Математическое моделирование

 

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 
Сибирский федеральный университет 
 
 
 
 
 
 
 
Е. Б. Истягина, А. А. Пьяных, Т. А. Пьяных 
 
 
 
 
 
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ  
МОДЕЛИРОВАНИЕ 
 
 
Учебное пособие 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Красноярск 
СФУ 
2022 

УДК 51.001.57(07) 
ББК 22.181я73 
И915 
 
 
Р е ц е н з е н т ы: 
Ю. Л. Липовка, доктор технических наук, профессор кафедры 
«Инженерные системы зданий и сооружений» СФУ; 
А. С. Кузнецов, кандидат технических наук, заведующий кафедрой «
Информатика» СФУ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Истягина, Е. Б. 
И915 
 
Математическое моделирование : учеб. пособие / Е. Б. Ис-
тягина, А. А. Пьяных, Т. А. Пьяных. – Красноярск : Сиб. федер. 
ун-т, 2022. – 124 с. 
 
 
ISBN 978-5-7638-4557-0 
 
 
На примерах наиболее часто встречающихся теплотехнических процессов (
теплопроводность, конвективный и сложный теплообмен) проиллюстрированы 
возможности математического моделирования прикладных задач 
и доступные инженерные методы их решения. Рассмотрена сущность 
теории подобия и ее место при создании математических моделей. Приведены 
примеры составления вычислительных программ и полученных результатов. 

Предназначено для студентов направления 13.04.01 «Теплоэнергетика  
и теплотехника» (программа подготовки 13.04.01.01 «Энергетика теплотех-
нологий»). 
 
 
Электронный вариант издания см.: 
http://catalog.sfu-kras.ru 
УДК 51.001.57(07) 
ББК 22.181я73 
 
 
ISBN 978-5-7638-4557-0 
© Сибирский федеральный университет, 2022 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

ВВЕДЕНИЕ ......................................................................................................... 5 

1. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ .............. 7 
1.1. Основные этапы математического моделирования .................................. 7 
1.2. Алгоритм решения задач математической физики ................................. 10 
1.3. Источники погрешностей численного решения задач ........................... 11 
1.4. Свойства математических моделей .......................................................... 12 

2. ТЕОРИЯ ПОДОБИЯ .................................................................................. 15 
2.1. Сущность математического подобия ....................................................... 15 
2.2. Определение критериев подобия из дифференциальных  
уравнений ........................................................................................................... 19 

3. МЕТОД АНАЛИЗА РАЗМЕРНОСТИ. π-ТЕОРЕМА ........................... 27 

4. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ ...................................................... 35 
4.1. Теплопроводность твердых тел ................................................................ 35 
4.1.1. Уравнение нестационарной теплопроводности ............................... 35 
4.1.2. Условия однозначности ...................................................................... 37 
4.2. Примеры решения задач теплопроводности ........................................... 38 
4.2.1. Линейные задачи теплопроводности ................................................ 38 
4.2.2. Граничные условия второго и третьего рода ................................... 43 
4.2.3. Двухслойная пластина ........................................................................ 46 
4.2.4. Задача теплопроводности с внутренними источниками ................. 47 
4.3. Нестационарная задача теплопроводности в неоднородной  
пластине .............................................................................................................. 49 
4.4. Нелинейные задачи теплопроводности ................................................... 50 
4.4.1. Теплофизические свойства, зависящие от температуры ................ 50 
4.4.2. Нелинейные граничные условия ....................................................... 52 
4.5. Уравнение теплопроводности с подвижной границей ........................... 53 

5. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ..................................................... 57 
5.1. Уравнение теплопроводности с граничными условиями  
первого рода ....................................................................................................... 57 
5.2. Уравнение теплопроводности с граничными условиями  
второго рода ....................................................................................................... 69 
5.3. Уравнения теплопроводности с граничными условиями  
третьего рода ...................................................................................................... 71 
5.4. Уравнение теплопроводности с граничными условиями второго  
и третьего рода................................................................................................... 74 
5.5. Уравнение теплопроводности с граничными условиями  
четвертого рода .................................................................................................. 76 

5.6. Решение уравнения теплопроводности на сетке  
с переменным шагом ......................................................................................... 79 
5.7. Поэлементная сборка глобальной матрицы жесткости ......................... 82 

6. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕПЛОФИЗИКИ ............................ 86 
6.1. Задача Стефана ........................................................................................... 86 
6.2. Затвердевание расплава в области прямоугольной формы ................... 88 
6.3. Приближение пограничного слоя ............................................................. 90 
6.4. Конвективный теплообмен при течении потока ..................................... 93 
6.5. Основные понятия и определения лучистого теплообмена .................. 95 
6.6. Радиационно-кондуктивный теплообмен ................................................ 99 
6.7. Нестационарная задача термоупругости ............................................... 101 

7. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ  
ПРОМЫШЛЕННЫХ ТЕПЛОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СИСТЕМ ......... 106 
7.1. Построение математической модели  
теплоэнергетической установки .................................................................... 106 
7.2. Математическая модель газотурбинной установки .............................. 112 

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ...................................................... 122 
 
 

ВВЕДЕНИЕ 

Эффективная и надежная работа большинства теплотехнологиче-
ских установок определяется многими факторами: уровнем технологического 
совершенства процесса, правильно выбранным диапазоном рабочих 
параметров, регламентированными условиями работы и рядом 
других. Эти характеристики получают на основе построения физической 
модели реального процесса и исследования ее поведения математическими 
методами. Математическая модель, основываясь на тех или 
иных физических процессах, позволяет получить всесторонние знания  
о реальном объекте с целью прогнозирования его поведения в условиях 
изменения внешних и внутренних рабочих параметров. 
В процессе анализа результатов, полученных при решении математической 
модели, получают несколько конкурирующих вариантов, 
оптимальный из которых выбирается решением оптимизационной задачи. 
Критерии оценки определяются на основе технико-экономических 
условий для конкретного технологического устройства.  
Достоверность результатов зависит как от адекватности физической 
постановки задачи, так и от свойств математической модели: 
устойчивости, аппроксимации, сходимости, а также определяется по их 
согласованию с доступными экспериментальными данными. Получение 
последних в ряде случаев представляет значительную проблему, связанную 
с реализацией натурных условий работы оборудования.  
Развитие вычислительных методов позволило совершенствовать 
приемы математического моделирования, которое, в свою очередь, 
интенсифицировало использование вычислительного эксперимента  
в качестве расчетно-теоретического инструмента при отработке, проектировании, 
подборе и оптимизации эксплуатационных режимов 
технических устройств, а также при прогнозировании отказов и аварийных 
ситуаций. 
Практическая реализация математического моделирования и вычислительного 
эксперимента позволяет анализировать результаты  

исследований, проверять гипотезы, создавать новые технологии, материалы 
и оборудование.  
В предлагаемом учебном пособии на примерах наиболее часто 
встречающихся теплотехнических процессов (теплопроводность, конвективный 
и сложный теплообмен) иллюстрируются возможности 
математического анализа решений прикладных задач, приводятся доступные 
инженерные методы их решения. Рассматриваются сущность 
теории подобия и ее место при создании математических моделей. 
Приведены примеры вычислительных программ и полученные результаты. 
Каждая глава снабжена примерами и вопросами для самоконтроля. 
Большое внимание уделяется развитию у студентов понимания 
существующих физических задач и их соответствия математическому 
аналогу, а также анализу полученных результатов, ибо только 
аналитически мыслящий человек может быстро, эффективно и оптимально 
находить нужные решения и считаться современным творческим 
специалистом, успешным как в научной, так и в любой другой 
сфере деятельности.  
Предполагается, что к началу изучения дисциплины студенты 
имеют базовые знания в области программирования, прослушали 
курс высшей математики, а также знакомы с основами теории тепло-
массообмена и гидрогазодинамики.  

1. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКОЕ  
МОДЕЛИРОВАНИЕ 

1.1. Основные этапы  
математического моделирования 

Идея математического моделирования заключается в замене исходного 
объекта его математической моделью и последующем ее изучении 
с помощью вычислительных алгоритмов, реализуемых на компьютере. 
Замена объекта моделью позволяет исследовать его свойства 
и режимы работы в любых условиях и без существенных затрат. Благодаря 
вычислительным экспериментам становится возможным подробно 
и глубоко изучать объекты, что зачастую недоступно при теоретических 
подходах к исследованию. 
В математическом моделировании какого-либо объекта можно 
условно выделить три этапа: постановка модели – построение алгоритма – 
разработка программы (рис. 1.1). 
На первом этапе выбирается «эквивалент» исследуемого объекта, 
математически описывающий его главные законы, связи, свойства. 
Математическая модель исследуется теоретическими методами, что 
позволяет получить предварительные знания об объекте. 
Второй этап предполагает построение алгоритма реализации 
модели на компьютере. Модель записывается в форме, удобной для 
применения численных методов, определяется последовательность 
вычислительных и логических операций. Вычислительные алгоритмы 
должны быть экономичными, не искажать основные свойства объекта 
и адаптироваться к особенностям решаемых задач и используемых 
компьютеров. 
На третьем этапе разрабатывается программа, переводящая модель 
на доступный компьютеру язык. К программам также предъявляются 
требования экономичности и адаптивности. 

Рис. 1.1. Этапы математического моделирования 

Эта последовательность действий отлаживается на пробных вычислительных 
экспериментах с известными результатами. После проведенной 
апробации математической модели и полученного ее соответствия 
модели можно проводить вычислительные эксперименты. 
Предположим, что необходимо проанализировать распределение 
температуры в конструктивном элементе теплоэнергетического оборудования. 
Температурное поле в этом случае описывается трехмер-
ным нестационарным уравнением теплопроводности: 








































p
T
T
T
T
c
t
x
x
y
y
z
z
, 

где ρ – плотность; 
pc  – удельная изобарная теплоемкость; λ – коэффициент 
теплопроводности. Температура является функцией координат 
и времени  T = T(x, y, z, t).  
Наиболее сложной творческой задачей является нахождение 
функциональных зависимостей между характерными величинами, 
входящими в описание поставленной задачи, и определение их приоритетности 
при решении данной проблемы.  
На втором этапе работы необходимо провести анализ поставленной 
задачи. Методы решения той или иной задачи различаются 
степенью сложности, особенностями используемого математического 

Постановка  
модели 

Объект 

Разработка  
программы 

Построение 
алгоритма 

аппарата. В редких случаях для модели существуют аналитические 
решения, но круг этих задач ограничен. Обычно при исследовании 
математических моделей для их упрощения часто вводится ряд допущений, 
не искажающих итоговый результат. Например, если коэффициент 
теплопроводности слабо зависит от температуры 
const
 
, исходное 
уравнение можно записать так: 

2
2
2

2
2
2







 










p
T
T
T
T
c
t
x
y
z
. 

В случае бесконечно длинной и широкой пластины распределение 
температуры происходит только по глубине, и уравнение теплопроводности 
принимает следующий вид: 

2

2





 





p
T
T
c
t
x
. 

Такой анализ поставленной задачи позволяет вычленить наиболее 
значимые характеристики и упростить первоначальную модель 
без потерь важнейших свойств объекта. 
Модели, которые можно использовать для анализа, могут быть 
различными в том случае, если не оговорены условия протекания 
процесса или они не известны в начале исследования. 
Рассмотрим несколько моделей, которые применяют для анализа 
задачи определения тепловых потерь на трубопроводе (рис. 1.2). 

 
Рис. 1.2. Расчетная модель трубопровода 

Модель 1: 
– режим течения теплоносителя – турбулентный (уравнение 
Рейнольдса); 
– теплофизические характеристики теплоносителя зависят от температуры; 
– 
процесс переноса тепла – нестационарный; 
– изоляция – пористый материал (минеральная вата). 
Модель 2: 
– режим течения теплоносителя – ламинарный (уравнения  
Навье – Стокса); 
– теплофизические характеристики являются постоянными; 
– процесс переноса тепла – нестационарный; 
– изоляция – сплошная среда с эффективными параметрами. 
Модель 3: 
– режим течения теплоносителя – ламинарный (модель пограничного 
слоя – уравнение Прандтля); 
– теплофизические характеристики являются постоянными; 
– процесс переноса тепла – нестационарный; 
– изоляция – сплошная среда с эффективными параметрами. 
В зависимости от выбранной модели используются различные 
алгоритмы решения.  

1.2. Алгоритм решения задач  
математической физики 

Численные методы широко применяются для решения задач математической 
физики. Численное решение прикладных задач математической 
физики можно разбить на следующие этапы: 
1) физическая постановка задачи – осмысление поставленной задачи, 
намечаются пути решения задачи; 
2) математическое моделирование – строится математическая 
модель, которая адекватно описывает физический процесс; 
3)  выбор численного метода – поиск численного метода, который 
позволит свести задачу к вычислительному алгоритму. Преимуществами 
численных методов являются низкая стоимость (по сравнению 
с экспериментальными), возможность получения результатов 
решения по многим вариантам за короткое время, полнота получаемой 
информации;  

4)  разработка алгоритма решения задачи в виде блок-схемы последовательных 
вычислительных и логических операций; 
5) составление программы; 
6) отладка программы, которая включает тестирование по экспериментальным 
результатам (или более простым задачам) и исправление 
программ, если требуется; 
7) проведение численных экспериментов на отлаженной программе; 

8) анализ полученных результатов расчета и сопоставление их  
с экспериментальными данными; 
9) внедрение полученных результатов. 

1.3. Источники погрешностей  
численного решения задач 

Результаты расчета, определенные в ходе численных экспериментов, 
обычно являются приближенными, т. е. содержат погрешности. 
Оценка достоверности полученных результатов усложняется  
в случае отсутствия экспериментальных данных.  
Источники возникновения погрешностей можно проследить, если 
вспомнить ранее приведенные этапы численного решения задачи.  
Выделяют погрешность, вносимую математической моделью 
задачи. Ее величина может возрасти, если в модели не учтены какие-
либо важные характеристики изучаемого явления. Вопрос, насколько 
хорошо описывает математическая модель исследуемое явление, проверяется 
путем сравнения экспериментальных данных и решений, полученных 
в численном эксперименте для хорошо известных условий 
рассматриваемого процесса. 
Погрешность исходных данных может существенно влиять  
на полученный результат (особенно в неустойчивых схемах). Изменяя 
исходные данные в пределах заданной погрешности, определяют ее 
степень влияния на конечный результат, причем точность всех исходных 
данных задачи выбирается одинаковой.   
Вышеуказанные погрешности называют неустранимыми, так 
как любые действия с ними не приводят к их полному устранению.  
Следующая погрешность связана с самим численным методом. 
Решение, получаемое численным методом, отличается от истинного 
решения задачи. Эту неувязку называют погрешностью решения численного 
метода, т. е. любой численный метод является приближен-

ным даже при высокой точности исходных данных и адекватности 
математической модели.  
Абстрагируясь от ряда физических параметров и процессов, 
присутствующих в реальных задачах, численный метод оперирует 
другими, более простыми понятиями, приближенными к исходной задаче. 
Часто исходная задача аппроксимируется сеточной функцией, 
переход к которой основывается на переходе к конечным величинам, 
вследствие чего процесс прерывается на некотором шаге. Благодаря 
выбору достаточно малого шага сетки погрешность метода может 
быть снижена. Однако после определенного момента дальнейшее 
уменьшение шага сетки не влияет на погрешность.  
При выполнении арифметических действий проявляется погрешность 
округления, которая тем значительней, чем больше количество 
выполняемых действий. Рекомендациями для уменьшения величины 
этой погрешности могут быть следующие положения: 
– при сложении и вычитании приближенных чисел сохраняют 
столько десятичных знаков, сколько их в значении с наименьшим 
числом десятичных знаков; 
– при умножении и делении в результате сохраняют столько 
значащих цифр, сколько их имеет значение с наименьшим числом 
значащих цифр; 
– при возведении в квадрат и куб в результате сохраняют столько 
значащих цифр, сколько их имеет возводимое в степень число; 
– при извлечении квадратного или кубического корня в результате 
берут столько значащих цифр, сколько их в подкоренном числе; 
– при вычислении промежуточных результатов берут на одну 
значащую цифру больше, в конечном результате она отбрасывается  
с его округлением по известным правилам; 
– если данные имеют больше десятичных знаков (значащих 
цифр), их предварительно округляют. 

1.4. Свойства математических моделей 

Применение математической модели к изучению технического 
объекта будет эффективным, если ее свойства удовлетворяют определенным 
требованиям. 
Полнота математической модели. Это свойство подразумевает 
способность модели описывать те особенности объекта, которые в настоящий 
момент востребованы поставленной задачей исследования.