Математический анализ: N-мерное пространство. Функции. Экстремумы

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ 
АНАЛИЗ
N-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО
ФУНКЦИИ
ЭКСТРЕМУМЫ

В.Е. БАРБАУМОВ
Н.В. ПОПОВА

Москва
ИНФРА-М
2022

УЧЕБНИК

Рекомендовано в качестве учебника 
для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по УГС 38.00.00 «Экономика и управление»
(квалификация (степень) «бакалавр»)

УДК 517(075.8)
ББК 22.161я73
 
Б24

ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»
127214 Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1
Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86. Факс: (495) 280-36-29
E-mail: books@infra-m.ru        http://www.infra-m.ru

Барбаумов В.Е.
Математический 
анализ: 
N-мерное 
пространство. 
Функции. 
Экстремумы : учебник / В.Е. Барбаумов, Н.В. Попова. — Москва : 
ИНФРА-М, 2022. — 341 с.  — (Высшее образование: Бакалавриат). — DOI 
10.12737/19603.

ISBN 978-5-16-011829-1 (print)
ISBN 978-5-16-104284-7 (online)
Содержание учебника соответствует программе дисциплины «Математический 
анализ» для студентов экономических вузов. В учебнике с единых позиций излагаются 
основные разделы математического анализа для функций одной и нескольких переменных, 
что позволяет избежать многих повторов и уделить особое внимание тем 
понятиям, которые наиболее часто применяются в экономических исследованиях.
Соответствует требованиям Федерального государственного образовательного 
стандарта высшего образования последнего поколения.
Учебник предназначен для студентов экономических специальностей и научных 
работников.
УДК 517(075.8)
ББК 22.161я73

Б24

А в т о р ы :
Барбаумов В.Е., кандидат физико-математических наук, профессор кафедры 
высшей математики Российского экономического университета имени 
Г.В. Плеханова;
Попова Н.В., кандидат физико-математических наук, профессор кафедры 
высшей математики Российского экономического университета имени 
Г.В. Плеханова

ISBN 978-5-16-011829-1 (print)
ISBN 978-5-16-104284-7 (online)

Подписано в печать 15.11.2021. 
Формат 6090/16. Бумага офсетная. Гарнитура Newton. 
Печать цифровая. Усл. печ. л. 21,31.
ППТ20. Заказ № 00000
ТК 301000-1853512-160516

Отпечатано в типографии ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»
127214, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1
Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86. Факс: (495) 280-36-29

© Барбаумов В.Е., Попова Н.В., 2016

Р е ц е н з е н т ы :
Черемных Ю.Н., доктор экономических наук, профессор, профессор кафедры 
математических методов анализа экономики экономического факультета 
Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова;
Угрозов В.В., доктор физико-математических наук, профессор, профессор 
кафедры прикладной математики Финансового университета при Правительстве 
Российской Федерации

ФЗ 
№ 436-ФЗ
Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11

………………………………………………………………………... 
7 

…………………………………………………………………………...…. 
7 

1. ……….…. 
9 

§1. . ………………..… 
9 

§ 2. …………………….….. 
11 

§ 3. . …………….….. 
14 

§ 4. ……………………………………………….…. 
16 

§ 5. ……………………………………………………….… 
20 

§ 6. , ………………………………………………………………………………………. 
23 

§ 7. . 
25 

§ 8. ……………………………………………………………………………… 
30 

§ 9. ……………………… 
32 

II. N-MEPHOE ….. 
34 

§ 1. N-. ………………… 
34 

§ 2. n
R
………………............... 
37 

§ 3. n
R
…………….. 
40 

§ 4. n
R
………………………….. 
42 

§ 5. , n
R
……………………. 
46 

§ 6. n
R
…………………….. 
51 

§ 7. n
R
………… 
55 

§ 8. n
R
…………………………………………………………………… 
58 

§ 9. n
R
… 
60 

§ 10. 
n
R  …………………………………………………………………………………………… 
64 

§ 11. n
R  …. 
67 

§ 12. n
R  …………………………………………………………………… 
72 

§ 13. . -
………………………………………………………………………… 
74 

§ 14. ………………………………………….. 
78 

§ 15. n
R  ………… 
80 

§ 16. ……………………………………………………………… 
82 

§ 17. 86 

§ 18. ………….…… 
90 

III. …………….… 
96 

§ 1. ……………………………………………………….….… 
96 

§ 2. …………………………………………………………….… 
98 

§ 3. …………………………………………….… 
103 

§ 4. . ………………………………………………………………………………….… 
110 

§ 5. . 
……………………… 
115 

§ 6. , …………. 
121 

§ 7. ……….. 
124 

§ 8. ……. 
126 

§ 9. ………………………………………………… 
131 

§ 10. . ………………………………..… 
136 

§ 11. ………………………………………………………………………………..… 
141 

§ 12. . ………………………………………………………..…… 
143 

§ 13. . …………………………………………………………….…… 
147 

§ 14. . ……………………………………………………………..…… 
151 

§ 15. , n
R  …………………………………………………………………………………...…….. 
154 

§ 16. , ………………………………………………………….. 
159 

§ 17. n
R . .. 
164 

§ 18. x . 
……………………………………………… 
168 

§ 19. . 
……………………..… 
176 

IV. ……………………… 
182 

§ 1. . …………………………………………………………………………………..  182 
§ 2. ……………………………………… 
185 

§ 3. ………………….… 
190 

§ 4. …………………………… 
193 

§ 5. ... 
196 

§ 6. . ……………………………………………………………………………….…. 
200 

§ 7. , ………………………………………………………………………..… 
205 

§ 8. ……………………… 
210 

§ 9. …………………….… 
213 

§ 10. , …………………………………………………………….………. 
218 

§ 11. ……………………………………………..… 
221 

§ 12. …………………………………………………………. 
226 

§ 13. . …………………………………………………………………………..… 
231 

§ 14. , .. 
235 

§ 15. …….. 
240 

§ 16. . …………………………………………. 
242 

§ 17. . 
………………………………………………………………………….… 
247 

§ 18. ……………………………………………………………………….…… 
251 

§ 19. ………………………………………………………………………………… 
257 

§ 20. ………………………………………………………… 
262 

§ 21. ……………………………………………………………………….…… 
270 

§ 22. ……………………….…..….. 
276 

§ 23. ………………..… 
282 

§ 24. . ……………………………………………………………… 
288 

§ 25. ……………………………………………………………………..…… 
292 

V.   ……………….…… 
297 

§ 1. …………………………………..…… 
297 

§ 2. …………………………. 
302 

§ 3. ……. 
306 

§ 4. ……… 
310 

§ 5. ………………………………………………………………………………..… 
315 

§ 6. ……………………………….…… 
322 

§ 7. … 
328 

§ 8. -……………………………………………….…… 
332 

§ 9. ……………………………………..… 
339 

…………………………………………………………………………… 
341 

 

1992 «N-. . ». «N-. . » , , 
, . 
.. 
. – .  


, 
, , 
, 
, , , . , , 
.  
, n-, 
, , . .  
«» . , , , . , , , , , .  
«N-» . 
: 
n-, , 
, n-, , 

n-, , n-
. n-. , , 
-, n-. 
. 


. «» . 

, , 
. 

, 
, 

-, . 

«» 
. . , , . , . 

«» , 

, ; , -. , .  

. 
, . 


. 

1. 
§1. . 
. , 
, . , a
A . a
A


, . 

, , 
.. 

: N 
;  Z ; Q ; R . 

. 

, 
A
a,b,c,d
. 
. 
, 

2
B
k, k
Z
. 
, 

, . A, , 
P x , A
x P x
. , 

2
7
12
0
A
x x
x


2
7
12
0
x
x
. 

.  
, . 
: 
A
B  B
A. 

 

. 1.1 

, , N
Z
Q
R . 

, 
, a
A , a
B
. 

A 
 
 
B 

, , 
. , . 

. , 
, , 
. , 

A
B
A
B
B
A

. 

, 
, , 
. 

, : 

sin
0
A
x
x
,  
2
B
k,k
Z
, 
C
k,k
Z
. 

B
A ; 
B
C  A
C , C  
. 

 
1. A
a,b,c
. 

2. A
a,b,c,d
. 

3. 5 

, n ? 

4. 
1
3
A
n,n
Z
,
2
6
A
n,n
Z
,
3
4
2
A
n
,n
Z


 2
B
n,n
Z
? 

5. , 
2
sin
1
A
x
x
 2
B
,
Z
k k
. 

6. : 

3
2
2
2
5
0
A
x x
x
x
1
B .  

, : ) 
B
A ; ) 
A
B . 

7. : 

6
5
4
3
2
3
3
17
6
0
A
x x
x
x
x
x
x
3 2
B
,
.  

, : a) 
A
B ; ) 
A
B . 

8. 
, . ? 

§ 2. 
. 
A
BB , , 
. , 

A
B
x
A x
B
B
x
x
. 

 

A
BB  

. 1.2 

, 2
A
x x
,
3
B
x x
, 

2
3
A
B
x
x
x
B x
. 

. 
A
BB , , 
. , 

A
B
x x
A
x
B xx
B
. 

 

 

. 1.3 

, 2
A
x x
, 
1
3
B
x
x
, 
1
A
B
x x
x
B x
. 

, , . :  

1
i

n

i
A

1

i

n

i

A

, 

1
i
i
A

1

i

i

A

,

1
i

n

i
A

1

i

n

i

A

, 

1
i
i
A

1

i

i

A

, 

i iA , i = 1, 2, 3,…, n i = 1, 2, 3,…    . 

A 
 
 
B 
 
 
 

A
BB

1 °. 
A
B
B
A. 

2 °. A
B
C
A
B
C . 

3°. 
A
B
B
A. 

4°. A
B
C
A
B
C . 

5°. A
B
C
A
C
B
C . 

6°. A
B
C
A
C
B
C . 

, , 6°. 
x
A
B
C . x
A
B  x
C . , 

: 1) x
A x
C ; 2) x
B  x
C . 

, 
x
A
C
x
A
C
B
C . 

, 
x
B
C
x
A
C
B
C . 

, 
A
B
C  

A
C
B
C . , 

A
B
C
A
C
B
C .   
(1) 

y
A
C
B
C , 
y
A
C , 

y
B
C . y
A
C , y
A y
C . y
A
B  
y
C , .. 
y
A
B
C . , y
B
C , 
y
B y
C . y
A
B  y
C , .. 
y
A
B
C . 

, A
C
B
C  

A
B
C . , 

A
C
B
C
A
B
C .                    (2) 

(1) (2) , A
B
C
A
C
B
C .  

1°—5° . 
 

1. A
B, 2
A
n,n
Z
, 
3
B
n,n
Z
. 

2.  A
B A
B, 
2
2
4
A
M x,y x
y
, 
1
B
M x,y
x
y
. 

3. A
B
C  

A
B
C , 2
A
M x y y
x
,
, 

2
2
9
B
M x,y
x
y
, 
2
1
C
M x,y
y
x
. 

4. A
B
A
B ? 

5. 
1

1

i
i
A  
1

1

i
i
A , 1

iA
x x
i
. 

6. 
1

1

i
i
A  
1

1

i
i
A , 1
0
iA
x
x
i
. 

7. 
1

1

i
i
A 
1

1

i
i
A , 1
1
1
2
iA
x
x
i
i
. 

8. 
1

1

i
i
A 
1

1

i
i
A , 1
1
1
3
iA
x
x
i
i
. 

9. : 

) A
B
C
A
B
C . 

) A
B
C
A
B
C . 

) A
B
C
A
C
B
C . 

10. : 
A
B
C
D
A
C
B
C
A
D
B
D . 

11. , B
A
, A
B
B.
B
B. 

12. : 
) a
A , a
A
B,
B,B .  

) a
A
, a
A
B,
B, B . 

) a
A
B
B , a
A
a
B
.  

) a
A
B
B  , a
A
a
B
. 

§ 3. . 
. \
A B 
, .  , 

\
A B
x
A x
B . 

 

 

\
A B  

. 1.4. 

, 2
A
x x
, 
3
B
x x
, 

2
3
\
A B
x
x
. 

: 

1°. 
A
B
C
A B
A C
\
\
\
C
A B
A C
C
A B
A
B
A
. 

2°. 
A
B
C
A B
A C
\
\
\
C
A B
A C
C
A B
A
B
A
. 

, , 1°.  

\
x
A
B
C , x
A x
B
C . x
A 
x
B , 
x
C . 
, 
\
x
A B  
\
x
A C , 
.. 

\
\
\
x
A B
A C . ,  

\
\
\
\
\
A
B
C
A B
A C .  
(1) 

\
\
\
y
A B
A C . \
y
A B  \
y
A C . , 

y
A, 
y
B  
y
C , 
.. 
y
A, 
y
B
C . 

y
A
B
C
\
C . , 

A B
A C
A
B
C
\
\
\
A C
A
B
C
A C
A
C
A
.  
 
   (2) 

(1) (2) , \
\
\
\
\
A
B
C
A B
A C . 

2° .