Системы счисления и представление чисел в ЭВМ
Покупка
Издательство:
Издательство Уральского университета
Автор:
Шаманов Анатолий Павлович
Год издания: 2016
Кол-во страниц: 52
Дополнительно
Вид издания:
Учебное пособие
Уровень образования:
ВО - Бакалавриат
ISBN: 978-5-7996-1719-6
Артикул: 799113.01.99
Доступ онлайн
В корзину
В данном пособии дано описание позиционных систем счисления, показаны правила выполнения арифметических операций, описаны методы перевода чисел из одной системы счисления в другую, показано представление как целых, так и дробных чисел. Помимо этого рассмотрены методы представления числовой информации в ЭВМ. Пособие предназначено в качестве дополнительного источника для студентов практически всех специальностей, изучающих курсы дисциплин «Информатика» или «Архитектура ЭВМ».
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
- ВО - Бакалавриат
- 09.03.03: Прикладная информатика
- 38.03.01: Экономика
- 38.03.02: Менеджмент
- 38.03.05: Бизнес-информатика
- ВО - Специалитет
- 38.05.01: Экономическая безопасность
- 38.05.02: Таможенное дело
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б. Н. Ельцина А. П. Шаманов СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ И ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ В ЭВМ Учебное пособие Рекомендовано методическим советом УрФУ для студентов, обучающихся по направлениям подготовки 38.03.05 «Бизнес-информатика», 09.03.03 «Прикладная информатика», 38.03.01 «Экономика», 38.03.02 «Менеджмент», 38.05.01 «Экономическая безопасность», 38.05.02 «Таможенное дело» Екатеринбург Издательство Уральского университета 2016
УДК 511.11:004.4(075.8) ББК 22.131я73 + 32.972я73 Ш19 Рецензенты: заведующий сектором канд. физ.-мат. наук Д. Г. Ермаков (Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского УрО РАН); заведующий кафедрой «Информационные технологии и математическое моделирование» проф., д-р физ.-мат. наук А. Н. Кра‑ совский (Уральский государственный аграрный университет) Ш19 Шаманов, А. П. Системы счисления и представление чисел в ЭВМ : учебное пособие / А. П. Шаманов. — Екатеринбург : Изд- во Урал. ун-та, 2016. — 52 с. ISBN 978-5-7996-1719-6 В данном пособии дано описание позиционных систем счисления, показаны правила выполнения арифметических операций, описаны методы перевода чисел из одной системы счисления в другую, показано представление как целых, так и дробных чисел. Помимо этого рассмотрены методы представления числовой информации в ЭВМ. Пособие предназначено в качестве дополнительного источника для студентов практически всех специальностей, изучающих курсы дисциплин « Информатика» или «Архитектура ЭВМ». Библиогр.: 10 назв. Табл. 10. Рис. 1. УДК 511.11:004.4(075.8) ББК 22.131я73 + 32.972я73 ISBN 978-5-7996-1719-6 © Уральский федеральный университет, 2016
ВВЕДЕНИЕ С овременный компьютер и другие устройства вычислительной техники основаны на использовании двоичной системы счисления. В двоичной системе счисления используется всего два символа — 0 и 1, а записи, сформированные из них, достаточно длинны и достаточно плохо воспринимаются человеком. Для их интерпретации используется шестнадцатеричная система, записи которой значительно короче и легче воспринимаются человеком. Перевод же из шестнадцатеричной системы в двоичную и наоборот весьма прост и нагляден, и при описании устройств вычислительной техники везде, где это возможно, ис- пользуется шестнадцатеричная система счисления. Поэтому для правильного понимания работы вычислительных систем необ- ходимо знание двоичной и шестнадцатеричной систем счисле- ния. И уж тем более оно необходимо при написании програм- мных продуктов.
1. СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ 1.1. Понятие системы счисления П редставление целых положительных чисел с помощью письменных знаков (символов) называется нумераци- ей. Письменные знаки (символы), используемые при нумера- ции, называются цифрами. Необходимо четко делать различие между числом и символом (группой символов), которым поль- зуются для его письменного воспроизведения. Например, с од- ной стороны, для изображения числа «пять» могут использовать- ся цифра 5 (десятичная система нумерации), цифра V (римская система нумерации) или группа символов 101 (двоичная сис- тема нумерации). С другой стороны, группа символов 10 мо- жет обозначать число «десять» в десятичной системе или число 2 в двоичной системе. Иными словами, значение символа за- висит от системы нумерации и его положения в записи, тогда как с числом всегда связана определенная количественная ха- рактеристика. Совокупность правил записи чисел (способ соединения цифр для обозначения числа) называется системой счисления. Систе- мы счисления подразделяются на позиционные и непозиционные.
| 5 | Непозиционные системы счисления возникли раньше по- зиционных. Они характеризуются тем, что в них символы, обо- значающие то или иное число, не меняют своего значения в за- висимости от своего местоположения в записи этого числа. Классическим примером такой системы является римская си- стема счисления. В ней для записи чисел используются буквы латинского алфавита. Значения основных цифр римской сис- темы приведены ниже: I — единица, V — пять, X — десять, L — пятьдесят, C — сто, D — пятьсот, M — тысяча. Для получения количественного эквивалента числа в рим- ской системе необходимо просто сложить количественные экви- валенты входящих в него цифр. Исключение составляет случай, когда младшая цифра стоит перед старшей — в такой ситауции количественный эквивалент младшей цифры берут со знаком «минус». Некоторые примеры чисел в римской системе счисле- ния и их десятичные эквиваленты приведены в табл. 1.1. Таблица 1.1 Некоторые числа в римской системе счисления Число в римской системе Значение в десятичной системе III 1 + 1 + 1 = 3 IV 5–1 = 4 XII 10 + 1 + 1 = 12 XLV –10 + 50 + 5 = 45 CDXVIII –100 + 500 + 10 + 5 + 1 + 1 + 1 = 418 MMDXCVII 1000 + 1000 + 500 – 10 + 100 + 5 + 1 + 1 = 2597 Непозиционные системы счисления имеют два существен- ных недостатка: • с увеличением изображаемых чисел требуется неограни- ченное число новых символов;
| 6 | • процедура выполнения арифметических операций в та- ких системах счисления чрезвычайно сложна. Поэтому в настоящее время непозиционные системы счи- сления практически не используются. 1.2. Позиционные системы счисления Позиционные системы счисления характеризуются следую- щими понятиями: • Для записи любого числа используется ограниченный на- бор символов. Число используемых символов называется основанием позиционной системы счисления. • Устанавливается взаимно-однозначное соответствие между набором цифр и числами натурального ряда 0, 1, ..., p — 1, где p — основание системы счисления. Таким обра- зом, численный эквивалент любой цифры меньше осно- вания системы счисления. • Место каждой цифры в числе называется позицией (отсю- да, собственно, название таких систем — позиционные). • Номер позиции цифры в числе называется разрядом. Ну- мерация разрядов начинается с нуля и выполняется спра- ва налево. Разряд 0 называется младшим разрядом. • Каждой цифре, в зависимости от ее позиции, ставится в соответствие количественный эквивалент, определяе- мый по формуле αk = ak pk, (1.1) где αk — количественный эквивалент цифры, находящейся в позиции k; ak — численный эквивалент цифры, находящейся в разряде k; p — основание системы счисления; k — номер позиции цифры (ее разряд).
| 7 | • Само значение числа (его количественный эквивалент) определяется как сумма вычисленных по формуле (1.1) количественных эквивалентов всех цифр, входящих в за- пись числа. • Для выполнения операции сложения каждой паре чисел, каждое из которых соотносится с какой-либо одной циф- рой, ставится в соответствие число, являющееся результа- том их сложения. Аналогично, для выполнения операции умножения каждой такой паре чисел ставится в соответ- ствие число, являющееся результатом их умножения. Эти соответствия оформляются в виде таблицы сложения и та- блицы умножения. Таким образом, любое целое положительное число может быть представлено в виде an‑1an‑2 … a1a0 = an‑1 pn‑1 + an‑2 pn‑ 2 + … + a1 p 1 + a0 p 0, (1.2) где ai — цифра данной системы счисления (0 ≤ ai <p); n — число разрядов при написании числа; p — основание системы счисления (некоторое положительное целое число). В качестве основания системы счисления может быть ис- пользовано любое натуральное число p>1. При заданном осно- вании системы счисления p каждому натуральному числу со- ответствует единственное представление вида (1.2) и каждому представлению вида (1.2) соответствует единственное натураль- ное число. Естественно, при этом лидирующие нули не учиты- ваются, например 000655 и 655 — это эквивалентные записи од- ного и того же числа. Проиллюстрируем сказанное на привычной нам десятич- ной системе. Набор цифр для десятичной системы счисления: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Основание системы p = 10. Любое чи- сло в десятичной системе согласно формуле (1.2) представля- ется в виде
| 8 | A10 = an‑1an‑2… a1a0 = an‑1 ∙ 10n-1 + an‑2 ∙ 10n‑2 + … + a1 ∙ 10 1 + a0 ∙ 10 0, где каждое ai — одна из цифр множества {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Например, 625 = 6 ∙ 10 2 + 2 ∙ 10 1 + 5 ∙ 10 0 = 6 ∙ 100 + 2 ∙ 10 + 5 или 1309 = 1 ∙ 10 3 + 3 ∙ 10 2 + 0 ∙ 10 1 + 9 ∙ 10 0 = 1000 + 3 ∙ 100 + 9. Таблицы умножения и сложения чисел и выполнение ариф- метических операций в десятичной системе известны с началь- ной школы и здесь не приводятся. Далее мы будем рассматривать три системы счисления: дво- ичную, десятичную и шестнадцатеричную. Это вызвано следу- ющим: • компьютер работает только с двоичной информацией; • человек производит вычисления, используя десятичную систему; • двоичная информация плохо воспринимается человеком, для ее интерпретации удобнее использовать шестнадца- теричную систему. 1.3. Двоичная система счисления Набор цифр для двоичной системы счисления: {0, 1}. Осно- вание системы p = 2. Любое число в двоичной системе представ- ляет собой последовательность нулей и единиц. Для того что- бы подчеркнуть, что это именно двоичная запись, в конце числа можно (но не обязательно) поставить нижний индекс 2 или сим- вол b (от английского binary — «двоичный»). Последнее обозна- чение является обязательным при задании двоичных констант на языке Assembler. Например,
| 9 | 5 = 1012 = 101b или 1025 = 100000000012 = 10000000001b. Согласно формуле (1.2) число в двоичной системе представ- ляется в виде A2 = an‑1an‑2 … a1a0 = an‑1 ∙ 2n‑1 + an‑2 ∙ 2n‑2 + … + a1 ∙ 21 + a0 ∙ 20, (1.3) где каждое ai — одна из цифр 0 или 1. Например, 1012 = 1 ∙ 22 + 0 ∙ 21 + 1 ∙ 20 = 1 ∙ 4 + 1 или 101002 = 1 ∙ 24 + 0 ∙ 23 + 1 ∙ 22 + 0 ∙ 21 + 0 ∙ 20 = 1 ∙ 16 + 1 ∙ 4 = 20. В формуле (1.3) разложение двоичного числа по степеням «двойки» выполнено в десятичной системе. То же самое разло- жение можно записать, используя только цифры двоичной си- стемы A2 = an‑1… a2a1a0 = (an-1 ∙ 10n-1 + … + a2 ∙ 10 10 + a1 ∙ 10 1 + a0 ∙ 10 0)2. (1.4) Те же самые числа при использовании выражения (1.4) бу- дут выглядеть следующим образом: 1012 = (1 ∙ 10 10 + 0 ∙ 10 1 + 1 ∙ 10 0)2 и 101002 = (1 ∙ 10 100 + 0 ∙ 10 11 + 1 ∙ 10 10 + 0 ∙ 10 1 + 0 ∙ 10 0)2. Таблицы умножения и сложения чисел и арифметические операции в двоичной системе счисления выполняются подоб- но тому, как это делается в десятичной системе, с той лишь раз- ницей, что при этом используются свои таблицы умножения и сложения (табл. 1.2).
| 10 | Таблица 1.2 Таблицы сложения и умножения двоичных чисел Таблица сложения Таблица умножения 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 10 1 0 1 Все арифметические операции могут выполняться столби- ком. Пример 1.1. Сложить числа 101 и 11011. Решение: 1 0 1 = 5 + 1 1 0 1 1 = 2 7 - - - - - - - 1 0 0 0 0 = 3 2 Пример 1.2. Умножить числа 101 и 11011. Решение: 1 1 0 1 1 = 2 7 × 1 0 1 = 5 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 1 0 1 1 1 3 5 1 1 0 1 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 0 0 0 0 1 1 1 = 1 3 5
Доступ онлайн
В корзину