Динамика цифровых колебательных систем

Москва
Горячая линия – Телеком 
2021

Рекомендовано редакционно-издательским советом Ярославского 

государственного университета им. П. Г. Демидова в качестве 

учебного пособия для студентов вузов, обучающихся по направлению 

подготовки «Радиофизика»

3-е издание, переработанное и дополненное

 

 

УДК 621.37/.39(075.8) 
ББК 32.841 
Б89 

Р е ц е н з е н т ы :  доктор физ.-мат. наук, профессор Ю. С. Радченко 

(Воронежский государственный университет); доктор техн. наук, 
доцент В. И. Джиган (Национальный исследовательский универ-
ситет «Московский институт электронной техники») 
Брюханов Ю.А. 
Б89   Динамика цифровых колебательных систем. Учебное пособие 
для вузов. – 3-е изд., перераб. и доп. – М.: Горячая линия – 
Телеком, 2021. – 142 с.: ил. 

ISBN 978-5-9912-0829-1. 
Изложена теория колебаний цифровых систем первого и второго 
порядков. Приведен математический аппарат, основанный на теории 
точечных отображений. Рассмотрены линейные и обусловленные пе-
реполнением и квантованием нелинейные свободные колебания и ко-
лебания при постоянном и гармоническом входных воздействиях.  
В третьем издании первый раздел дополнен разработанным автором 
методом анализа вынужденных колебаний в цифровых динамических 
системах при периодических входных воздействиях, а второй, четвер-
тый и пятый разделы расширены вопросами, посвященными нелиней-
ным искажениям гармонических сигналов в рекурсивных динамиче-
ских системах с переполнением и квантованием. Результаты анализа 
проиллюстрированы траекториями движений, бифуркационными и 
вероятностными диаграммами. 
Для студентов, обучающихся по направлению подготовки «Ра-
диофизика», будет полезно студентам, обучающимся по укрупненной 
группе направлений подготовки 11.00.00 – «Электроника, радиотехни-
ка и системы связи». 
ББК 32.841 
 
Адрес издательства в Интернет www.techbook.ru 
 
 

Тиражирование книги начато в 2020 г. 

 
Все права защищены. 
Любая часть этого издания не может быть воспроизведена  
в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами  
без письменного разрешения правообладателя 
© ООО «Научно-техническое издательство «Горячая линия – Телеком» 
www.techbook.ru 
©  Ю. А. Брюханов 

ВВЕДЕНИЕ

Последнее десятилетие отмечено широким внедрением компью-
терных технологий в системы передачи информации. Основу этих
технологий составляют цифровые системы передачи сигналов и циф-
ровые методы обработки сигналов. В настоящее время они состав-
ляют основу важнейших разработок в области физики, электрони-
ки и электротехники, в особенности в системах связи, радиолока-
ции, контрольно-измерительных системах и системах автоматичес-
кого управления.
Бурное развитие компьютерных технологий обусловлено не-
сколькими причинами: высокая эффективность цифровых методов
позволяет лучше обрабатывать и анализировать сигналы; при их
применении проявляется большая гибкость и имеется все возрастаю-
щая возможность использования высокопроизводительных ЭВМ или
быстродействующих специализированных цифровых вычислителей,
стоимость которых постоянно снижается.
Основу устройств цифровой обработки сигналов составляют
цифровые цепи, широкий класс которых можно отнести к числу ко-
лебательных систем дискретного времени. Теория колебаний непре-
рывных систем изложена в классической монографии А.А. Андро-
нова, А.А. Витта и С.Э. Хайкина, а также в работах С.П. Стрелко-
ва, В.В. Мигулина, В.И. Медведева, Е.Р. Мустель и В.Н. Парыгина.
Классическая теория колебаний построена на базе теории диффе-
ренциальных уравнений.
Сегодня активно развивается теория колебаний цифровых сис-
тем, включающая общие закономерности колебательных процессов
в различных динамических системах дискретного времени. Разраба-
тываются эффективные методы анализа и расчета процессов, изуча-
ются закономерности их протекания в реальных системах с исполь-
зованием в каждом случае наиболее адекватных методов рассмотре-
ния. При этом многообразие цифровых колебательных систем тре-
бует при изучении нахождения общих черт у различных систем и
объединения их по наиболее характерным признакам в определен-
ные классы и типы.
Как и аналоговые (непрерывные), цифровые системы можно
классифицировать по их параметрам, выделяя системы с парамет-
рами, не зависящими от их состояния (линейные системы с постоян-
ными параметрами, линейные системы с параметрами, зависящими

Введение

от времени, — параметрические), и с параметрами, зависящими от
состояния системы (нелинейные системы), а также по условиям воз-
действия, разделяя системы на автономные и неавтономные.
Свойства цифровых цепей наиболее полно описаны в класси-
ческой монографии Л. Рабинера и Л. Гоулда, а также в работах
А.В. Оппенгейма, Р.В. Шафера, В. Каппелини, А.Дж. Константини-
диса, П. Эмилиани и автора данной книги. Значительные исследо-
вания в области нелинейной динамики цифровых систем выполнены
А. Дэвисом и М. Огорзалеком.
В настоящем пособии излагается теория рекурсивных цифро-
вых колебательных систем первого и второго порядков, на базе кото-
рых, как и в системах непрерывного времени, строится большинство
сложных колебательных систем. Большое внимание уделяется одно-
му из главных вопросов теории колебаний — условию устойчивости
динамической системы. Рассматриваются линейные и обусловлен-
ные переполнением и квантованием нелинейные свободные колеба-
ния и колебания при постоянном и гармоническом входных воздейст-
виях.
В первом разделе приводятся математический аппарат, осно-
ванный на теории точечных отображений, а также разработанный
автором метод анализа вынужденных колебаний в цифровых дина-
мических системах при периодических входных воздействиях. Из-
ложены понятия устойчивости состояний равновесия, устойчивости
периодических движений.
Второй раздел посвящен теории динамических систем первого
порядка. Рассмотрены свободные колебания при линейной и нели-
нейной (с двумя видами нелинейности переполнения) характерис-
тиками сумматора, а также вынужденные линейные и нелинейные
колебания под действием гармонической внешней силы. Для нели-
нейных систем излагаются искажения гармонического сигнала и из-
бирательные свойства.
В третьем разделе изложены вопросы теории свободных и вы-
нужденных колебаний в линейной динамической системе второго по-
рядка — цифровом осцилляторе. Показаны траектории движений
в автономной системе в сравнении с фазовыми портретами непре-
рывных систем, определены условия устойчивости, построены би-
фуркационные диаграммы состояний равновесия автономной систе-
мы, приведен анализ частотных свойств и резонансных законов для
неавтономных систем.
Четвертый раздел посвящен колебательным процессам в авто-
номных и неавтономных системах второго порядка с двумя видами
нелинейности переполнения: с насыщением и пилообразной.
По-
строены бифуркационные диаграммы периодов свободных колеба-

Введение
5

ний, а также приведены фрактальные диаграммы хаотических ко-
лебаний в системах с пилообразной нелинейностью.
Рассмотрены
вынужденные колебания, нелинейные искажения входного сигнала
и избирательные свойства при гармоническом воздействии.
В пятом разделе излагается динамика рекурсивных систем с
учетом эффектов квантования. Рассмотрены два вида нелинейности
квантования. Приведена методика анализа свободных колебаний и
колебаний при постоянном входном воздействии в рекурсивной сис-
теме первого порядка. Получены выражения для расчета наиболее
вероятных колебаний, приведены бифуркационные и вероятностные
диаграммы состояний равновесия. Изложены вынужденные коле-
бания, нелинейные искажения входного сигнала и избирательные
свойства систем первого и второго порядков при гармоническом воз-
действии.
Математический аппарат, используемый в учебном пособии, ос-
нован на теории разностных уравнений, классической теории коле-
баний и методе точечных отображений (преобразований).
В основу пособия положен материал лекций, которые в течение
многих лет читал автор студентам физического факультета Ярос-
лавского университета, обучающихся по направлению «Радиофизи-
ка». Он дополняет содержание традиционной дисциплины «Теория
колебаний».
Автор признателен профессорам С.И. Баскакову, А.А. Ланнэ,
С.А. Кащенко и Н.В. Михееву за творческие дискуссии, конструк-
тивные замечания и рекомендации, оказавшие большую практичес-
кую поддержку. Большую помощь при подготовке материала оказа-
ли коллеги по кафедре инфокоммуникаций и радиофизики доцент,
доктор техн. наук А.Л. Приоров, доцент, канд. техн. наук В.В. Хря-
щев и заведующий лабораторией Ю.А. Лукашевич. Автор выражает
глубокую благодарность Ю.А. Лукашевичу за компьютерный набор
рукописи.

Р а з д е л
1

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ

1.1. Основы теории точечных отображений
Метод точечных отображений (преобразований) является од-
ним из эффективных методов изучения динамики сильно нелиней-
ных систем, поведение которых описываются дифференциальными
или разностными уравнениями с кусочно-гладкими нелинейностя-
ми. Этот метод, зарождение которого связано с именами А. Паун-
каре и Дж. Биркгофа, был введен в теорию нелинейных колебаний
А.А. Андроновым. Установив связь между автоколебаниями и пре-
дельными циклами А. Пуанкаре и опираясь на математический ап-
парат качественной теории дифференциальных уравнений, А.А. Ан-
дронов существенно расширил возможности метода «припасовыва-
ния» и сформулировал принципы, которые легли в основу метода то-
чечных отображений, что позволило эффективно использовать этот
метод при исследовании конкретных систем автоматического регу-
лирования и радиотехники.

1.1.1. Сущность метода точечных отображений
Сущность метода заключается в следующем. Пусть задан отре-
зок прямой [a, b] и каждой точке x этого отрезка поставлена в соот-
ветствие точка ¯x этого же отрезка. Такое соответствие называется
точечным отображением отрезка [a, b] в себя.
Любое точечное отображение может быть задано в виде функ-
ции
¯x = f(x),
(1.1)

называемой функцией последования, и, наоборот, любая функция
определяет некоторое точечное отображение. Точки x и ¯x называют-
ся соответственно начальной и последующей, или точкой-оригина-
лом и точкой-образом.
Пусть точечное отображение F отрезка [a, b] в себя определя-
ется функцией последования (1.1), причем эта функция и отрезок
таковы, что для любого x ∈ [a, b] существует f(x) ∈ [a, b].
Возь-
мем на отрезке [a, b] некоторую точку x0 и найдем ее последующую
x1 = f(x0). Применив к точке x1 отображение F, получим точку
x2 = f(x1) = f[f(x0)].

Математический аппарат
7

Рис. 1.1. Диаграмма Ламерея

Отображение, переводящее точку x0 в точку x2, представляет
собой произведение отображения F и F и записывается как степень
отображения F (т. е. F · F = F 2). Применяя далее отображение F к
точке x2, получим точку x3 = f(x2), которая является результатом
применения отображения F 3 к точке x0, причем x3 = f{f[f(x0)]}.
В общем случае этот процесс описывается следующим образом:

xn = f(xn−1).
(1.2)

Значение xn называется n-й итерацией начального значения x0.
Одномерное точечное отображение отрезка прямой имеет на-
глядную геометрическую интерпретацию в виде диаграммы Ламе-
рея, представляющей собой график функции последования ¯x = f(x)
с нанесенной на нем биссектрисой координатного угла ¯x
=
x
(рис. 1.1). Итерационный процесс, порождаемый точечным отобра-
жением F, изображается на этой диаграмме лестницей Ламерея.
Точка x∗ отрезка [a, b], являющаяся корнем уравнения

f(x) − x = 0,
(1.3)

т. е. отображающаяся сама в себя (поскольку x∗ = f(x∗)), называ-
ется простой неподвижной (или инвариантной) точкой отображения
F. На диаграмме Ламерея простая неподвижная точка отображения
F является абсциссой точки пересечения графика функции последо-
вания f(x) с биссектрисой координатного угла ¯x = x. Как видно из
рис. 1.1, неподвижная точка x∗ может являться пределом последо-
вательности (1.2).
Неподвижная точка x∗ точечного отображения F называется
устойчивой в малом, если существует хотя бы сколь угодно малая
окрестность этой точки, такая что любая последовательность (1.2),

Р а з д е л 1

Рис. 1.2. Точечное отображение с двумя устойчивыми и одной неустойчивой
простыми неподвижными точками

Рис. 1.3. Точечное отображение с устойчивой простой неподвижной точкой

начинающаяся в этой окрестности, сходится к точке x∗. В против-
ном случае неподвижная точка x∗ называется неустойчивой.
На
рис. 1.1–1.4 приведены примеры точечных отображений, имеющих
устойчивые и неустойчивые простые неподвижные точки.
Условие устойчивости в малом простой неподвижной точки то-
чечного отображения задается теоремой Кенигса: неподвижная точ-
ка x∗ точечного отображения F с функцией последования f(x)
устойчива, если в сколь угодно малой окрестности этой точки выполняется 
условие
df
dx

x=x∗
< 1,
(1.3а)

Математический аппарат
9

Рис. 1.4. Точечное отображение с неустойчивой простой неподвижной точкой

и неустойчива, если
df
dx

x=x∗
> 1.
(1.3б)

Следует заметить, что эта теорема не решает вопроса об устойчивости 
неподвижной точки в критическом случае, когда |df/dx| =
= 1.
В этом случае устойчивость определяется знаками старших
производных функции последования.

1.1.2. Кратные циклы точечного отображения
Вместе с тем итерационный процесс, порождаемый точечным
отображением, может сходиться не только к простой устойчивой
неподвижной точке.
На рис. 1.5 приведен пример точечного отображения, 
у которого последовательность итераций сходится к паре
точек a1 и b1, таких что:

f(a1) = b1;
f(b1) = a1.

Такое инвариантное многообразие называется двукратным циклом
точечного отображения, или циклом периода T = 2, а точки a1 и
b1 называются двукратными неподвижными точками точечного отображения 
F. Они находятся как корни уравнения

f[f(x)] − x = 0.
(1.4)

Рассмотрим подобные многообразия в общем случае.
Если
функция последования f(x), заданная на интервале [a, b], и сам интервал [
a, b] таковы, что для любого x ∈ [a, b] имеет место f(x) ∈
[a, b], то в этом интервале можно построить последовательность следующих 
итерированных функций:

x0 = f0(x) = x,
x1 = f1(x) = f(x),
x2 = f2(x) = f[f(x)];
x3 = f3(x) = f{f[f(x)]}, ..., xn = fn(x) = f(xn−1).
(1.5)

Р а з д е л 1

Рис. 1.5. Цикл периода 2

Функция fn(x) = f(xn−1) называется n-й итерацией функции
f(x). Для натуральных итераций имеет место следующее основное
функциональное уравнение:

fn[fm(x)] = fn+m(x).
(1.6)

Пусть N — минимальное число, при котором для некоторой точки 
x0 выполняется равенство

fN(x0) = x0.
(1.7)

Тогда точка x0 называется N-кратной неподвижной (или инвариантной) 
точкой точечного отображения F. Применяя к обеим частям
равенства (1.7) операцию f, получим, что одновременно с точкой x0
N-кратными неподвижными будут и точки

x1 = f1(x0); x2 = f2(x0), ..., xN−1 = fN−1(x0).
(1.8)

Инвариантное множество (1.8) называется N-кратным циклом
точечного отображения F, или циклом периода N и представляет
собой совокупность N точек, которые последовательно циклически 
отображаются одна в другую. На диаграмме Ламерея кратные
циклы отображаются лестницей Ламерея в виде замкнутых конту-
ров, состоящих из отрезков вертикальных и горизонтальных прямых
(рис. 1.6).
Очевидно, что при выполнении равенства (1.7) имеет место и
равенство
fkN(x0) = x0,
(1.9)

где k — целое число. Нахождение N-кратных неподвижных точек
сводится к нахождению действительных корней уравнения

fN(x) − x = 0,
(1.10)

называемого уравнением N-кратных неподвижных точек или урав-
нением периода N.