Теория вероятностей и математическая статистика

К. В. Балдин, В. Н. Башлыков, 
А. В. Рукосуев

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 
И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ 
СТАТИСТИКА
 
Учебник

6-е издание, стереотипное

Рекомендовано 
Государственным университетом управления 
в качестве учебника для студентов экономических вузов, 
обучающихся по направлению подготовки 
«Экономика» 

Москва
Издательско-торговая корпорация «Дашков и К°»
2023

УДК 519.2
ББК 22.17
Б20
Авторы:
К. В. Балдин — доктор экономических наук, профессор — 
введение, глава 9 (пп. 9.6, 9.7, 9.8), глава 10 (п. 10.6);
В. Н. Башлыков — доцент — глава 1 (кроме пп. 1.1, 1.2, 1.3), главы 2–10 
(кроме пп. 9.6, 9.7, 9.8, 10.6), приложения;
А. В. Рукосуев — ст. преподаватель — глава 1 (пп. 1.1, 1.2, 1.3).

Рецензенты:
Н. И. Брагин — доктор экономических наук, профессор;
И. В. Минаев — доктор технических наук, профессор.

Балдин К. В.
Теория вероятностей и математическая статистика: 
Учебник / К. В. Балдин, В. Н. Башлыков, А. В. Рукосуев. — 
6-е изд., стер. — М.: Издатель ско-торговая корпорация 
«Дашков и К°», 2023. — 472 с.

ISBN 978-5-394-05335-1

Учебник содержит два раздела: “Теория вероятностей” и “Математическая 
статистика”. В него включены прикладные наработки 
авторов, вопросы для самоконтроля, примеры использования классических 
методов и заданий для самостоятельной работы обучаемых.
Для студентов, аспирантов и преподавателей, а также для научных 
сотрудников, предпринимателей и менеджеров фирм.

Б20

ISBN 978-5-394-05335-1
© Коллектив авторов, 2009

Подписано в печать 28.09.2022. Формат 60×84 1/16. 
Печать офсетная. Бумага газетная.
Печ. л. 29,5. Тираж 100 экз. 

Издательско-торговая корпорация “Дашков и К°”
129347, Москва, Ярославское шоссе, д. 142, к. 732.
E-mail: sales@dashkov.ru — отдел продаж;
office@dashkov.ru — офис; http://www.dashkov.ru

СОДЕРЖАНИЕ

Введение .....................................................................................................................................9

Раздел I
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Глава 1. Случайные события.............................................................................16
1.1. 
Предмет теории вероятностей ....................................................16
1.2. 
Основные понятия и определения ...........................................21
1.3. 
Частота и вероятность. Способы нахождения 
вероятностей случайных событий ...........................................26
1.3.1. Аксиоматическое построение теории 
вероятностей ..............................................................................26
1.3.2. Классический способ определения 
вероятности .................................................................................30
1.4. 
Понятие условной вероятности. Стохастическая 
зависимость случайных событий .............................................32
1.5. 
Правила действий с вероятностями ......................................33
1.6. 
Повторение независимых испытаний. Схема 
Бернулли ........................................................................................................39
1.7. 
Формула полной вероятности .....................................................41
1.8. 
Формула Байеса ......................................................................................43
Вопросы для самопроверки .........................................................................46
Задачи для самостоятельного решения ........................................46

Глава 2. Случайные величины ........................................................................51
2.1. 
Случайные величины и их классификация ....................51
2.2. 
Закон распределения случайной величины 
и формы его представления ..........................................................52
2.2.1. Понятие распределения 
случайной величины ...........................................................52
2.2.2. Функция вероятности ........................................................53
2.2.3. Функция распределения .................................................54

2.2.4. Плотность распределения..............................................60
2.3. 
Числовые характеристики скалярных случайных 
величин ............................................................................................................62
2.3.1. Характеристики положения ........................................63
2.3.2. Характеристики рассеивания ....................................67
2.3.3. Моменты случайной величины ..................................71
2.4. 
Основные теоретические распределения 
скалярных случайных величин .................................................74
2.5. 
Распределение случайного вектора .......................................88
2.6. 
Частные и условные распределения компонент 
случайного вектора ...............................................................................93
2.6.1. Частные распределения ..................................................93
2.6.2. Условные распределения. Стохастическая 
зависимость случайных величин .............................97
2.7. 
Числовые характеристики векторных 
случайных величин ............................................................................101
2.8. 
Нормальное распределение двумерного 
случайного вектора ............................................................................106
Вопросы для самопроверки ......................................................................109
Задачи для самостоятельного решения .....................................109
Глава 3. Функции случайных аргументов .........................................113
3.1. 
Общая характеристика задач исследования 
функций случайных аргументов ...........................................113
3.2. 
Теоремы о числовых характеристиках 
случайных величин ............................................................................114
3.3. 
Определение числовых характеристик 
функций случайных аргументов ...........................................119
3.4. 
Распределение однозначного 
преобразования случайных величин .................................126
3.5. 
Распределение неоднозначного 
преобразования случайных величин .................................131
3.6. 
Распределение функции двух 
случайных величин ............................................................................133
3.7. 
Композиция распределений ......................................................135
3.7.1. Композиция нормального и 
равномерного распределений ..................................135
3.7.2. Композиция нормальных распределений .....138
Вопросы для самопроверки ......................................................................140
Задачи для самостоятельного решения .....................................141

Глава 4. Случайные процессы .......................................................................143
4.1. 
Понятие случайного процесса. 
Классификация случайных процессов .............................143
4.2. 
Вероятностные характеристики 
случайных функций ..........................................................................148
4.3. 
Основные типы случайных процессов ..............................157
4.4. 
Основное уравнение Маркова для марковских 
случайных процессов .......................................................................162
4.5. 
Дискретный марковский случайный процесс 
с дискретным временем .................................................................165
4.6. 
Потоки событий .....................................................................................171
4.7. 
Дискретный марковский случайный процесс 
с непрерывным временем .............................................................176
4.8. 
Процесс гибели и размножения ..............................................185
4.9. 
Системы массового обслуживания .......................................187
4.9.1. Система массового обслуживания 
с отказами ..................................................................................189
4.9.2. Система массового обслуживания 
с ожиданием.............................................................................196
Вопросы для самопроверки ......................................................................202
Задачи для самостоятельного решения .....................................203

Раздел II
Математическая статистика

Глава 5. Статистические методы оценивания 
характеристик продукции ..........................................................206
5.1. 
Общая характеристика статистических методов 
оценивания характеристик продукции ...........................206
5.2. 
Общая схема эксперимента ........................................................209
5.3. 
Сущность выборочного метода ................................................212
5.4. 
Понятие о законе больших чисел 
и центральной предельной теореме ....................................217
Вопросы для самопроверки ......................................................................222
Задачи для самостоятельного решения .....................................223

Глава 6. Методы статистической обработки 
результатов испытаний ................................................................224
6.1. 
Постановка задачи оценивания вероятностных 
характеристик случайных величин ....................................224

6.2. 
Основные требования к оценкам ............................................225
6.3. 
Оценивание законов распределения 
случайных величин ............................................................................229
6.4. 
Точечное оценивание числовых характеристик 
случайных переменных .................................................................236
6.4.1. Оценивание вероятности наступления 
случайного события ..........................................................236
6.4.2. Оценивание математического ожидания 
случайной величины ........................................................238
6.4.3. Оценивание дисперсии и стандартного 
отклонения случайной величины .........................242
6.4.4. Определение числовых характеристик 
случайных величин при большом объеме 
измерений ..................................................................................244
6.5. 
Интервальное оценивание числовых 
характеристик случайных переменных ..........................245
6.5.1. Понятие доверительной вероятности 
и доверительного интервала .....................................245
6.5.2. Оценивание вероятности наступления 
случайного события ..........................................................249
6.5.3. Оценивание математического ожидания .......254
6.5.4. Оценивание стандартного отклонения ............259
Вопросы для самопроверки ......................................................................263
Задачи для самостоятельного решения .....................................265
Глава 7. Статистическая проверка гипотез .....................................268
7.1. 
Сущность проверки статистических гипотез .............268
7.2. 
Методы проверки гипотез 
о законах распределения ..............................................................276
7.2.1. Постановка задачи .............................................................276
7.2.2. Проверка гипотез о законе распределения......279
7.3. 
Методы проверки гипотез 
о параметрах законов распределения ...............................288
7.3.1. Проверка гипотез о равенстве 
математических ожиданий ........................................288
7.3.2. Проверка гипотез о равенстве дисперсий .....294
7.4. 
Проверка гипотез методом 
последовательного анализа ........................................................300
7.4.1. Сущность метода 
последовательного анализа .......................................300

7.4.2. Проверка гипотезы о вероятности 
наступления случайного события ........................302
7.4.3. Проверка гипотезы о математическом 
ожидании ....................................................................................304
Вопросы для самопроверки ......................................................................306
Задачи для самостоятельного решения .....................................307

Глава 8. Методы статистического анализа 
результатов испытаний ................................................................311
8.1. 
Общая характеристика методов статистического 
анализа результатов испытаний ...........................................311
8.2. 
Основы дисперсионного анализа ...........................................313
8.2.1. Сущность дисперсионного анализа ....................313
8.2.2. Однофакторный дисперсионный анализ .......315
8.2.3. Проверка существенности влияния фактора 
в однофакторном дисперсионном анализе ...319
8.2.4. Выявление уровня фактора, влияющего на 
результаты испытаний ..................................................323
8.2.5. Примеры однофакторного дисперсионного 
анализа .........................................................................................326
8.2.6. Особенности проведения двухфакторного 
дисперсионного анализа ...............................................330
Вопросы для самопроверки ......................................................................335
Задачи для самостоятельного решения .....................................335

Глава 9. Основы регрессионного анализа ...........................................337
9.1. 
Сущность регрессионного анализа ......................................337
9.2. 
Задача регрессионного анализа ..............................................340
9.3. 
Метод наименьших квадратов .................................................342
9.4. 
Предпосылки регрессионного анализа .............................350
9.5. 
Статистический анализ уравнения регрессии ..........352
9.6. 
Спецификация регрессионной модели .............................379
9.7. 
Регрессионные модели 
с гетероскедастичными остатками .......................................383
9.8. 
Метод взвешенных наименьших 
квадратов ....................................................................................................393
9.9. 
Нелинейные регрессионные модели и их 
линеаризация ..........................................................................................397
9.9.1. Логарифмические модели ...........................................398
9.9.2. Полулогарифмические модели ..............................401

9.9.3. Логлинейная модель .........................................................401
9.9.4. Линейно-логарифмическая модель ....................403
9.9.5. Обратная модель .................................................................403
9.9.6. Степенная модель ...............................................................404
9.9.7. Показательная модель ...................................................406
9.10. Оценки коэффициентов нелинейных 
регрессионных моделей .................................................................407
9.10.1. Оценки коэффициентов параболы 
второго порядка ....................................................................407
9.10.2. Определение коэффициентов функций, 
отличных от полинома ....................................................408
Вопросы для самопроверки ......................................................................410
Задачи для самостоятельного решения .....................................411

Глава 10. Основы корреляционного анализа .....................................413
10.1. Сущность корреляционного анализа .................................413
10.2. Классификация методов 
корреляционного анализа ............................................................415
10.3. Однофакторный корреляционный анализ ....................415
10.4. Анализ тесноты связи .....................................................................419
10.5. Многофакторный корреляционный анализ .................421
10.6. Автокорреляция ...................................................................................427
Вопросы для самопроверки ......................................................................430
Задачи для самостоятельного решения .....................................430

Литература .........................................................................................................................433

Приложение ......................................................................................................................435

ВВЕДЕНИЕ

Теория вероятностей — математическая наука, изучающая 
закономерности в случайных явлениях массового характера 
независимо от их конкретной природы.
Под случайным понимается явление, которое при неоднократном 
воспроизведении одного и того же опыта (испытания) 
каждый раз может протекать по-разному и точное прогнозирование 
результатов которого невозможно.
Различные результаты ряда одинаковых опытов всегда 
связаны с наличием второстепенных факторов, влияющих на 
исход опыта, но не заданных в числе его основных условий. Основные 
условия опыта определяют протекание явления в общих 
чертах и сохраняются неизменными, а второстепенные от 
опыта к опыту меняются и вносят случайные различия в результаты.

Со случайными явлениями приходится сталкиваться во 
многих практических задачах, которые требуют изучения не 
только основных закономерностей, определяющих явление в 
главных чертах, но и анализа случайных возмущений, связанных 
с наличием второстепенных факторов и придающих исходу 
опыта при заданных условиях элемент неопределенности.
Очевидно, должна существовать принципиальная разница 
в методах учета основных факторов, определяющих течение 
явления в главных чертах, и второстепенных факторов, влияющих 
на течение явления в качестве возмущений. Элемент 
неопределенности, присущий случайным явлениям, требует 
создания специальных методов для изучения этих явлений.
Такие методы и разрабатываются в теории вероятностей. 
Ее предметом являются специальные закономерности, наблюдаемые 
в случайных явлениях. Закономерности, свойственные 
случайным явлениям, проявляются тем отчетливее, чем 

больше проведено опытов. Практика показывает, что подобные 
закономерности, или своего рода устойчивости, присущи массовым 
случайным явлениям. Именно эта устойчивость закономерностей, 
проявляющаяся в массовых случайных явлениях, 
служит базой для применения вероятностных методов исследования.

Вероятностный метод в науке не противопоставляется 
классическому детерминистскому методу точных наук, а является 
его дополнением, позволяющим изучать явление с учетом 
присущих ему элементов случайности.
В настоящее время многие науки кроме классического детерминистского 
подхода широко используют вероятностные 
методы исследования.
Большое значение для инженеров, экономистов, социологов 
и других специалистов имеют такие практические приложения 
теории вероятностей, как математическая статистика, 
теория надежности сложных систем, теория массового обслуживания 
и др.
Исторически теория вероятностей, как и любая другая область 
науки, развивалась из потребностей практики. Начало 
ее становления относится к ХVII веку. Необходимость разработки 
специального математического аппарата, приспособленного 
для анализа случайных явлений, диктовалась потребностью 
обобщения и обработки большого объема статистического 
материала, накопленного во многих областях науки. Однако 
эти задачи на начальном этапе развития теории вероятностей 
были слишком сложными, а законы, управляющие случайными 
явлениями, проступали недостаточно отчетливо. Необходимо 
было изучить закономерности случайных явлений на более 
простых задачах. Такими задачами оказались задачи из области “
азартных игр”. Схемы азартных игр являются простыми 
моделями случайных явлений, позволяющими в простой и 
доступной форме изучать закономерности случайных явлений. 
В настоящее время примеры из области азартных игр часто используют 
при изучении и уяснении сущности основных правил 
и законов теории вероятностей.

Основой и началом теории вероятностей явились работы 
Паскаля, Ферма и Гюйгенса, появившиеся в середине ХVII века 
и посвященные области азартных игр. В этих работах были 
впервые введены такие понятия, как вероятность и математическое 
ожидание, установлены основные свойства и приемы 
вычисления этих характеристик.
Дальнейшее развитие теории вероятностей связано со становлением, 
развитием и обобщением так называемого закона 
больших чисел. Так, Яков Бернулли во второй половине XVII 
века впервые показал, что с увеличением числа испытаний 
частота (частость) какого-либо случайного события приобретает 
устойчивость и определенным образом приближается к некоторому 
безразмерному числу, которое объективно отражает 
возможность появления случайного события и называется вероятностью.

Математик Муавр в начале XVIII столетия впервые рассмотрел 
простейший случай нормального закона, который в 
настоящее время имеет широкое применение при решении 
практических задач.
Большое значение в развитии теории вероятностей имели 
работы таких математиков, как Лаплас, Гаусс и Пуассон, 
живших в XVIII−XIX веках. В своих трудах они продолжили 
исследование нормального закона, закона больших чисел и 
разработку вопросов приложения теории вероятностей к исследованию 
результатов испытаний.
Для всего XVIII и начала ХIХ века характерно бурное развитие 
теории вероятностей. В этот период наблюдается исключительно 
большая заинтересованность в этой науке. В России 
создается знаменитая Петербургская математическая школа, 
трудами которой теория вероятностей была поставлена на прочную 
логическую и математическую основу и сделана надежным, 
точным и эффективным методом познания.
В середине XIX века вышел первый в России полный учебник 
теории вероятностей, созданный профессором В. Я. Буня-
ковским.

Великий русский математик П. Л. Чебышев и его ученики 
А. А. Марков и А. М. Ляпунов последовательно работали над 
расширением и обобщением закона больших чисел. П. Л. Чебышев 
ввел в теорию вероятностей понятие случайной величины 
и метод моментов, что привело к созданию мощного современного 
аппарата теории вероятностей.
А. А. Марков в своих трудах заложил основу для новой области 
теории вероятностей — теории случайных процессов.
А. М. Ляпунов известен своим доказательством так называемой 
центральной предельной теоремы и разработкой метода 
характеристических функций.
В советский период русская школа теории вероятностей 
продолжала оставаться на ведущих позициях. Запросы ряда 
наук и появление новых видов технических систем (радиолокация, 
связь и др.) явились мощным толчком для дальнейшего 
бурного развития теории вероятностей.
Среди многих ученых — виднейших математиков нашей 
страны, занимавшихся разработкой вопросов теории вероятностей, 
необходимо отметить С. Н. Бернштейна, А. Я. Хинчина, 
А. Н. Колмогорова, В. И. Романовского, Б. В. Гнеденко, Е. С. Вен-
тцель, В. С. Пугачева, Н. В. Смирнова, Ю. А. Розанова и др.
С. Н. Бернштейн одним из первых разработал аксиоматику 
теории вероятностей, а также существенно расширил область 
применения предельных теорем.
А. Я. Хинчин известен исследованиями в области обобщения 
и усиления закона больших чисел, но главным образом — в 
области стационарных случайных процессов.
Ряд важнейших основополагающих работ в различных 
областях теории вероятностей и математической статистики 
принадлежит А. Н. Колмогорову. Он дал первое законченное 
аксиоматическое построение теории вероятностей, внес большой 
вклад в развитие теории случайных функций (стохастических 
процессов). Работы Колмогорова, относящиеся к оценке 
эффективности стрельбы, легли в основу целого научного направления 
в теории стрельбы, переросшего затем в более широкую 
науку об эффективности боевых действий.

В области математической статистики своими работами 
известны В. И. Романовский и Н. В. Смирнов, исследованиями в 
области теории массового обслуживания — Б. В. Гнеденко.
Огромный вклад в развитие теории стрельбы и прицельного 
бомбометания, основанного на применении методов теории 
вероятностей, внесла Е. С. Вентцель. А наиболее широко она 
известна как автор одного из лучших и полных учебников по 
теории вероятностей, одного из первых учебников по исследованию 
операций.
В. С. Пугачев разработал ряд общих методов в теории 
случайных функций, охватывающих как стационарные, так и 
нестационарные процессы.
В настоящее время не только естественные, технические, 
но и гуманитарные науки занимаются накоплением и обработкой 
статистических данных. Сбор, описание и обработка наблюдений 
и измерений производятся методами математической 
статистики, которая базируется на теории вероятностей.
Современная физика, электротехника и радиотехника 
имеют дело со случайными процессами, изучение которых невозможно 
без основательного освоения такого раздела теории 
вероятностей, как случайные функции.
Современные сложнейшие приборы управления процессами 
производства, приборы телеуправления и автоматического 
контроля основаны на учете целого ряда случайных процессов 
в виде помех или в виде различного рода сложных функций, 
учитываемых и перерабатываемых в приборах.
Изучение и освоение подобных приборов, а тем более конструирование 
их невозможно без изучения ряда разделов теории 
вероятностей.
Установление разумных допусков при изготовлении различных 
деталей в зависимости от их назначения и допускаемых 
пределов ошибок на выходе всего агрегата, выработка и применение 
наиболее действенных, экономически целесообразных и 
надежных методов контроля качества продукции при массовом 
ее производстве осуществляются на основе рекомендаций, выработанных 
с использованием теории вероятностей.

Из всего сказанного достаточно отчетливо видно, что квалифицированному 
специалисту, имеющему дело с весьма разнообразными 
отраслями знаний, не обойтись без необходимых 
знаний в области теории вероятностей и математической статистики.

В соответствии с названием учебник состоит из двух взаимосвязанных 
разделов.
Раздел I “Теория вероятностей” состоит из четырех глав. 
В главе 1 “Случайные события” излагаются основные понятия 
теории вероятностей, способы нахождения вероятностей случайных 
событий, правила действий с вероятностями и основные 
теоремы.
В главе 2 “Случайные величины” представлена классификация 
случайных величин, законы распределения и формы их 
представления, а также их числовые характеристики.
В главе 3 “Функции случайных аргументов” рассматриваются 
теоремы и методы определения числовых характеристик 
функций случайных аргументов, а также функциональные 
преобразования систем случайных величин.
Глава 4 “Случайные процессы” посвящена рассмотрению 
случайных функций и процессов, их характеристик, а также 
случайных потоков, на изучении которых базируется изучение 
систем массового обслуживания.
Раздел II “Математическая статистика” состоит из шести 
глав. В главе 5 “Статистические методы оценивания характеристик 
продукции” раскрыта сущность выборочного метода 
оценивания и основных теорем, входящих в закон больших 
чисел. Оценивание законов распределения, точечное и интервальное 
оценивание числовых характеристик случайных величин 
составляют содержание главы 6 “Методы статистической 
обработки результатов испытаний”. Глава 7 “Статистическая 
проверка гипотез” раскрывает сущность классического метода, 
метода последовательного анализа Вальда и условия их применения. 
Главы 8, 9 и 10 посвящены методам статистического 
анализа результатов испытаний. В них дается общая характеристика 
методов и достаточно подробно рассмотрены основы 

дисперсионного (глава 8), регрессионного (глава 9) и корреляционного (
глава 10) анализов.
Для удобства работы в приложении приведены все необходимые 
при проведении расчетов таблицы, на которые в соответствующих 
главах сделаны ссылки.
Представленный курс теории вероятностей и математической 
статистики охватывает все разделы, изучаемые студентами, 
обучающимися по специальностям “Финансы и кредит”, 
“Бухгалтерский учет, анализ и аудит”, “Менеджмент организации” 
и др. При написании учебника авторы придерживались 
современных точек зрения на понятия, о которых идет речь, и 
не отступали от общепринятых взглядов. Авторы стремились 
изложить материал в доступной для студентов форме, чему 
способствует большое количество примеров, иллюстрирующих 
соответствующие теоретические положения. Однако авторы не 
претендуют на исчерпывающую полноту охвата учебного материала.

Раздел I
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Глава 1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

1.1. Предмет теории вероятностей

Теория вероятностей — математическая наука, занимающаяся 
изучением закономерностей в случайных явлениях массового 
характера [5].
Под случайным принято понимать явление, которое при 
многократном наблюдении (воспроизведении одного и того же 
комплекса условий проведения эксперимента) протекает каждый 
раз по-разному.
Например, в 1827 г. ботаник Р. Броун открыл явление, 
которое стали называть броуновским. Он наблюдал под микроскопом 
и обнаружил, что частицы пыльцы находятся в 
непрерывном беспорядочном движении, которое не удается 
прекратить. Вскоре было обнаружено, что это движение — общее 
свойство любых мелких частиц, взвешенных в жидкости. 
Интенсивность движения зависит только от температуры 
и вязкости жидкости и от размеров частиц. Каждая частица 
движется по своей собственной траектории, не похожей на 
траектории других частиц, так что близкие частицы очень 
быстро становятся удаленными.
Приведем другой пример. Производится стрельба из артиллерийского 
орудия.
С помощью методов баллистики при определенных исходных 
данных (начальной скорости движения снаряда 
, угле