Введение в теорию функций действительного переменного : Мера и интеграл Лебега на прямой

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

УРАЛЬСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ ПЕРВОГО ПРЕЗИДЕНТА РОССИИ Б. Н. ЕЛЬЦИНА

В. В. Арестов, П. Ю. Глазырина

ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ

ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Мера и интеграл Лебега на прямой

Учебное пособие

Рекомендовано

методическим советом Уральского федерального университета

в качестве учебного пособия для студентов вуза,

обучающихся по направлениям подготовки 01.03.01 «Математика»,

02.03.01 «Математика и компьютерные науки»

Екатеринбург

Издательство Уральского университета

2018

УДК 517.51(075.8)

A805

Рецензенты:

кафедра математического анализа

и методики преподавания математики

Южно-Уральского государственного университета

(заведующий кафедрой доктор физико-математических наук

В. Л. Дильман);

А. Г. Ченцов, член-корреспондент РАН, профессор,

главный научный сотрудник Института математики и механики

им. Н. Н. Красовского УрО РАН

Арестов, В. В.

A805
Введение в теорию функций действительного пере-

менного : Мера и интеграл Лебега на прямой : учеб. по-
собие / В. В. Арестов, П. Ю. Глазырина ;
М-во науки и

высш. образования Рос. Федерации, Урал. федер. ун-т. —
Екатеринбург : Изд-во Урал. ун-та, 2018. — 208 с.

ISBN 978-5-7996-2457-6
В учебном пособии излагается вводный курс теории функ-

ций одного действительного переменного. Рассматриваются
мера Лебега на числовой прямой, свойства измеримых функ-
ций, интеграл Лебега на измеримых подмножествах числовой
прямой, пространства Lp, начальные факты о тригонометри-
ческих рядах Фурье.

Для студентов и аспирантов физико-математических спе-

циальностей.

УДК 517.51

ISBN 978-5-7996-2457-6
© Уральский федеральный университет, 2018

Оглавление

Предисловие
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6

Введение
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9

.
Глава 1
Измеримые по Лебегу множества. Мера Лебега
19

§ 1.1. Структура открытых и замкнутых подмно-

жеств числовой прямой . . . . . . . . . . . . . . . .
19

§ 1.2. Мера Лебега открытого множества
. . . . . . . .
22

§ 1.3. Внешняя (верхняя) мера Лебега множества . . .
29

§ 1.4. Измеримые по Лебегу множества
. . . . . . . . .
34

§ 1.5. Внутренняя (нижняя) мера множества . . . . . .
48

§ 1.6. Существование неизмеримого по Лебегу множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

§ 1.7. Множество и функция Кантора
. . . . . . . . . .
53

.
Глава 2
Измеримые функции
. . . . . . . . . . . . . . . . .
61

§ 2.1. Определение и свойства измеримых функций
61

§ 2.2. Последовательности измеримых функций . . . .
68

§ 2.3. Сходимость по мере
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
72

§ 2.4. Связь различных типов сходимости . . . . . . . .
74

§ 2.5. Структура измеримых функций. C-свойство

Лузина измеримой функции . . . . . . . . . . . . .
83

3

.
Глава 3
Интеграл Лебега
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91

§ 3.1. Интеграл Лебега от ограниченной функции по

множеству конечной меры . . . . . . . . . . . . . .
91

§ 3.2. Интеграл Лебега от неотрицательной неограниченной 
функции по множеству конечной меры 104

§ 3.3. Интеграл Лебега от измеримой функции произвольного 
знака по множеству конечной меры
117

§ 3.4. Интеграл Лебега по множеству бесконечной

меры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

§ 3.5. Предельный переход под знаком интеграла

Лебега . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

.
Глава 4
Пространства Lp, 1 ⩽ p ⩽ ∞ . . . . . . . . . . . . 144

§ 4.1. Пространства Lp, 1 ⩽ p < ∞ . . . . . . . . . . . . . 144
§ 4.2. Пространство L∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
§ 4.3. Плотность некоторых классических множеств

функций в пространстве Lp
. . . . . . . . . . . . . 165

.
Глава 5
Ряды Фурье по тригонометрической системе . . 171

§ 5.1. Пространства 2π-периодических функций . . . . 172
§ 5.2. Выражение коэффициентов тригонометрического 
ряда через его сумму по методу Эйлера – 
Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

§ 5.3. Теорема Римана – Лебега о поведении коэффициентов 
Фурье суммируемой функции. . . . . . . 179

§ 5.4. Ядро
Дирихле.
Представление
частичных

сумм ряда Фурье суммируемой функции в виде
свертки функции с ядром Дирихле . . . . . . . . . 181

§ 5.5. Поточечная сходимость рядов Фурье. . . . . . . . 184
§ 5.6. Связь коэффициентов Фурье функции и ее

производных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

§ 5.7. Равномерная сходимость рядов Фурье . . . . . . . 189

4

§ 5.8. Теорема Вейерштрасса о равномерной аппроксимации 
непрерывной 2π-периодической функции 
тригонометрическими полиномами . . . . . . 191

§ 5.9. Теорема
Вейерштрасса
об
аппроксимации

функций в Lp

2π, 1 ⩽ p < ∞, тригонометрическими 
полиномами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

§ 5.10. Минимальное свойство сумм Фурье в пространстве 
L2

2π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

§ 5.11. Среднеквадратичная сходимость рядов Фурье.

Равенство Парсеваля . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

§ 5.12. Теорема Рисса – Фишера . . . . . . . . . . . . . . . . 201

Библиографические ссылки
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

Предметный указатель
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

Предисловие

Мера и интеграл Лебега впервые были построены в диссертации 
А. Лебега в 1902 г. В 1904 г. опубликована его монография «
Лекции по интегрированию и отысканию примитивных
функций» (см. [8] – русский перевод второго издания), в которой 
обстоятельно изучена и изложена новая конструкция интеграла; 
кроме того, в этой монографии был дан анализ предшествующего 
развития интеграла. Одним из основных стимулов
развития понятия интеграла являлась проблема восстановления 
дифференцируемой на промежутке функции по ее производной. 
В частности, в 1881 г. В. Вольтерра построил пример 
дифференцируемой на отрезке функции, производная которой 
ограничена, но не интегрируема по Риману, следовательно, 
средствами интеграла Римана эта функция по своей производной 
не восстанавливается [5, гл. 8, пример 35]. Конструкция 
интеграла Лебега существенно расширяет класс функций,
которые восстанавливаются интегралом по своей производной.
Вместе с тем она оказалась достаточно гибкой и удобной для
приложений. Исследования А. Лебега базировались на большом 
числе предшествующих результатов известных математиков 
XVII–XIX вв. С историей развития меры и интеграла
можно ознакомиться, например, в [10,13].

Мера и интеграл Лебега являются фундаментальными понятиями 
современного анализа; они оказались естественным
инструментом описания и исследования объектов и процессов

6

многих разделов непрерывной математики: теории функций,
функционального анализа, теорем вложения, теории вероятностей, 
дифференциальных уравнений и уравнений в частных
производных, теории управления и др. В связи с этим они являются 
важной компонентой математического образования.

В данном пособии излагаются мера и интеграл Лебега

на числовой прямой и дифференциальные свойства монотонных 
функций. Основой пособия явились курс лекций и спецкурс, 
которые авторы читают студентам-математикам Уральского 
федерального университета. Пособие предназначено для
первоначального ознакомления с предметом. Магистрантам-
математикам читается обширный курс общей теории меры и
интеграла.

Пособие состоит из пяти глав. Первая глава посвящена

классической мере Лебега на числовой прямой. Вторая глава 
содержит изложение теории измеримых функций, различных 
типов сходимости последовательностей и рядов измеримых 
функций; приводятся классические теоремы о связи различных 
типов сходимости. В третьей главе излагаются конструкция 
и свойства интеграла Лебега на измеримых подмножествах 
числовой прямой. В четвертой главе рассматриваются
основные свойства пространств Lp, 1 ⩽ p ⩽ ∞. Пятая глава
посвящена вопросам поточечной, равномерной и среднеквадратичной 
сходимости рядов Фурье.

В качестве задачника по данному курсу мы рекомендуем

книги [9,12,14].

В настоящее время имеется немало учебников по теории

функций действительного переменного. По полноте, глубине и
обстоятельности подбора и изложения материала особое место
занимает учебник И. П. Натансона [1]. В предлагаемом пособии
авторы использовали некоторые подходы из этого учебника, а
также из учебников [2, 3] и монографии [16]. Пособие отражает
видение материала авторами и имеет целью помочь студентам
в освоении, вообще говоря, непростого раздела математики на
третьем году их обучения.

7

Авторы надеются, что пособие будет полезным студентам и

аспирантам физико-математических специальностей для пер-
воначального ознакомления с мерой и интегралом Лебега и ря-
дами Фурье.

Введение

Мы предполагаем, что читатель владеет дифференциаль-

ным и интегральным исчислением функций одного веществен-
ного переменного и теорией числовых и функциональных по-
следовательностей и рядов в объеме стандартного универси-
тетского курса (см., например, [7, 11, 2]). Также читатель дол-
жен быть знаком с элементами теории множеств, иметь поня-
тие о мощности множества, в частности, о множествах счетной
мощности и мощности континуума. Все необходимые сведения
можно найти, к примеру, в учебниках [1, гл. 1; 3, гл. 1].

Ниже мы приводим некоторые факты из теории множеств и

числовых рядов, главным образом для того, чтобы согласовать
обозначения.

Теоретико-множественные определения и обозначения

R — множество вещественных чисел
N — множество натуральных чисел
Q — множество рациональных чисел
I — множество иррациональных чисел
∅ — пустое множество
x ∈ A — элемент x принадлежит множеству A
A ⊂ B — множество A является подмножеством множества B
A B = {x : x ∈ A или x ∈ B} — объединение множеств
A и B
A B = {x : x ∈ A и x ∈ B} — пересечение множеств A и B

9

A \ B = {x : x ∈ A и x ̸∈ B} — разность множеств A и B
∁ A = R \ A — дополнение множества A до R

Если рассматривается объединение двух или более попар-

но непересекающихся множеств и этот факт важно подчерк-
нуть, то используется знак дизъюнктного объединения . Так,
например, запись E = A B означает, что E = A B и
A B = ∅.

Интервалами
будем
называть
множества
вида
(a, b),

(−∞, a), (a, +∞), (−∞, +∞), где a, b ∈ R; промежутками бу-
дем называть интервалы, отрезки и полуинтервалы вида [a, b),
(a, b], (−∞, a], [a, +∞), где a, b ∈ R.

Некоторые конструкции и доказательства пригодны как

для конечного, так и для счетного семейства множеств. В этих
случаях не конкретизируется, о каком количестве множеств
идет речь. В частности, запись

k⩾1

Ek

обозначает объединение конечного

Kk=1

Ek либо счетного

∞
k=1

Ek

семейства множеств. Аналогичные соглашения используются
для пересечения множеств k⩾1

Ek и для суммы k⩾1

ak конечного

или счетного множества слагаемых.

В данном пособии часто используются законы двойствен-

ности: для любого семейства Eν, ν ∈ V, подмножеств R и мно-
жества A ⊂ R справедливы равенства

A \ ν

Eν = ν

(A \ Eν),

A \ ν

Eν = ν

(A \ Eν),

в частности, если A = R, то последние два соотношения при-
нимают вид

∁

ν

Eν

= ν ∁ Eν,

10

∁

ν

Eν

= ν ∁ Eν.

Простейшие топологические понятия на прямой

Множества, рассматриваемые в данном пособии, предпола-

гаются принадлежащими вещественной прямой R.

Для точки x ∈ R множество Oε(x) = (x − ε, x + ε), ε > 0,

называется ε-окрестностью точки x.

Точка x называется внутренней точкой множества E,

если она принадлежит множеству E вместе с некоторой
ε-окрестностью.

Точка x ∈ R называется предельной точкой множества E,

если любая ε-окрестность точки содержит хотя бы одну точку
множества E, отличную от x.

Множество G называется открытым, если каждая его точ-

ка внутренняя.

Множество F называется замкнутым, если оно содержит

все свои предельные точки.

Множества R и ∅ открыты и замкнуты одновременно.
Отметим несколько свойств открытых и замкнутых мно-

жеств:

1. Объединение любого семейства открытых множеств от-

крыто.

2. Пересечение конечного семейства открытых множеств от-

крыто.

3. Пересечение любого семейства замкнутых множеств зам-

кнуто.

4. Объединение конечного семейства замкнутых множеств

замкнуто.

5. Если множество F замкнутое, а G открытое, то F \G зам-

кнутое, а G \ F открытое. В частности, дополнение открытого
множества замкнуто, а дополнение замкнутого – открыто.

В данном пособии открытые множества, как правило, обо-

значаются буквой G, а замкнутые – буквой F. Эти обозначе-

11

ния происходят от немецкого слова Gebiet (открытое множе-
ство, область) и французского слова ferm´e (замкнутый). Они
были введены Ф. Хаусдорфом [17, Kap. 8, § 7; Kap. 7, § 2]. Про-
извольное множество часто обозначается буквой E от фран-
цузского ensemble (множество).

Наибольшее открытое множество, содержащееся во множе-

стве E, называется внутренностью E и обозначается

◦
E . Более

точно, пусть G (E) есть семейство всех открытых множеств, со-
держащихся в E; это семейство не пусто, к примеру, ∅ ∈ G (E).

Тогда

◦
E = {G : G ∈ G (E)}. Нетрудно проверить, что внут-

ренность E совпадает со множеством всех внутренних точек E,

т. е.

◦
E = {x : x – внутренняя точка E}.
Наименьшее замкнутое множество, содержащее множество

E, называется замыканием E и обозначается E. Более точно,
пусть F(E) есть семейство всех замкнутых множеств, содер-
жащих E; это семейство не пусто, к примеру, R ∈ F(E). Тогда
A = {F : F ∈ F(E)}.

Обозначим через E′ множество всех предельных точек мно-

жества E. Нетрудно проверить, что E = E E′. Часто замы-
кание определяют именно таким образом, т. е. как множество
вместе со своими внутренними точками.

Очевидно, что

◦
E ⊂ E ⊂ E.

Определение. Множество A ⊂ B называется плотным во

множестве B, если для каждого x ∈ B в любой Oε(x) есть точ-
ки множества A. Другими словами, A плотно в B, если B ⊂ A.

Если A плотно в R, то говорят, что A всюду плотно.
Множество A называется нигде не плотным, если оно не

плотно ни в одном интервале; иными словами, A не содержит
ни одного интервала.

Всюду плотны в R, например, множества Q и I.

12

Несколько дополнительных фактов о числовых рядах

Пусть задано бесконечное множество чисел

uij
(i = 1, 2, 3, . . . ,
j = 1, 2, 3, . . .),

зависящих от двух натуральных индексов i и j. Представим их
расположенными в виде бесконечной матрицы:

u11
u12
u13
. . .
u1j
. . .

u21
u22
u23
. . .
u2j
. . .

u31
u32
u33
. . .
u3j
. . .

. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .

ui1
ui2
ui3
. . .
uij
. . .

. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .

(0.1)

Введем понятия повторного и двойного рядов, связанных
с матрицей (0.1).

Если просуммировать отдельно каждую строку матрицы (
0.1), то получим бесконечную последовательность рядов
вида

∞
j=1

uij
(i = 1, 2, 3, . . .).
(0.2)

Просуммировав теперь еще и эту последовательность, будем
иметь

∞
i=1





∞
j=1

uij



 =

∞
i=1

∞
j=1

uij.
(0.3)

Формальная сумма (0.3) называется повторным рядом. Если
просуммировать сначала по столбцам, а затем по строкам, то
мы получим второй повторный ряд:

∞
j=1

∞
i=1

uij.
(0.4)

13