Элементы высшей математики
Покупка
Тематика:
Математика. Высшая математика
Издательство:
Директ-Медиа
Год издания: 2020
Кол-во страниц: 201
Дополнительно
Вид издания:
Учебное пособие
Уровень образования:
Среднее профессиональное образование
ISBN: 978-5-4499-0201-6
Артикул: 802022.01.99
Доступ онлайн
В корзину
Данное пособие содержит теоретический материал, примеры решения типовых задач, систему задач для самостоятельной работы студентов и проверки знаний в виде итогового тестирования по разделу, а также примерные контрольные работы. Предложенная структура
пособия помогает выделить главные аспекты изучаемых математических моделей, организовать и конкретизировать учебный процесс. Учебное пособие «Элементы высшей математики», подготовлено по дисциплине «Элементы высшей математики» в соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом среднего профессионального образования для студентов, обучающихся по специальностям 09.02.02 Компьютерные сети, 09.02.04 Информационные системы, 09.02.05 Прикладная информатика (по отраслям) и др.
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
- Среднее профессиональное образование
- 09.02.02: Компьютерные сети
- 09.02.04: Информационные системы (по отраслям)
- 09.02.05: Прикладная информатика (по отраслям)
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
С. А. Осипенко ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Учебное пособие Москва Берлин 2020
УДК 51(075) ББК 22.1я723 О74 Рецензенты: А. С. Кутузов, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры математики, экономики и управления Троицкого филиала ФГБОУ ВО «ЧелГУ»; Н. Д. Зюляркина, д-р. физ.-мат. наук, профессор кафедры «Защита информации» ЮУрГУ Осипенко, С. А. О74 Элементы высшей математики : учебное пособие / Осипенко С. А. — Москва ; Берлин : Директ-Медиа, 2020. — 201 с. ISBN 978-5-4499-0201-6 Данное пособие содержит теоретический материал, примеры решения типовых задач, систему задач для самостоятельной работы студентов и проверки знаний в виде итогового тестирования по разделу, а также примерные контрольные работы. Предложенная структура пособия помогает выделить главные аспекты изучаемых математических моделей, организовать и конкретизировать учебный процесс. Учебное пособие «Элементы высшей математики», подготовлено по дисциплине «Элементы высшей математики» в соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом среднего профессионального образования для студентов, обучающихся по специальностям 09.02.02 Компьютерные сети, 09.02.04 Информационные системы, 09.02.05 Прикладная информатика (по отраслям) и др. УДК 51(075) ББК 22.1я723 ISBN 978-5-4499-0201-6 © Осипенко С. А., текст, 2020 © Издательство «Директ-Медиа», макет, оформление, 2020
Оглавление Введение ................................................................................................................... 7 Раздел 1. Линейная и векторная алгебра .............................................................. 9 1.1. Матрицы и определители ............................................................................. 9 Понятие матрицы. Действия над ними .......................................................... 9 Определители, свойства и вычисления ........................................................ 13 Методы вычисления определителя матрицы .............................................. 14 Обратная матрица ........................................................................................... 18 Ранг, линейная зависимость/независимость строк и столбцов ................. 19 Задачи для самостоятельной работы ............................................................ 20 Вопросы для самоконтроля ........................................................................... 23 1.2. Системы линейных уравнений .................................................................. 24 Правило Крамера ............................................................................................ 24 Метод Гаусса................................................................................................... 25 Метод обратной матрицы .............................................................................. 29 Задачи для самостоятельной работы ............................................................ 30 Вопросы для самоконтроля ........................................................................... 31 1.3. Векторная алгебра. Операции над векторами ......................................... 32 Понятие вектора и линейные операции над векторами ............................. 32 Понятие линейной зависимости векторов. Базис на плоскости ................ 36 Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов ....................... 38 Задачи для самостоятельной работы ............................................................ 42 Вопросы для самоконтроля ........................................................................... 45 Итоговое тестирование по разделу 1 «Линейная и векторная алгебра» ...... 46 Раздел. 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве ............. 50 2.1. Метод координат. Прямая на плоскости и в пространстве .................... 50 Метод координат на плоскости и в пространстве. Прямоугольные, полярные координаты. Основные задачи метода координат .................... 50 Уравнение прямой. Угол между двумя прямыми. Взаимное расположение двух прямых. Расстояние от точки до прямой .................................................................... 55 Плоскость в пространстве ............................................................................. 59 3
Задачи для самостоятельного решения ........................................................ 61 Вопросы для самоконтроля ........................................................................... 64 2.2. Кривые второго порядка ............................................................................ 65 Эллипс, окружность. Парабола ..................................................................... 65 Гипербола ........................................................................................................ 72 Задачи для самостоятельной работы ............................................................ 75 Вопросы для самоконтроля ........................................................................... 77 Итоговое тестирование по разделу 2 «Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве» ....................................................................... 78 Раздел 3. Дифференциальное исчисление функции одной переменной ......... 81 3.1. Предел и непрерывность функции ............................................................ 81 Предел функции. Основные теоремы о пределах ....................................... 81 Замечательные пределы ................................................................................. 83 Бесконечно малые и бесконечно большие функции ................................... 84 Понятие непрерывности, точки разрыва ...................................................... 92 Задачи для самостоятельной работы ............................................................ 95 Вопросы для самоконтроля ........................................................................... 95 3.2. Производная ................................................................................................ 96 Понятие производной функции .................................................................... 96 Правила дифференцирования, производные элементарных функций ..... 97 Понятие дифференциала функции. Применение дифференциала к приближенным вычислениям ................................................................... 100 Производные высших порядков, логарифмическая производная, производная обратной функции, функции, заданной параметрически ............................................................................ 101 Задачи для самостоятельной работы .......................................................... 104 Вопросы для самоконтроля ......................................................................... 105 3.3. Применение производной к исследованию функции ........................... 105 Возрастание и убывание функции. Экстремумы ...................................... 105 Применение производной при вычислении пределов. Правило Лопиталя ........................................................................................ 110 Асимптоты, выпуклость графика функции, точки перегиба. Полное исследование функции ................................................................... 112 Задачи для самостоятельной работы .......................................................... 122 4
Вопросы для самоконтроля ......................................................................... 123 Итоговое тестирование по разделу 3 «Дифференциальное исчисление функции одной переменной» ................ 124 Раздел. 4. Интегральное исчисление функции одной переменной ................ 127 4.1. Неопределенный интеграл ....................................................................... 127 Первообразная и неопределенный интеграл ............................................. 127 Таблица неопределенных интегралов основных элементарных функций .............................................................. 128 Основные методы интегрирования ............................................................ 129 Задачи для самостоятельной работы .......................................................... 147 Вопросы для самоконтроля ......................................................................... 149 4.2. Определенный интеграл ........................................................................... 150 Определенный интеграл. Методы вычисления определенного интеграла ........................................ 150 Задачи для самостоятельного решения ...................................................... 154 Вопросы для самоконтроля ......................................................................... 155 4.3. Приложение определенного интеграла .................................................. 156 Вычисление площади криволинейной трапеции с помощью определенного интеграла ........................................................ 156 Вычисление объема тела вращения ............................................................ 159 Вычисление длины дуги кривой ................................................................. 161 Задачи для самостоятельной работы .......................................................... 162 Вопросы для самоконтроля ......................................................................... 163 4.4. Дифференциальные уравнения ............................................................... 163 Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными ......... 165 Однородные дифференциальные уравнения первого порядка ............... 166 Линейные дифференциальные уравнения первого порядка .................... 168 Уравнения Бернулли .................................................................................... 169 Уравнения в полных дифференциалах ....................................................... 169 Дифференциальные уравнения высших порядков ................................... 171 Линейные дифференциальные уравнения второго порядка .................... 173 Линейные дифференциальные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами ................................. 176 Задачи для самостоятельной работы .......................................................... 178 5
Вопросы для самоконтроля ......................................................................... 180 Итоговое тестирование по разделу 4 «Интегральное исчисление функции одной переменной» .......................... 182 Список терминов (глоссарий) ............................................................................ 185 Библиографический список ................................................................................ 193 Приложение .......................................................................................................... 195 Итоговые вопросы по дисциплине ................................................................. 195 Контрольная работа по разделу 1 ................................................................... 197 Контрольная работа по разделу 2 ................................................................... 198 Контрольная работа по разделу 3 ................................................................... 199 Контрольная работа по разделу 4 ................................................................... 200
Введение Математическое образование следует рассматривать как важнейшую составляющую фундаментальной подготовки специалиста любого профиля. Обусловлено это тем, что математика является не только мощным средством решения прикладных задач и универсальным языком науки, но также и эле- ментом общей культуры будущего специалиста. Изучение математики на базовом уровне среднего (полного) общего образования направлено на достижение следующих целей: • формирование представлений о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов, об идеях и методах ма- тематики; • развитие логического мышления, пространственного воображения, алгоритмической культуры, критичности мышления на уровне, необходимом для будущей профессиональной деятельности, а также последующего обуче- ния в высшей школе; • овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми в повседневной жизни, для изучения школьных естественнонаучных дисци- плин на базовом уровне, для получения образования в областях, не требую- щих углубленной математической подготовки; • воспитание средствами математики культуры личности, понимания значимости математики для научно-технического прогресса, отношения к математике как к части общечеловеческой культуры через знакомство с ис- торией развития математики, эволюцией математических идей. В результате освоения учебной дисциплины обучающийся должен уметь: • выполнять операции над матрицами и решать системы линейных уравнений; • применять методы дифференциального и интегрального исчисления; • решать дифференциальные уравнения. В результате освоения учебной дисциплины обучающийся должен знать: • основы математического анализа; • основы линейной алгебры и аналитической геометрии; • основы дифференциального и интегрального исчисления. Процесс изучения дисциплины направлен на формирование общих компетенций (ОК), включающих в себя способность: ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эф- фективность и качество. ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность. 7
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития. ОК 5. Использовать информационно-коммуникативные технологии в профессиональной деятельности. ОК 6. Работать в коллективе и в команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями. ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), за результат выполнения заданий. ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации. ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности. В ходе изучения дисциплины ставиться задача формирования профессиональных компетенций (ПК), соответствующих виду деятельности: ПК 1.1. Выполнять проектирование кабельной структуры компьютерной сети. ПК 1.2. Осуществлять выбор технологии, инструментальных средств и средств вычислительной техники при организации процесса разработки и исследования объектов профессиональной деятельности. ПК 1.4. Принимать участие в приемо-сдаточных испытаниях компьютерных сетей и сетевого оборудования различного уровня и в оценке каче- ства и экономической эффективности сетевой топологии. ПК 2.3. Обеспечить сбор данных для анализа использования и функци- онирования программно-технических средств компьютерных сетей. ПК 3.5. Организовывать инвентаризацию технических средств сетевой инфраструктуры. Осуществлять контроль оборудования после его ремонта.
Раздел 1. Линейная и векторная алгебра 1.1. Матрицы и определители Понятие матрицы. Действия над ними Термин «матрица» ввел английский математик Джеймс Джозеф Силь- вестр. Прямоугольной матрицей размера m×n называется совокупность m×n чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы, содержащей m строк и n столбцов. Мы будем записывать матрицу в виде: 𝐴 = ����11 ����12 … ����1𝑛 ����21 ����22 … ����2𝑛 … … … ����𝑚1 ����𝑚2 … ����𝑚𝑛 или сокращенно в виде A = (a i j) (𝑖 = 1, 𝑚 ; 𝑗 = 1, 𝑛 ) Пример: 𝐴 = 0 −3 1 2 7 −4𝑚 = 2 𝑛 = 3 𝐵 = 3 0 −2 0 4 5 −7 1 1 𝑚 = 3 𝑛 = 3 Числа a i j, составляющие данную матрицу, называются ее элементами; первый индекс указывает на номер строки, второй — на номер столбца. Две матрицы A = (a i j) и B = (b i j) одинакового размера называются рав- ными, если попарно равны их элементы, стоящие на одинаковых местах, то есть A = B, если a i j = b i j. Матрица, состоящая из одной строки или одного столбца, называется со- ответственно вектор-строкой или вектор-столбцом. Матрица, состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом. Матрица размера mхn, все элементы которой равны нулю, называется ну- левой матрицей и обозначается через 0. Элементы матрицы с одинаковыми индексами называют элементами главной диагонали. Диагональ, идущая от правого верхнего элемента к левому нижнему, называется побочной диагональю матрицы Если число строк матрицы равно числу столбцов, то есть m = n, то матри- цу называют квадратной порядка n. 9
Квадратные матрицы, у которых отличны от нуля лишь элементы главной диагонали, называются диагональными матрицами и записываются так: ����11 0 … 0 0 ����22 … 0 … … … 0 0 … ����𝑛𝑛 . Если все элементы aii диагональной матрицы равны 1, то матрица называ- ется единичной и обозначается буквой Е: 𝐸 = 1 0 … 0 0 1 … 0 ⋯ ⋯ ⋯ 0 0 … 1 . Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, стоя- щие выше (или ниже) главной диагонали, равны нулю. ����11 ����12 ����13 0 ����22 ����23 0 0 ����33 ����11 0 0 ����21 ����22 0 ����31 ����32 ����33 верхняя нижняя треугольная матрица треугольная матрица Транспонированием называется такое преобразование матрицы, при ко- тором строки и столбцы меняются местами с сохранением их номеров. Обозна- чается транспонирование значком Т наверху. Если в матрице переставить строки со столбцами. Получим матрицу: 𝐴𝑇 = ����11 ����21 … ����𝑚1 ����12 ����22 … ����𝑚2 ⋯ ⋯ ⋯ ����𝑛1 ����𝑛2 … ����𝑚𝑛 , которая будет транспонированной по отношению к матрице А. Пример: 𝐴 = 2 −7 4 0 1 1𝐴𝑇 = 2 0 −7 1 4 0 . В частности, при транспонировании вектора-столбца получается вектор- строка и наоборот. Если AT = A то матрица A называется симметрической. Пример: 𝐶 = 1 2 −3 2 3 0 −3 0 5 ⇒ 𝐶𝑇 = 1 2 −3 2 3 0 −3 0 5 = 𝐶. Кососимметрическая матрица, если AT = -A. Пример: 𝐴 = 0 −2 −3 2 0 1 3 −1 0 . Произведением матрицы А на число k называется матрица, элементы ко- торой получаются из соответствующих элементов матрицы А умножением на число k: k∙A = (k∙aij). 10
Пример: −3 ∙ 1 2 3 −3 0 7= −3 −6 −9 9 0 −21. Суммой двух матриц А = (aij) и B = (bij) одного размера называется мат- рица C = (cij) того же размера, элементы которой определяются по формуле cij = aij + bij. Пример: 2 3 1 1 0 4+ −3 2 0 2 5 1= −1 5 1 3 5 5. 2×3 2×3 2×3 Пример: 𝐴 + 𝐵 = 2 3 −1 0+ 4 −5 2 8 = 2 + 4 3 − 5 −1 + 2 0 + 8= 6 −2 1 8 . Свойства сложения матриц и умножения на число: 1. Переместительное свойство: А + В = В + А. 2. Сочетательное свойство: (А + В) + С = А + (В + С). 3. Распределительное свойство: k (A + B) = k A + k B, где k — число. Произведением двух матриц А = (aij) и B = (bjk), где i = 1,n, j= 1,m , k= 1, p , заданных в определенном порядке АВ, называется матрица С = (cik), элементы которой определяются по следующему правилу: ci k = ai 1 ∙b1 k + ai 2 ∙b2 k +... + ai m ∙ m k = m i s s k c 1 a b = ⋅ ∑ Иначе говоря, элементы матрицы-произведения определяются следую- щим образом: элемент i-й строки и k-го столбца матрицы С равен сумме произ- ведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы k-го столбца матрицы В. Умножение строки на столбец: 𝐴 = (3 −1 4) 𝐵 = 1 0 3 . Решение: 𝐴 ∙ 𝐵 = 3 ∙ 1 − 1 ∙ 0 + 4 ∙ 3 = 15. Умножение матрицы на столбец: каждая строка матрицы скалярно умножается на столбец Пример: 3 −1 2 4 2 0 −5 6 1 ∙ 8 7 2 = 3 ∙ 8 + (−1) ∙ 7 + 2 ∙ 2 4 ∙ 8 + 2 ∙ 7 + 0 ∙ 2 −5 ∙ 8 + 6 ∙ 7 + 1 ∙ 2 = 21 46 4 . Произведение А∙В матрицы А на матрицу В определяется в предположе- нии, что число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Если 𝐴 = ����11 ����12 ����21 ����22; 𝐵 = ����11 ����12 ����13 ����21 ����22 ����23. 2×2 2×3 11
то С = 𝐴 ∙ 𝐵 = ����11����11 + ����12����21 ����11����12 + ����12����22 ����11����13 + ����12����23 ����21����11 + ����22����21 ����21����12 + ����22����22 ����21����13 + ����22����23. Замечание 1. Если А × В имеет смысл, то В × А может не иметь смысла. Замечание 2. Если имеет смысл А × В и В × А, то, вообще говоря А × В ≠ В × А, т. е. умножение матриц не обладает переместительным законом. Замечание 3. Если А — квадратная матрица и Е — единичная матрица того же порядка, то А × Е = Е × А = А. Отсюда следует, что единичная матрица при умножении играет роль единицы. Пример. Найти, если можно, А × В и В × А. 1. 𝐴 = 3 −1 −1 2 𝐵 = 1 1 3 1 Решение: Квадратные матрицы одного и того же второго порядка согла- сованы в томи другом порядке, поэтому А × В и В × А существуют. 𝐴 ∙ 𝐵 = 3 −1 −1 2 ∙ 1 1 3 1= 3 ∙ 1 − 1 ∙ 3 3 ∙ 1 − 1 ∙ 1 −1 ∙ 1 + 2 ∙ 3 −1 ∙ 1 + 2 ∙ 1= 0 2 5 1; 𝐵 ∙ 𝐴 = 1 1 3 1∙ 3 −1 −1 2 = 1 ∙ 3 − 1 ∙ 1 −1 ∙ 1 + 1 ∙ 2 3 ∙ 3 − 1 ∙ 1 −3 ∙ 1 + 1 ∙ 2= 2 1 8 −1. 2. 𝐴 = 1 −2 2 3 1 −2 𝐵 = 1 4 2 −6 5 −3 −3 6 −5 . Решение: Матрицы А и В согласованы 𝐴 ∙ 𝐵 = 1 −2 2 3 1 −2∙ 1 4 2 −6 5 −3 −3 6 −5 = 7 6 −2 3 5 13. Матрицы В и А не согласованы, поэтому В × А не имеет смысла. Пример. Найти произведение матриц 𝐴 = 1 2 1 3 1 0 и 𝐵 = 1 2 3 2 0 1 3 5 4 . Решение: Имеем: матрица А размера 2×3, матрица В размера 3×3, тогда произведение А∙В = С существует и элементы матрицы С равны: с 11 = 1×1 +2×2 + 1×3 = 8, с 21 = 3×1 + 1×2 + 0×3 = 5, с 12 = 1×2 + 2×0 + 1×5 = 7, с 22 =3×2 + 1×0 + 0×5 = 6, 12
с 13 = 1×3 + 2×1 + 1×4 = 9, с 23 = 3×3 + 1×1 + 0×4 = 10. 𝐶 = 8 7 9 5 6 10, а произведение B∙A не существует. Свойства умножения матриц: 1. А · О = О; 2. А · Е = А; 3. А · В ≠ В · А; 4. α (АВ) = (αА) · В = А · (αВ); 5. АВС = (АВ) · С = А · (ВС); 6. А (В + С) = АВ + АС; 7. (А · В)Т =ВТ · АТ. Отметим следующий любопытный факт. Как известно, произведение двух отличных от нуля чисел не равно нулю. Для матриц подобное обстоятель- ство может и не иметь места, т. е. произведение двух ненулевых матриц может оказаться равным нуль-матрице. Действие «деление» для матриц не вводится. Для квадратных невырож- денных матриц вводится обратная матрица. Определители, свойства и вычисления Понятие «определитель» принадлежит Г. Лейбницу (1678). Определитель матрицы или детерминант матрицы — это одна из ос- новных численных характеристик квадратной матрицы, применяемая при ре- шении многих задач. Обозначение. Определитель матрицы A обычно обозначается det(A), |A|, или ∆(A). Свойства определителей: 1. Определитель единичной матрицы равен единице: det(E) = 1 2. Определитель матрицы с двумя равными строками (столбцами) ра- вен нулю. 3. Определитель матрицы с двумя пропорциональными строками (столбцами) равен нулю. 4. Определитель матрицы, содержащий нулевую строку (столбец), ра- вен нулю. 5. Определитель матрицы равен нулю если две (или несколько) строк (столбцов) матрицы линейно зависимы. 6. При транспонировании значение определителя матрицы не меня- ется: det(A) = det(AТ) 7. Определитель обратной матрицы: det(A-1) = det(A)-1 8. Определитель матрицы не изменится, если к какой-то его строке (столбцу) прибавить другую строку (столбец), умноженную на некоторое число. 9. Определитель матрицы не изменится, если к какой-то его строке (столбцу) прибавить линейную комбинации других строк (столбцов). 13
10. Если поменять местами две строки (столбца) матрицы, то опре- делитель матрицы поменяет знак. 11. Общий множитель в строке (столбце) можно выносить за знак определителя: ����11 ����12 … ����1𝑛 ����21 ����22 … ����2𝑛 ⋯ ⋯ ⋯ 𝑘����𝑖1 𝑘����𝑖2 … 𝑘����𝑖𝑛 ⋯ ⋯ ⋯ ����𝑛1 ����𝑛2 … ����𝑛𝑛 = 𝑘 ∙ ����11 ����12 … ����1𝑛 ����21 ����22 … ����2𝑛 ⋯ ⋯ ⋯ ����𝑖1 ����𝑖2 … ����𝑖𝑛 ⋯ ⋯ ⋯ ����𝑛1 ����𝑛2 … ����𝑛𝑛 12. Если квадратная матрица n-ого порядка умножается на некото- рое ненулевое число, то определитель полученной матрицы равен произве- дению определителя исходной матрицы на это число в n-той степени: B = k·A => det(B) = kn·det(A) где A матрица n×n, k — число. 13. Если каждый элемент в какой-то строке определителя равен сум- ме двух слагаемых, то исходный определитель равен сумме двух определи- телей, в которых вместо этой строки стоят первые и вторые слагаемые соот- ветственно, а остальные строки совпадают с исходным определителем: ����11 ����12 … . ����1𝑛 ����21 ����22 … ����2𝑛 ⋯ ⋯ ⋯ ����𝑖1 + ����𝑖1 ����𝑖2 + ����𝑖2 … ����𝑖𝑛 + ����𝑖𝑛 ⋯ ⋯ ⋯ ����𝑛1 ����𝑛2 … ����𝑛𝑛 = ����11 ����12 … . ����1𝑛 ����21 ����22 … ����2𝑛 ⋯ ⋯ ⋯ ����𝑖1 ����𝑖2 … ����𝑖𝑛 ⋯ ⋯ ⋯ ����𝑛1 ����𝑛2 … ����𝑛𝑛 + ����11 ����12 … . ����1𝑛 ����21 ����22 … ����2𝑛 ⋯ ⋯ ⋯ ����𝑖1 ����𝑖2 … ����𝑖𝑛 ⋯ ⋯ ⋯ ����𝑛1 ����𝑛2 … ����𝑛𝑛 14. Определитель верхней (нижней) треугольной матрицы равен произведению его диагональных элементов. 15. Определитель произведения матриц равен произведению опреде- лителей этих матриц: det(A·B) = det(A)·det(B) Методы вычисления определителя матрицы Вычисление определителя матрицы 1×1 Правило: Для матрицы первого порядка значение определителя равно значению элемента этой матрицы: ∆ = |a11| = a11 Вычисление определителя матрицы 2×2 Правило: Для матрицы 2×2 значение определителя равно разности произ- ведений элементов главной и побочной диагоналей: ����11 ����12 ����21 ����22= а11а22-а12а21. 14
Доступ онлайн
В корзину