Сюрреальные числа

how two ex-students turned on to pure
mathematics and found total happiness

a mathematical novelette by D. E. Knuth
SURREAL
NUMBERS

ADDISON-WESLEY

История о том, как двое недавних студентов
занялись теоретической математикой
и обрели совершенное счастье

Математическая новелла Д. Э. Кнута
СЮРРЕАЛЬНЫЕ
ЧИСЛА

Перевод с английского
Н. А. Шиховой

3-е издание, электронное

Москва
Лаборатория знаний
2021

УДК 51
ББК 22.12
К53
Обложка и иллюстрации: Джилл Кнут
Кнут Д.
К53
Сюрреальные числа / Д. Кнут ; пер. с англ. — 3-е изд.,
электрон. — М. : Лаборатория знаний, 2021. — 114 с. — Систем.
требования: Adobe Reader XI ; экран 10". — Загл. с титул.
экрана. — Текст : электронный.
ISBN 978-5-93208-561-5
Захватывающая приключенческо-математическая история от известного 
и блестящего автора Дональда Кнута. Двое героев случайно
находят камень с древними письменами и открывают для себя новые
математические структуры.
Для студентов, преподавателей и всех любителей математики.
УДК 51
ББК 22.12

Деривативное издание на основе печатного аналога: Сюрре-
альные числа / Д. Кнут ; пер. с англ. — М. : БИНОМ. Лаборатория
знаний, 2014. — 110 с. : ил. — ISBN 978-5-9963-1541-3.

В
соответствии
со
ст. 1299
и
1301
ГК
РФ
при
устранении
ограничений, установленных техническими средствами защиты
авторских прав, правообладатель вправе требовать от нарушителя
возмещения убытков или выплаты компенсации

ISBN 978-5-93208-561-5

Authorized translation from the English language edition, entitled SURREAL
NUMBERS,
1st
Edition;
ISBN
0201038129;
by
KNUTH, DONALD
E.;
published
by
Pearson
Education,
Inc,
publishing
as
Addison-Wesley
Professional. Copyright © 1974 by Addison-Wesley Publishing Co.
All rights reserved. No part of this book may be reproduced or transmitted
in any form or by any means, electronic or mechanical, including photocopying,
recording or by any information storage retrieval system, without permission from
Pearson Education, Inc. Electronic RUSSIAN language edition published by BKL
PUBLISHERS, Copyright © 2014.
Авторизованный
перевод
англоязычного
издания
под
названием
SURREAL
NUMBERS,
1st
Edition;
ISBN
0201038129;
автор
KNUTH,
DONALD
E.;
опубликованного
Pearson
Education,
Inc,
осуществляющим
издательскую деятельность под торговой маркой Addison-Wesley Professional.
Copyright © 1974 Addison-Wesley Publishing Co.
Все права защищены. Воспроизведение или распространение какой-либо
части/частей данной книги в какой-либо форме, какими-либо способами, электронными 
или механическими, включая фотокопирование, запись и любые
поисковые системы хранения информации, без разрешения Pearson Education,
Inc запрещены. Электронная русскоязычная версия издана BKL Publishers,
Copyright © 2014.
© Лаборатория знаний, 2015

ОГЛАВЛЕНИЕ

Глава
1. Камень. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6

Глава
2. Символы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12

Глава
3. Доказательства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18

Глава
4. Плохие числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22

Глава
5. Прогресс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28

Глава
6. День Третий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34

Глава
7. Открытие. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40

Глава
8. Сложение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46

Глава
9. Ответ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52

Глава 10. Теоремы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58

Глава 11. Предложение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64

Глава 12. Катастрофа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68

Глава 13. Выздоровление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74

Глава 14. Вселенная . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80

Глава 15. Бесконечность. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86

Глава 16. Умножение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94

PostScriptum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5

Глава 1

КАМЕНЬ

А. Билл, как тебе кажется, ты нашел себя?
Б. Что?
А. Я вот что имею в виду. Здесь мы на берегу Индийского
океана, вдали от цивилизации. Уже прошло несколько
месяцев как мы сбежали от всех, чтобы нас не сравняла
под одну гребенку «система» и чтобы «найти себя». Вот
я и спрашиваю — как тебе кажется, удалось нам это?
Б. Знаешь, Алиса, я тоже об этом размышлял. Эти месяцы,
что мы провели вместе, были чудесными — мы совершенно

свободны, мы знаем друг друга и мы чувствуем себя на-
стоящими людьми, а не винтиками в машине. Но недавно
я ощутил, что мне не хватает кое-чего, от чего мы «сбе-
жали». Понимаешь, мне ужасно хочется почитать книгу —
любую книгу, даже учебник, даже учебник математики.
Звучит дико, но я лежал здесь и мечтал разгадывать
кроссворд.
А. О, нет, только не кроссворд; этим любят заниматься твои
родители. Но я понимаю, что ты имеешь в виду. Нам не
хватает умственного напряжения. Это как конец летних
каникул в детстве. Каждый год в мае мы никак не могли
дождаться конца школы, и дни до начала каникул тяну-
лись еле-еле, но к сентябрю нам действительно хотелось
вернуться в класс.
Б. Не могу сказать, что теперь, когда у меня есть кусок хлеба
и кувшин вина и когда ты рядом, дни так уж и «тянутся».
Но может быть, самое главное, что я понял за это время —
незатейливой романтической жизни мне мало. Мне нужно
что-нибудь хитроумное, над чем можно поразмышлять.
А. Ладно, прости, что я недостаточно сложна для тебя. От-
чего бы нам не прогуляться и не исследовать побережье?
Может быть, мы найдем какие-нибудь камешки или еще
что-нибудь, чтобы придумать какую-то игру?
Б (садясь). О, здорово! Только сначала давай поплаваем.
А (бежит к воде). Давай! Спорим, ты меня не догонишь!

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Б. Слушай, а что это за огромный черный камень торчит из
песка?
А. Хоть убей, я никогда здесь ничего подобного не видела.
Смотри, сзади что-то вроде граффити.
Б. Дай-ка я посмотрю. Помоги-ка мне выкопать его. Похож
на музейный экспонат. Тяжелый. Надписи могут быть
древним арабским письмом. . . Нет, постой, это, наверное,
еврейский. Давай-ка повернем его.
А. Еврейский? Ты уверен?
Б. Ну, я долго учил еврейский в молодости и почти могу это
прочесть. . .

8

А. Я не слыхала, чтобы в этих местах велись интенсивные
археологические раскопки. Вдруг мы нашли что-то вроде
Розеттского камня? Что же здесь написано? Ты хоть чуть-
чуть понимаешь?

Б. Подожди чуточку, дай я попробую. . . Вот здесь, справа
вверху начало, что-то вроде «Вначале все было безвидно
и пусто . . . »

А. Ого! Звучит как первая книга Моисея из Библии. Это
разве не он бродил по Аравии сорок лет, пока не пришел
в Израиль? Ты же не думаешь. . .

Б. Нет-нет, это совершенно не похоже на традиционный текст.
Давай оттащим эту штуку к нашему лагерю, я надеюсь,
что смогу перевести.

А. Билл, это круто! Как раз то, что ты хотел!

Б. Ну да, я говорил, что умираю как хочу почитать. Хотя
я не имел в виду именно это. Скорей бы хорошенечко все
рассмотреть: кое-что мне кажется очень странным, я даже
не могу понять — это какая-то история или что-то другое.
Здесь что-то о числах, и . . .

А. Похоже, снизу обломился кусок. Раньше камень был
длиннее.

Б. Ну и хорошо, а то мы бы не смогли его дотащить. Этот
облом может, конечно, случиться как раз тогда, когда мы
доберемся до самого интересного места.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

А. Наконец-то мы пришли. Я пойду соберу немного фиников
и фруктов на ужин, а ты пока поработай над переводом.
Жаль, языки — не моя сильная сторона, а то я обязательно
помогла бы тебе.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Б. Послушай, Алиса! Я сделал это! Есть еще несколько со-
мнительных мест, пара непонятных мне знаков, — может
быть, это устаревшие формы слов. Все же в целом я по-

9

нимаю слова, которые здесь написаны, хотя не знаю, что
они означают. Вот более-менее литературный перевод.

Вначале земля была пуста и безвидна, и Дж. Х. В. Кон-
вей начал творить числа. Конвей сказал: «Да будут два
правила, которые рождают все числа, большие и ма-
ленькие. Да будет первое правило:

Каждому числу соответствуют два множества ранее
сотворенных чисел, так что в левом множестве нет ни
одного элемента, больше или равного какому-нибудь
элементу в правом множестве.

Да будет второе правило:
Одно число меньше или равно другому, если и только
если в левом множестве первого числа нет ни одного
элемента, больше или равного второму числу, и в пра-
вом множестве второго числа нет ни одного элемента,
меньше или равного первому числу.
И Конвей испытал эти два правила, которые он при-
думал, и они были хороши. И первое число было со-
творено из пустого левого множества и пустого правого
множества. Конвей назвал это число нулем и сказал,
что это будет знак, разделяющий положительные числа
и отрицательные. Конвей доказал, что нуль меньше или
равен нулю и увидел, что это хорошо. И был вечер
и было утро — День Нулевой. На следующий день были
сотворены еще два числа, у одного левое множество
состояло из нуля, а у другого — правое. Первое из них
Конвей назвал «единицей», а второе — «минус едини-
цей». И он доказал, что минус единица меньше, но
не равна нулю, а нуль меньше, но не равен единице.
А вечером. . .

Дальше облом.
А. Ты уверен, что написано именно это?
Б. Более или менее. Если я и приукрасил, то только чуть-
чуть.
А. Но «Конвей». . . Это не еврейское имя. Ты, должно быть,
шутишь!

10

Б. Нет, правда. Конечно, в старинных еврейских письменах
гласных нет, так что это вполне может быть Кинаву или
еще что-нибудь в этом духе. Может быть, что-то про
каганов? Вряд ли. Раз уж я перевожу на английский,
я выбрал английское имя. Смотри, это написано вот здесь.
J. H. W. H. может означать еще «Яхве».
А. Нет гласных? Тогда это возможно. . . А как ты думаешь,
что это означает?
Б. Твои догадки ничем не хуже моих. Это два диких правила
для чисел. Может быть, это какой-то древний метод ариф-
метики, который был заброшен после того, как изобрели
колесо. Было бы здорово завтра в нем разобраться; но
солнце вот-вот зайдет, нам лучше поужинать и завалиться.
А. Ну ладно, только прочитай мне текст еще раз. Я хочу
подумать над этим, ведь сперва я не поверила, что это
все серьезно.
Б (водя пальцем по строкам). «Вначале . . . »

11