Введение в цифровую обработку сигналов

Д. А. Улахович







ВВЕДЕНИЕ В ЦИФРОВУЮ ОБРАБОТКУ СИГНАЛОВ




Учебник





















Москва Вологда «Инфра-Инженерия» 2023

УДК 004.383.3
ББК 32.811.3
     У47


Рецензенты:
зав. кафедрой теоретических основ электротехники Санкт-Петербургского государственного электротехнического университета «ЛЭТИ» д-р техн. наук, проф. Е. Б. Соловьёва;
профессор кафедры автоматизированных систем управления и связи Военной академии связи им. Маршала Советского Союза С. М. Будённого д-р техн. наук, проф. А. М. Чудное



     Улахович, Д. А.
У47    Введение в цифровую обработку сигналов : учебник / Д. А. Улахович. -
     Москва ; Вологда : Инфра-Инженерия, 2023. - 436 с. : ил., табл.
        ISBN 978-5-9729-1128-8

        Рассматривается обобщённая схема цифровой обработки аналогового сигнала, понятие режима реального времени, понятие нормированного времени, изучаются типовые дискретные сигналы. Дано описание линейных дискретных систем (ЛДС) во временной области: свойства, условия физической реализуемости, разностные уравнения, рекурсивные и нерекурсивные ЛДС. Приводится пример экспресс-анализа частотных характеристик, устанавливается взаимосвязь между временными, операторными и частотными характеристиками ЛДС. Изучается арифметика и квантование чисел в цифровых системах. Даются основы цифрового спектрального анализа. Исследуется дискретизация относительно узкополосных сигналов, преобразования спектра, изучается дискретное преобразование Фурье. Изложен принцип организации многоскоростной обработки сигналов: однократных и многократных систем децимации и интерполяции, а также способы реализации интерполяторов и дециматоров. Изучаются методы компандирования речевых сигналов.
        Для студентов, аспирантов, преподавателей вузов связи. Учебник может быть полезен инженерам, занимающимся разработкой цифровых систем связи.


УДК 004.383.3
ББК 32.811.3


ISBN 978-5-9729-1128-8     © Улахович Д. А., 2023

                         © Захарова М. А., обложка, 2023
                         © Издательство «Инфра-Инженерия», 2023
                         © Оформление. Издательство «Инфра-Инженерия», 2023

   «Практическая деятельность человека представляет чрезвычайное разнообразие, и для удовлетворения всех её требований, разумеется, недостаёт науке многих и различных метод. Но из них особую важность имеют те, которые необходимы для решения различных видоизменений одной и той же задачи, общей для всей практической деятельности человека: как располагать средствами своими для достижения по возможности большей выгоды?»

П. Л. Чебышёв

ОГЛАВЛЕНИЕ


Принятые сокращения............................................. 9
Предисловие ................................................... 11
Глава 1. Основные понятия цифровой обработки сигналов ....       14
  1.1. Введение................................................ 14
1.1.1. Предмет дисциплины ЦОС.................................. 16
1.1.2. Достоинства и недостатки ЦОС............................ 20
  1.2. Классификация сигналов.................................. 22
1.2.1. Основные типы сигналов.................................. 22
1.2.2. Цифровой сигнал......................................... 24
1.2.3. Типовые дискретные (цифровые) сигналы................... 25
1.2.4. Свойство селективности цифрового единичного импульса.... 29
  1.3. Обобщённая схема цифровой обработки аналогового сигнала ... 29
1.3.1. Режим реального времени................................. 32
1.3.2. Принцип построения структурной схемы передачи речевых сообщений с использованием ЦОС................................. 35
Глава 2. Линейные дискретные системы (ЛДС)..................... 36
  2.1. Определение и свойства линейных дискретных систем (ЛДС)........................................................ 36
  2.2. Описание ЛДС во временной области....................... 40
2.2.1. Понятия о разностных уравнениях......................... 40
2.2.2. Рекурсивные и нерекурсивные ЛДС......................... 43
2.2.3. Временные характеристики линейных дискретных систем..... 44
  2.3. Устойчивость ЛДС, критерий устойчивости во временной области...................................................... 53
Глава 3. Описание ЛДС в Z-области.............................. 55
  3.1. Определение и основные свойства Z-преобразования........ 56
3.1.1. Определение Z-преобразования............................ 56
3.1.2. Основные свойства Z-преобразования...................... 57
3.1.3. Z-изображения функций типовых дискретных сигналов....... 59
3.1.4. Обратное Z-преобразование............................... 65
  3.2. Передаточные функции линейных дискретных систем......... 68
3.2.1. Определение передаточной функции........................ 68
3.2.2. Нули и полюсы передаточной функции...................... 71
3.2.3. Виды передаточных функций............................... 74

4

3.2.4. Оценка устойчивости рекурсивной ЛДС по передаточной функции........................................................ 77
3.2.5. Карта нулей и полюсов.................................. 78
   3.3. Структурные схемы линейных дискретных систем.......... 79
3.3.1. Структуры нерекурсивных (КИХ) ЛДС...................... 81
3.3.2. Структуры рекурсивных (БИХ) ЛДС........................ 83
Глава 4. Частотные характеристики линейных дискретных систем........................................................ 92
   4.1. Нормирование частоты. Основная полоса частот.......... 92
   4.2. Определение частотных характеристик ЛДС............... 94
   4.3. Свойства частотных характеристик ЛДС.................. 97
   4.4. Расчёт частотных характеристик ЛДС.................... 99
   4.5. Экспресс-анализ частотных характеристик................. 104
4.5.1. Экспресс-анализ частотных характеристик звена 1-го порядка . . 105
4.5.2. Экспресс-анализ частотных характеристик звена 2-го порядка . . 107
   4.6. Взаимосвязь между характеристиками ЛДС............... 110
Глава 5. Арифметика и квантование чисел в цифровых системах..................................................... 112
   5.1. Способы квантования чисел............................ 113
5.1.1. Источники шума (ошибок) квантования................... 113
5.1.2. Формы представления данных............................ 114
5.1.3. Квантование чисел с фиксированной точкой.............. 119
5.1.4. Кодирование чисел с фиксированной точкой.............. 122
   5.2. Шум аналого-цифрового преобразования................. 124
5.2.1. Собственный шум АЦП................................... 124
5.2.2. Шум АЦП, приведённый к выходу цифровой системы........ 126
   5.3. Собственный шум цифровой системы..................... 130
5.3.1. Собственный шум умножителя............................ 131
5.3.2. Полный собственный шум цифровой системы............... 132
5.3.3. Полный выходной шум цифровой системы.................. 135
   5.4. Эффекты квантования коэффициентов.................... 135
5.4.1. Влияние квантования коэффициентов на характеристики ЛДС. . . 135
5.4.2. Понятия о предельных циклах........................... 137
5.4.3. Переполнение в сумматорах и коэффициенты масштабирования.............................................. 139
Глава 6. Цифровые фильтры.................................... 142
   6.1. Основные определения и классификации цифровых фильтров.................................................. 142

5

6.1.1. Задание требований к цифровым фильтрам................ 144
6.1.2. Условия безыскажённой передачи сигналов............... 149
   6.2. КИХ-фильтры с линейной фазочастотной характеристикой .... 154
6.2.1. Утверждение о КИХ-фильтрах с линейной ФЧХ............. 154
6.2.2. Свойства КИХ-фильтров с линейной ФЧХ.................. 159
   6.3. Однородный фильтр.................................... 172
  6.3.1. Определение и структурные схемы однородного фильтра.. 172
  6.3.2. Частотные характеристики однородного фильтра........ 174
  6.3.3. Свойства однородных фильтров........................ 179
   6.4. Синтез КИХ-фильтров методом окон..................... 180
  6.4.1. Постановка задачи. Определение метода............... 180
  6.4.2. Явление Гиббса...................................... 183
  6.4.3. Примеры окон........................................ 183
  6.4.4. Методика синтеза КИХ-фильтров на основе окон........ 190
   6.5. Синтез оптимальных (по Чебышёву) КИХ-фильтров........ 194
  6.5.1. Постановка задачи оптимального синтеза.............. 195
  6.5.2. Процедура решения задачи. Понятие о критерии Чебышёва . . . . 198
  6.5.3. Полиномиальный обменный алгоритм Ремеза............. 207
   6.6. Блочные КИХ-фильтры с целочисленными коэффициентами ... 214
   6.7. Синтез БИХ-фильтров.................................. 219
  6.7.1. Синтез БИХ-фильтров методом инвариантности импульсной характеристики аналогового прототипа....................... 220
6.7.1.1. Постановка задачи синтеза и её решение.............. 220
6.7.1.2. Свойства БИХ-фильтров, синтезируемых методом инвариантности импульсной характеристики..................... 224
  6.7.2. Синтез БИХ-фильтров методом билинейного Z-преобразования........................................... 226
6.7.2.1. Определение билинейного Z-преобразования............ 226
6.7.2.2. Свойства билинейного Z-преобразования............... 228
6.7.2.3. Методика синтеза цифровых фильтров при билинейном Z-преобразовании............................................. 232
6.7.2.4. Расстановка и структура звеньев..................... 235
Глава 7. Основы цифрового спектрального анализа.............. 243
   7.1. Преобразование Фурье цифровых (дискретных) сигналов и его свойства.................................................. 243
  7.1.1. Свойства спектров дискретных сигналов............... 246
  7.1.2. Связь между спектрами аналогового и дискретного сигналов . . . 248
  7.1.3. Дискретизация относительно узкополосных сигналов..... 253
  7.1.4. Сдвиг (перенос) спектра............................. 258

6

7.1.5. Инверсия спектра вещественного сигнала................. 262
7.1.6. Формирование сигнала с одной боковой полосой........... 265
 7.1.7. Выбор частоты дискретизации при переносе спектра узко-полосного ВЧ сигнала в область нижних частот........... 269
   7.2. Дискретное преобразование Фурье....................... 274
7.2.1. Определение дискретного преобразования Фурье (ДПФ)..... 275
7.2.2. Свойства ДПФ........................................... 278
7.2.3. Пример вычисления ДПФ.................................. 282
   7.3. Быстрое преобразование Фурье (БПФ).................... 283
7.3.1. Алгоритм БПФ с прореживанием по времени................ 286
7.3.2. Эффективность алгоритма БПФ............................ 290
7.3.3. Организация вычислений БПФ............................. 292
   7.4. Применение алгоритма БПФ.............................. 297
7.4.1. Вычисление обратного ДПФ (ОДПФ)........................ 297
7.4.2. Вычисление свёрток..................................... 298
7.4.3. Вычисление реакции ЛДС с использованием БПФ............ 300
7.4.4. Пример решения задачи вычисления 4-точечного ДПФ....... 301
7.4.5. Процедура формирования бит-реверсивного адреса......... 304
   7.5. Дискретное преобразование Хартли (ДПХ)................ 306
Глава 8. Специальные фильтры.................................. 308
   8.1. Цифровой преобразователь Гильберта.................... 308
8.1.1. Понятие о преобразовании Гильберта..................... 309
8.1.2. Дискретное преобразование Гильберта.................... 313
 8.1.3. Частотные характеристики цифровых преобразователей Гильберта................................................... 316
8.1.4. Импульсная характеристика ЦПГ.......................... 318
 8.1.5. Задание требований к цифровым преобразователям Гильберта................................................... 320
   8.2. Цифровые согласованные КИХ-фильтры.................... 323
 8.2.1. Определение и основные характеристики согласованного фильтра..................................................... 323
8.2.2. Импульсная характеристика СФ........................... 328
8.2.3. Решающая схема обнаружителя сигналов................... 332
   8.3. Амплитудные корректоры................................ 335
   8.4. Фазовые корректоры.................................... 338
8.4.1. Понятия о фазовом корректировании...................... 338
8.4.2. Фазовые звенья......................................... 339
   8.5. Адаптивные фильтры.................................... 345
8.5.1. Назначение и место адаптивных фильтров................. 345

7

8.5.2. Принцип работы адаптивных фильтров.................... 348
8.5.3. Основное свойство адаптивного шумоподавителя.......... 350
8.5.4. Выбор критерия оценивания............................. 352
8.5.5. Оптимальное нерекурсивное винеровское оценивание....... 353
   8.6. Медианная фильтрация................................. 363
Глава 9. Многоскоростная обработка сигналов.................. 366
   9.1. Система децимации.................................... 368
9.1.1. Однократные системы децимации......................... 368
9.1.2. Спектральное представление децимации.................. 370
9.1.3. Многократные системы децимации........................ 373
   9.2. Системы интерполяции................................. 377
   9.3. Преобразование частоты дискретизации с рациональным коэффициентом.............................................. 380
   9.4. Способы реализации интерполяторов и дециматоров....... 382
9.4.1. Реализация интерполяторов............................. 382
9.4.2. Реализация дециматоров ............................... 385
Глава 10. Цифровая обработка речевых сигналов................ 387
10.1. Методы компандирования речевых сигналов................ 388
10.1.1. Постановка задачи.................................... 388
10.1.2. Компрессия сигнала................................... 389
10.2. Введение в линейное предсказание....................... 395
10.2.1. Постановка задачи линейного предсказания............. 396
10.2.2. Вычисление коэффициентов линейного предсказания....... 400
10.3. Понятия о линейных спектральных корнях (ЛСК)........... 405
10.4. Принцип построения вокодеров с линейным предсказанием ... 411
10.4.1. Основные параметры и характеристики речевого сигнала.. 412
10.4.2. Структурная схема вокодера с линейным предсказанием... 416
10.5. Векторное квантование ................................. 419
Список литературы............................................ 425
Предметный указатель......................................... 428

8

ПРИНЯТЫЕ СОКРАЩЕНИЯ

     АК - амплитудный корректор
     АМ - амплитудная модуляция
     АФ - адаптивный фильтр
    АЦП - аналого-цифровой преобразователь
    БИХ - бесконечная импульсная характеристика
    БПФ - быстрое преобразование Фурье
   БУГП - бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
     ГВЗ - групповое время задержки
    ДПГ - дискретное преобразование Гильберта
    ДПФ - дискретное преобразование Фурье
    ДПХ - дискретное преобразование Хартли
    КИХ - конечная импульсная характеристика
    КНП - карта нулей и полюсов
   КФНЧ - комплексный фильтр нижних частот
    КЧХ - комплексная частотная характеристика
    ЛДС - линейная дискретная система
     ЛП - линейное предсказание
    ЛСК - линейные спектральные корни
    ЛСП - линейные спектральные пары
    МНК - метод наименьших квадратов
    МСИ - межсимвольная интерференция
    ННУ - нулевые начальные условия
     НУ - начальные условия
    ОБП - одна боковая полоса
   ОДПФ - обратное дискретное преобразование Фурье
    ОПС - однополосный сигнал
     ОТ - основной тон
     ОФ - однородный фильтр
      ПЗ - полоса задерживания
   ПЛИС - программируемая логическая интегральная схема
     ПП - полоса пропускания
     ПТ - плавающая точка
     ПФ - передаточная функция
   ПФДС - преобразование Фурье дискретного сигнала
      РП - речевой поток
      РС - речевой сигнал
      РУ - разностное уравнение
    С/Ш - сигнал/шум
    СКО - среднеквадратичная ошибка

9

     СЛЗ - согласующая линия задержки
      СФ - согласованный фильтр
      Ф3 - фиксированная запятая
     ФЗ-1 - фазовое звено 1-го порядка
      ФК - фазовый корректор
      ФТ - фиксированная точка
     ЦАП - цифро-аналоговый преобразователь
     ЦОС - цифровая обработка сигналов
     ЦПГ - цифровой преобразователь Гильберта
   ЦПОС - цифровой процессор обработки сигналов
      ЦС - цифровая система
     ЧРК - частотное разделение каналов
      ЧТ - частотный тракт
      ЭЗ - элемент задержки

10

ПРЕДИСЛОВИЕ


   Цифровая обработка сигналов как научное направление сформировалась в 60-е годы XX века, пройдя в своём развитии и становлении три естественных фазы: (1) этого не может быть и потому не нужно, (2) в этом что-то есть, давайте попробуем и (3) кто же этого не знает. Такие же фазы, но с некоторой задержкой, прошла и учебная дисциплина «Цифровая обработка сигналов», лишь к концу 70-х годов окончательно ставшая неотъемлемой частью общепрофессиональной подготовки специалистов, занимающихся обработкой и передачей сигналов различной природы.
   Современная теория и элементная база ЦОС позволяют разрабатывать высокоэффективные системы связи и управления, эксплуатация которых требует хорошего знания предмета и понимания принципов, заложенных построена система связи и элементы её структуры. Однако зачастую инженеры, занимающиеся эксплуатацией систем связи, пренебрегают изучением алгоритмов, «спрятанных» в цифровых процессорах и составляющих суть самой цифровой системы, не усматривая за внешней лёгкостью управления самой системой те внутренние возможные нарушения, которые могут произойти под воздействием неблагоприятных внешних факторов.
   Книга (учебник) написана на основе курсов лекций, читавшихся автором в СПб ГУТ им. проф. М. А. Бонч-Бруевича и Военной академии связи им. Маршала Советского Союза С. М. Будённого.
   Учебник предназначен для студентов всех форм обучения, аспирантов и преподавателей профильных вузов; может быть полезным для инженеров, занимающихся разработкой техники связи.
   Основное внимание уделено базовым разделам цифровой обработки сигналов. В книгу также включены опубликованные ранее в научных изданиях некоторые результаты, полученные в ходе научно-технических исследований и разработок, выполненных автором как самостоятельно, так и совместно с сотрудниками академии.
   Содержание книги тематически разделено на 10 глав:
   Глава 1 посвящена введению в предмет и задачам дисциплины ЦОС, в ней рассматривается обобщённая схема цифровой обработки аналогового сигнала, понятие режима реального времени, вводится понятие нормированного времени, изучаются типовые дискретные сигналы.
   В главе 2 изучается описание линейных дискретных систем (ЛДС) во временной области: свойства, условия физической реализуемости, разностные уравнения, рекурсивные и нерекурсивные ЛДС, временные характеристики (импульсная и переходная), критерий устойчивости ЛДС во временной области.

11

   В главе 3 формулируются основы аппарата Z-преобразования: определение и свойства Z-преобразования, z-изображения функций типовых дискретных сигналов; изучается описание ЛДС в z-области: передаточные функции и структурные схемы ЛДС, вводится понятие нулей и полюсов передаточных функций, рассматривается оценка и критерий устойчивости ЛДС по передаточной функции.
   В главе 4 изучается описание ЛДС в частотной области: рассматривается нормирование частоты и вводится понятие основной полосы частот, даются определения, свойства и методика расчёта частотных характеристик ЛДС; приводится пример экспресс-анализа частотных характеристик; устанавливается взаимосвязь между временными, операторными и частотными характеристиками ЛДС.
   В главе 5 рассматривается арифметика и квантование чисел в цифровых системах: источники шума квантования, числа с фиксированной и плавающей точкой (запятой), кодирование чисел; шум аналого-цифрового преобразования, собственный шум цифровой системы, эффекты квантования коэффициентов передаточных функций.
   Глава 6 посвящена цифровым фильтрам (ЦФ). Идеологически эта глава теснейшим образом связана с классической теорией синтеза фильтров. В главе изучаются: задание требований к ЦФ, условия безыскажённой передачи сигналов; подробно рассматриваются методы синтеза КИХ-фильтров с линейной ФЧХ (однородный фильтр, метод окон, оптимальных по Чебышёву, блочные фильтры с целочисленными коэффициентами); синтез БИХ-фильтров (метод инвариантности импульсной характеристики аналогового фильтра-прототипа, метод билинейного Z-преобразования); свойства и применение цифровых фильтров.
   В главе 7 даются основы цифрового спектрального анализа: преобразование Фурье дискретного сигнала, устанавливается связь между спектрами аналогового и дискретного сигналов; рассматривается дискретизация относительно узкополосных сигналов, преобразования спектра; изучается дискретное преобразование Фурье (ДПФ), алгоритм Кули-Тьюки быстрого преобразование Фурье (БПФ) с прореживанием по времени, применение алгоритма БПФ; даётся понятие о дискретном преобразовании Хартли для обработки вещественных данных.
   В главе 8 рассматриваются специальные фильтры: цифровой преобразователь Гильберта и его применение, цифровые согласованные КИХ-фильтры, амплитудные и фазовые корректоры, основы адаптивной фильтрации, излагается принцип медианной фильтрации.
   В главе 9 рассматриваются принципы организации многоскоростной обработки сигналов: однократных и многократных систем децимации

12

и интерполяции, а также способы реализации интерполяторов и деци-маторов.
   Глава 10 посвящена основам цифровой обработки речевых сигналов. В главе изучаются методы компандирования речевых сигналов (линейное квантование, компандирование по А- и ц-законам); даётся широкое представление о линейном предсказании и линейных спектральных корнях (ЛСК); рассматривается структурная схема вокодера с линейным предсказанием (липредера) и векторное квантование.
   Содержание книги составляют инженерные алгоритмы ЦОС, и для овладения материалом книги читателю потребуются некоторые усилия, чтобы освежить или восполнить минимальные знания из соответствующих разделов математики, теории линейных электрических цепей и других сопутствующих дисциплин.
   Данная книга является вводным курсом и позволяет ориентироваться в многообразных приложениях цифровой обработки сигналов применительно к системам телекоммуникации и связи в контексте конкретной задачи.
   Автор выражает глубокую признательность рецензентам книги: профессору Е. Б. Соловьёвой и профессору А. М. Чуднову.
   Автор благодарит всех, кто оказывал помощь и делился своими знаниями и опытом: к. т. н. доц. А. В. Давыдова, д. т. н. проф. Н. В. Сави-щенко, к. т. н. доц. А. И. Солонину, к. т. н. доц. В. А. Филимонова.

13

Г л а в а 1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ


Не сведущий в математике да не входит в этот дом.
                                     Надпись над воротами платоновской Академии

                            Знание только тогда знание, когда оно приобретено усилиями своей мысли, а не памятью.
Л. Н. Толстой


1.1. Введение


   Сигналом называется изменяющаяся во времени физическая величина (ток, напряжение, электромагнитное поле, звуковая волна), отображающая сообщение. Все сигналы, независимо от их природы, подразделяются на два обширных класса: детерминированные (регулярные, задаются аналитическими функциями, их параметры известны в любой момент времени) и недетерминированные (случайные, для их описания применяется аппарат теории вероятностей и случайных процессов). Сигналы в процессе передачи от источника к получателю подвергаются различным преобразованиям, или обработке.

Система обработки сигналов
F
X ^ Y

Рис. 1.1. Система обработки сигналов



                                   Определение: под обработкой сигналов в общем смысле понимают совокупность процедур, целью которых является получение электромагнитных процессов с заданными свойствами, а также исследование (анализ) свойств самих сигналов.

  Любая задача обработки сигналов в технических системах обычно сводится к преобразованию (рис. 1.1) множества X входных сигналов x е X во множество выходных сигналов у е Y по определённому правилу.


   Определение: правило F, по которому выполняется преобразование F
X ^ Y, называется оператором, а физический объект, реализующий это правило, называется системой обработки сигналов.
   Определение: алгоритмом называется заданная строгая последовательность операций вычисления, которая, исходя из входных данных, обязательно приводит к требуемому результату.
   Интуитивно ясна возможность представления оператора различными алгоритмами, что будет показано в гл. 2.


14

   Возникновение цифровой обработки сигналов как самостоятельной научно-технической дисциплины относится к началу 1960-х годов, когда была создана не только математическая база, но появились быстродействующие общедоступные цифровые компьютеры (до этого времени использовалась аналоговая вычислительная техника) и цифровые процессоры, которые обеспечили обработку информации в реальном времени. История ЦОС тесно связана с историей цифровой фильтрации. Первые публикации по инженерным вопросам цифровой фильтрации появились в конце 1940-х годов в СССР (Л. М. Гольденберг, Я. 3. Цыпкин) и в США (Гуревич). Первые монографии по вопросам ЦОС вышли во второй половине 1960-х годов (Кайзер, Блэкман, Голд, Рэйдер, Оппенгейм, Шафер). Большой вклад в развитие цифровой обработки сигналов внесён отечественной научной школой ЦОС, во главе которой стоял профессор А. А. Ланнэ, преподававший в военной академии связи.
   Наиболее мощное продвижение цифровая обработка сигналов практически во все научно-технические приложения (рис. 1.2), включая военную область, получила в 1980-е годы благодаря появлению широкой номенклатуры специальных микросхем (цифровых процессоров, контроллеров, программируемых логических интегральных схем), а также программно-аппаратных средств для проектирования, отладки и контроля устройств, создаваемых на базе методов ЦОС.


Связь со смежными дисциплинами

Рис. 1.2. Связь ЦОС с различными дисциплинами и области применения ЦОС

15