Исследование операций в экономике

        Серия «Учебные издания для бакалавров»





                А. И. Новиков




ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ В ЭКОНОМИКЕ


Учебник

    3-е издание

Рекомендовано федеральным государственным бюджетным учреждением «Федеральный институт развития образования» (ФГБУ «ФИРО») в качестве учебника для использования в образовательном процессе образовательных организаций, реализующих программы высшего образования по направлениям подготовки «Экономика», «Менеджмент» (уровень бакалавриата) Регистрационный номер рецензии 527 от 04 февраля 2018 г.

Москва
Издательско-торговая корпорация «Дашков и К°» 2022

УДК 330.4
ББК 22.18
     Н73

Автор:
     А.      И. Новиков — доктор физико-математических наук, профессор Российского университета кооперации.

Рецензенты:
   В.     А. Волочиенко — доктор экономических наук, профессор;
   И. И. Постников — доктор технических наук, профессор.



   Новиков, Анатолий Иванович.
Н73      Исследование операций в экономике : учебник для бака-
     лавров / А. И. Новиков. — 3-е изд. — Москва : Издательско-торговая корпорация «Дашков и К°», 2022. — 352 с.

         ISBN 978-5-394-04810-4.

         Учебник подготовлен в соответствии с требованиями федеральных государственных образовательных стандартов высшего образования по направлениям подготовки «Экономика» и «Менеджмент» (уровень бакалавриата).
         Основное внимание в нем уделено вопросам математического моделирования экономических процессов средствами исследования операций. Приводится математический аппарат исследования операций, показаны сферы его применения. Все излагаемые методы и подходы сопровождаются примерами и упражнениями.
         Для студентов бакалавриата, обучающихся по направлениям подготовки «Экономика» и «Менеджмент», а также аспирантов, ориентированных на прикладные задачи моделирования и прогнозирования в экономике.



ISBN 978-5-394-04810-4

   © Новиков А. И., 2019
   © ООО «ИТК «Дашков и К°», 2019

                СОДЕРЖАНИЕ





ВВЕДЕНИЕ......................................... 7
Глава 1. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МАТРИЧНОЙ АЛГЕБРЫ
В ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ.............................. 10
  1.1. Матрицы и операции над ними.............. 10
      Определители квадратных матриц............ 14
      Понятие n-мерного вектора................. 16
      Скалярное произведение.................... 17
      Связь матрицы и вектора................... 18
      Матрица нормы расхода сырья на единицу изделия. 20
      Ранг матрицы.............................. 25
  1.2. Система линейных уравнений............... 27
      Исследование совместной системы........... 27
      Система n линейных уравнений с n неизвестными.. 29
      Произвольная система линейных уравнений... 31
  1.3. Модель межотраслевого баланса............ 36
     Структура и содержание таблицы межотраслевого баланса..................... 36
      Коэффициенты прямых и полных затрат....... 38
Глава 2. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ................... 46
  2.1. Задачи линейного программирования........ 46
  2.2. Общая задача линейного программирования.. 49
      Геометрическая интерпретация ОЗЛП......... 50
      Графическое решение задач ЛП.............. 52
      Статус ресурсов........................... 55
      Каноническая форма ОЗЛП................... 55

3

   2.3. Симплексный метод............................ 57
      Определение базисных решений................... 57
      Симплексное преобразование..................... 58
      Допустимое симплексное преобразование.......... 63
      Оптимальное симплексное преобразование......... 65
      Метод искусственного базиса (М-метод).......... 70
   2.4. Двойственные задачи.......................... 74
      Соответствие между переменными................. 76
      Основные теоремы двойственности................ 80
      Решение двойственных задач..................... 82
   2.5. Решение задач ЛП в Excel..................... 85
      Целочисленное линейное программирование.......... 98
      Двоичные (булевы) переменные.................. 101
      Задача о раскрое материалов................... 104
   2.6. Транспортная задача......................... 111
      Постановка транспортной задачи................ 111
      Закрытая транспортная задача.................. 112
      Открытая транспортная задача.................. 119
      Решение ТЗ в Excel............................ 121
      Задача о назначениях.......................... 130
      Задача о максимальном потоке.................. 138
   2.7. Нелинейное программирование................. 142
      Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа ... 143 Метод множителей Лагранжа с ограничениями
      в виде неравенств............................. 145
      Решение задач нелинейного программирования в Excel....................................... 148
      Задача формирования портфелей ценных бумаг....... 151
Глава 3. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИГР........................ 165
   3.1. Основные понятия теории игр. Платежная матрица. 165
   3.2. Решение матричной игры в чистых стратегиях..... 167

4

  3.3. Решение матричной игры в смешанных стратегиях. 170
      Решение игр (m х n) с помощью ЛП............... 173
      Аналитическое решение игры (2 х 2)............. 179
      Графическое решение игр вида (2 х n) и (m х 2). 182
  3.4. Игра с природой............................... 186
      Принятие решений в условиях полной неопределенности............................... 186
      Принятие решений в условиях риска.............. 191
      Дерево решений................................. 198
Глава 4. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ............................... 201
  4.1. Структура и классификация систем массового обслуживания............................. 201
  4.2. Системы массового обслуживания с отказами (без очереди)...................................... 210
  4.3. Системы массового обслуживания с неограниченной очередью.......................... 220
  4.4. Системы массового обслуживания с ограниченной очередью............................ 229
  4.5. Замкнутые системы массового обслуживания...... 239
  4.6. Системы массового обслуживания с ограниченным временем ожидания................... 244
Глава 5. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ .... 248
  5.1. Постановка задачи динамического программирования................................... 248
  5.2. Задача распределения ресурсов................. 254
  5.3. Задача замены оборудования.................... 259
  5.4. Задача о загрузке............................. 263
  5.5. Задача планирования рабочей силы.............. 269
  5.6. Задача о кратчайшем пути. Задача выбора оптимального маршрута перевозки грузов............. 272

5

Глава 6. МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ.................... 281
  6.1. Постановка задачи................................... 281
  6.2. Классическая модель экономичного размера заказа. 282
  6.3. Модель экономичного размера заказа с разрывами цен.......................................... 288
  6.4. Модель с ограниченной вместимостью склада....... 293
  6.5. Модель производственных поставок.................... 297
  6.6. Модель оптимального размера с дефицитом............. 299
Глава 7. МОДЕЛИ СЕТЕВОГО ПЛАНИРОВАНИЯ И УПРАВЛЕНИЯ............................................... 307
  7.1. Основные понятия сетевой модели..................... 307
  7.2. Метод критического пути............................. 309
      Основные временные параметры сетевых графиков .... 310
      Построение предварительного временного графика... 314
      Определение резервов (запасов) времени............... 317
  7.3. Распределение ресурсов. Оптимизация сетевого графика.................................................. 319
  7.4. Стоимость проекта. Оптимизация сетевого графика .... 323
  7.5. Сетевые модели в условиях неопределенности...... 327
Глава 8. ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ.................... 331
  8.1. Понятия............................................. 331
  8.2. Метод Монте-Карло. Интегрирование с помощью метода Монте-Карло....................................... 332
  8.3. Элементы дискретного моделирования.................. 339
      Имитация модели очереди с одним сервисом......... 341
      Имитационное моделирование управления запасами............................................. 346
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА................................... 351

6

                ВВЕДЕНИЕ





    Для изучения различных экономических явлений экономисты используют их упрощенные формальные описания, называемые экономическими моделями.
    Моделью называется объект-заместитель, который в определенных условиях может заменить объект-оригинал, воспроизводя интересующие исследователя свойства оригинала.
    Метод исследования, базирующийся на разработке и использовании моделей, называется моделированием.
    Модель называется адекватной объекту, если результаты моделирования подтверждаются и могут служить основой для прогнозирования процессов, протекающих в исследуемых объектах.
    Моделирование — основной метод исследования во всех областях знаний и научно обоснованный метод оценок сложных систем, используемых для принятия решений во всех сферах человеческой деятельности.
    Особую роль в науке играют математические модели.
    Математическая модель — приближенное описание какого-либо класса явлений или объектов реального мира на языке математики.
    Математическое моделирование — это средство изучения реального объекта, процесса или системы путем их замены математической моделью, более удобной для экспериментального исследования с помощью ЭВМ. Математическая модель является приближенным представлением реальных объектов, процессов или систем, выраженным в математических терминах и сохраняющим существенные черты оригинала.
    Исследование операций — наука, занимающаяся разработкой и практическим применением методов наиболее эффективного управления организационными системами.

7

    Предметом исследования операций являются экономические системы, в том числе производственно-хозяйственная деятельность предприятий.
    Цель исследования операций — количественное обоснование принимаемых решений в соответствие с некоторым критерием эффективности.
    Эффективность операции — степень ее приспособленности к выполнению задачи. Количественно выражается в виде критерия эффективности — целевой функции.
    Реализация методов исследования операций включает следующие этапы:
    • постановка задачи;
    • идентификация переменных;
    • решение задачи с помощью выбранного метода;
    • анализ решения;
    • проверка адекватности модели;
    • реализация полученного решения.
    Наиболее известными и эффективными методами исследования операций являются методы линейного программирования, когда целевая функция и все ограничения являются линейными функциями.
    Для решения математических моделей других типов предназначены методы целочисленного программирования (когда все переменные принимают только целочисленные значения), динамического программирования (где исходную задачу можно разбить на меньшие подзадачи) и нелинейного программирования (когда целевая функция и/или ограничения являются нелинейными функциями). Перечисленные методы составляют только часть большого количества самых разнообразных доступных методов исследования операций.
    По своей содержательной постановке множество типичных задач исследования операций может быть разбито на задачи:
    •      сетевого планирования и управления — рассматривают соотношения между сроками окончания крупного комплекса операций (работ) и моментами начала всех операций комплекса. Эти задачи состоят в нахождении минимальных продолжительностей комплекса операций, оптимального соотношения величин стоимости и сроков их выполнения;

8

     •     массового обслуживания — посвящены изучению и анализу систем обслуживания с очередями заявок или требований и состоят в определении показателей эффективности работы систем, их оптимальных характеристик, например в определении числа каналов обслуживания, времени обслуживания и т. п.;
     •     управления запасами — состоят в отыскании оптимальных значений уровня запасов (точки заказа) и размера заказа. Особенность таких задач заключается в том, что с увеличением уровня запасов, с одной стороны, увеличиваются затраты на их хранение, но с другой — уменьшаются потери вследствие возможного дефицита запасаемого продукта;
     •     распределения ресурсов — возникают при определенном наборе операций (работ), которые необходимо выполнять при ограниченных наличных ресурсах, и требуется найти оптимальные распределения ресурсов между операциями или состав операций;
     •     ремонта и замены оборудования — актуальны в связи с износом и старением оборудования и необходимостью его замены с течением времени. Задачи сводятся к определению оптимальных сроков, числа профилактических ремонтов и проверок, а также моментов замены оборудования модернизированным;
     •     составления расписания (календарного планирования) — заключаются в определении оптимальной очередности выполнения операций (например, обработки деталей) на различных видах оборудования;
     •     планировки и размещения — состоят в определении оптимального числа и места размещения новых объектов с учетом их взаимодействия с существующими объектами и между собой;
     •     выбора маршрута, или сетевые — задачи, чаще всего встречаются при исследовании разнообразных задач на транспорте и в системе связи. В них определяются наиболее экономичные маршруты.
     Среди моделей исследования операций особо выделяются модели принятия оптимальных решений в конфликтных ситуациях, изучаемые теорией игр.

9

Глава 1.




                ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МАТРИЧНОЙ АЛГЕБРЫ В ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ





            1.1. Матрицы и операции над ними


    Матрицы широко используются для математического описания объектов и процессов. Excel в полной мере поддерживает операции и арифметические действия над матрицами.
    Напомним основные сведения о матрицах, известные из курса линейной алгебры и рассмотрим функции Excel для выполнения операций над ними.
    Матрицей А = (а^) размера m х n называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов:
                        '«11 «12... «1 n '
«21 «22 ... «2n


                        \«mi 1 «m2 ... «mn >
    Числа «^ называются элементами матрицы, где i — номер строки, j — номер столбца, на пересечениях которых стоит данный элемент.
    Две матрицы А, В одного размера называются равными, если равны их соответствующие элементы, и обозначаются А = В.
    Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой , а из одного столбца — матрицей-столбцом.
    Элементы матрицы «j, у которых номер строки равен номеру столбца (i = j), называются диагональными и образуют главную диагональ матрицы.


10

    Если m = n, то матрица называется квадратной порядка n.

    Квадратная матрица, у которой все недиагональные элемен-



ты равны нулю, называется диагональной. Например,

D =

— диагональная матрица 3-го порядка.



    Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичной и обозначается Е. На-



— единичная матрица 3-го порядка.



    Произведением матрицы А = (aij) на число X называется матрица С = ХА того же размера, каждый элемент которой равен произведении соответствующего элемента матрицы А на это число:


(С = ХА) «• (cj = X aj).


    Суммой двух матриц А = (dj), В = (bj) одинакового размера называется матрица С = А + В того же размера, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц А и В:

(С = А + В) ^ (cj = aj + bj).


    Матрица (-А) = (-1)А называется противоположной матрице А.
    Разность двух матриц одинакового размера определяется через предыдущие операции: A - B = A + (-B).
( 1  -2  3^    (4  5   -2 ^
    Пример 1.1. Пусть А = I        I, В = I       I,
^-5  3   6у    ^ 3 -1  0 у

тогда

2А - 3 В =

-10

19 12

-19

9 12



    Анализ данных в Excel. Для выполнения операций умножения матрицы на число, сложения и вычитание матриц в Excel не существует специальных функций.

11

     Для выполнения этих операции необходимо:
     • ввести исходные матрицы;
     • отметить место для матрицы-результата;
     •     в первой клетке матрицы-результата ввести формулу операции;
     •     растянуть значение формулы сначала по горизонтали, а затем по вертикали (можно наоборот).
     Вид листа Excel для примера 1.1 показан на рис. 1.1.

Рис. 1.1. Вид листа Excel для примера 1.1

     Произведением матрицы А размера m х k на матрицу В размера k х n называется матрица C = AB размера m х n, элементы которой cij вычисляются по формуле

Cij = ai 1 b 1 j + ai2b2j + ... + aikbkj, i = 1,m ; j = 1,n .


     Правило: умножение двух матриц определено, когда число столбцов 1-й матрицы равно числу строк 2-й матрицы.

    В результате умножения получается матрица, число строк которой равно числу строк 1-й матрицы, а число столбцов — числу столбцов 2-й матрицы.
    Умножение матриц производится по правилу «строка на столбец ».


В общем случае АВ ^ ВА.

Пример 1.2. Пусть А =

0 2)
      I, В = 1 0,

'-1 0
⁵ ¹
-2 0

4 ,тогда

    1,


1
3

12

АВ =

'-5 0 3А
I 2 17 J.

1 0 2
3 1 0

'-1 0 Р 5 1 4 ч-2 ⁰ 1

    Анализ данных в Excel. Умножение матриц можно произвести в Excel с помощью функции МУМНОЖ.
    При использовании этой функции необходимо:
    • выделить диапазон ячеек для размещения результата;
    • выбрать функцию МУМНОЖ;
    • ввести диапазон ячеек, где содержатся матрицы А, В;
    • нажать клавиши CTRL + SHIFT + ENTER.
    Вид листа Excel для примера 1.2 показан на рис. 1.2.

Рис. 1.2. Вид листа Excel для примера 1.2

    Транспонированной по отношению к матрице А называется матрица Ат, получаемая из А заменой строк столбцами.
                        z        х          ' 7 3'
                        ' 7 -14 ^ т
    Пример 1.3. Пусть А = I      I, тогда А = -1 2 .
                        ¹³   ² ⁵⁾           [ ⁴⁵ ,
    Анализ данных в Excel. Для выполнения этой операции имеется функция ТРАНСП.
    При использовании этой функции необходимо:
    •     выделить диапазон ячеек для размещения транспонированной матрицы;
    •    выбрать функцию ТРАНСП;
    •    ввести диапазон ячеек, где содержится исходная матрица;
    •    нажать клавиши CTRL + SHIFT + ENTER.

13

    Вид листа Excel для примера 1.3 показан на рис. 1.3.

Рис. 1.3. Вид листа Excel для примера 1.3


        Определители квадратных матриц

    Пусть задана квадратная матрица порядка n. C каждой такой матрицей свяжем определенную численную характеристику, называемую определителем, соответствующую этой матрице и обозначаемую

А = deM =

a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n

an 1 an2 ... ann


    Замечание. Матрица — это совокупность чисел, записанных в виде таблицы, а определитель — это число.
    Определителем матрицы первого порядка А = (aₙ) называется элемент этой матрицы, т. е. А = a11.

,                              ч л I a11 a12 |
Определителем матрицы второго порядка А = I I на-Ia21 a22 )

зывается число, вычисляемое по формуле

Например,

3 6
2 10

a11 a12

a 21 a 22

a11 a 22 a12 a 21 .

= 3-10 - 6 • 2 = 18;

—6

= 0-10 — (—6) • 2 = 12.

А =

0
2

10

14