов экспериментальной физики,
в том числе рентгеноэлектронной и оже-электронной спектроскопии
(РЭС и ОЭС), выходит на микро- и наноуровень. Ограниченный объем
знаний о структурных изменениях, происходящих в приповерхностных
слоях контактирующих материалов на атомно-молекулярном уровне,
и их следствиях на макроуровне тормозит развитие научных принципов 
создания и внедрения прогрессивных инновационных технологий
в машиностроении, оборонной, химической, медицинской промышленности, 
которые связаны с совершенствованием трибосистем и конструированием 
новых композиционных материалов как фрикционного,
так и антифрикционного назначения. В последнее время для решения
конкретных задач триботехники широкое распространение получили
многофазные композиты, состоящие из основной матрицы и нанораз-
мерных добавок, различающиеся между собой по структурным параметрам 
и химическим свойствам. Заметим, что механические, электрические, 
термические, оптические и другие характеристики нанокомпо-
зитов заметно разнятся со свойствами обыкновенных композиционных
материалов, изготовленных из тех же базовых веществ, поскольку
у нанодобавок существенно больше отношение площади поверхности
к объему по сравнению с микро- и макродобавками, что изменяет характер 
взаимодействия с окружающей матрицей. В зависимости от типа 
основной матрицы нанокомпозиты условно подразделяют на три
категории. Нанокомпозиты на основе керамической матрицы улучшают 
оптические и электрические свойства первоначального материала
(керамического соединения, состоящего из смеси оксидов, нитридов,
силицидов и др.) [1–6]. Нанокомпозиты на основе металлической матрицы 
с упрочняющими нанодобавками, такими как, например, углеродные 
нанотрубки, повышают не только прочность, но и электрическую

Введение
7

проводимость итогового композиционного материала; слоистые нано-
композиты с толщиной слоя в нанообласти обладают улучшенными
характеристиками исходных материалов, такими как твердость, износо-
стойкость, коррозионная стойкость, коэффициент трения и др. [7–14].
И особенно востребованы в последнее время нанокомпозиты на основе
полимерной матрицы с распределенными в ней наночастицами, что
подтверждается многочисленными научными работами как отечественных, 
так и зарубежных ученых [15–26]. Отдельно отметим композиционные 
материалы триботехнического назначения на основе полимерных 
матриц — маслонаполненные нанокомпозиты «масляниты» [27–35]
с адаптированным к условиям эксплуатации распределением наполнителя.

На этапе конструирования новых композиционных материалов три-
ботехнического назначения исследования направлены на поиск и изучение 
различных вариантов наноразмерных добавок и наполнителей,
которые могут иметь сферическую, плоскую или волокнистую структуру [
15–26], усиливающих и изменяющих свойства исходных матриц. 
В зависимости от физико-механических свойств наноразмерных
добавок, их формы и ориентации распределения в матрице получаемые 
нанокомпозиты обладают широким спектром физико-механических 
свойств и отличаются от композитных материалов меньшим
весом, но при этом большей ударопрочностью, стойкостью к износу
и механическим повреждениям, газонепроницаемостью, а также улучшенными 
оптическими, магнитными и электрическими свойствами, что
дает большой потенциал их применению в машиностроении, оборонных
и аэрокосмических разработках. Кроме этого, модифицирующие нано-
размерные добавки и наполнители также влияют на трибологические
свойства композиционного материала. В настоящее время в трибологии 
интенсивно ведутся исследования на мезоскопическом (зерна
поликристаллических материалов), микроскопическом, наноуровнях.
В этом направлении наиболее активно проводятся работы в Японии,
США, Израиле, Китае, Южной Корее, Финляндии, Великобритании.
Например, в США действует государственный проект «Национальная
нанотехнологическая инициатива» (NNI), где участвуют 25 федеральных 
агентств [36]. В Германии в области нанотрибологии активно
работает группа исследователей в институте композиционных материалов (
IVW), в Техническом университете г. Кайзерслаутерна [37].
В Китае ведется исследование в области синтеза углеводородных на-
нотрубок [16, 38]. Значительные успехи в разработке новых типов
полимерных композиционных материалов, применяемых в триботех-
нике и полученных с помощью нанотехнологий, достигнуты учеными 
Финляндии [39]. Следует также назвать успешные исследования
ученых Японии в области нанотехнологий (Национальный институт

Введение

прогрессивной промышленной науки и технологии), а также ученых
Франции, Испании [40–42].
В сфере изучения технологий нанокомпозитов трибологического
назначения в России успешно работают ученые из Института проблем
механики РАН под руководством академика И.Г. Горячевой [43, 44],
Института физики, прочности и материаловедения СО РАН (г. Томск)
под руководством академика В.Е. Панина [23, 45, 46], Ростовского
государственного университета путей сообщения (г. Ростов-на-Дону)
под руководством академика РАН В.И. Колесникова [22, 27], НИИ
авиационных материалов РАН (г. Москва) под руководством академика
РАН Е.Н. Каблова и еще ряд ученых [47–52].
Отметим, что проблема направленного конструирования композиционного 
материала с наноразмерными добавками, который обладал бы
заданным уникальным спектром физико-механических свойств (в зависимости 
от условий его эксплуатации), требует проведения серьезных
научных (как экспериментальных, так и теоретических) исследований.
Возможность оценить до создания опытного образца нового композита 
антифрикционные характеристики материала на основе математических 
моделей является актуальной задачей ввиду трудоемкости
и сложности конструирования новых композитных материалов.
Традиционно при изучении трибологических свойств материалов
используются контактные задачи теории упругости при учете трения
в
области
контакта.
Фундаментальные
основы
решения
плоских
и пространственных контактных задач теории упругости в динамической

и
статической
постановках
были заложены
учеными
В.М. Александровым, Н.Х. Арутюняном, В.А. Бабешко, И.И. Ворови-
чем, Л.А. Галиным, И.Г. Горячевой, А.В. Манжировым, В.Н. Сеймовым
и др. В настоящее время в этой области можно отметить работы
школы академика И.Г. Горячевой и ее учеников [43, 44, 53–56],
где рассматриваются усложненные постановки контактных задач для
упругих и вязкоупругих сред, включающие в себя такие специфические
свойства
фрикционного
контакта,
как,
например,
поверхностная
микроструктура,
адгезия,
тепловыделение
при
трении.
Работы
школы академика В.А. Бабешко и его учеников [57–60] посвящены
факторизационному
методу
блочного
элемента
в
интегральных
уравнениях, описывающих взаимодействие слоистой линейно-упругой
среды
с
жестким
или
деформируемым
штампом
при
решении
динамических контактных задач. Решения статических контактных
задач для слоистых оснований и функционально-градиентных сред
приведены в работах ростовской школы механиков С.М. Айзиковича,
М.И. Чебакова и др. [61–64].
Отметим, что, наряду с изучением трибологических и механических 
свойств гетерогенных функциональных материалов, разработка

Введение
9

методов неразрушающего контроля качества является важной научно-
технической задачей при оценке прочности элементов конструкций.
При этом важно проводить оценки потенциальной опасности как зарождающихся 
дефектов, так и изначально присутствующих мелкомасштабных 
дефектов, например включений, микротрещин. С этой целью
используются разнообразные методы, позволяющие выявить наличие
дефекта, которые основаны на измерении компонент физических полей,
несущих информацию о его размере, форме, расположении. Наиболее
используемые среди них — акустические методы [65–69], базирующиеся 
на решении динамических задач теории упругости о колебаниях
упругих тел с локальными неоднородностями [70–78], такими как
полости, включения, трещины. Изучение рассеяния упругих волн на
неоднородностях разных типов и форм позволяет устанавливать факт
наличия дефекта, что дает возможность определять тип и положение
повреждения в исследуемых объектах, в том числе и в покрытиях.
Этой проблеме посвящено значительное количество публикаций, среди
которых необходимо отметить работы школы А.О. Ватульяна и его
учеников [72–75, 78–80], посвященные исследованию динамических
задач теории упругости о колебаниях упругих тел с локальными неоднородностями 
и сформулированных на их основе обратных геометрических 
задач, работы Е.В. Глушкова и Н.В. Глушковой и их учеников
[71, 81, 82], Т.В. Суворовой [83] и еще ряд работ [70, 76, 84].
Несмотря на важность проблемы конструирования новых композиционных 
материалов триботехнического назначения, ее большую научную 
и практическую значимость, практически отсутствуют исследования 
для металлополимерных трибосистем фрикционного и антифрикционного 
назначений в установлении теоретических и экспериментальных
закономерностей, описывающих влияние микроструктуры гетерогенных 
сред, их физико-механических свойств на силы трения, которые
возникают в трибосистеме, находящейся в динамическом или квазистатическом 
режимах нагружения. Вышеописанные проблемы определяют
область исследований, представленных в настоящей монографии.
В работе описаны некоторые аспекты технологии создания нано-
модифицированных композитов с матрицей на основе ароматического
полиамида фенилона С-2 и приведены их экспериментальные исследования; 
изучены математические модели на основе решения динамических 
и квазистатических контактных задач при учете микроструктуры 
основания, а также рассмотрены вопросы неразрушающего
контроля идентификации дефектов в многофазных средах. Представленные 
здесь масштабные исследования композитов от нано- до мак-
роуровня дают возможность создания цифрового двойника композиционного 
материала, обладающего заданным уникальным спектром

Введение

физико-механических свойств, в зависимости от условий эксплуатации
(динамический или квазистатический режимы нагружения).
В первой Главе среди обширного разнообразия наноструктурных
материалов рассматриваются проблемы конструирования и экспериментального 
исследования физико-механических свойств нанокомпо-
зитов триботехнического назначения на основе полимерной матрицы.
Полимерные нанокомпозиты обычно представляют собой двухфаз-
ные системы, состоящие из полимерной матрицы и наноразмерного
наполнителя. В качестве полимерных матриц используются многие
термопласты, реактопласты и эластомеры например полиамид, полипропилен, 
полистирол, биоразлагаемые полимеры, водорастворимые
полимеры, акриловые фотополимеры и др. В качестве наноразмер-
ных добавок выступают частицы оксидов алюминия или титана, природные 
алюмосиликаты (в т. ч. каолин, бентонит), силикаты магния
(серпентин — лизардит, антигорит) либо углеродные, а также кремниевые 
нанотрубки и волокна. Кроме этого, рассмотрены проблемы
создания композиционных маслонаполненных наноматериалов с адаптивными 
эксплуатационными свойствами. Сформулированы принципы
разработки и описаны технологии создания нанокомпозитных полимерных 
материалов триботехнического назначения. Экспериментально
исследованы физико-механические свойства антифрикционных нано-
композитов на основе матрицы из ароматического полиамида фенило-
на С2 с различными нанодобавками с помощью наноиндентирования.
С целью оценки антифрикционных свойств проведен цикл сравнительных 
трибологических испытаний с использованием различных машин
трения. На основании экспериментов показаны возможности регулирования 
изнашивания поверхности трибоконтакта подбором специфичных 
комплексных наноразмерных добавок в составе композиционных
материалов.
Во второй Главе рассматриваются математические модели, описывающие 
микроструктуру гетерогенных сред с дискретными и непрерывными 
фазами, позволяющие определить эффективные механические 
характеристики гетерогенных материалов. Рассмотренный здесь
класс гетерогенных сред включает в себя как волокнистые композиционные 
материалы, армированные короткими волокнами или непрерывными 
длинными волокнами (нитями), так и композиционные материалы 
с наноразмерными добавками и наполнителями различной
природы. Описание механических свойств таких микронеоднородных
материалов основано на использовании идей осреднения, позволяющих
аналитически оценить макроскопические свойства сред, обладающих
микроструктурой, через геометрические и физические характеристики 
составляющих их фаз, а также при учете их пространственного
распределения в объеме. Среди большого разнообразия микромехани-

Введение
11

ческих моделей, описывающих эффективные механические характеристики 
гетерогенных сред, выбрана модель самосогласования, которая
обеспечивает компромисс между точностью и сложностью расчетов.
При этом учитывается влияние различных форм объемных включений
и их ориентации на эффективные модули многофазных материалов,
описываемых ортотропной, трансверсально-изотропной и изотропной
упругими средами. Представленная схема расчета эффективных упругих 
модулей композита может быть распространена для случая, когда
матрица содержит включения нескольких типов. Кроме этого, рассмотрены 
также модели континуальной механики, описывающие пористые 
и гетерогенные флюидонасыщенные среды на основе модели
Био–Френкеля, хорошо описывающие маслонаполненные композиты.
Надо отметить, что экспериментальное определение модулей среды Био
является весьма сложной и трудоемкой, а подчас и недостижимой задачей. 
При этом входными параметрами модели служат механические
характеристики «осушенной» пористой среды. Поэтому весьма важным
прикладным аспектом настоящей главы является определение механических 
характеристик «осушенной» пористой среды и исследование
их зависимости от пористости с помощью моделей, основанных на
методе конечного элемента и реализованных в программном комплексе
ANSYS. Эффективные упругие характеристики, рассчитанные на основе 
метода самосогласования, сопоставлены с результатами расчетов на
основе конечно-элементного моделирования представительного объема
гетерогенной среды и экспериментальными данными на основе нано-
индентирования, описанными в Главе 1. Результаты моделирования
хорошо согласуются с результатами натурных экспериментов (относительная 
погрешность не превосходила 10 %). Разработанные математические 
модели на основе методов микромеханики и конечно-элементного 
моделирования многофазных сред позволяют решать проблемы
направленного конструирования механических свойств гетерогенных
композиционных материалов в зависимости от механических свойств
наполнителей, их формы и распределения в матрице. Полученные
значения механических свойств композиционных материалов будут являться 
входной информацией при решении трибологических задач для
гетерогенных сред.
Третья Глава посвящена изучению контактных задач теории при
учете сил трения в условиях динамического нагружения для гетерогенных 
флюидонасыщенных сред. Микроструктура таких сред описана
в рамках модели Био–Френкеля. Краевые задачи сведены к интегральным 
уравнениям 1-го рода с разностным ядром. Установлены функциональные 
зависимости сил трения от флюидонасыщенности, коэффициента 
трения, проницаемости и газонасыщенности, степени взаимодействия 
фаз гетерогенной среды, которая моделирует маслонаполненный

Введение

композит. При этом механические модули среды Био определены
с помощью методов микромеханики, конечно-элементного моделирования 
и сопоставлены с экспериментальными результатами, изложенными 
в Главах 1, 2. Проведен сравнительный анализ напряженно-деформированного 
состояния гетерогенной среды в случае ее моделирования
в рамках модели Био–Френкеля и эквивалентной однородной упругой
средой. Показано, что изменение амплитуды силы трения за период
колебаний играет ключевую роль. Износостойкость композита зависит
от энергетического воздействия в зоне трения; при этом необходимо
учитывать не только нормальные, но и тангенциальные перемещения
в области контакта. Хотя увеличение частоты колебаний и приводит
к уменьшению контактных напряжений, но на единицу времени при
этом большая энергия генерируется в области контакта.
Четвертая Глава посвящена рассмотрению контактной задачи в квазистатической 
постановке о движении с трением штампов с плоской
и параболической формой подошвы по основанию при учете его микроструктуры. 
Внутренняя микроструктура основания, состоящего из
вязкоупругого скелета и флюида-наполнителя, учитывается использованием 
уравнений гетерогенной двухфазной среды Био. Краевые задачи
сведены к интегральному уравнению 1-го рода с разностным ядром.
Проведен сравнительный анализ напряженно-деформированного состояния 
гетерогенной среды в случае ее моделирования в рамках модели
Био–Френкеля и эквивалентной однородной упругой средой. На основании 
численных экспериментов установлено, что учет трения в области 
контакта, процентное содержание флюида-наполнителя оказывают
существенное влияние на контактные напряжения при движении с трением 
штампов с плоской и параболической формой подошвы по поверхности 
композита, причем с возрастанием пористости эта зависимость
носит нелинейный характер. Показано, что по сравнению с квазистатической 
задачей о движущемся штампе изменение коэффициента трения
имеет значительно большее влияние на контактные напряжения при
учете вибрации штампа. Результаты проведенных численных расчетов 
качественно согласуются с результатами натурных экспериментов,
представленных в Главе 1 для маслонаполненных композитов.
Завершающая Глава 5 посвящена исследованию гетерогенных сред
с внутренними дефектами в условиях динамического нагружения.
Для этого рассмотрены динамические задачи теории упругости о колебаниях 
полосового волновода с дефектами. Гетерогенная среда в рамках 
концепции эффективной гомогенности, изложенной в Главе 2,
рассматривается как эквивалентная однородная среда, обладающая
ортотропной симметрией. Краевые задачи на основе идей теории потенциалов 
сведены к граничным интегральным уравнениям исключительно 
лишь по границе дефектов. Представлены различные подходы

Введение
13

при решении прямых задач. Обратные задачи решены на основании
асимптотического подхода для малого характерного размера дефекта;
даны аналитические формулы для определения расположения дефекта
и его характерного размера.
Монография
издана
при
финансовой
поддержке
РФФИ
(грант
№ 21-11-00004).
В
монографии
представлены
результаты,
полученные в ходе выполнения грантов РФФИ № 18-08-00260-а,
№ 20-08-00614-а.

***
Авторы выражают благодарность своим ученикам и коллегам: доктору 
технических наук П.Г. Иваночкину, кандидатам физико-математических 
наук Н.А. Мясниковой, А.В. Сидашову, А.П. Сычеву, кандидатам 
технических наук Д.С. Мантурову, Е.С. Новикову, инженерам
С.А. Данильченко, В.В. Авилову в подготовке первой Главы монографии; 
доктору физико-математических наук Т.В. Суворовой, в соавторстве 
с которой получены основные результаты Глав 3 и 4; доктору
физико-математических наук А.О. Ватульяну, в соавторстве с которым
получены основные результаты Главы 5.