Математика. Основные формулы и методы решения

ФЕДЕРАЛЬНАЯ СЛУЖБА ИСПОЛНЕНИЯ НАКАЗАНИЙ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ КАЗЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ 

ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 

ВОРОНЕЖСКИЙ ИНСТИТУТ ФСИН РОССИИ 

 
 
 

Кафедра математики и естественно-научных дисциплин 

 
 
 

 

 

МАТЕМАТИКА.  

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ И МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ  

 

 

Справочное пособие 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Воронеж 

2022 

УДК 517 
ББК 22.1 

М34 

 

Утверждено методическим советом 

Воронежского института ФСИН России 

19 мая 2022 г., протокол № 9 

 

Рецензенты: 

профессор кафедры математики и моделирования систем 

Воронежского института МВД России 

доктор физико-математических наук, профессор В. В. Меньших; 

доцент кафедры информационной безопасности 

телекоммуникационных систем 

Воронежского института ФСИН России 

кандидат физико-математических наук, доцент В. А. Мельник 

 
 
 

 
 

Математика. Основные формулы и методы решения : 

справочное пособие / сост. Н. А. Андреева, Е. В. Корчагина ; ФКОУ ВО 
Воронежский институт ФСИН России. – Воронеж, 2022. –  128 с. 
 
 

Справочное 
пособие 
содержит 
теоретические 
сведения  

по основным разделам математики, включает примеры применения  
теории к решению задач.  

Предназначено 
для 
самостоятельной 
подготовки 
курсантов  

и слушателей для всех технических специальностей и направлений под-
готовки, включающих реализацию дисциплин «Математика», «Высшая 
математика», «Теория вероятностей и математическая статистика»  
и «Дискретная математика». 
 

 
УДК 517 
ББК 22.1 

 

Издано в авторской редакции 

 
 

 ФКОУ ВО Воронежский институт 
ФСИН России, 2022 
 Составление. Андреева Н. А.,  
Корчагина Е. В., 2022 

М34 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………………………..4 

§1. Алгебра……………………………………………………………………….......5 

§2. Тригонометрия…………………………………………………………………...6 

§3. Гиперболические функции……………………………………………………...9 

§4. Элементы высшей алгебры…………………………………………………….10 

§5. Элементы линейной алгебры……………………………………………….…16 

§6. Векторная алгебра……………………………………………………………...22 

§7. Прямая и плоскость…………………………………………………….………27 

§8. Кривые и поверхности второго порядка……………………………………...32 

§9. Теория пределов…………………………………………………………..……38 

§10. Дифференциальное   исчисление   функции   одной   независимой пере-

менной………………………………………………………………………………41 

§11. Приложение производных……………………………………………………47 

§12. Неопределенный интеграл……………………………………………………52 

§13. Определенный интеграл……………………………………………….…......63 

§ 14. Несобственные интегралы…………………………………………………...70 

§ 15. Функции нескольких переменных…………………………………………..74 

§ 16. Ряды…………………………………………………………………………...78 

§ 17. Обыкновенные дифференциальные уравнения…………………………….88 

§ 18. Кратные интегралы…………………………………………………………..95 

§ 19. Криволинейные и поверхностные интегралы……………………………..103 

§ 20. Векторный анализ и элементы теории поля…………………………….....108 

§ 21. Теория вероятностей и математическая статистика…………………...…111 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ…………………………………………………………………...126     

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ………….…………………………………………......127 

Я слышу и забываю,  

Я вижу и запоминаю, 

Я делаю и понимаю.  

    Конфуций 

ВВЕДЕНИЕ 

По мере усложнения задач, решаемых обществом, возрастает роль мате-

матики. Почему необходимо изучать математику современному специалисту? 

Математика выполняет важную роль в формировании научного мышле-

ния, умении активно участвовать в творческой дискуссии, делать правильные 

выводы, 
а 
также 
дисциплинирует 
обучающихся. 
Как 
говорил 

М. В. Ломоносов, математика «ум в порядок приводит». Поэтому, одной из ос-

новных целей математических дисциплин является развитие мышления, осо-

бенно формирование абстрактного мышления. 

Широкое проникновение математики и ее методов в другие отрасли зна-

ния является основной формой взаимодействия наук, способствует сближению 

различных отраслей знания. Так, например, связь между физикой и химией 

очень часто осуществляется через математику. Математика изучает количе-

ственные закономерности, присущие всем предметам, явлениям действитель-

ности, и поэтому необходима для всех областей знания. Математика дает им 

мощный вычислительный аппарат, язык формул и т.д., без которых науки не 

могут успешно развиваться. 

Настоящее справочное пособие охватывает весь курс математики. Мате-

риал систематизирован и представлен в сжатом и наглядном виде. 

Теоретический материал сопровождается блоком практических заданий. 

Приведенные примеры с развернутыми разъяснениями позволят разобраться 

с темами курса «Математика», повторить соответствующий учебный материал, 

необходимый для сдачи экзамена или аттестации, систематизировать знания 

по отдельным темам. 

Справочное пособие будет полезно курсантам, слушателям и студентам 

всех специальностей, изучающих такие дисциплины, как «Математика», «Выс-

шая математика» и «Теория вероятностей и математическая статистика»,  для 

запоминания основных формул и понятий. 

§1. Алгебра

Действия над степенями 



n
n
n
b
a
b
a



;       
n
m
n
m
a
a
a



;       
n
m
n
m
a
a
a


:
;     


m
n
nm
a
a

; 

n

n
n

b
a
b
a





;      
n
n

a

a
1


;
 
n
n
a
a


1
;       
1
1 
a
;       
1
0 
a
. 

Формулы сокращенного умножения 



2
2
2
2
b
ab
a
b
a




;       

2
2
2
2
b
ab
a
b
a




;       



b
a
b
a
b
a




2
2
; 



3
2
2
3
3
3
3
b
ab
b
a
a
b
a





;       

3
2
2
3
3
3
3
b
ab
b
a
a
b
a





; 




2
2
3
3
b
ab
a
b
a
b
a





;       



2
2
3
3
b
ab
a
b
a
b
a





;




2
1
2
x
x
x
x
a
c
bx
ax





, 

где 
2
1, x
x
  корни уравнения 
0
2



c
bx
ax
,  
a

ac
b
b
x
2

4
2

2,1




. 

Правила действий над корнями 

1
2
1
2
1
2
1
2







n
n
n
n
abc
c
b
a
;     
1
2
1
2

1
2





n
n

n

b
a
b
a
;     

1
2
1
2



n
k
k
n
a
a
;



1
2
1
2
1
2
1
2





n
n
n
n
a
a
;     
n
n
n
n
abc
c
b
a
2
2
2
2



   

0
,0
,0



c
b
a
; 



n
k
k
n
a
a
2
2

   
)
0
( 
a
;      
nk
n k
a
a
2
2

   
)
0
( 
a
; 

n
n

n

b
a
b
a
2
2

2

   

0
,0


b
a
;      

n

n
n
b

a

b
a

2

2
2







0
,0 b
b
a
; 

n
n
n
n
c
b
a
abc
2
2
2
2



   

0

abc
. 

Основные правила логарифмирования 

x
b
a

log
,   тогда   
b
ax 
. 

b
a
b
a 
log
   (
0
,1
,0



b
a
a
); 
1
log

a
a
;        
0
1
log

a
; 



c
b
c
b
a
a
a
log
log
log



;
   
c
b
c
b
a
a
a
log
log
log


; 

b
c
b
a
c
a
log
log

;   
N
k
N
a
ak
log
1
log

;   
a
N
N

b

b
a
log
log
log

;   
a
b

b
a
log
1
log

.

§2. Тригонометрия

Соотношения между тригонометрическими функциями 
одного и того же аргумента 

1
cos
sin
2
2




;      
,1



 ctg
tg
   
2
n

 
;




cos
sin

tg
,   

1
2
2


n


;      



sin
cos

ctg
,   
n

 
;




2
2

cos

1
1

 tg
,   

1
2
2


n


;      




2
2

sin

1
1

 ctg
,   
n

 
;   
Z
n
.

Формулы сложения и вычитания тригонометрических функций 









sin
cos
cos
sin
sin





; 









sin
sin
cos
cos
cos





; 










tg
tg
tg
tg
tg






1
;         









tg
ctg
ctg
ctg
ctg





1
 .

Формулы двойного и тройного аргументов 






2
2
2
2
sin
2
1
1
cos
2
sin
cos
2
cos






; 




cos
sin
2
2
sin



;     




2
1
2
2
tg
tg
tg


;     



ctg
ctg
ctg
2
1
2

2


; 




3
sin
4
sin
3
3
sin


;     



cos
3
cos
4
3
cos
3


; 





2

3

3
1
3
3
tg
tg
tg
tg



;     




2

3

3
1
3
3
ctg
ctg
ctg
ctg



. 

Формулы половинного аргумента 

2
cos
1

2
sin2




;   
2
cos
1

2
cos2




;  
 








sin

cos
1

cos
1

sin

2




tg
. 

Формулы преобразования суммы в произведение 

2
cos
2
sin
2
sin
sin










;   
  
2
sin
2
cos
2
sin
sin










; 

2
cos
2
cos
2
cos
cos










;          cos
cos
2sin
sin
2
2









 
; 










cos
cos
sin



 tg
tg
;       









sin
sin
sin



 ctg
ctg
;   









sin
sin
sin



 ctg
ctg
; 










sin
cos
cos



 ctg
tg
;  
 









sin
cos
cos




 ctg
tg
. 

Формулы преобразования произведения в сумму 

















cos
cos
2
1
sin
sin
; 





1
cos
cos
cos
cos
2













 ; 





1
sin
cos
sin
sin
2













 . 

Формулы, выражающие тригонометрические функции 
через тангенс половинного аргумента 

2
1

2
2
sin
2 




tg

tg



;     

2
1

2
1
cos
2

2






tg

tg





;     

2
1

2
2

2 




tg

tg
tg


;      

2
2

2
1
2






tg

tg
ctg


. 

Обратные тригонометрические функции 



;1
1
,
arcsin
sin




x
x
x
     


;1
1
,
1
arccos
sin
2





x
x
x
 



;1
1
,
arccos
cos




x
x
x
     


;1
1
,
1
arcsin
cos
2





x
x
x



;x
arctgx
tg

     


;
1
x
arcctgx
tg

   


;1
1
,
1
arcsin
2





x
x

x
x
tg
 



0
,1
1
,
1
arccos

2






x
x
x

x
x
tg
. 

Простейшие тригонометрические уравнения 



sin
1
arcsin
,
;

n
x
a
x
a
n
n
Z



 


 

cos
arccos
2
,
;
x
a
x
a
n
n
Z



 


 

,
;
tgx
a
x
arctga
n
n
Z







,
ctgx
a
x
arcctga
n
n
Z






. 

Значения углов 

 
0 
6

4

3

2



sin
0 
2
1  

2
2

2
3
1 
0 

cos
1 

2
3

2
2

2
1  
0 
-1

tg 
0 
3
1
1 
3
- 
0 

ctg
- 
3
1 
3
1
0 
- 

§3. Гиперболические функции 

 

Областью определения функций shx ,chx ,thx является вся числовая ось; 

функция y=cthx не определена в точке х = 0. 

Гиперболический синус: 
 
 
2

x
x
e
e
shx




. 

Гиперболический косинус: 
 
2

x
x
e
e
chx




. 

Гиперболический тангенс: 
 
x
x

x
x

e
e

e
e

chx
shx
thx








. 

Гиперболический котангенс:  
x
x

x
x

e
e

e
e

shx
chx
thx








. 

Функция y=chx является четной и принимает только положительные зна-

чения. Функция y=shx – нечетная, т.к.  

. 

Функции y=thx и y=cthx являются нечетными как частные четной и не-

четной функции. Отметим, что в отличие от тригонометрических, гиперболиче-

ские функции не являются периодическими. 

 

Основные тождества 

1
2
2


x
sh
x
ch
, 
0
,1



x
cthx
thx
, 
0
,
1
1
2

2



x
x
sh
x
cth
,   

x
ch

x
th
2

2
1
1


. 

§4. Элементы высшей алгебры

Алгебра множеств 

Множество – это совокупность объектов произвольной природы, мыс-

лимых как единое целое. 

Принадлежность элемента a множеству A символически обозначается 

так: 
A
a
; запись 
A
b
 означает, что элемент b не принадлежит множеству A. 

Множество без элементов называется пустым множеством и обозначается 

 . 

Знаком   обозначим отношение включения между множествами, 

т.е.  , если каждый элемент множества  есть элемент множества . Ес-

ли  , то говорят, что множество  есть подмножество множества .  

Равенство двух множеств  и  означает выполнение двух включений: 

  и  . 

Если    и  , то говорят, что  есть собственное подмножество 

 и пишут  .  

Пустое множество является подмножеством любого множества. 

Число элементов в множестве  обозначается  . 

Операции над множествами 

Объединением множеств  и  называется множество , все эле-

менты которого являются элементами множества  или: 

{ :
или
}
A
B
x
x
A
x
B




. 

Пересечением множеств  и  называется множество , элементы 

которого являются элементами и множества, и множества: 

{ :
и
}
A
B
x
x
A
x
B




. 

Разностью множеств  и  называется множество 
\
  тех элементов 

из, которые не принадлежат: 
\
{ :
и
}
A B
x
x
A
x
B



. 

Основные законы для операций над множествами 

1.
      ( коммутативность объединения);

2.
      (коммутативность пересечения);

3.




           (ассоциативность объединения);

4.




           (ассоциативность пересечения);

5.






              (1-й закон дистрибутивности);

6.






              (2-й закон дистрибутивности);

7.
   ;

8.
    ;

9.
       ( закон де Моргана);

10.
       ( закон де Моргана);

11.


       (закон поглощения);

12.


       (закон поглощения).

Пример 1. Найти A
B

 и 
,
A
B

, если A=
,
3,2,1
 B=

6,5,3,1
.

Решение. A
B

={1,2,3,5,6}, 
,
A
B

 ={1,3}.

Пример 2. Даны множества: A  множество четных чисел, такие, что

выполняется условие 
10
3

 x
, B  множество делителей числа 21, C  