Сборник задач по математике для поступающих в вузы


  Под редакцией




                М. И. СКАНАВИ





СБОРНИК ЗАДАЧ
по математике

ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ВУЗЫ

6-е издание






Москва
Мир и Образование

   УДК 51(076.1)
   ББК 22.1
        С23



Все права защищены. Перепечатка отдельных глав и произведения в целом без письменного разрешения владельцев прав запрещена.

Авторы
В. К. Егерев, В. В. Зайцев, Б. А. Кордемский, Т. Н. Маслова, И. Ф. Орловская, Р. И. Позойский, Г. С. Ряховская, М. И. Сканави, А. М. Суходский, Н. М. Фёдорова

Научное редактирование книги и подготовка ее к изданию выполнены А. М. Суходским





           Сборник задач по математике для поступающих в С23 вузы / В. К. Егерев, В. В. Зайцев, Б. А. Кордемский и др.;
        Под ред. М. И. Сканави. — 6-е изд. — Москва : Мир и Образование, 2022. — 608 с.: ил.
           ISBN 978-5-94666-754-8
           Сборник составлен в соответствии с программой по математике для поступающих в вузы. Он состоит из двух частей: «Арифметика, алгебра, геометрия» (часть I); «Алгебра, геометрия (дополнительные задачи). Начала анализа. Координаты и векторы» (часть II). Все задачи части I разбиты на три группы по уровню сложности. В каждой главе приведены сведения справочного характера и примеры решения задач. Ко всем задачам даны ответы.
           Пособие адресовано учащимся старших классов, абитуриентам и учителям математики.
УДК 51(076.1)
ББК 22.1



   ISBN 978-5-94666-754-8
              © Голубева М. А., Егерева В. С., Зайцев В. В., Луковцева А. К., Лунаци Э. Д., Маслова Т. Н., Сканави А. М., Суходская В. А., Фохт О. Б., 2022
              © ООО «Издательство «Мир и Образование», 2022

ПРЕДИСЛОВИЕ







     Данная книга представляет собой повторение шестого издания «Сборника задач по математике для поступающих во втузы» (М.: Высшая школа, 1992; Столетие, 1997-1999) с дополнительной корректировкой условий всех задач и ответов к ним, а также с исправлением замеченных неточностей. Кроме того, существенно расширен справочный материал в гл. 5,9и 13. При этом, учитывая, что данное издание «Сборника» используется учащимися и преподавателями в течение многих лет, авторы практически полностью сохранили весь массив его задач и их нумерацию.
     «Сборник» написан в соответствии с программой по математике для поступающих во втузы. В каждой главе приведены теоретические сведения справочного характера и примеры решения задач с объяснением применяемых методов. При этом начало и конец решения примера отмечаются соответственно знаками □ и ■.
     «Сборник» состоит из двух частей: «Арифметика, алгебра, геометрия» (часть I); «Алгебра, геометрия (дополнительные задачи). Начала анализа. Координаты и векторы» (часть II).
     Задачи части I разделены на три группы (А, Б, В) по их нарастающей сложности. Хотя такое деление имеет более или менее условный характер, авторы полагают, что умение решать задачи из группы А должно определять минимально необходимый уровень подготовки учащихся к вступительным экзаменам в вузы. Успешное решение задач из группы Б определяет более высокое качество усвоения школьной программы. К группе В отнесены задачи повышенной трудности. Однако практика решения таких задач полезна для развития и укрепления способности к самостоятельному логическому мышлению, для обогащения математической культуры и может быть использована в школе и на факультативных занятиях.
     В части II помещены не разделенные на группы по степени трудности дополнительные задачи по алгебре и геометрии, задачи по началам математического анализа, задачи на применение координат и векторов, а также задачи по теме «Комплексные числа» (гл. 18). Эта тема не входит в ныне действующую программу для поступающих во втузы, но является весьма полезной для учащихся школ, лицеев и гимназий, изучающих математику по расширенной программе и готовящихся к вступительным экзаменам во втузы. По этим же соображениям к части II следовало бы отнести и тему «Комбинаторика и бином Ньютона», однако ее пришлось оставить в части I (гл. 5), чтобы сохранить нумерацию всех глав и задач «Сборника» для удобства тех, кто использует в своей работе именно шестое его издание.
     Вместе с тем в интересах учащихся и преподавателей, использующих в своей работе как шестое, так и десятое издание «Сборника», в конце книги указаны

3

Предисловие


номера всех задач настоящего издания, для которых эти же задачи (под другими номерами) решены в десятом издании.
     В соответствии со школьной программой обучения математике всюду (за исключением гл. 18) рассматриваются только области действительных чисел: действительные корни функций, уравнений, систем уравнений.
     Начиная с третьего издания работа над «Сборником» выполнялась коллективом авторов без участия самого активного соавтора и научного редактора его первого и второго изданий М. И. Сканави, умершего в 1972 г. Специальное редактирование третьего и последующих изданий осуществлял Б. А. Кордемский. Он проделал большую работу и в процессе подготовки настоящего издания, но, к сожалению, книга вышла в свет уже без него. Мы сохраним светлую память о нем и о других наших коллегах, ушедших из жизни за последние годы, — И. Ф. Орловской, Р. И. Позойском, В. К. Егереве, В. В. Зайцеве.
     Авторы сердечно благодарят учащихся и преподавателей школ, подготовительных курсов и факультетов вузов, рецензентов «Сборника», высказавших критические замечания и добрые советы, предложивших поправки. В особенности авторы признательны Р. И. Борковскому (г. Челябинск), приславшему наибольшее количество пожеланий и замечаний, учтенных при работе над книгой.

Авторы

ЧАСТЬ I



            АРИФМЕТИКА, АЛГЕБРА, ГЕОМЕТРИЯ




ГЛАВА 1

        АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ




    Пример. Вычислить

928 -10⁻² 0,8

- 0,6

42 ■ 3⁵ + 3,3:0,03
      6   ,   ,

I
: 15

з-1

I 3                )
I 3—: 0,625 - 0,84:0,8 1:0,03
Ц ⁴                 )

(

     □ Обозначим выражение в первых скобках через А, а выражение во вторых скобках— черезВ. Последовательно находим:


     1)  А = — - 0,6 = 11,6 - 0,6 = 11;
      ²      80
     2)   числитель дроби В:
               5          42 ■ 5
       а)   42 ■ 3- = 42 ■ 3 +-= 161;
               6          6

       б)   3,3:0,03 = 110;
       в)   (161 +110) 45 = 271-15;
     3)   знаменатель дроби В:
        , 15 5
       а) —: — = 6;
           4 8 *

        ,, 84
        б) — =
            80

21.
20;

в⁾

21
20

■ — = 200 - 35 = 165; 3

4) В = 271- — = ’          165

271
    . 11

6



Окончательно получим А: В ¹

        271
= АВ = 11-— = 271. ■ 11

5

ЧАСТЬ I. Арифметика, алгебра, геометрия

     В задачах этой главы надо выполнить указанные действия, не пользуясь микрокалькулятором, не делая округлений и приближенных вычислений, так как предполагается, что все заданные числа являются точными.

Вычислить (1.001-1.040):

1.001.

     (7 - 6,35): 6,5 + 9,9

1,2:36 +1,2:0,25 -1—| : —
16 ) 24

_____ ((7 47 I 7 I ,             „      „ . 19
1.002. I I-----1:1,25 + — I :(0,358-0,108)-1,6----.
VV 9 72)        40 J                    25

1.003.

           7 4 0,5:1,25 + :1
5 7



3
11

- 3

1.004.

:18¹
3

( .     .1
(2,7 - 0,8) - 23 ^ (5,2 -1,4): А

+ 0,125

7

2¹ + 0,43.
  2

1.005.

2—:1,1 + 3¹ с 12¹ + 4,5 | - 0,375
   4        3 . ⁵ I 6       7
____________ ____ _________________

            1 : ₇             1

2,5 - 0,4 - 3 ⁷      2,75 -1

            3                 2

1.006.

13,75 + 9¹1-1,2
       6 7
(-----ТГУ⁺
I 10,3 - 8¹|-⁵
V     2 7 9

      31 5
6,8 - 3- I- 5—
      5 7 6
--------:------
32 - 31I-56

276

3

6

1.007.

¹ + 0,1 + — 1: 1¹ + 0,1 6          157 V 6



— I- 2,52 15 7

1.008.

0,5 -¹ + 0,25 3



¹ |:⁽0,25 5 7 V



1 6

-

7
13



( 1               1
3- + 2,5 4,6 - 2-
   3              3 ₅₂
-------1----------Г⁻ ⁵,² ³
2,5 -1- 4,6 + 2—
V 3          ’     3     .

7

(
    0,05

¹
V 7





+ 5,7

0,125
7

1.009.

   0,4 + 81 5-0,8-⁵ I-5:2¹
        V 8 7         2
( 7   (      .2II     2
I 1--8-| 8,9-2,6:- | I-34-
V 8   V 3 77          5

- 90.

6

ГЛАВА 1. Арифметические действия

1.010.

41I:₅А
6 ) 15

  2      I   9
4- + 0,75 I- 3—
  3      ) 13

341+озао!+2 7     70  7

       ( ³ + 0,425 - 0,005 I:0,1 ₆1 ₊ ₅1
1.011. I⁵ ⁶-------1--1-------+ -$---Д - 0,05.
30,5 +* ¹ + 3¹    26:31
6    3            7


1.012.

1.013.

       3¹ -1,9 +19,5:4! 3,5 + 4² + 2—
  3______________2 .    3   15
    62           ’  ( 1 I
    — - 0,16     0,511 + 4,11
    75           , ^ 20     , )


  1 (17     ,       11
1у.| ^0 + 0,6 -0,005 I 1-1,7

          5 ,1 1 23
          — +1— 1—
          6  3   30


  ⁴,⁷⁵ + ⁷¹
+--------т²-: 0,25.
    33: 4!
7

         I ⁴,⁵ ⁻¹|⁻ ⁶,⁷⁵ I-² 1— - 0,22:0,3 - 0,96
1.014. -Д-----³------ ³    + -J1--------ₛ------
( 1        11 I 2        (      3 I

       I 3 - 0,3 + 5 - 1:2— I 0,2-------1-1,6

^ 3       38)     3      ^    40)


1.015.

      1,88 + 2— I- — ⁽⁰²¹⁶ + 0,56 |:0,5
      /      25) 16 I 0,15       )
      0,625 - Ц:²²   ⁽7,7:241 + 2_ Y 4,5
18 9 I ’        4 15)

1.016.

161 -1311-
2    9 )

   2
+----.
11

1.017.

0,128:3,2 + 0,86 ^ 63 21)

   5            ⁻       2
   --1,2 + 0,8   0,505-----0,002

    6                   5

1.018.

3-3:10 + 0,175:0,35

1,75 -1— - —
17 56

0,5 -¹ I-3 9 )



1.019.

9 0,125:0,25 +1—:2,5     /        \
---------------¹⁶------+1 — +1,9 I - 0,5. (10 - 22:2,3) - 0,46 +1,6 ^ 20  )

7

ЧАСТЬ I. Арифметика, алгебра, геометрия

1.020.

₁1 ₋ 23 |. 22
7 49J:147



, 3 1 1         1
0,6:3- 12 + 3,75:1
4 ) 2        2

1.021.

2:з1 + (31:131:2 + ( 2^



1.022.

1.023.

1.024.

1.025.

1.026.

1.027.

1.028.

1.029.

1.030.

1.031.

5 V 4

3 V 18

17
36

■

18
65

1
—
3

0,5 +1 +1 + 0,125 (3,75 - 0,625) ■ ll

1 „ „ 14 + 0,4 +
3        15

12,8 ■ 0,25



8-4:2— 7    77
0,5:18² 41 3



1
18

           , 7      11
0,725 + 0,6 + —+
---------₁----'      ° ■ 0,25.
0,128 ■ 6¹ - 0,0345: —
        4           25

(520 ■ 0,43): 0,26 - 217 ■ 2 -

(3,4 -1,275) ■¹⁶
-----7       Ц- + 0,5 ■ 5 (, 7       2 2 1
— ■! 1    + 6     |
18 V 85       17 У

(

V

:12³ +114 ■ 2¹ + 6111.

5

3      2



2 + —
5,75 +1
2 У

(    13     1
³,⁷⁵ ⁺ ²2 Ь ⁺ ¹л



21 -1,875 2,75 -11 V 2                 2 >

■

10
11

((21,85: 43,7 + 8,5: 3,4): 4,5) :1-| +111.

1- + 3,5:1-! | :21 + 3,4:2¹ - 0,35.
5        4 ) 5           8

2— + -488 33

(13-0,416): 6,05 +1,92

5 21
6__45
15
6

■

         3   5
1,125 +1-------
_________4 12
0,59

8

ГЛАВА 1. Арифметические действия

1.032.

+12,5 ■ 0,64.

1.033.

—: 0,0925 300

:2,5

' з 2 23   4I 110
1,3 +----I---I ■---
30 11J 401

■ 0,5.

((7 - 6,35): 6,5 + 9,9) ■ -2-
1.034. -₍-------1--------ту⁻!: 0,125.
11,2:36 +1¹:0,25-1⁵ И¹
I        5         6) 4

1.035.

(38 1 I , ,8 , 3 26
I 2----1: 13—+ 3---
Ч 45 15J   9   65 99



1
85

■ 0,5.

1.036.

      1  I     3)  1  I  1  23)  22
3,75:1¹ + I1,5:3— I- 2¹ + I1¹ - — I : —
      2  I     4)  2  I  7  49 ) 147

2:3¹ + | 32:13
5 Ч 4

2 Ь 5 17
:I 2
3 I 18 36

18
65

1.037.

    II        13 9 I 9                  I 53
    I I 4,625-------- I:- + 2,5:1,25: 6,75 I:1—
    1^        18 26) 4                  J 68
'1       I         15   7 I                     .
    - 0,375 1:0,125 + I----- I :(0,358 -1,4796:13,7)
2        )         I 6 12)


  3± - 2^ + ₂_L 11А - 2_ 131+5IL2.
   12 18    24 J 31 521 2 6 )1 13

1.038.

      19 Л. 13 _ 13 5 I , 2 14 --- : I 5---2----।---I + 1-------■ -
      84 Ч 42     28 24 J 27 3 9

1.039.

I

(3,2 -1,7): 0,003
I 99 - 3 24:0,2 Ц 35 7 J



г1^ -1,5} 1,5 I
ч 20 , J , * ²⁵

2,44 +1—2¹

25 J 8 J

62— +1,364:0,124.
   20

4 I   6 (
5 :I 8,4■-■^
7 I   7 Ч

—

1.040.

(2,3 + 5: 6,25) ■ 71 8 ■ 0,0125 + 6,9 J

- 20,384:1,3

9

ЧАСТЬ I. Арифметика, алгебра, геометрия

Найти.Хиз пропорции (1.041-1.045):

       I 4-3,5•[ 2¹ -1-11: 0,16
1.041. 1---------------—------
X

,2 3 1
3:
7 14 6

23   49
41---40—

84     60

1.042.

1,2:0,375 - 0,2 0,016:0,12 + 0,7

. 4     2
6   :15— + 0,8
   25   5


X

     0,125 X

1.043.

19
24

21 1 ₈ 7
I • 8
401 16

0,675 • 2,4 - 0,02

1.044.

10,5 • 0,24 -15,15:7,5

9[1— - 0,945:0,9
- 20
   , 3   „3 „
   1----4—:7
40    8

1.045.

| 13.
15,2 • 0,25 - 48,51:14,7 _ - 44

2
11

— :2-1111 66 2 I 5

3,2 + 0,81 5-1 - 3,25



X

X





Вычислить наиболее рациональным способом (1.046-1.048):
     V6w f^^¹


-

1.046.

1.047.

7(6,3 +1,7)² - 4 • 6,3 4,7

    ^561² - 459²    „
~2         2 20 ⁺ ⁴л
4² • 0,15 + 41: —
       - 7          7 3

А

3

I

1.048.


Вычислить (1.049-1.050):

1.049.

2

-2

+ 5⁰

(0,5)

-2



5(-2)⁻² +

-2

+ 4,75.

1.050.

(0,6)⁰



(0,1)



1

(3:2³)⁻¹ • (1,5)³ +

-1