Занимательная математика. Производные и интегралы : манга

Занимательная математика
Производные и интегралы

Манга

О Б Р А З О В А Т Е Л Ь Н А Я  М А Н Г А

ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
ПРОИЗВОДНЫЕ 
И ИНТЕГРАЛЫ

Хироюки Кодзима
Cин Тогами

Перевод

Анненковой Е. А.

Москва 
Додэка, ДМК Пресс, 2023

2-е издание, электронное

УДК 517
ББК 22.161.6
К57

К57
Кодзима, Хироюки.
Занимательная математика. Производные и интегралы : манга / Хироюки Кодзима (автор), Син Тогами (
худож.) ; пер. с яп. Е. А. Анненковой. — 2-е изд., эл. — 1 файл pdf : 241 с. — Москва : ДМК Пресс, 
Додэка-XXI, 2023. — (Образовательная манга). — Систем. требования: Adobe Reader XI либо Adobe Digital 
Editions 4.5 ; экран 10". — Текст : электронный.
ISBN 978-5-89818-419-3
Норико — начинающий репортёр. После обучения её направили в одно из отделений газеты «Асагакэ Таймс». 
Норико жаждет освещать в своих репортажах самые волнующие проблемы мировой политики и экономики, но 
хватит ли ей для этого опыта и знаний? Её непосредственный начальник, Сэки-сан, решил научить её анализировать 
происходящие в политике и экономике события используя математику. Читая эту книгу, вы вместе с Норико 
будете осваивать основы дифференциального и интегрального исчисления и поймёте, что эти знания пригодятся 
не только для проведения сложных научных расчётов. Приводя примеры из реальной жизни, такие как вероятность 
событий, кривые спроса и предложения в экономике, загрязнение окружающей среды и даже плотность распределения 
спирта в стакане, автор показывает, что производные и интегралы помогают глубже разобраться в самых 
разных проблемах, возникающих в нашей жизни.
В ходе обучения вы узнаете:  
• что такое производная и как с её помощью определять скорость изменения функции;
• как связаны между собой производная и интеграл;
• как интегрировать и дифференцировать сложные функции;
•  что такое частные производные, и как с их помощью находить интегралы и производные функций нескольких
переменных;
•  как с помощью разложения в ряд Тейлора можно заменить трудную для анализа функцию степенным многочленом.

Книга будет полезна учащимся старших классов школ, студентам вузов, а также всем, кто интересуется математикой 
и хочет, чтобы обучение было лёгким и увлекательным.

УДК 517 
ББК 22.161.6

Электронное издание на основе печатного издания: Занимательная математика. Производные и интегралы : манга / Хирою-
ки Кодзима (автор), Син Тогами (худож.) ; пер. с яп. Е. А. Анненковой. — Москва : ДМК Пресс, Додэка-XXI, 2015. — 240 с. — 
(Образовательная манга). — ISBN 978-5-97060-154-9. — Текст : непосредственный.

Издательство выражает благодарность В. О. Панфилову

Все права защищены. Никакая часть этого издания не может быть воспроизведена в любой форме или любыми средствами, электронными 
или механическими, включая фотографирование, ксерокопирование или иные средства копирования или сохранения информации, 
без письменного разрешения издательства.
Книга «Занимательная математика. Производные и интегралы» Хироюки Кодзимы и Сина Тогами подготовлена и издана по договору с 
Ohmsha Ltd.

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных техническими средствами защиты авторских прав, правообладатель вправе требовать 
от нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации.

ISBN 978-5-89818-419-3
© 2005 by Hiroyuki Kojima and Becom Co.
© Перевод, Издательский дом «Додэка-XXI», 2011
© Издание, ДМК Пресс, 2015

Есть некоторые вещи, подвластные только манге*.
Если вы открыли эту книгу, то вы принадлежите к одному из следующих типов людей:
Первые — те, кто просто любит мангу и думает: «Математические выкладки, описанные с помощью 
манги? Потрясающе!» Если вы принадлежите их числу, то немедленно отнесёте эту книгу на 
кассу — и не пожалеете. У этой манги очень привлекательные рисунки. И неудивительно: их нарисовал 
популярный художник манги Син Тогами, а сценарий написала Бэком Лтд. — компания, 
производящая настоящую мангу.
Вы можете возразить: «Манга, обучающая математике, не может быть интересной». На первый 
взгляд, это так. Когда в издательстве «Омша» (Ohmsha) меня попросили написать эту книгу, я почти 
отказался. Многие из так называемых «обучающих манг» разочаровывают. В них может быть 
огромное количество рисунков, но они не являются настоящей мангой. Но после того, как я увидел 
мангу «Омшы» (это была манга по статистике), я передумал. Её действительно  было приятно 
читать. Издатель сказал, что моя книга будет такой же, поэтому я принял его предложение. Я и 
раньше часто думал, что мог бы лучше преподавать математику, используя мангу, так что это была 
хорошая возможность проверить мою идею. Я гарантирую, что чем большим фанатом манги вы 
являетесь, тем больше вам понравится эта книга. Так чего же вы ждёте? Cейчас же yесите её на кассу 
и покупайте!
Второй тип людей — это те, кто взял эту книгу с мыслями: «Хоть математика и внушает мне ужас 
и/или у меня на неё аллергия, манга может помочь мне её понять.» Если вы из их числа, то эта книга 
для вас. Она не просто объясняет дифференциальное и интегральное исчисление с помощью 
манги, но и сам способ объяснения основательно отличается от используемого в традиционных 
учебниках. Во-первых, книга даёт представление о том, что именно делает дифференциальное и 
интегральное исчисление и для чего оно нужно. Пока вы этого не поймёте, вы не сможете его правильно 
использовать. Вы просто окажетесь в жалком положении зазубривания формул и правил. 
Эта книга объясняет все формулы, основанные на идее приближения первого порядка, помогая 
вам визуализировать значение формул и с лёгкостью их понять. Благодаря этому уникальному методу 
обучения вы можете быстро и легко перейти от дифференцирования к интегрированию. Более 
того, я позаимствовал оригинальный метод объяснения дифференцирования и интегрирования 
тригонометрических и показательных функций, который не описывается в обычных учебниках, — 
обычно это остаётся какой-то тарабарщиной для многих людей даже после многократных 
объяснений. Эта книга также идёт дальше, объясняя даже разложение в ряд Тейлора и определение 
частной производной. Наконец, я привлёк трёх постоянных потребителей исчисления: физику, 
статистику и экономику, чтобы они составили часть этой книги, предоставив множество примеров 
практического примененеия дифференциального и интегрального исчисления. Благодаря 
всем этим уловкам вы сможете воспринимать исчисление не как трудную науку, а как полезный 
инструмент.
Я опять же подчеркну: всё это стало возможным благодаря манге. Почему при чтении манги вы 
можете получить больше информации, чем при чтении романа? Потому что манга — это визуальные 
данные, представленные в виде комиксов. Исчисление — это ветвь математики, описывающая 
динамические явления. Таким образом, изучение дифференциального и интегрального исчисления 
с помощью манги является отличной идеей. Теперь переверните страницу и насладитесь красивой 
мангой по дифференцированию и интегрированию.
Хироюки Кодзима
Ноябрь 2005

* Манга — японские комиксы.

Предисловие

V

содержание

Пролог.
ЧТО ТАКОЕ ФУНКЦИЯ.............................................................1

Глава.1.
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМ ФУНКЦИИ!........................................ 15

1.1....Аппроксимация.функций..................................................... 16
1.2....Относительная.погрешность............................................. 27
1.3....Применение.производных................................................ 32
1.4....Вычисление.производной.................................................. 39
1.5....Упражнения.к.главе.1............................................................ 41

Глава.2.
ИЗУЧАЕМ ПРИЁМЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ!..... 43

2.1....Производная.суммы.функций.......................................... 48
2.2....Производная.произведения.функций............................ 53
2.3....Дифференцирование.многочленов................................ 62
2.4....Нахождение.максимумов.и.минимумов....................... 64
2.5....Теорема.о.среднем.............................................................. 72
2.6....Производная.частного.от.деления.функций............... 74
2.7....Производная.сложной.функции...................................... 75
2.8....Производная.орбратной.функции................................... 75
2.9....Формулы.для.дифференцирования................................ 76
2.10...Упражнения.к.главе.2......................................................... 76

VI
Содержание

Глава.3.
ИНТЕГРИРУЕМ ФУНКЦИИ!................................................. 77

3.1....Найдём.концентрацию.спирта......................................... 82
3.2....Основная.теорема.интегрирования.................................. 91
3.3....Применение.формул.интегрирования.......................... 95
3.4....Применение.основной.теоремы.интегрирования.... 101
3.5....Сводка.по.основной.теореме.интегрирования........... 110
3.6....Упражнения.к.главе.3......................................................... 112

Глава.4.
ИЗУЧАЕМ ПРИЁМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ!.............. 113

4.1....Танцы.и.тригонометрические.функции....................... 114
4.2....Косинус.и.тень......................................................................120
4.3....Интегрирование.тригонометри.ческих.функций.......123
4.4....Показательная.и.логарифмическая.функции............129
4.5....Обобщение.показательной.и.логарифмической.

функций..................................................................................133

4.6....Свойства.показательной.и.логарифмической.

функций..................................................................................138

4.7....Другие.применения.основных.теорем.........................140
4.8....Упражнения.к.главе.4.........................................................142

Глава.5.
ИЗУЧАЕМ РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯД ТЕЙЛОРА!.........143

5.1....Асагакэ.Таймс..Главный.офис........................................144
5.2....Как.получить.разложение.в.ряд.Тейлора....................153
5.3....Разложение.различных.функций.в.ряд.Тейлора.......158
5.4....Что.даёт.Разложение.в.ряд.Тейлора..............................159
5.5....Упражнения.к.главе.5.........................................................176

VII
Содержание

Глава.6.
ИЗУЧАЕМ ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ!..................177

6.1....Функции.нескольких.переменных..................................178
6.2....Линейные.функции.нескольких.переменных...........182
6.3....Частные.производные........................................................189
6.4....Полные.дифференциалы................................................195
6.5....Условия.существования.экстремумов...........................197
6.6....Применение.частных.производных.в.экономике....200
6.7....Частная.производная.сложной.функции..

Цепное.правило..................................................................204

6.8....Упражнения.к.главе.6.........................................................216

Эпилог.
ЗАЧЕМ НУЖНА МАТЕМАТИКА?..................................217

ПРИЛОЖЕНИЯ..........................................................................223

П.1....Решения.к.упражнениям...................................................224
П.2....Основные.формулы,.теоремы.и.функции................227
П.3....Алфавитный.перечень.....................................................230

VIII
Содержание

ЧТО ТАКОЕ ФУНКЦИЯ
ЧТО ТАКОЕ ФУНКЦИЯ
ЧТО ТАКОЕ ФУНКЦИЯ

ПРОЛОГ

Офис газеты 

«Асагакэ Таймс» 

в Санда-чо  

должен быть 
где-то здесь.

Только подумать  - 

я, Норико Хикима, 
журналист! здесь 

начинается Моя 

карьера!

Это маленькая 

газета и всего лишь 
местное отделение. 

Но я всё же 
журналист!

Я буду 
много 

трудиться!

Пролог.   Что такое функция
2

дистрибьютор 

Газеты?

Санда-Чо.    Региональный дистрибьютор. 
Асагакэ Таймс

офис газеты... 

Неужели у меня 

неправильная 

карта?

Это 

следующая 

дверь.

Вы ищете офис 

газеты?  

Все принимают нас 
за него, потому что 

мы крупнее.

Пролог.   Что такое функция
3

Не... не 

расстраивайся, 

Норико.

Это - всего лишь 

местное отделение, 

но всё же это 
действительно 
Асагакэ Таймс.

О, нет! Это же 

сборный домик!

фью-ю-ю…

Асакагэ

Таймс 

Отделение

Санда-Чо

Асакагэ
Таймс 

Отделение

Санда-Чо

Пролог.   Что такое функция
4

Опять у 

меня ничего 

не выйдет!

Доброе 

утро!

Крак

хр-р-р...

Мне коне-е-ец.
Доставка 

обеда?

Пролог.   Что такое функция
5