Алгебра. Основной курс с решениями и указаниями

ОСНОВНОЙ КУРС
с решениями и указаниями

Москва
Лаборатория знаний
2022

Учебно-методическое пособие

Под редакцией 
М. В. Федотова

АЛГЕБРА

Н. Д. Золотарёва, Ю. А. Попов,
 Н. Л. Семендяева, М. В. Федотов

2-е издание, электронное

УДК 373.3:51
ББК 22.1я729
З-80

Золотарёва Н. Д.
З-80
Алгебра. Основной курс с решениями и указаниями : учеб-
но-методическое пособие / Н. Д. Золотарёва, Ю. А. Попов,
Н. Л. Семендяева, М. В. Федотов ; под редакцией М. В. Фе-
дотова. — 2-е изд., электрон. — М. : Лаборатория знаний,
2022. — 581 с. — (ВМК МГУ — школе). — Систем. требования:
Adobe Reader XI ; экран 10". — Загл. с титул. экрана. — Текст :
электронный.
ISBN 978-5-00101-955-8
Настоящее пособие составлено на основе задач вступительных
экзаменов по математике в МГУ имени М. В. Ломоносова и задач
Единого государственного экзамена преподавателями факультета
ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова. Пособие содержит теоретиче-
ский материал, подборку задач, а также идеи, указания (подсказки)
и решения задач.
Рекомендуется школьникам при подготовке к сдаче Единого го-
сударственного экзамена, абитуриентам при подготовке к поступле-
нию как в МГУ, так и в другие вузы, учителям математики, репе-
титорам, руководителям кружков и факультативов, преподавателям
подготовительных курсов.
УДК 373.3:51
ББК 22.1я729

Деривативное издание на основе печатного аналога: Алгебра.
Основной курс с решениями и указаниями : учебно-методическое по-
собие / Н. Д. Золотарёва, Ю. А. Попов, Н. Л. Семендяева, М. В. Фе-
дотов ; под редакцией М. В. Федотова. — М. : Лаборатория знаний,
2018. — 576 с. : ил. — (ВМК МГУ — школе).
ISBN 978-5-00101-139-2.

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений,
установленных
техническими
средствами
защиты
авторских
прав,
правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков
или выплаты компенсации

ISBN 978-5-00101-955-8

© Золотарёва Н. Д., Попов Ю. А.,
Семендяева Н. Л., Федотов М. В.,
2018

© Лаборатория знаний, 2018

Оглавление

От редактора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8

Часть I. Теория и задачи
11

1.
Преобразование алгебраических выражений, простейшие уравнения
и неравенства
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11

1.1.
Формулы сокращённого умножения, преобразование алгебра-
ических выражений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11

1.2.
Сравнение чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14

1.3.
Модуль числа и алгебраического выражения, уравнения и не-
равенства с модулем
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15

1.4.
Квадратный трёхчлен, разложение квадратного трёхчлена на
множители, квадратные уравнения и неравенства, теорема
Виета . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19

2.
Рациональные и иррациональные уравнения и неравенства, простей-
шие системы уравнений
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23

2.1.
Рациональные уравнения и неравенства, метод интервалов . .
23

2.2.
Простейшие системы уравнений. Подстановка и исключение
переменных при решении систем уравнений . . . . . . . . . . .
26

2.3.
Радикалы. Иррациональные уравнения и неравенства, равно-
сильные преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29

2.4.
Смешанные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33

3.
Преобразование тригонометрических выражений, стандартные три-
гонометрические уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34

3.1.
Соотношения между тригонометрическими функциями одно-
го и того же аргумента, формулы двойного и половинного
аргументов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34

3.2.
Простейшие тригонометрические уравнения. Разложение на
множители, сведение к квадратному уравнению . . . . . . . .
37

3.3.
Применение тригонометрических формул для сведения уравнений 
к простейшим
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40

3.4.
Различные задачи на отбор корней . . . . . . . . . . . . . . . .
44

4.
Стандартные текстовые задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46

4.1.
Пропорциональные величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46

4.2.
Арифметическая и геометрическая прогрессии . . . . . . . . .
48

4.3.
Скорость, движение и время . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51

4.4.
Работа и производительность . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55

4.5.
Проценты, формула сложного процента . . . . . . . . . . . . .
56

5.
Стандартные показательные и логарифмические уравнения и неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

5.1.
Преобразование логарифмических выражений. Сравнение логарифмических 
и показательных значений
. . . . . . . . . . .
58

5.2.
Простейшие показательные уравнения и неравенства, равносильные 
преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62

5.3.
Простейшие логарифмические уравнения и неравенства, равносильные 
преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66

5.4.
Смешанные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70

6.
Линейные и однородные тригонометрические уравнения, системы
тригонометрических уравнений, использование ограниченности тригонометрических 
функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71

6.1.
Линейные тригонометрические уравнения, метод вспомогательного 
аргумента . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71

6.2.
Однородные тригонометрические уравнения второй степени,
замена тригонометрических выражений . . . . . . . . . . . . .
74

6.3.
Системы тригонометрических уравнений
. . . . . . . . . . . .
77

6.4.
Использование ограниченности тригонометрических функций, 
оценочные неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82

7.
Изображение множества точек на координатной плоскости, использование 
графических иллюстраций в уравнениях и неравенствах
различных типов
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86

7.1.
Геометрические места точек, графики функций, правила линейных 
преобразований графиков
. . . . . . . . . . . . . . . .
86

7.2.
Плоские геометрические фигуры, применение метода координат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91

7.3.
Использование графических иллюстраций при решении уравнений 
и неравенств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93

8.
Элементы математического анализа
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96

8.1.
Производная, её геометрический и физический смысл. Про-
изводные элементарных функций, основные правила диффе-
ренцирования функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96

8.2.
Исследование функций с помощью производной . . . . . . . . 100

8.3.
Первообразные элементарных функций, основные правила
нахождения первообразных. Вычисление площади плоской
фигуры с помощью первообразной . . . . . . . . . . . . . . . . 104

9.
Текстовые задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
9.1.
Скорость, движение и время . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

9.2.
Арифметическая и геометрическая прогрессии . . . . . . . . . 110

9.3.
Концентрация, смеси и сплавы, массовые и объёмные доли
. 113

9.4.
Целые числа, перебор вариантов, отбор решений . . . . . . . . 116

10.
Раскрытие модулей в уравнениях и неравенствах различных видов . 119
10.1.
Различные приёмы раскрытия модулей, системы уравнений
и неравенств с модулями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

10.2.
Раскрытие модулей в тригонометрических уравнениях . . . . 124

10.3.
Раскрытие модулей в показательных и логарифмических
уравнениях и неравенствах
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

11.
Разложение на множители и расщепление в уравнениях и неравен-
ствах различных видов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
11.1.
Понятие расщепления, равносильные преобразования . . . . . 129

11.2.
Расщепление в тригонометрических уравнениях и неравен-
ствах
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

11.3.
Расщепление в показательных и логарифмических уравнени-
ях и неравенствах, модифицированный метод интервалов
. . 136

11.4.
Смешанные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

Часть II. Указания и решения
143

1.
Преобразование алгебраических выражений, простейшие уравнения
и неравенства
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

1.1.
Формулы сокращённого умножения, преобразование алгебра-
ических выражений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

1.2.
Сравнение чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

1.3.
Модуль числа и алгебраического выражения, уравнения и не-
равенства с модулем
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

1.4.
Квадратный трёхчлен, разложение квадратного трёхчлена на
множители, квадратные уравнения и неравенства, теорема
Виета . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

2.
Рациональные и иррациональные уравнения и неравенства, простей-
шие системы уравнений
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

2.1.
Рациональные уравнения и неравенства, метод интервалов . . 168

2.2.
Простейшие системы уравнений. Подстановка и исключение
переменных при решении систем уравнений . . . . . . . . . . . 179

2.3.
Радикалы. Иррациональные уравнения и неравенства, равно-
сильные преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

2.4.
Смешанные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

3.
Преобразование тригонометрических выражений, стандартные три-
гонометрические уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
3.1.
Соотношения между тригонометрическими функциями одно-
го аргумента, формулы двойного и половинного аргументов . 218

3.2.
Простейшие тригонометрические уравнения. Разложение на
множители, сведение к квадратному уравнению . . . . . . . . 223

3.3.
Применение тригонометрических формул для сведения урав-
нений к простейшим
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

3.4.
Различные задачи на отбор корней . . . . . . . . . . . . . . . . 243

4.
Стандартные текстовые задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
4.1.
Пропорциональные величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

4.2.
Арифметическая и геометрическая прогрессии . . . . . . . . . 259

4.3.
Скорость, движение и время . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

4.4.
Работа и производительность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

4.5.
Проценты, формула сложного процента . . . . . . . . . . . . . 285

5.
Стандартные показательные и логарифмические уравнения и нера-
венства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
5.1.
Преобразование логарифмических выражений. Сравнение ло-
гарифмических и показательных значений
. . . . . . . . . . . 290

5.2.
Простейшие показательные уравнения и неравенства, равно-
сильные преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

5.3.
Простейшие логарифмические уравнения и неравенства, рав-
носильные преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

5.4.
Смешанные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

6.
Линейные и однородные тригонометрические уравнения, системы
тригонометрических уравнений, использование ограниченности три-
гонометрических функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
6.1.
Линейные тригонометрические уравнения, метод вспомога-
тельного аргумента . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343

6.2.
Однородные тригонометрические уравнения второй степени,
замена тригонометрических выражений . . . . . . . . . . . . . 351

6.3.
Системы тригонометрических уравнений
. . . . . . . . . . . . 356

6.4.
Использование ограниченности тригонометрических функ-
ций, оценочные неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371

7.
Изображение множества точек на координатной плоскости, исполь-
зование графических иллюстраций в уравнениях и неравенствах
различных типов
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380

7.1.
Геометрические места точек, графики функций, правила ли-
нейных преобразований графиков
. . . . . . . . . . . . . . . . 380

7.2.
Плоские геометрические фигуры, применение метода коорди-
нат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388

7.3.
Использование графических иллюстраций при решении урав-
нений и неравенств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397

8.
Элементы математического анализа
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408

8.1.
Производная, её геометрический и физический смысл. Про-
изводные элементарных функций, основные правила диффе-
ренцирования функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408

8.2.
Исследование функций с помощью производной . . . . . . . . 411

8.3.
Первообразные элементарных функций, основные правила
нахождения первообразных. Вычисление площади плоской
фигуры с помощью первообразной . . . . . . . . . . . . . . . . 419

9.
Текстовые задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
9.1.
Скорость, движение и время . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425

9.2.
Арифметическая и геометрическая прогрессии . . . . . . . . . 433

9.3.
Концентрация, смеси и сплавы, массовые и объёмные доли
. 441

9.4.
Целые числа, перебор вариантов, отбор решений . . . . . . . . 450

10.
Раскрытие модулей в уравнениях и неравенствах различных видов . 460
10.1.
Различные приёмы раскрытия модулей, системы уравнений
и неравенств с модулями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460

10.2.
Раскрытие модулей в тригонометрических уравнениях . . . . 472

10.3.
Раскрытие модулей в показательных и логарифмических
уравнениях и неравенствах
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482

11.
Разложение на множители и расщепление в уравнениях и неравен-
ствах различных видов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492
11.1.
Понятие расщепления, равносильные преобразования . . . . . 492

11.2.
Расщепление в тригонометрических уравнениях и неравен-
ствах
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504

11.3.
Расщепление в показательных и логарифмических уравнени-
ях и неравенствах, модифицированный метод интервалов
. . 520

11.4.
Смешанные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534

Варианты ДВИ МГУ последних лет . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555
Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562
Список литературы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576

От редактора

Уважаемый читатель, Вы держите в руках одну из книг серии «ВМК МГУ – шко-
ле». Учебно-методические пособия, входящие в эту серию, являются результатом
более чем десятилетнего труда коллектива авторов, работающих на подготови-
тельных курсах факультета Вычислительной математики и кибернетики (ВМК)
МГУ имени М. В. Ломоносова. Сначала были созданы пособия для очных под-
готовительных курсов, затем были разработаны электронные версии учебников,
используемые при дистанционном обучении. На основе этого опыта подготовле-
на серия книг для старшеклассников, одной из которых и является настоящее
пособие.
Сейчас изданы пособия по алгебре, геометрии и физике. По каждому предмету
вышли два пособия: основной курс и углубленный курс, содержащий сложные за-
дачи единого государственного экзамена и нестандартные задачи вступительных
экзаменов в вузы (в основном это задачи различных факультетов МГУ имени
М. В. Ломоносова). Основной курс содержит все разделы соответствующего пред-
мета, необходимые для решения задач первой части ЕГЭ и некоторых задач второй
части, а также первой половины задач вариантов вступительных экзаменов в ву-
зы. Углубленный курс содержит задачи, научившись решать которые, вы сможете
решать все задачи ЕГЭ и все или почти все задачи олимпиад и вступительных эк-
заменов в вузы (за отведённое время можно просто физически не успеть решить
все задачи).
В серии «ВМК МГУ – школе» вышли два пособия по информатике. Первое
рекомендуется в качестве пособия при подготовке к ЕГЭ по информатике и ИКТ.
Разделы этого пособия соответствуют темам, включенным в ЕГЭ. Второе – посо-
бие по программированию – поможет вам подготовиться к экзамену по информа-
тике, научиться решать задачи по программированию на языке Паскаль.
Отличительной особенностью наших пособий является то, что наряду
с традиционными составляющими (теоретический раздел, примеры с решениями,
задачи для самостоятельного решения) мы предлагаем решения всех предложен-
ных задач с идеями и последовательными подсказками, помогающими решить
задачу оптимальным способом без посторонней помощи. Это позволит ученику
самостоятельно продвигаться в решении задачи так, как если бы за его спиной
стоял учитель и направлял ход его мысли при решении трудных задач. Конечно,
мы понимаем, что настоящего учителя не может заменить никакая книга, но если
учителя рядом нет, то, как показал опыт наших дистанционных подготовительных 
курсов, наличие грамотных подсказок помогает учащимся самостоятельно
научиться решать задачи. С помощью нашего пособия приобретение такого опыта
учениками будет значительно облегчено. С другой стороны, наши пособия помогут 
молодым учителям вести занятия. Мы знаем на собственном опыте, что не
всегда легко направлять ученика так, чтобы он сам догадался, как решить задачу. 
Второй особенностью наших пособий является спиралевидная схема
подачи материала, когда каждая тема повторяется несколько раз, причём каждый 
раз на более сложном уровне, чем в предыдущий. Это позволяет не забывать
пройденный материал и постепенно подходить к сложным задачам.

Заместитель декана по учебной работе
факультета ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова
М. В. Федотов

Предисловие

До 2017 года «основной курс» назывался «базовым курсом», но в связи с разделением 
ЕГЭ на базовый и профильный уровни, во избежание путаницы наш
«базовый курс» был переименован в «основной курс».
«Основной курс» рассчитан на закрепление школьного материала по алгебре
и приобретение навыков, необходимых для решения задач ЕГЭ и стандартных
задач вступительных экзаменов в вуз.
Предлагаемый курс изначально не предполагает знаний, выходящих за рам-
ки базовой школьной программы. Все приёмы, необходимые для решения задач,
демонстрируются по ходу изучения материала.
Задачи в разделах расположены по принципу «от простого – к сложному».
Аналогичная ситуация имеет место и с последовательностью разделов, поэтому са-
ми разделы и задачи в разделах рекомендуется изучать в предложенном порядке.
Приступать к решению задач надо после изучения соответствующего теоретиче-
ского материала и разбора примеров. Если самостоятельное решение задачи вы-
зывает трудности, рекомендуется воспользоваться системой указаний (подсказок).
В случае, если Вам не удалось получить правильный ответ или у Вас возникли
сомнения в правильности Вашего решения, рекомендуется изучить решение, пред-
ложенное авторами.
При составлении пособия авторы придерживались спиралевидного принципа
подачи материала: сначала предлагаются простые задачи по всем основным раз-
делам математики и методы их решения, затем рассматриваются более сложные
задачи, для решения которых требуются более сложные методы или их комбина-
ции. Это позволяет не только закрепить, но и осмыслить на новом уровне уже
пройденный материал. Такая схема обучения с успехом применяется на очных и
дистанционных подготовительных курсах факультета ВМК МГУ имени М. В. Ло-
моносова.
Каждый раздел пособия содержит теоретические основы, описание методов
решения задач, примеры применения методов и набор заданий для решения.
Запись (У) после номера задачи означает, что задача предлагалась на устном
экзамене по математике в МГУ.
Для задач письменного экзамена сначала идет сокращенное название факуль-
тета, затем – год, в котором была задача (если после года в скобках идет цифра
1 или 2 – это значит, что эта задача была на весенней олимпиаде факультета; на
мехмате и физфаке весной проходили две олимпиады; на ВМК, геологическом, хи-
мическом, географическом факультетах и факультете почвоведения – одна олим-
пиада весной). После точки идет номер задачи в варианте (обычно, чем больше
номер, тем сложнее задача в данном варианте). Например, (ВМК-98.3) означает,
что задача была в 1998 году летом на вступительных экзаменах на факультете
ВМК, третьим номером в варианте, а (М/м-97(2).1) означает, что задача была в
1997 году на второй весенней олимпиаде механико-математического факультета
первым номером в варианте.

Сокращения названий факультетов, принятые в данной книге

М/м – механико-математический факультет,
ВМК – факультет Вычислительной математики и кибернетики (.Б – отделение
бакалавров по прикладной математике, .И – отделение бакалавров по информа-
ционным технологиям),
Физ – физический факультет,
Хим – химический факультет,
ВКНМ – Высший колледж наук о материалах,
ФНМ – факультет наук о материалах (до 2000 года – ВКНМ)
Биол – биологический факультет,
Почв – факультет почвоведения,
Геол – геологический факультет (.ОГ – отделение общей геологии),
Геогр – географический факультет,
Экон – экономический факультет (.М – отделение менеджмента, .К – отделение
экономической кибернетики, .В – вечернее отделение),
ВШБ – Высшая школа бизнеса,
Псих – факультет психологии,
Фил – философский факультет,
Филол – филологический факультет,
Соц – социологический факультет,
ИСАА – Институт стран Азии и Африки,
ФГУ – факультет государственного управления (отделение «Антикризисное управ-
ление»),
ЧФ – Черноморский филиал МГУ (г. Севастополь).

Используемые обозначения

{a} – множество, состоящее из одного элемента a;
∪ – объединение;
∩ – пересечение;
∅ – пустое множество;
∈ – знак принадлежности;
⊂ – знак включения подмножества;
∀ – для любого;
A\B – разность множеств A и B;
=⇒ – следовательно;
⇐⇒ – тогда и только тогда;
N – множество всех натуральных чисел;
N0 = N ∪ {0};
Z – множество всех целых чисел;
Q – множество всех рациональных чисел;
R – множество всех действительных чисел;
ОДЗ – область допустимых значений;
...
– знак системы, означающий, что должны выполняться все
...
условия, объединённые этим знаком;
...
– знак совокупности, означающий, что должно выполняться
...
хотя бы одно из условий, объединённых этим знаком.

Рекомендуется школьникам при подготовке к сдаче единого государственного
экзамена, абитуриентам при подготовке к поступлению как в МГУ, так и другие
вузы, учителям математики, репетиторам, руководителям кружков и факультативов, 
преподавателям подготовительных курсов.

Желаем удачи!

Часть I. Теория и задачи

1.
Преобразование алгебраических выражений,
простейшие уравнения и неравенства

1.1.
Формулы сокращённого умножения,
преобразование алгебраических выражений

Теоретический материал

В этом разделе собраны задачи, при решении которых используются различные
полезные формулы и преобразования: формулы сокращённого умножения, выделение 
полного квадрата, домножение на сопряжённое выражение.
Необходимо знать и уметь применять следующие формулы:

a2 − b2 = (a − b)(a + b);
(1)

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2;
(2)

(a − b)2 = a2 − 2ab + b2;
(3)

a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2);
(4)

a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2);
(5)

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3;
(6)

(a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3;
(7)

причём все формулы нужно узнавать не только «слева направо», но и «справа
налево».
Применение формул сокращённого умножения является одним из самых простых 
способов разложения алгебраического выражения на множители. Все формулы 
справедливы при любых вещественных a и b, которые сами могут являться
числами, функциями или другими выражениями.
Помимо основных формул сокращённого умножения полезно знать и формулы
для большего числа слагаемых, например:

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac.

В общем случае: квадрат суммы нескольких чисел есть сумма квадратов этих
чисел плюс сумма всевозможных удвоенных попарных произведений.

Теория и задачи

Полезно знать также две следующие формулы, верные ∀n ∈ N:

an − bn = (a − b)(an−1 + an−2b + an−3b2 + ... + abn−2 + bn−1);

a2n+1 + b2n+1 = (a + b)(a2n − a2n−1b + a2n−2b2 − ... − ab2n−1 + b2n).

Примеры решения задач

П р и м е р 1. (Геол-98.1)
Найти численное значение выражения
9a2 − 16b2

4b + 3a
− a2b − 3ab2

ab

2
:
6ab − 8a3 − b3

2a − b

.

Р е ш е н и е. Согласно формулам (1) и (5)

9a2 − 16b2 = (3a − 4b)(3a + 4b),
8a3 − b3 = (2a − b)(4a2 + 2ab + b2).

Последовательно преобразуем исходное выражение:
(3a − 4b)(3a + 4b)

4b + 3a
− ab(a − 3b)

ab

2
:
6ab − (2a − b)(4a2 + 2ab + b2)

2a − b

=

= (3a − 4b − a + 3b)2 : (6ab − 4a2 − 2ab − b2) = (2a − b)2 : (4a2 − 4ab + b2) · (−1) = −1.

Отметим, что выражение имеет смысл только при 4b + 3a ̸= 0,
ab ̸= 0,
2a ̸= b.

О т в е т. −1 при 4b + 3a ̸= 0, ab ̸= 0, 2a ̸= b.

П р и м е р 2. (М/м-78.1)
Выражение
40
√

2 − 57
−
40
√

2 + 57 является целым 
числом. Найти это целое число.

Р е ш е н и е. Первый способ. Выделим полные квадраты в подкоренных выражениях:
40
√

2 − 57
−
40
√

2 + 57 =
57 − 40
√

2 −
40
√

2 + 57 =

=
32 − 2 · 4
√

2 · 5 + 25 −
32 + 2 · 4
√

2 · 5 + 25 =

4
√

2 − 5
2
−

4
√

2 + 5
2
=

=
4
√

2 − 5
−
4
√

2 + 5
= 4
√

2 − 5 − 4
√

2 − 5 = −10.

З а м е ч а н и е. Коэффициенты полных квадратов можно найти методом неопределённых 
коэффициентов (ищем a, b ∈ N):

57 + 40
√

2 =
a + b
√

2
2
=
a2 + 2b2+ 2ab
√

2.

Получаем систему уравнений

a2 + 2b2 = 57,
ab = 20;
значит, b ∈ {1; 2; 4; 5}, число a –

нечётное. Подходит пара a = 5, b = 4; следовательно, 57 + 40
√

2 =
5 + 4
√

2
2 .

Аналогично 57 − 40
√

2 =
5 − 4
√

2
2 .

1.1.
Формулы сокращённого умножения...
13

Второй способ. Примем числовое значение выражения за параметр и решим соответствующее 
уравнение.

Обозначим за A выражение
40
√

2 − 57
−
40
√

2 + 57;
тогда A < 0, так
как первый радикал меньше второго.
Возведём обе части в квадрат:

A2 = 57 − 40
√

2 + 57 + 40
√

2 − 2

57 − 40
√

2
·
57 + 40
√

2
⇐⇒

⇐⇒
A2 = 114 − 2
572 − 1600 · 2
⇐⇒
A2 = 100
⇐⇒
A = ±10.

Значит, A = −10.

О т в е т. −10.

Задачи

1. (ЕГЭ) Найти значение выражения
a
√

a2 + ab −
√a
√

a + b

:
a

a + b
при a = 4, b = 5.

2. (ЕГЭ) Найти значение выражения
2
√p − √q − 2√p

p − q
при p = 8, q = 9.

3. (ЕГЭ) Сократить дробь
a − 81b
√a − 9
√

b
.

4. (ЕГЭ) Сократить дробь
a + 27b

3√a + 3
3√

b
.

5. (Геол-93.1) Найти численное значение выражения
8a√a + b
√

b

4√a + 2
√

b
−
√

ab

·

4√a + 2
√

b

4a − b

2

.

6. (Почв-98(1).1) Упростить выражение
√

2a −
√

b
√

2a +
√

b
−

√

2a +
√

b
√

2a −
√

b

·

b
4a −
a

b

.

7. (Псих-84.1) Вычислить, не используя калькулятор
3( 17

90 − 0, 125 : 1 1

8) : 480

(7 : 1, 8 − 2 1

3 : 1, 5) : 2 2

3

−1
:
679 · 10−2

0, 7
+ 0, 3
.

8. (ЕГЭ) Вычислить
4 + 2
√

3 −
4 − 2
√

3.

9. (ЕГЭ) Выражение
3 −
√

8 −
√

2
является целым числом. Найти его.

10. (Почв-96.1) Доказать, что число
4√

3 −
4√

27
2 + 7
·
4√

3 +
4√

27
2 − 7
целое, и найти его.

Теория и задачи

11. (ЕГЭ) Упростите до целого числа выражение
310 + 6
√

3 −
√

3.

12. (МГУ-48.3) Выражение
35
√

2 + 7 −
35
√

2 − 7
является целым числом.
Найти это целое число.

13. (МГУ-48.2) Выражение
320 + 14
√

2+
320 − 14
√

2 является целым числом.
Найти это целое число.

14. (ИСАА-99.2) Упростив выражение

A = 3ab − b
√

ab + a
√

ab − 3b2

2−2 (ab−1 + a−1b) − 0, 5
−2ab−6a
1
2 b
3
2 , где a > b > 0 – действительные

числа, выяснить, что больше: A или 0, 01?

1.2.
Сравнение чисел

Теоретический материал

В этом разделе собраны простейшие задачи на сравнение чисел. В большинстве
случаев достаточно сгруппировать подходящим образом слагаемые и возвести обе
части неравенства в нужную степень. При этом в чётную степень можно возводить
только неотрицательные величины.

Примеры решения задач

П р и м е р 1. (У)
Доказать, что
√

2 +
√

3 <
√

10.

Р е ш е н и е. Для того чтобы избавиться от квадратных корней, будем возводить
в квадрат. Так как обе части исходного неравенства неотрицательны, то можем
возвести их в квадрат:

5 + 2
√

6 < 10
⇐⇒
2
√

6 < 5.

Возведя обе части последнего неравенства в квадрат, получим очевидное неравенство 
24 < 25. Следовательно, исходное неравенство также справедливо.

П р и м е р 2. (У)
Выяснить, что больше:
3√

3 или
5√

5?

Р е ш е н и е. Составим формальное неравенство

3√

3 ∨
5√

5

и будем сводить его к очевидному неравенству с помощью алгебраических преобразований. 
Для того чтобы избавиться от радикалов, надо возвести обе части
неравенства в пятнадцатую степень:
3√

3
15
5√

5
15

35
∨
53

243
>
125.

Поскольку не было преобразований, меняющих знак неравенства, полученный
знак соответствует исходному, то есть
3√

3 >
5√

5.

О т в е т.
3√

3 >
5√

5.