Пространственная статика

Пространственная статика 

2-е издание

Федеральное государственное бюджетное  

образовательное учреждение высшего образования  

«Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана  

(национальный исследовательский университет)»

В.В. Кокушкин, С.Н. Саяпин, П.М. Шкапов 

УДК 531 
ББК 22.21 
        К59 

 

Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru 

по адресу: http://ebooks.bmstu.press/catalog/178/book1815.html 

 

Факультет «Фундаментальные науки» 
Кафедра «Теоретическая механика» 

Рекомендовано Редакционно-издательским советом 

МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве методическ
 
 

Рецензенты: 

канд. физ.-мат. наук Ю.В. Герасимов, 

канд. хим. наук Г.Д. Казакова 

 

   Кокушкин, В. В. 

      Пространственная статика: методические указания к выполнению 
домашнего задания по теме «Статика» / В. В. Кокушкин,   
С. Н. Саяпин, П. М. Шкапов. — 2-е изд. — Москва : Издательство 
МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2018. — 44, [4] с. : ил. 

ISBN 978-5-7038-4881-4 

Рассмотрены примеры решения типовых задач по теме «Статика». 

Приведены варианты задач домашнего задания. 

Для студентов 1-го курса МГТУ им. Н.Э. Баумана. 

 
 

УДК 531 
ББК 22.21 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

 МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2015 
 Оформление. Издательство  

ISBN 978-5-7038-4881-4                                                МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2015 

 К59 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Домашнее задание по теме «Статика» состоит из двух частей: 
«Плоская статика» и «Пространственная статика». 
Вторая часть домашнего задания включает в себя две типовые задачи, 
в которых рассматриваются системы твердых тел, находящихся 
в равновесии под действием заданной пространственной системы 
сил. Варианты задач из домашнего задания представлены в приложении, 
в котором первая цифра соответствует типу задачи, вторая  
номеру варианта. 
Условия типовых задач. 
Задача первого типа. Определить: реакции сферического 
шарнира или подпятника A и подшипника B дополнительно в задачах 
вариантов 4, 13, 16, 18, 25, 26, 27  реакцию опоры, касающейся 
середины соответствующего отрезка в точке K; в задачах 
вариантов 9, 24  реакцию стержня KC; в остальных задачах  
необходимую для равновесия силу Q.  При этом в вариантах задач, 
в которых сила Q приложена в точке D, принять точку D лежащей 
на середине соответствующего отрезка. Принять как заданные величины 
P и l, при этом 1
2 ,
l
l

2
,
R
r
l


0,5
.
M
Pl

 В задачах вариантов 
1, 2, 4, 6, 7, 8, 10, 12, 13, 16, 18, 20, 21, 23, 24, 25 принять 
2
2 .
AB
BC
l


 
Во 
всех 
вариантах 
принять 
30 ,
   
  
60 ,
   
  при этом углы  и   отсчитываются в вертикальных 
плоскостях, а углы  и   в горизонтальных. 
Задача второго типа. Определить реакцию заделки, если заданы 
P и l, пара сил с моментом 
3
,
M
Pl

0
3 / ,
q
P l

AB
BC


,
CD
DE
l



30 ,
 

60 .
 
  

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ 

Рассмотрим примеры решения задач первого типа. 
Пример 1. Прямоугольная плита ABCD весом P имеет горизонтальную 
ось вращения AB. В точке A помещен подпятник, в 
точке B  цилиндрический шарнир, а в точке K  точечная опора. 
Плита повернута вокруг оси AB на угол 
,
  и на нее действует 
сила G под углом   к горизонту в вертикальной плоскости П, 
причем сама плоскость повернута относительно плоскости рисунка (
фронтальной плоскости) вокруг вертикали, проходящей через 
точку C, на угол   (рис. 1). 
 

 
 
 
Рис. 1 
 
 
При заданных P и l определить реакции опор A, B и K. Момент 
пары сил, действующих в плоскости плиты, 
2
,
M
Pl

2 ,
G
P

  
2
,
AB
BC
l


 
.
BK
KC

 
Решение. Пространственные силы запишем в виде величин их 
проекций на заданные оси координат (см. рис. 1): 

1 1
cos sin γ
0,25
0,5 ;
2 2

x
G
G
G
G
P





 

3
sin
3 ;
2

y
G
G
G
P
 
  
 
 

1
3
3
cos cosγ
.
2 2
2

z
G
G
G
P
 

 
 
 

Проекции вектора момента пары сил M на оси координат (рис. 2): 

sinα
0,5
;
x
M
M
M
Pl
 
 
 
 

cosα
0,86
1,73
;
y
M
M
M
Pl



 

0.
z
M 
 

Реакция 
K
N
 направлена пер-

пендикулярно к поверхности плиты 
ABCD. 

Условия 
равновесия 
имеют 

следующий вид: 

1

0, 

n

kx

k

F





 
 
sin α
cos sin γ
0;
A
B
K
X
X
N
G





 

1

0,

n

ky

k

F





 
 
cosα
sin
0;
A
B
K
Y
Y
N
P
G




 
 

1

0,

n

kz

k

F





 
 
cos cos γ
0;
A
Z
G



 

1

(
)
0,

n

x
k

k

M
F





 
 

sinα
cosα

1
sinα
0;
2

B
K

y
z

Y AB
M
N AB

P
AB
G
AB
G BC










 

1

(
)
0,

n

y
k

k

M
F





 
sinα
cosα
cosα
0;
B
K
x
z
X AB
N AB
M
G AB
G BC






 

 

 

Рис. 2 

1
(
)
0,

n

z
k
k
M
F




 
1
cosα
sinα 
cosα
0.
2
x
y
K
P
BC
G BC
G BC
N BK





 

 
Из условий  равновесия получаем решение: 

7
3
7
3
7
4,37 ;  
0,66 ;  
0,88 ;
2
8
8
K
B
B
N
P
P X
P
P Y
P
P






 
 
 

3
3 3
9
6 3
3
1,02 ;  
0,17 ;  
0,87 .
8
8
2
A
A
A
X
P
P Y
P
P Z
P
P





 



 
Пример 2. Вал с рычагом CD находится под действием пространственной 
системы сил (рис. 3). 
 

 
 
Рис. 3 
 
Определить необходимую для равновесия силу Q, реакции в 
подпятнике A и в цилиндрическом шарнире B при заданных P и l, 

причем 1
;
l
d
l


 2
0,5 ;
l
l

3
1,5 .
l
l

 Сила Q действует в плоскости 
П под углом  к вертикальной оси. При этом плоскость П повернута 
на угол  относительно вертикальной плоскости, параллельной 
плоскости 
.
xBz  Весом вала с рычагом CD пренебрегаем. 
Решение. Освободим систему от наложенных на нее связей, 
заменяя их соответствующими реакциями. Определим величины 
проекций силы Q на координатные оси: 

1
sin
cos
; 
4
x
Q
Q
Q


 
 
3
sin
sin
;
4
y
Q
Q
Q


 

3
 
cos
.
2
z
Q
Q
Q
 
  
 

Запишем условия равновесия: 
 

1
0,

n

kx
k
F




 
 
 
sin
cos
0; 
A
X
Q



 
 

1
0,

n

ky
k
F




 
 
 
sin
sin
0; 
A
B
Y
Y
Q



 
 

1
0,

n

kz
k
F




 
 
 
cos
0; 
A
B
Z
Z
P
Q



 
 

1
(
)
0,

n

x
k
k
M
F




 

 
cos
sin
0;
y
z
Q d
Q d
Pr

 
 

 

1
(
)
0,

n

y
k
k
M
F




 
 





2
3
3
1
2
3
 
cos
0;
x
z
A
P l
l
Q d
Q l
Z
l
l
l


 




 

1
(
0; 
)

n

z
k
k
M
F




 
 



1
2
3
3
  
sin
0.
A
x
y
Y
l
l
l
Q d
Q l



 

 

 
Из условий равновесия получаем решение: 

1,29 ; 
1,33 ; 
3,2 ;
A
A
A
X
P Y
P Z
P

 

 

5,17 ; 
0,89 ;  
2,27 .
B
B
Q
P Y
P
Z
P

 

 

Рассмотрим решение задачи второго типа. 
Пример. Стержень ABCD, заделанный в стену, нагружен силой 
P, действующей в плоскости П, повернутой вокруг вертикали, 
проходящей через точку D на угол  от плоскости,   параллельной 
плоскости AXZ, парой сил с моментом 
3
M
Pl

и силами, распределенными 
по линейному закону с максимальной интенсивностью 

0
2
/ ,
q
P l

 как показано на рис. 4. 
Определить реакцию заделки, если 
.
AB
BC
CD
l



 
 

 
 
Рис. 4 
 
Решение. Заменим распределенные силы равнодействующей 
силой 
0 / 2
Q
q l
P


 и приложим ее в точке K на расстоянии 
2
/ 3
2 / 3
BK
BC
l


 (рис. 5). 
Реакцию и векторный момент пространственной заделки, а 
также силу P разложим по осям координат. Определим величины 
проекций силы P на оси координат: 

cos cos
0,43 ;
x
P
P
P
 

  
 

cos sin
0,25 ;
y
P
P
P


 
 

sin
0,86 .
zP
P
P
 
  
 

Рис. 5 
 
Запишем условия равновесия: 
 

1
0,

n

kx
k
F




 
 
 
cos cos
0; 
A
X
P


 
 

1
0,

n

ky
k
F




 
 
 
cos sin
0; 
A
Y
P
Q


 

 

1
0,

n

kz
k
F




 
 
 
sin
0; 
A
Z
P

 
 

1
(
)
0,

n

x
k
k
M
F




 

2
 
0;
3
Ax
y
z
M
M
Q
BC
P BC
P DC





 

1
(
)
0,

n

y
k
k
M
F




 
 
 
0;
Ay
x
z
M
P BC
P AB



 

1
(
)
0;

n

z
k
k
M
F




 
 
 
0.
Az
x
y
M
QAB
P CD
P AB




 

 
Из условий  равновесия получаем решение: 
0,43 ; 
0,75 ; 
0,86 ;
A
A
A
X
P Y
P Z
P



 
3,44
; 
1,29
; 
1,18
.
Ax
Ay
Az
M
Pl M
Pl M
Pl
 
 

 

РЕШЕНИЕ  ЗАДАЧ  ПРОСТРАНСТВЕННОЙ  СТАТИКИ  
С ПРИМЕНЕНИЕМ ЭВМ* 

Определение реакций связей и неизвестных сил в задачах пространственной 
статики с математической точки зрения связано с 
нахождением решения линейной системы алгебраических уравнений 
равновесия, имеющих стандартную матричную форму 
[ ]{ }
{ }
A
X
B

,  
 
           (1) 

где [ ]
A  — матрица коэффициентов; { }
X и { }
B  — матрицы-столбцы 
неизвестных и свободных членов соответственно. 
При этом все представленные в вариантах домашнего задания 
задачи в типовой постановке элементарно решаются без применения 
ЭВМ. Порядок систем уравнений не велик (не более 6 неизвестных), 
и решение может быть найдено известными аналитическими 
методами подстановки, последовательного исключения 
неизвестных и, в наиболее сложных случаях, через определители 
методом Крамера. 
Использование ЭВМ целесообразно в следующих случаях: 
большое число расчетов для однотипных схем; решение задач с 
изменением исходных заданных геометрических параметров или 
системы заданных сил; нахождение оптимальных значений искомых 
параметров по каким-либо критериям. 
Рассмотрим систему, схема которой представлена на рис. 6. 
Сила F действует в вертикальной плоскости П под углом   к 
плоскости ABCD. При этом плоскость П повернута на угол   относительно 
горизонтального ребра DC. При расчетах будем полагать: 

10 H;
P
F


 
;
DE
EC

 
10 H м;
M 

 
0,5 м;
l 
 
45 ;
 
  
/2.
  
 
Требуется рассчитать реакции опор 
,
A B  и K  при изменении 
значений угла   в диапазоне 0…360°; построить графики зависи-
                                                           

* Задание на решение  с помощью ЭВМ может быть выдано по желанию 
студента.