Оптимизационные задачи электроснабжения

Д. П. АНДРИАНОВ, Н. П. БАДАЛЯН





                ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ ЭЛЕКТРОСНАБЖЕНИЯ




Учебное пособие

















Москва Вологда «Инфра-Инженерия» 2023

УДК 621.314
ББК 31.28
     А65



Рецензенты:
к. т. н., доцент, заведующий кафедрой электротехники КГТА им. В. А. Дегтярева Е. А. Чащин;
к. т. н., доцент кафедры ЭПБС ИИТР ВлГУ В. В. Евграфов




    Андрианов, Д. П.
А65 Оптимизационные задачи электроснабжения : учебное пособие / Д. П. Андрианов, Н. П. Бадалян. - Москва ; Вологда : Инфра-Инженерия, 2023. - 156 с. : ил., табл.
          ISBN978-5-9729-1160-8

          Рассмотрены теоретические предпосылки математического аппарата теории оптимизации. Обращается внимание на концепцию цифровизации электроэнергетики как основное поле деятельности ближайшего времени. Основное внимание уделяется формулировке расчетных задач с учетом специфики электроэнергетики и практическим навыкам их решения.
          Для студентов применительно к действующему учебному плану программы подготовки бакалавров направления 13.03.02 «Электроэнергетика и электротехника» профиль «Электроснабжение» и программы подготовки магистров направления 13.04.02 «Электроэнергетика и электротехника» профиль «Оптимизация электроэнергетических сетей».

УДК 621.314
ББК31.28











ISBN 978-5-9729-1160-8

     © Андрианов Д. П., Бадалян Н. П., 2023
     © Издательство «Инфра-Инженерия», 2023
                            © Оформление. Издательство «Инфра-Инженерия», 2023

    ВВЕДЕНИЕ



     Будущему специалисту по электроэнергетике необходимы знания основ математического моделирования технических систем. В условиях непрерывного роста потребности в электричестве, обеспечения энергоэффективности энергетики как хозяйственной отрасли страны владение расчетным аппаратом, основанном на научном подходе, является необходимым условием достижения поставленных целей.
     Основной задачей настоящей работы является закрепление теоретического материала дисциплины «Оптимизационные задачи электроснабжения» и получение навыков, необходимых для решения оптимизационных задач в области электроэнергетики с использованием современного программного обеспечения.
     В данном учебном пособии делается попытка реализовать методологический подход, основанный на объединении
     •  теоретических знаний - математическая теория оптимизации, теория электрических цепей;
     •  предметной области - задачи электроснабжения;
     •  технологии обучения - использование современного программного обеспечения (математический пакет MathCad).
     В пособии кратко рассмотрены теоретические предпосылки математического аппарата теории оптимизации. Обращается внимание на концепцию цифровизации электроэнергетики как основное поле деятельности ближайшего времени. Основное внимание уделяется формулировке расчетных задач с учетом специфики электроэнергетики и практическим навыкам их решения.
     Учитывая временной ресурс, выделенный календарным планом на обучение студентов, в пособии рассматривается темы, раскрывающие содержание изучаемой дисциплины:
     •  решение задач ТОЭ с позиций теории оптимизации;
     •  численные методы в оптимизации и их программирование;
     •  анализ однопараметрических и многопараметрических линейных и нелинейных оптимизационных задач;
     •  транспортная задача в электроэнергетике с учетом транзитных потоков мощности;
     •  анализ схем электроснабжения при учете затрат на установку компенсаторов реактивной мощности;
     •  динамическое программирование.

3

     Расчеты проводятся в современном программном пакете MathCad 14.0.
     MathCad - система компьютерной алгебры из класса систем автоматизированного проектирования, дающая возможность получать интерактивные документы с вычислениями и визуальным сопровождением.
     MathCad относится к RAD-системам проектирования - программным комплексам ускоренной разработки проектов, основное его преимущество перед другими математическими пакетами - интерактивный графический интерфейс, простой и интуитивный для использования. Математические зависимости (формулы), как правило, имеют естественную форму записи, присущую математической и научной литературе.
     В противовес текстовой записи в языках программирования, сопровождающейся громоздким синтаксисом, пользователь имеет возможность основное внимание уделять предметной части проводимых расчетов.
     Следует отметить, что трудоемкость решения практических задач на основе создания расчетных программных средств напрямую зависит от объема информации, напрямую контролируемого разработчиком-программистом.
     MathCad в основном ориентирована на пользователей-непрограммистов, имеет обширный инструментарий визуализации результатов математического моделирования. Расчетные блоки (листинги) имеют минимально возможные размеры, трансляция и сборка счетной программы за счет интерактивности RAD-системы не требуется, что сокращает трудоемкость решения задачи. Ресурсы системы позволяют без проблем решать задачи, сложность которых соответствует уровню освоения дисциплины.

4

        РАЗДЕЛ I Теоретические сведения


    Тема 1.1. Классификация методов оптимизации

     Оптимальное решение - решение, которое по тем или иным признакам предпочтительнее других. В технике это - наилучшее решение среди допустимых при наличии правила предпочтения одного другому. Необходимо удовлетворение двух условий:
     •  наличие не менее одного критерия,
     •  наличие не менее двух сравниваемых вариантов.
     Каждый выбор лучшего варианта конкретен и производится на соответствие определенным критериям. То, что может быть оптимальным при одном критерии, не обязательно будет таковым при другом.
     Задачи оптимизации требуют не просто найти решение, а выбрать наиболее выигрышный вариант, при этом учитываются:
     •  ограничения - факторы, устанавливающие определенные лимиты на принятие решений,
     •  целевая функция - некоторое числовое значение, демонстрирующее качество решения задачи.
     Оптимальные решения принимаются с помощью математических инструментов вычисления.
     Оптимальное решение всегда одно, потому что указывает лучший путь решения.
     Математически оптимальное решение формулируется как любое допустимое решение задачи на котором достигается минимум целевой функции на множестве допустимых решений задачи.
     Задача оптимизации считается решенной, если
     •  найдено ее оптимальное решение,
     •  найдена конечная точная нижняя граница целевой функции в случае, когда оптимального решения не существует,
     •  доказано, что целевая функция не ограничена снизу на множестве допустимых решений,
     •  установлено, что множество допустимых решений пусто.

5

     В зависимости от природы множества допустимых решений задачи опти

мизации делятся на следующие классы:

     •  дискретные,
     •  целочисленные,
     •  булевы,
     •  вещественные (непрерывные),
     • бесконечномерные (подмножество гильбертова пространства).
     Методы оптимизации (рис. 1.1) можно классифицировать как аналитические и численные, численные методы оптимизации, в свою очередь, в зависимости от характера поиска экстремума, подразделяются на стохастические (случайные) и детерминированные (направленные), направленные методы определяются объектом манипулирования: функций или производных от функций.

Рис. 1.1. Классификация методов оптимизации

      Использование численных алгоритмов оптимизации при поиске минимума функции/?x) сводится к построению минимизирующей последовательности
Хк+1 = Xk + ak 'Pk, xо = xнач, k =0,1...
где xнач - начальные значения;
     рк - направление поиска минимума на к-м шаге;
     ак - величина шага в указанном направлении.

      Последовательность значений xk+1, k =0,1 сходится к решению задачи минимизации min ^ x* при условии существования минимума и выполнении зависимости _/(xk+1) </(xk) для всех k. На практике, исходя из итерационного характера

6

вычислений, т. е. последовательного пошагового алгоритма уточнения искомых величин, добиваются достаточно малой величины разницы между значениями аргументов и/или значений функций на двух последовательных итера

циях.
     Суть всех численных методов оптимизации состоит в способах выбора

вектора направления минимизации и величины шага в этом направлении. Задача нахождения максимума или минимума функции

шах/(x1, X2...Xn) =f(x1, x2_Xn),

minf(x i, x 2... x ₙ) =f(x i, x 2_ Xn),

где xi, x2 ... xn - значения переменных, при которых функция достигает экстремума (максимума или минимума) при выполнении следующих ограничений:

' gi⁽ xP x ₂,..., xn⁾ < 0;
                                             g ₂( xi, x 2,..., xn) < 0;

                                                  ...;
                                                  gn ⁽xp x ₂,..., xn ⁾ < ⁰.

     Ограничения могут быть в виде
     •  неравенств   g(x) > 0,
     •  равенств h(x) = 0.
     Математическая формулировка задач оптимизации (рис. 1.2) сводится к записи функционала, стремящегося к экстремуму в линейной или нелинейной по


становке, при наличии или отсутствии ограничений.


  задача линейного программирования


              функция и все ограничения линейны
                   Л               л
                   £ cᵢxᵢ -> max, 2 cixi mⁱⁿ             п
                   /=1        х t=\           х
                                                        2=1
I---------1      п
           оптимизация функции | условная |



| безусловная]

ограничения отсутствуют

                                                       icinxi^bₙ,
| задача нелинейного программирования⁻]
   хотя бы одна из функций gⱼ(x₁,x₂,...,xₙ), /=1, п - нелинейная


                     У(х) —> max , f(x) —> min.
                              xcg(x)          xcg(x)


Рис. 1.2. Математическая формулировка задач оптимизации

7

     Для функции/?x), определенной на множестве 5, можно выделить экстремум (минимум или максимум)
     •  абсолютный (глобальный) - точка x* £ 5, при условии/?x*) </x) или /x*) >/x) для всех x* £ 5;
     •  относительный (локальный) - точка x* £ 5 при условии /x*) </x) или /x*) >/x) для всех x, удаленных от x* на расстояние не превышающее некоторой величины % >0 при выполнении условий
       I x-x *\<g,
       /x*) </(x) или/x*) >/x).
     Для унимодальной функции локальный минимум автоматически является глобальным. Для не унимодальной функции возможно существование нескольких локальных оптимумов; при этом глобальный минимум можно определить путем нахождения всех локальных оптимумов и выбора наименьшего из них.
     Условием унимодальности функции/x) на отрезке a < x < b является ее монотонность по обе стороны от единственной на рассматриваемом интервале оптимальной точки x*.
     Для единственной точки минимума функции/x) на отрезке a < x < b унимодальность функции /x) на данном интервале для точек xi и хг проявляется в следующих зависимостях:
     при x*< xi < xг ^-/x*) </xi) </xг),
     при x*> xi > xг ^-/x*) >/xi) >/xг).
     Монотонность функции/x) (при возрастании и при убывании) имеет место быть, если для двух произвольных точек xi и xг (xi < xг) выполняется одно из следующих неравенств:
     /xi) </xг) - монотонно возрастающая функция,
     /xi) >/xг) - монотонно убывающая.
     Точка x* принадлежит локальному экстремуму в случае дважды дифференцируемой функции/x) на интервале [а, Ь] в случае:
     •  равенства нулю первой производной функции/x) в точке x*,
     •  неотрицательности для минимума, неположительности для максимума второй производной функции/x) в точке x*.
     Признаки перегиба и локальных экстремумов в общем случае имеют следующие признаки:
     •  если в точке x* первые (n - i) производные функции обращаются в ноль, а производная порядка n отлична от ноля, то
     •  если n - нечетное, то x* - точка перегиба,

8

     •  если n - четное, то x* - точка локального оптимума:
         - производная положительная - локальный минимум, - производная отрицательная - локальный максимум.
     Целевая функция (критерий оптимальности) показывает относительное предпочтение одних значений компонент вектора/x) по отношению к другим значениям этих компонент.
     Можно выделить следующие критерии оптимальности:
     •  унимодальный - в области определения функции/x) [a, b] существует точках * £ [ a, b ], для которой на полуинтервале [ a, х *] функция/x) убывает, а на полуинтервале [х*, b] возрастает (рис. 1.3, а);
     •  выпуклый - в области определения функции/?x) [a, b] существуют точки х 1, х2 £ [a, b], х 1 / х2, для которых выполняется неравенство:
f(kx 1 + (1- 1)х2) < 1 /x 1) + (1- 1)/х2)
где произвольное число 1 £ [0, 1], (если целевая функция выпукла на интервале [a, b] то все точки любой дуги ее графика лежат под соответствующей хордой) (рис. 1.3, б). Выпуклая функция может иметь более одной точки локального минимума;
     •  строго выпуклый - в области определения функции /x) [a, b] существуют точки х 1, х2 £ [a, b], х 1 / х2, для которых выполняется неравенство:

f(1x 1 +(1- 1)х2) < 1 /x 1) + (1- 1)/х2)

где произвольное число 1 £ [0, 1]. Строго выпуклая функция может иметь только одну точку локального минимума;
     •  мультимодальный (многоэкстремальный) - имеет несколько локальных минимумов;
     •  овражный - в области допустимых значений имеют место различия в интенсивности изменений частных производных функции/x) по разным направлениям (рис. 1.3, в);
     •  сепарабельный - функция/x) представляет собой сумму функций, каждая из которых зависит только от одной компоненты вектора x;
     •  позиномиальный - функция /x) представляет собой сумму функций, каждая из которых является произведением степеней компонента вектора x.

9

Рис. 1.3. Графическое представление критериев оптимальности а - унимодальный;
б - выпуклый; в - овражный


    Тема 1.2. Методы линейного программирования

     В общей картине методов решения экстремальных задач можно выделить подобласть, характеризующуюся линейными зависимостями между переменными и линейными критериями, а направление математического программирования, изучающее данную подобласть, принято называть линейным программированием.
     Вышеупомянутые методы составляют основу науки исследования операций и востребованы в энергетическом производстве при решении ряда задач оптимального управления и планирования:
     • рационального распределения ресурсов (трудовых, топливных, материальных и т. д.);
     • рационального распределения оборудования;
     • транспортная задача (оптимизация транспортных перевозок, задача о назначениях);
     • «рациональная смесь» (оптимизация состава топливной смеси).
     Проблема формулируется следующим образом: имеются какие-то переменные x = (xi, x2, ..., Xn) и линейная функция этих переменных (целевая функция); требуется найти экстремум (максимум или минимум) целевой функции при условии, что переменные х удовлетворяют системе линейных равенств (неравенств).
     Общей задачей линейного программирования называется задача определения экстремального значения целевой функции
L = c i X i + c 2X 2 +...+ cnX n

10