Математика для студентов радиотехнических специальностей : в 3 ч. Часть 3

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное 

образовательное учреждения высшего образования
«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Инженерно-технологическая академия

Н. Е. САПУНЦОВ

МАТЕМАТИКА

ДЛЯ СТУДЕНТОВ РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ

СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ

Учебное пособие 

в трех частях

Часть 3

Ростов-на-Дону – Таганрог

Издательство Южного федерального университета

2022

Содержание

2

УДК 517.2, 517.3
ББК 22.161

С198

Печатается по решению кафедры высшей математики

Института компьютерных технологий и информационной безопасности

Южного федерального университета

(протокол № 9 от 1 июня 2022 г.)

Рецензенты:

доктор технических наук, профессор кафедры антенн и радиопередающих 

устройств Института радиотехнических систем и управления

Южного федерального университета В. А. Обуховец

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики 

Института компьютерных технологий и информационой безопасности

Южного федерального университета А. Г. Клово

Сапунцов, Н. Е.

С198 
Математика для студентов радиотехнических специальностей : учебное 

пособие : в 3 ч. / Н. Е. Сапунцов ; Южный федеральный университет. – Ростов-
на-Дону ; Таганрог : Издательство Южного федерального университета, 2022.

ISBN 978-5-9275-3838-6
Часть 3. – 160 с.
ISBN 978-5-9275-4258-1 (Ч. 3)
Пособие предназначено для организации самостоятельной работы студентов ра-

диотехнических специальностей при изучении разделов «Обыкновенные дифференци-
альные уравнения», «Теория функции комплексной переменной», «Преобразование 
Лапласа», изучаемых студентами в четвертом семестре обучения.

Изложение теоретического материала, как правило, сопровождается решением 

модельных задач, которые содержатся в контрольных работах, индивидуальных зада-
ниях и предлагаются на экзамене.

Материал излагается в соответствии с требованиями ФГОС ВО с учетом реко-

мендаций и ПрООП ВО. 

Пособие ориентировано на студентов, обучающихся по направлению 11.05.00 

«Радиоэлектронные системы и комплексы» и может быть использовано студентами дру-
гих технических специальностей, изучающих математику.

УДК 517.2, 517.3

ББК 22.161

ISBN 978-5-9275-4258-1 (Ч. 3)
ISBN 978-5-9275-3838-6 

© Южный федеральный университет, 2022
© Сапунцов Н. Е., 2022
© Оформление. Макет. Издательство

Южного федерального университета, 2022

Содержание

3

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ ………………………………………………………….
5

ГЛАВА 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ И ИХ СИСТЕМЫ ………………………………...
7

1.1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям …...
7

1.2. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные 
определения ………………………………………………………..
9

1.3. Дифференциальные уравнения первого порядка …………...
12

1.4. Интегрируемые типы дифференциальных уравнений пер-
вого порядка ……………………………………………………….
13

1.5. Дифференциальные уравнения с разделяющимися перемен-
ными ………………………………………………………………..
13

1.6. Однородные относительно аргумента и искомой функции 
дифференциальные уравнения первого порядка ………………...
16

1.7. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
21

1.8. Дифференциальные уравнения высших порядков ………….
26

1.9. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
30

1.10. Линейные однородные дифференциальные уравнения с 
постоянными коэффициентами …………………………………..
32

1.11. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. 
Структура общего решения ……………………………………….
36

1.12. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 
(способ вариации произвольных постоянных) …………………..
37

1.13. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 
(метод неопределённых коэффициентов) ………………………..
41

1.14. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений …
45

1.15. Решение нормальной системы дифференциальных уравнений
46

1.16. Линейные однородные системы дифференциальных урав-
нений с постоянными коэффициентами …………………………
50

1.17. Линейные неоднородные системы дифференциальных 
уравнений с постоянными коэффициентами …………………….
57

1.18. Элементы теории устойчивости …………………………….
61

Контрольные вопросы и задачи …………………………………..
64

Содержание

4

ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ
ПЕРЕМЕННОЙ ……………………………………………………...
69

2.1. Понятие функции комплексной переменной ………………..
69

2.2. Предел и непрерывность функции комплексной переменной
70

2.3. Основные элементарные функции комплексной переменной
71

2.4. Формула Эйлера ………………………………………………
72

2.5. Гиперболические функции комплексной переменной ……..
72

2.6. Логарифмическая функция комплексной переменной ……..
74

2.7. Обратные тригонометрические функции комплексной пе-
ременной и степенная функция комплексной переменной ……..
74

2.8. Производная функции комплексной переменной …………..
75

2.9. Геометрический смысл модуля и аргумента производной 
функции комплексной переменной ………………………………
78

2.10. Аналитические функции ……………………………………
82

2.11. Интеграл функции комплексной переменной ……………..
85

2.12. Понятия односвязной и многосвязной областей …………..
87

2.13. Теорема Коши о независимости интеграла от формы пути 
интегрирования ……………………………………………………
88

2.14. Теорема Коши для многосвязной области …………………
93

2.15. Формула Коши для односвязной области ………………….
94

2.16. Формула Коши для многосвязной области ………………...
96

2.17. Практическое применение теоремы и формулы Коши ……
96

2.18. Ряды функций комплексной переменной …………………..
101

2.19. Ряд Тейлора …………………………………………………..
103

2.20. Ряд Лорана …………………………………………………...
107

2.21. Особые точки функции ……………………………………...
113

2.22. Вычеты аналитической функции …………………………...
115

2.23. Основная теорема о вычетах ………………………………..
115

2.24. Вычеты функций относительно особых точек ……………..
117

2.25. Вычисление несобственных интегралов с помощью вычетов
121

Контрольные вопросы и задачи …………………………………..
127

ГЛАВА 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА ……………………..
131

3.1. Операционное исчисление …………………………………...
131

3.2. Преобразование Лапласа ……………………………………..
132

Содержание

5

3.3. Изображения простейших оригиналов ………………………
133

3.4. Основные свойства преобразования Лапласа ……………….
134

3.5. Операционный метод решения обыкновенных дифференциальных 
уравнений и их систем …………………………………
149

3.6. Применение формулы (интеграла) Дюамеля для решения 
обыкновенных дифференциальных уравнений с нулевыми начальными 
условиями ……………………………………………….
154

Контрольные вопросы и задачи …………………………………..
156

ЗАКЛЮЧЕНИЕ ……………………………………………………..
158

СПИСОК  ЛИТЕРАТУРЫ ………………………………………….
159

Содержание

6

ВВЕДЕНИЕ

В основу пособия положены лекции, читаемые автором в течение 

ряда лет студентам, обучающимся по направлению 11.05.00 «Радиоэлектронные 
системы и комплексы», всех профилей подготовки в четвертом се-
местре обучения.

Назначение пособия – оказать помощь студентам при изучении разделов «
Обыкновенные дифференциальные уравнения», «Теория функций 
комплексной переменной» и «Преобразование Лапласа», что особенно актуально 
при дистанционном обучении.

Пособие состоит из введения, трех глав и заключения.
Каждая глава содержит теоретический материал из соответствующего 
раздела математики. При этом предпочтение отдается тем вопросам, 
которые необходимы при изучении последующих разделов математики. 
Особое внимание уделяется вопросам, находящим применение при изучении 
специальных дисциплин. Теоретический материал подкрепляется подробным 
рассмотрением модельных задач.

В конце каждой главы приводятся контрольные вопросы и задачи 

для подготовки к экзамену. Это позволит студентам сконцентрировать свое 
внимание на теоретические вопросы и практические задания при подготовке 
к экзамену.

Несмотря на то, что пособие предназначено для студентов радиотехнических 
специальностей, оно может быть использовано студентами других 
технических специальностей, изучающих математику.

1.1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям

7

ГЛАВА 1

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

УРАВНЕНИЯ И ИХ СИСТЕМЫ

1.1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям

Задача 1
С некоторой высоты вертикально вниз сброшено тело, масса кото-

рого m. Требуется установить, по какому закону будет изменяться скорость 
v падения этого тела, если на него, кроме силы тяжести, действует тормо-
зящая сила сопротивления воздуха, пропорциональная скорости.

Решение
Сила 
dv
F
m dt

, действующая на тело, будет складываться из двух 

сил: силы тяжести F1 = mg (второй закон Ньютона: ускорение материаль-
ной точки прямо пропорционально действующей на неё силе и обратно 
пропорционально массе) и силы сопротивления воздуха F2 = –kv (k коэф-
фициент пропорциональности).

Следовательно, 
dv
m
mg
kv
dt 

. В полученном уравнении имеется 

интересующая нас зависимость v(t).

Задача 2
Конденсатор C, первоначально заряженный до некоторого напряже-

ния u0, разряжается через сопротивление R. Найти закон изменения тока i(t)
в контуре, если при t = 0 ток в контуре i0 = i(0).

Рис. 1. Разряд конденсатора через сопротивление

Решение
На основании закона Кирхгофа uR + uC = 0  сумма падений напря-

жений на элементах цепи равна сумме источников напряжений (рис. 1). 

Глава 1. Обыкновенные дифференциальные уравнения и их системы

8

Так как uR = iR, а 
1

C
u
idt
C


, то 
1
0
iR
idt
C



или 
0
di
i
R
dt
C


. 

В полученном уравнении имеется интересующая нас зависимость i(t).

Задача 3
Найти форму антенны в виде поверхности вращения, имеющей 

наибольший коэффициент направленного действия. То есть антенна 
должна обладать способностью, концентрировать энергию электромагнит-
ного излучения в узком луче.

Очевидно, что это возможно только тогда, когда лучи, отраженные 

от поверхности антенны, будут параллельны.

Рассмотрим в декартовой системе координат линию y = f(x), при вра-

щении которой вокруг оси oy получится поверхность антенны (рис. 2).

Рис. 2. Линия y = f(x) и касательная к ней

Расположим источник электромагнитной энергии в начале координат.

0
0
AM O
BM C

 
, так как угол падения луча равен углу отражения.

0
0
OAM
BM C

 
как углы с соответственно параллельными сто-

ронами.

Следовательно, треугольник AOM0 равнобедренный (AO = OM0).
Уравнение касательной AB





0
0
0
y
f x
f
x
x
x




. Координаты 

точки A
0
A
x 
, 




0
0
0
A
y
f x
x f
x



. Длина OM0 равна 
2
2

0
0
x
y

, длина 

1.2. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные определения

9

AO равна 




0
0
0
f x
x f
x


. Из равенства AO = OM0 следует уравнение 






2
2

0
0
0
0
0
f x
x f
x
x
y




или 





2
2

0
0
0
0
0
x f
x
f x
x
y




. Так как      

y = f(x), то f(x0) = y0, а точка M0(x0, y0) это любая точка кривой, то уравнение 
можно записать в виде 
2
2
xy
y
x
y
 


. Из этого уравнения можно 

найти вид кривой y = f(x), вращая которую вокруг оси oy получим поверхность 
антенны.

Задача 4
Конденсатор C, первоначально заряженный до некоторого напряжения 
u0, разряжается через цепь, содержащую сопротивление R и индуктивность 
L (рис. 3). Найти закон изменения тока i(t) в контуре, если при t = 0
ток в контуре i0 = i(0).

Решение

Рис. 3. Разряд конденсатора через сопротивление и индуктивность

Так как uR = iR, 

L

di
u
L dt

, 
1

C
u
idt
C


.

На 
основании 
закона 
Кирхгофа 
uR + uL + uC = 0
или 

1
0
di
iR
L
idt
dt
C




.

Дифференцируя по t, получим уравнение 

2

2
0
d i
di
i
L
R
dt
dt
C



. В полученном 
уравнении имеется интересующая нас зависимость i(t). 

1.2. Обыкновенные дифференциальные уравнения. 

Основные определения

Уравнения, содержащие неизвестную функцию и её производные 

(дифференциалы), называют дифференциальными уравнениями.

Глава 1. Обыкновенные дифференциальные уравнения и их системы

10

Если в дифференциальном уравнении искомая функция зависит от 

одного аргумента, то такие уравнения называют обыкновенными диффе-
ренциальными уравнениями.

Если же искомая функция зависит от нескольких аргументов, то 

уравнение называют уравнением в частных производных.

Мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные 

уравнения, т.е. уравнения вида 
 


, , , 
, ... , 
0

n
F x y y
y
y



.

Наивысший порядок производной, входящей в данное уравнение, 

называют порядком данного дифференциального уравнения:



, , 
0
F x y y 
– дифференциальное уравнение первого порядка,



, , , 
0
F x y y
y

 
– дифференциальное уравнение второго порядка,

 


, , , ... , 
0

n
F x y y
y


– дифференциальное уравнение n-го порядка.

Решением дифференциального уравнения называется функция, под-

становка которой в дифференциальное уравнение, обращает уравнение в 
тождество.

В разделе «Интегральное исчисление функции одного аргумента» 

[1, 2], решая задачи о нахождении первообразной или неопределенного ин-
теграла, фактически решались простейшие дифференциальные уравнения 
вида 
 
y
f x
 
.

Эти уравнения могут быть записаны в виде 
 
dy
f x
dx 
или dy = 

= f(x)dx. Из равенства дифференциалов двух функций следует, что инте-
гралы от этих дифференциалов могут отличаться друг от друга на любую 
(произвольную) постоянную.

Если взять уравнение y
x
 
, то его решение 

2

2
x
y
C


легко 

можно найти путем интегрирования, где C – произвольная постоянная.

Решение уравнения, содержащее произвольную постоянную C, 

называют общим решением дифференциального уравнения.

Если порядок уравнения n, то его решение можно получить n 

кратным интегрированием и, следовательно, в общем решении будут при-
сутствовать n произвольных постоянных, т.е.


1
2
, 
, 
, ... , 
n
y
y x C
C
C

.

1.2. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные определения

11

Если каждой произвольной постоянной придать конкретные число-

вые значения, то получим частное решение дифференциального уравнения.

График каждого частного решения называют интегральной линией 

(интегральной кривой) дифференциального уравнения. 

Так, например, для дифференциального уравнения y
x
 
интегральные 
линии (интегральные кривые) будут представлять собой семейство парабол 


2

2
x
y
C


(рис. 4).

Рис. 4. Семейство интегральных кривых уравнения y´ = x

Для того чтобы выделить из общего решения частное, необходимы 

кроме самого дифференциального уравнения еще и некоторые дополнительные 
условия, которые называют начальными условиями (как правило 
это условия, определяющие состояние процесса, описываемого дифференциальным 
уравнением, в начальный момент времени).

Для дифференциального уравнения первого порядка 


, , 
0
F x y y 

достаточно задать значение y0 при фиксированном значении x0, так как через 
фиксированную точку (x0, y0) проходит только одна интегральная кривая. 

Для 
дифференциального 
уравнения 
второго 
порядка 



, , , 
0
F x y y
y

 
через фиксированную точку (x0, y0) будет проходить 

множество интегральных кривых. Поэтому для выбора из этого множества 
кривых одну интегральную кривую необходимо указать угол наклона касательной 

0y к этой кривой в заданной точке.

Глава 1. Обыкновенные дифференциальные уравнения и их системы

12

В общем случае для дифференциального уравнения n-го порядка

 


, , , 
, ... , 
0

n
F x y y
y
y



начальные условия имеют вид: при x = x0                        

y = y0,




1
1

0
0
0
 
, 
, ... , 

n
n
y
y
y
y
y
y










.

Нахождение частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего 
заданным начальным условием, называют решением задачи 
Коши.

Замечание

Существуют, так называемые, особые решения дифференциальных 

уравнений. Эти решения невозможно получить из общего решения дифференциального 
уравнения. Теоретически такие решения могут существовать. 
Однако практического применения эти решения, как правило, не 
находят: не может изучаемый процесс протекать по-разному.

Так же как не существует универсального метода интегрирования, так 

и не существует общего метода, позволяющего решить любое дифференциальное 
уравнение. Это обстоятельство приводит к тому, что все дифференциальные 
уравнения разделяют на два типа: дифференциальные уравнения
первого порядка и дифференциальные уравнения высших порядков. 

Решение дифференциальных уравнений высших порядков сводится 

к решению дифференциальных уравнений первого порядка (исключение 
составляют линейные дифференциальные уравнения высших порядков с 
постоянными коэффициентами).

1.3. Дифференциальные уравнения первого порядка

Общий вид дифференциальное 
уравнение первого порядка 



, , 
0
F x y y 
. Его общим решением является функция y = y(x, C).

Если заданы начальные условия (при x = x0  y = y0), то частное решение 
уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям, будет 
представлять собой одну интегральную кривую, проходящую через 
точку (x0, y0).

Задачу о нахождении частного решения, удовлетворяющего заданным 
начальным условия, называют задачей Коши для дифференциального 
уравнения.

1.5. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

13

Для дифференциального уравнения первого порядка справедлива 

теорема о существовании и единственности решения задачи Коши (без доказательства): 
если в дифференциальном уравнении 


, 
y
f x y
 
функция 

f(x, y) и её частная производная f

y



непрерывны в некоторой области D, 

содержащей точку (x0, y0), то существует единственное решение этого уравнения 
y = φ(x), удовлетворяющее начальному условию при x = x0 y = y0.

1.4. Интегрируемые типы дифференциальных уравнений 

первого порядка

Дифференциальное уравнение считается проинтегрированным в 

квадратурах, если его общее решение получено в явной или неявной 
форме, которая может содержать ещё не вычисленные интегралы от известных 
функций.

Имеется несколько типов дифференциальных уравнений первого 

порядка, интегрируемых в квадратурах. Это уравнения с разделяющимися 
переменными, однородные относительно аргумента и искомой функции
(однородные уравнения первого порядка), линейные дифференциальные 
уравнения, уравнение Бернулли, уравнения в полных дифференциалах, 
уравнения приводящиеся к однородным и т.д.

В конечном счете решение перечисленных типов уравнений сводится 
к решению уравнений с разделяющимися переменными. Как правило, 
это достигается путем замены переменной.

1.5. Дифференциальные уравнения с разделяющимися 

переменными

Рассмотрим уравнение 
 
 
1
2

dy
y
f
x
f
y
dx

 


, в котором правая часть 

представляет собой произведение функций, каждая из которых зависит от 
одной переменной. 

Преобразуем это уравнение, разделив переменные знаком равенства,
 
 
1
2
dy
f
x
f
y dx


, 

 
 
1

2

dy
f
x dx
f
y 
.