Некоторые конструкции расширений абстрактных задач о достижимости

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
         УРАЛЬСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
    ИМЕНИ ПЕРВОГО ПРЕЗИДЕНТА РОССИИ Б. И. ЕЛЬЦИНА







        А. Г. Ченцов, Ю.В. Шапарь



        НЕКОТОРЫЕ КОНСТРУКЦИИ РАСШИРЕНИЙ АБСТРАКТНЫХ
        ЗАДАЧ О ДОСТИЖИМОСТИ

        Учебное пособие

Рекомендовано методическим советом УрФУ для студентов, обучающихся по программе магистратуры по направлению подготовки 01.04.01 «Математика»






Екатеринбург
Издательство Уральского университета 2017

УДК 510(075.8)
     4-437

Рецензенты:
кафедра «Высшая и прикладная математика» Уральского государственного университета путей сообщения (заведующий кафедрой доктор физико-математических наук, профессор Г. А. Т и м о ф е е в а);
В. Н. У ш а к о в, член-корреспондент РАН (Институт математики и механики им. И. И. Красовского УрО РАН)

        Ченцов, А. Г.
4-437 Некоторые конструкции расширений абстрактных задач о достижимости: учеб, пособие / А. Г. Ченцов, Ю. В. Шапарь; М-во образования и науки Рос. Федерации, Урал, федер. ун-т. - Екатеринбург: Изд-во Урал, ун-та, 2017 - 234 с.
          ISBN 978-5-7996-2073-8

          В пособии рассматриваются широко понимаемые задачи о достижимости при наличии ограничений. Исследуются вопросы, связанные с возможной неустойчивостью задачи при ослаблении ограничений, а также методы построения корректных расширений. Указаны условия асимптотической нечувствительности по результату при ослаблении части ограничений.
      Пособие предназначено для магистрантов и аспирантов, изучающих специальные главы функционального анализа, а также для преподавателей математических дисциплин.
УДК 510(075.8)


ISBN 978-5-7996-2073-8

© Уральский федеральный университет, 2017

Оглавление


 Список сокращений ................................ 5
 Предисловие ...................................... 6
 Введение ......................................... 7
Глава 1........................................... 15
1. Элементы теории множеств....................... 15
2. Элементы топологии, 1 ......................... 39
3. Элементы топологии, 2 ......................... 56
4. Свойство вписанности на пространстве разбиений .... 64
5. Измеримые пространства с полуалгебрами и алгебрами множеств ......................................... 77
Упражнения ....................................... 81
Глава 2........................................... 82
6. Конечно- аддитивные мер bi .................... 83
7. Банахово пространство ярусных функций ......... 95
8. Интегрирование ярусных функций по конечноаддитивной мере ограниченной вариации ........... 104
9. Интегральное представление линейных непрерывных функционалов .................................... 115
10. Слабо абсолютно непрерывные конечноаддитивные меры и их приближение неопределенными интегралами, 1 .................................. 124

3

11. Слабо абсолютно непрерывные конечно-
аддитивные меры и их приближение неопределенными интегралами, 2 ................................. 137
Упражнения ..................................... 159
Глава 3......................................... 161
12. Задача о достижимости при ограничениях моментного характера ...................................... 161
13. Абстрактная задача о достижимости и ее расширение .......................................168
14. Представление множеств притяжения и условия асимптотической нечувствителвности при ослаблении части ограничений .............................. 173
Упражнения ..................................... 197
Глава 4......................................... 199
15. Линейнвю управляемые системы с разрвтвноствю в коэффициентах при управляющих воздействиях ..... 199
16. Управление материалвной точкой ............. 207
17. Одно конкретное условие асимптотической нечувствителвности при ослаблении части ограничений ......... 215

18. Другой пример ограничений асимптотического характера ...................................... 218
Упражнения...................................... 227
Заключение ..................................... 229
Список библиографических ссылок ................ 231

Список сокращений


     в/з — вещественнозначная
     п/м — подмножество
     к.-а. — конечно-аддитивная
     к.-п. — кусочно-постоянная
     н. спр. — непрерывная справа
     ИП — измеримое пространство
     МП — множество притяжения
     МТ — материальная точка
     НМ — направленное множество
     ОД — область достижимости
     ОАХ — ограничения асимптотического характера
     ТП — топологическое пространство
     УП — упорядоченная пара
     ЧУМ — частично упорядоченное множество

Предисловие


   Пособие посвящено исследованию задач о достижимости в условиях, когда соответствующие ограничения соблюдаются с высокой, но все же конечной степенвю точности. Подобные постановки возникают, в частности, в теории управления, где в качестве ограничений, подлежащих соблюдению, используются краевые и промежуточные условия, а также фазовые ограничения.
   Наряду с экстремальными задачами значительный интерес представляют постановки, связанные с проблемой достижимости; этому направлению и посвящено предлагаемое пособие. Неточность соблюдения ограничений естественна для инженерных задач, в которых обычно лучшее, на что можно надеяться, связано с малостью соответствующих погрешностей. Нередко конкретную степень соблюдения ограничений задать не удается, а потому приходится ориентироваться на использование асимптотических режимов, для которых непосредственное определение доставляемых ими в пределе результатов крайне затруднительно. Решение таких задач может быть связано с построением их некоторых идеализированных аналогов, получающихся при использовании расширений пространства управлений.
   В работе используются расширения в классе конечноаддитивных мер, которые играют роль обобщенных управлений. Речь идет о задачах управления с импульсными ограничениями. Их рассмотрение предваряется представлением конечномерных аналогов, полезных и для некоторых задач математического программирования.

Пособие ориентировано на студентов-математиков, аспирантов, преподавателей.

    Учебное пособие 'подготовлено в рамках секции «Современная математика в инженерном образовании» и при финансовой поддержке РФФИ (проекты № 16-01-00505, 16-01-00649).

            Введение


  Настоящее пособие посвящено изучению задач, возникающих в теории управления и связанных с достижимостью тех или иных желаемых состояний при наличии ограничений различного характера. Наиболее понятной в этом отношении является задача о построении области достижимости управляемой системы в заданный момент времени, имеющая серьезное практическое значение (данная задача играет, в частности, важную роль в вопросах космической навигации).
   Однако нередко ограничения, используемые в постановке упомянутой задачи, не могут быть заданы точно; в частности, возможно «малое» ослабление этих ограничений, что объективно способствует улучшению достигаемого результата. При этом в некоторых случаях данное улучшение имеет скачкообразный характер и «малым» уже не является. В неустойчивых задачах практически интересными оказываются решения, достигаемые «на грани фола» в смысле соблюдения ограничений: допускаются «очень малые» нарушения имеющихся ограничений.
   По целому ряду причин во многих задачах такого типа не удается, однако, указать конкретную степень ослабления имеющихся условий. В этих случаях логичным представляется асимптотический подход, который на идейном уровне можно связать с приближенными решениями [1, гл. 3]. Данный подход получил широкое распространение в задачах оптимального управления; при незначительных в идейном отношении модификациях он может быть распространен и на задачи о достижимости, в которых уже не требуется оптимизировать какой-либо критерий качества.
   Следует отметить, что подобные конструкции активно использовались в Свердловске-Екатеринбурге в работах

7

Н. Н. Красовского, А. И. Субботина и их учеников. Особо отметим применение данных конструкций (по смыслу — расширений) в игровых задачах, включая задачи программного управления и позиционные дифференциальные игры. В теории дифференциальных игр исключительно важную роль сыграла основополагающая теорема об альтернативе Н.Н. Красовского и А. И. Субботина (см. [2]), при доказательстве которой использовались, в частности, так называемые стабильные мосты, играющие роль фазовых ограничений, которые следовало соблюдать вплоть до встречи с целевым множеством; упомянутое соблюдение ограничений в классе реализуемых пошаговых движений допускалось при этом всего лишь приближенным. В то же время, применяя в определении стабильности (в том или ином виде) обобщенные элементы, удается добиться (в сочетании с правилом экстремального сдвига) осуществления перемещений вблизи стабильных мостов, что оказывается достаточным для приемлемого решения соответствующей игровой задачи управления на аппроксимативном уровне. Используя упомянутую теорему об альтернативе, Н.Н. Красовский и А. И. Субботин установили важное положение о разрешимости нелинейной дифференциальной игры (с функцией платы) в смысле седловой точки, реализуемой в надлежащем классе позиционных стратегий.
   Обсуждаемые выше исследования относятся по большей части к задачам управления с геометрическими ограничениями на выбор управляющих воздействий, систематическое исследование которых было начато Л. С. Понтрягиным (см. [3]). В связи с изучением вопросов, связанных с существованием оптимальных (обобщенных) управлений-мер, отметим работы Дж. Варги [1] и Р. В. Гамкрелидзе [4].
   Более сложно, на наш взгляд, складывались аналогичные исследования в задачах управления с импульсными

8

ограничениями. В связи с этим особо отметим оригинальный подход, предложенный Н. Н. Красовским и связанный с использованием аппарата обобщенных функций (см. [5]). Этот подход послужил основой многих исследований в области импульсного управления; отметим, в частности, работы С. Т. Завалищина и А. Н. Сесекина (см. [6]). Заметим, что импульсные ограничения играют важную роль в приложениях, поскольку именно посредством данных ограничений задаются условия на энергоресурс, т. е. на запас имеющегося топлива.
   Одно из затруднений, возникающих в импульсных задачах, связано с эффектами, имеющими смысл произведения разрывной функции на обобщенную. Отметим направление, касающееся изучения линейных систем с разрывностью при управляющих воздействиях, которое связано с применением особых обобщенных элементов (обобщенных управлений) — скалярных или векторных конечноаддитивных мер (см. [7-9] и др.). Дело в том, что такие меры определяют представление линейных непрерывных функционалов на пространстве разрывных (точнее, ярусных) функций. При этом действие обобщенных элементов естественно связывать с упомянутыми функционалами, имея в виду «хорошие» условия компактности, определяемые теоремой Алаоглу (см. [10]). Важно, конечно, позаботиться о том, чтобы создаваемые таким образом обобщенные элементы допускали приближение обычными управлениями в смысле соответствующей топологии, которая в данном случае является «сужением» *-слабой топологии пространства конечно-аддитивных мер ограниченной вариации. На этой основе в классе линейных систем удается формализовать эффекты, имеющие смысл произведения разрывной функции на обобщенную.

9

   В настоящем пособии предпринимается попытка дать систематическое и достаточно подробное изложение упомянутого подхода для одного типа ограничений импульсного характера: мы обсуждаем случай неотрицательных управлений и требуем полного расходования имеющегося энергоресурса. Помимо этого предполагаем, что имеются и некоторые другие ограничения (моментного характера), которые должны соблюдаться с высокой, но все же конечной степенью точности. Точная формализация связывается при этом с введением асимптотических режимов, подобных приближенным решениям Дж. Варги (см. [1, гл. 3]). Соответствующие области достижимости при данном подходе заменяются множествами притяжения, которые как раз и следует рассматривать как практически интересные варианты описания возможностей управляющих процедур при реализации моментных ограничений «на грани фола».
   Важно отметить, что при использовании обобщенных элементов, определяемых в виде тех или иных конечноаддитивных мер, соответствующие множества притяжения совпадают с «обычными» множествами достижимости, но только в ситуации, когда эти обобщенные элементы используются в качестве своеобразных «управлений». Итак, мы можем, избегая труднореализуемых предельных переходов, используемых при непосредственном построении множеств притяжения, пойти совсем другим и более простым в логическом отношении путем, а именно: создать «хорошее», а точнее, компактное, пространство обобщенных управлений (далее будем использовать данный термин) и, оперируя (обычным образом) с элементами данного пространства как с управлениями, построить область достижимости в традиционном понимании. Здесь, конечно, возникают вопросы, связанные, по сути дела, с построением некой новой (по крайней мере формально)

10

динамической системы, которая могла бы реагировать на конечно-аддитивные меры как на управления. Однако в рассматриваемом сейчас случае линейных управляемых систем эти вопросы легко решаются посредством соответствующего расширения формулы Коши (см. [7]).
   Полезно отметить, что вышеупомянутая схема исследования применима на самом деле в более общей постановке, уже не связанной обязательно с задачей управления. В связи с этим обсудим сейчас одну общую схему, которая в настоящем пособии используется в качестве промежуточной, но может иметь и самостоятельное значение (например, в задачах математического программирования). Итак, придерживаясь содержательного способа изложения, наметим данную схему, сохраняя при этом идею, связанную с исследованием вопросов о достижимости.
   Пусть X — непустое множество, даны функции

д^ : X —>• К,..., дк : X —> R, hi : X —IK.,..., hi : X —Ж,

где к,1— натуральные числа; Ж— вещественная прямая. В fc-мерном арифметическом пространстве задано множество Y, определяющее условие

(91(х),---,дк(хУ) G Y

на выбор х 6 X. Требуется определить, какими при данном условии могут быть векторы

(/и(ж),...Л(ж)),

реализующиеся в Z-мерном арифметическом пространстве. Разумеется, ответ можно представить следующим образом: введем вектор-функционалы G и Н в виде

      х Н4- (gi(x~),дк(хУ) и х (^(х),Лг(ж))


11

соответственно. Тогда


  HX(G⁻¹(Y)) = {Н(ж) : х Е G⁻¹(Y)} =
= {(h₁(x),...,hi(x')') : х Е Х,(д₁(х'),...,дк(хУ) Е Y} (0.1)

(Н-образ G-прообраза Y) определяет множество всех интересующих нас «целевых» векторов. Представляет интерес следующий вопрос: если вместо Y будет использоваться «большее» множество Y (т. е. множество Y в fc-мерном пространстве со свойством Y С Y), то как изменится интересующее нас множество (0.1), а точнее, каким («малым» или нет) будет изменение

              H¹(G⁻¹(Y)) -> H^G-^Y))               (0.2)


для Y и Y; ясно, что H¹(G⁻¹(Y)) С H¹(G⁻¹(Y)). Итак, постулируя близость Y к Y, мы интересуемся преобразованием (0.2), которое в целом ряде случаев является «скачком»: приближение Y к Y извне (в рамках того или иного заданного правила) не приводит, вообще говоря, к приближению H¹(G⁻¹(Y)) к H¹(G⁻¹(Y)); см. примеры в [11]. В этих случаях мы интересуемся «пределом» множеств HHG-W), используя для его точного определения множества притяжения (см. [8,9,12]). Тогда ранее упомянутый вариант задачи управления извлекается из схемы с (0.1), (0.2) в том случае, когда X есть множество программных управлений, т. е. множество в функциональном пространстве. Однако, как уже отмечалось, схема исследования с использованием (0.1), (0.2) может быть применена и в других содержательных задачах; поэтому в данном пособии она, при некоторой конкретизации Н и G, выделена для отдельного рассмотрения.
   В заключение данного введения приведем краткое описание излагаемого ниже материала по главам.


12

   В главе 1 содержатся сведения общематематического характера, относящиеся к теории множеств, топологии и к некоторым типам измеримых пространств. В краткой форме введены основные понятия, используемые в теории множеств, включая функции, отношения, вещественные числа. Подробно обсуждаются топологии и их построение посредством баз, окрестности и локальные базы (фундаментальные семейства окрестностей), операция замыкания, аксиомы отделимости, компактность. Особое внимание уделяется вопросам сходимости в топологическом пространстве (имеется в виду сходимость по Мору-Смиту). Рассматриваются алгебры и полуалгебры множеств, а также соотношения между этими двумя типами измеримых структур.
   В главе 2 излагаются положения конечно-аддитивной теории меры. В частности, рассматриваются нужные в дальнейшем свойства конечно-аддитивных мер, а также выделяются наиболее важные классы таких мер. Вводятся некоторые топологии на пространствах конечноаддитивных мер соответствующего типа. Исследуются ступенчатые и ярусные функции (ярусные функции — равномерные пределы ступенчатых). Рассматриваются линейные непрерывные функционалы на банаховом пространстве ярусных функций, которые затем отождествляются с конечно-аддитивными мерами ограниченной вариации (предварительно излагается простейшая схема интегрирования по упомянутым конечно-аддитивным мерам). Введена *-слабая топология; обсуждаются условия *-слабой компактности. Для специального рассмотрения выделяются конечно-аддитивные меры со свойством слабой абсолютной непрерывности относительно фиксированной меры; подробно обсуждается связь с понятием неопределенного интеграла.

13