Введение в численные методы

ВВЕДЕНИЕ В ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

Учебно-методическое пособие 

Москва 
Издательство «ФЛИНТА» 
2023

С.А. Повитухин, Е.В. Карманова

2-е издание, стереотипное

УДК 512(075.8)
ББК  22.14

        П42 

Рецензенты: 
канд. техн. наук, доцент, зам. директора по информационным технологиями 
 ЗАО «КонсОМ СКС» Ю.Н. Волщуков; 

канд. техн. наук, доцент, начальник управления информационных 
технологий и АСУ МГТУ им. Г.И. Носова К.А. Рубан 

П42 

Повитухин С.А. 
Введение в численные методы : учебно-методическое пособие / 
С.А. Повитухин, Е.В. Карманова. — 
2-е изд., стер. — Москва : 
ФЛИНТА, 2023. — 81 с. — ISBN 978-5-9765-3696-8. — Текст : 
электронный.

Данное  пособие включает в себя лабораторные работы, содержащие 
подробный теоретический материал, 
контрольные вопросы, задания, 
глоссарий  по следующим разделам численных методов: решение 
нелинейных уравнений, их систем; приближение функций; численное 
интегрирование и дифференцирование.  
Пособие адресовано студентам направления подготовки 44.03.05 
Педагогическое образование.  

УДК 512(075.8) 
ББК  22.14 

ISBN 978-5-9765-3696-8     
© Повитухин С.А., Карманова Е.В., 2017    
© Издательство «ФЛИНТА», 2017 

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ.............................................................................................................. 6

РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ....... 11

Лабораторная работа № 1. Нахождение корней нелинейного уравнения ... 11

Теоретическая часть....................................................................................... 11

Метод половинного деления......................................................................... 12

Метод простой итерации ............................................................................... 13

Метод хорд...................................................................................................... 14

Метод Ньютона (метод касательных) .......................................................... 15

Контрольные вопросы ................................................................................... 16

Задания ............................................................................................................ 16

Лабораторная работа № 2. Прямые методы решения систем линейных 

алгебраических уравнений (СЛАУ)................................................................. 18

Теоретическая часть....................................................................................... 18

Метод Гаусса................................................................................................... 19

Погрешности вычислений............................................................................. 21

Уточнение решения систем линейных уравнений...................................... 21

Другие прямые методы.................................................................................. 23

Контрольные вопросы ................................................................................... 23

Задания ............................................................................................................ 23

Лабораторная работа № 3. Итерационные методы решения систем 

линейных алгебраических уравнений (САУ) ................................................. 25

Теоретическая часть....................................................................................... 25

Метод простой итерации ............................................................................... 27

Метод Гаусса—Зейделя................................................................................. 28

Метод релаксации .......................................................................................... 30

Контрольные вопросы ................................................................................... 32

Задания ............................................................................................................ 32

Лабораторная работа № 4. Методы решения систем нелинейных уравнений

.............................................................................................................................. 33

Теоретическая часть....................................................................................... 33

Метод простой итерации ............................................................................... 34

Метод Ньютона............................................................................................... 35

Теорема (о сходимости)................................................................................. 38

Контрольные вопросы ................................................................................... 38

Задания ............................................................................................................ 39

ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ............................................................................. 40

Лабораторная работа № 5. Аппроксимация функций. Метод наименьших 

квадратов................................................................................................................ 40

Теоретическая часть....................................................................................... 41

Линейная аппроксимация.............................................................................. 43

Квадратичная аппроксимация....................................................................... 43

Задания ............................................................................................................ 47 

Лабораторная работа № 6. Методы интерполяции. Интерполяционные 

многочлены ......................................................................................................... 49 

Теоретическая часть ....................................................................................... 49 

Интерполирование алгебраическими многочленами ................................. 49 

Интерполяционный многочлен Лагранжа ................................................... 50 

Контрольные вопросы ................................................................................... 52 

Задания ............................................................................................................ 52 

ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ............... 55 

Лабораторная работа № 7. Методы численного интегрирования ................ 55 

Теоретическая часть ....................................................................................... 55 

Метод прямоугольников ................................................................................ 55 

Метод трапеций .............................................................................................. 56 

Метод Симпсона (метод парабол) ................................................................ 57 

Формулы Гаусса–Лежандра .......................................................................... 57 

Правило Рунге ................................................................................................. 58 

Контрольные вопросы....................................................................................47

Контрольные вопросы ................................................................................... 59

Задания ............................................................................................................ 59

Лабораторная работа № 8. Методы численного дифференцирования ........ 60

Теоретическая часть....................................................................................... 60

Общая методика построения разностных аппроксимаций........................ 61

Обусловленность формул численного дифференцирования..................... 63

Контрольные вопросы ................................................................................... 64

Задания ............................................................................................................ 64

Лабораторная работа № 9. Методы решения 

дифференциальных уравнений.......................................................................... 65 

Теоретическая часть....................................................................................... 65

Постановка задачи Коши............................................................................... 65

Метод Эйлера.................................................................................................. 66

Метод Рунге-Кутта......................................................................................... 67

Методы Адамса .............................................................................................. 69

Метод прогноза  и коррекции ....................................................................... 71

Контрольные вопросы ................................................................................... 72

Задания ............................................................................................................ 72

Глоссарий............................................................................................................... 74

Список литературы ............................................................................................... 78

ВВЕДЕНИЕ

Предлагаемые в данном пособии задания соответствуют лабораторным

работам по программе дисциплины «Численные методы». 

Решение нелинейных уравнений и систем. Лабораторные работы 1–4

посвящены численным методам решения нелинейных уравнений и систем 

алгебраических уравнений (САУ).

Задача нахождения корней нелинейных уравнений (лабораторная 

работа № 1)
встречается довольно часто. Следует отметить, что 

итерационные методы можно использовать как для нахождения корня 

уравнения с одним неизвестным, так и для нахождения корня уравнения с 

несколькими неизвестными (САУ).

К решению системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) 

сводятся 
многочисленные 
практические 
задачи. 
Можно 
с 
полным 

основанием утверждать, что решение систем линейных алгебраических 

уравнений является одной из самых распространенных и важных задач 

вычислительной математики.

Методы решения СЛАУ можно разделить на методы: прямые и 

итерационные. Прямые
методы позволяют записать решение
в виде 

некоторого конечного соотношения (лабораторная работа № 2). 

Однако встречающиеся на практике уравнения не всегда удается 

решить прямыми методами. В этом случае для их решения используются 

итерационные
методы, 
т.е. 
методы 
последовательных 
приближений

(лабораторная работа № 3).
В них необходимо задать некоторое

приближенное решение — начальное приближение
x0 . После этого с 

помощью некоторого алгоритма выполняется один цикл вычислений, 

называемый итерацией. В результате итерации находят новое приближение. 

В результате итераций находится последовательность приближенных 

значений корня x x
xn
1
2
,
,...,
. Если эти значения с ростом n приближаются к 

истинному значению корня x* или  , то говорят, что итерационный процесс 

сходится.
Итерации
проводятся
до получения решения с требуемой 

точностью.

Численные методы линейной алгебры играют особую роль в численном 

анализе. Это обусловлено, по крайней мере, двумя причинами:

1) многие линейные задачи математического анализа, дифференциальных и 

интегральных уравнений после дискретизации сводятся к решению задач 

линейной алгебры. Таким образом, численные методы линейной алгебры 

оказываются инструментом численного решения обширного круга 

математических, и, следовательно, научно-технических задач;

2) можно сформулировать следующее нестрогое утверждение: большинство 

нелинейных задач «в малом» линейны, т. е. нелинейные модели в малой 

окрестности некоторого решения могут быть описаны линейными

зависимостями. Таким образом, обычно, первым шагом решения 

нелинейных задач является исследование их линеаризованных моделей, 

их дискретизация и численные методы линейной алгебры, лежащие в

основе решения конечномерных линейных моделей.

Однако, как нельзя недооценивать роль линейной алгебры и ее 

численных методов, так и не следует переоценивать ее среди инструментов 

решения научно-технических задач. Реальные математические модели все-

таки не линейны и, обычно, необходимо изучить модель «в целом», а не «в 

малом». Следовательно, полный арсенал методов вычислений должен 

содержать и нелинейный численный анализ (лабораторная работа № 4).

Система линейных алгебраических уравнений в матричном виде:

Аx=В

где A – матрица (n×n), а x и B  векторстолбец n неизвестных и 

векторстолбец правых частей соответственно.

Необходимым и достаточным условием существования единственного 

решения 
СЛАУ
является 
условие 
неравенства 
нулю 
определителя 

(детерминанта) матрицы A, т.е.
0

D
. 

В случае равенства нулю определителя системы D матрица называется 

вырожденной; при этом система линейных уравнений либо не имеет 

решения, либо имеет их бесчисленное множество. 

В случае
0

D
система уравнений называется плохо обусловленной. 

Такие системы характерны тем, что даже при малых погрешностях в 

исходных данных дают существенные погрешности в результатах. Заметим, 

что условие 
0

D
является необходимым для плохой обусловленности 

системы, но не достаточным.

Приближение функций. Лабораторные работы 5 и 6 направлены на 

практическое освоение методов аппроксимации и интерполяции функций.

В инженерной деятельности часто возникает необходимость описать в 

виде функциональной зависимости связь между величинами, заданными 

таблично или в виде набора точек с координатами 

N
i
y
x
i
i
,
,1,0
,
,


, где N –

общее количество точек. 

При аппроксимации желательно получить относительно простую 

функциональную зависимость (например, многочлен), которая позволила бы 

«сгладить» экспериментальные погрешности, вычислить значения функции в 

точках, не содержащихся в исходной таблице.

Задача интерполирования состоит в том, чтобы по значениям функции 

f(x) в нескольких точках отрезка восстановить ее значения в остальных 

точках данного отрезка. Интерполирование используется также при 

необходимости сгущения таблиц, когда вычисление значений f(x) по точным 

формулам трудоемко.

Если приближение строится на заданном дискретном множестве точек, 

то аппроксимация называется точечной. К ней относятся интерполирование, 

среднеквадратичное приближение и др. При построении приближения на 

непрерывном множестве точек, например, на отрезке [a, b] аппроксимация 

называется непрерывной (или интегральной).

Численное 
интегрирование
и 
дифференцирование.
Сложность 

подинтегральных 
выражений 
делает 
задачу 
интегрирования 
весьма 

громоздкой. При этом интегралы могут быть настолько сложными, что точно 

вычислить их почти невозможно. В этом случае приходится прибегать к 

численному интегрированию, при котором стандартный интеграл заменяется 

квадратурной суммой (Лабораторная работа №7).

Сначала строятся простейшие формулы для приближенного вычисления 

интегралов по отрезку. Такие формулы называют квадратурными.  Более 

сложные квадратурные формулы, так же как и формулы численного 

дифференцирования, строятся методом неопределенных коэффициентов.

Правило Рунге – это эмпирический способ оценки погрешности, основанный 

на сравнении результатов вычислений интеграла, проводимых с разными 

шагами h. Используя правило Рунге, можно построить процедуру 

приближенного вычисления интеграла с заданной точностью . Нужно, 

начав вычисления с некоторого значения шага h, последовательно уменьшать 

это значения в два раза, каждый раз вычисляя приближенное значение 

интеграла. Вычисления прекращаются тогда, когда результаты двух 

последующих вычислений будут различаться меньше, чем на величину .

Задача численного дифференцирования (Лабораторная работа №8) 

возникает при нахождении производных от функции y=f(x), заданной 

таблично, либо при нахождении производной от аналитической функции, 

непосредственное дифференцирование которой по каким-либо причинам.

Для того чтобы погрешность аппроксимации была малой, требуется 

использование таблиц с малыми шагами h. Однако при малых шагах 

формулы 
численного 
дифференцирования, 
становятся 
плохо 

обусловленными, и результат их применения может быть полностью искажен 

действием неустранимой погрешности. Причина этого кроется не в 

алгоритме численного дифференцирования, а в некорректности самой 

операции дифференцирования приближенно заданной функции.  

Формулы для вычисления производных высоких порядков обладают 

еще большей чувствительностью к погрешностям задания функций. Поэтому 

по мере возрастания порядка производной приближенные алгоритмы их 

вычисления обладают все меньшей точностью.

При решении практических задач, в том числе при численном решении 

обыкновенных дифференциальных равнений и уравнений в частных 

производных, приходится использовать аппроксимации первых и вторых 

производных. Значительно реже приходится аппроксимировать производные 

более высоких порядков. 

Важное приложение численного дифференцирования – разностная 

аппроксимация производных, которая широко используется при численном

решении обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных 

уравнений в частных производных. В лабораторной работе №9 излагаются 

численные методы решения задачи Коши для систем обыкновенных 

дифференциальных уравнений.

РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ

УРАВНЕНИЙ

Лабораторная работа № 1. Нахождение корней нелинейного
уравнения

Цель: Познакомиться со способами вычисления изолированного корня 

при решении нелинейных уравнений методом: итераций, половинного 

деления, хорд, касательных и комбинированным. 

Задачи:
Сравнить 
сходимость 
методов. 
Рассмотреть 
понятие 

«точность приближения». Знать ведущие уравнения каждого метода. 

Теоретическая часть

Пусть дано уравнение:

f(x)=0
(1.1)

где функция f(x) определена и непрерывна в конечном или бесконечном 

интервале a<x<b. Всякое значение ξ, обращающее функцию f(x) в нуль, то 

есть такое, что f(ξ)=0, называется корнем уравнения f(x)=0 или нулем 

функции f(x).

Сформулируем без доказательства очень важную для рассмотрения 

дальнейших вопросов теорему:

Если непрерывная функция f(x) принимает значения разных знаков на 

концах отрезка [a, b], то есть f(α)·f(b)<0, то внутри этого отрезка 

содержится по меньшей мере один корень уравнения f(x)=0, а именно: 

найдётся хотя бы одно число
]
,
[
b
a


такое, что f(ξ) = 0 .

Приближенное нахождение изолированных действительных корней 

уравнения (1.1) складывается обычно из двух этапов:

1. Отделение 
корней, 
то 
есть 
установление 
возможно 
тесных 

промежутков [a, b], в которых содержится один и только один корень 

исходного уравнения. Провести полное отделение всех корней уравнения -

значит разбить всю область допустимых значений на интервалы (или на 

отрезки), в каждом из которых содержится ровно по одному корню (или  не 

содержится ни одного). Отделение корней обычно начинают проводить 

графически. Для этого строят графики функций, получают интервалы, в 

которых находятся корни уравнений. Это предположение затем проверяют 

аналитически, пользуясь свойствами непрерывных и дифференцируемых 

функций, которые изучаются в курсе математического анализа.

2. Уточнение приближенных корней, то есть доведение их до заданной 

степени точности. В настоящее время наиболее известными итерационными 

методами нахождения (уточнения) корней являются следующие:

• метод половинного деления (метод деления отрезка пополам или 

метод бисекции);

• метод хорд;

• метод касательных (метод Ньютона);

• комбинированный метод.

Метод половинного деления

Является частным случаем метода проб. Суть метода заключается в 

том, что отрезок, на котором ищется корень уравнения делиться на две 

равные части, т.о. каждый раз получают отрезки вдвое меньшей длины. 

После этого выбирают тот из отрезков, на котором выполняется условие 

 
 
f a
f b
n
n

 0. Причем концы отрезка получены с предыдущего этапа по 

формулам:




































































1
1
1

1
1
1

1
1
1

1
1
1

,

,
,

,

,
,

n
n
n

n
n
n

n

n
n
n

n
n
n

n

x
f
sign
b
f
sign
b

x
f
sign
b
f
sign
x
b

x
f
sign
a
f
sign
a

x
f
sign
a
f
sign
x
a

,

где функция определена как: 

 














;0
,1

;0
,0

;0
,1

x
при

x
при

x
при

x
sign
.

При этом будут выполняться следующие отношения: 

n
n
b
x
a


*
и 



n
n
n

a
b
a
b
2



при 
...)
,2
,1
( 
n
.

Процесс продолжается до тех пор, пока не произойдет одно из двух:

1. или обнаружена точка 


x
b
a

n

n
n


2
которая и будет искомым корнем 

x* (на практике такое происходит крайне редко).

2. или получен отрезок, содержащий искомый корень и длина которого 

не превышает . При этом справедлива следующая оценка погрешности:




n
n

a
b
x
x
2

*



.

Метод половинного деления очень прост, здесь нет вычислительной 

формулы и можно обеспечить практически любую точность. Недостатком

метода можно отметить его медленную сходимость (за один шаг интервал, 

где находится корень, сужается всего в два раза).

Метод простой итерации

Заменим 
уравнение 
(1.1) 

равносильным уравнением:

x = f(x)
(1.2)

Пусть   корень уравнения (1.2), а 

x0, полученное каким либо способом 

нулевое 
приближение 
к 
корню 
. 

Подставляя x0 в правую часть уравнения 

(1.2), получим некоторое число x1 = f(x0).

Повторим данную процедуру с x1
и 

получим 
x2
= 
f(x1).
Повторяя 
описанную 
процедуру, 
получим 

последовательность, называемую итерационной последовательностью:

x0, x1, …, xn .

Рисунок 1. Метод простой 

итерации