Механика

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ  
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

УРАЛЬСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ  
ИМЕНИ ПЕРВОГО ПРЕЗИДЕНТА РОССИИ Б. Н. ЕЛЬЦИНА

Екатеринбург
Издательство Уральского университета
2019

МЕХАНИКА

Практикум

Рекомендовано
методическим советом Уральского федерального университета
для студентов вуза, обучающихся по направлениям подготовки
03.03.02 «Физика», 21.03.03 «Геодезия и дистанционное зондирование»,
27.03.01 «Стандартизация и метрология», 27.03.05 «Инноватика»,
28.03.01 «Нанотехнологии и микросистемная техника»,
05.03.04 «Гидрометеорология» и по специальности
03.05.01 «Астрономия»

М550
Механика : практикум / [Н. А. Скулкина, С. Г. Колчанова, 
В. А. Шихова, Е. А. Вилисова, В. Г. Черняк, С. И. Студенок, А. В. Гер‑
маненко ; под общ. ред. В. А. Шиховой] ; М‑во науки и высш. обра‑
зования Рос. Федерации, Урал. федер. ун‑т. —  Екатеринбург : Изд‑во 
Урал. ун‑та, 2019. — 274 с.

ISBN 978‑5‑7996‑2620‑4

Материал практикума структурирован в соответствии с разделами 
курса общей физики «Механика». Приведены детальное описание теории 
изучаемого явления, порядок выполнения научного эксперимента, богатый 
иллюстративный материал.
Практикум может быть полезен при выполнении лабораторных работ, 
а также при самостоятельном освоении теоретических основ физических 
явлений студентами младших курсов.
УДК 531(07)

УДК 531(07)
 
М550

ISBN 978‑5‑7996‑2620‑4 
© Уральский федеральный университет, 2019

Авторы:
Н. А. Скулкина, С. Г. Колчанова, В. А. Шихова,  
Е. А. Вилисова, В. Г. Черняк, С. И. Студенок, А. В. Германенко

Под общей редакцией В. А. Шиховой

Рецензенты:
кафедра физики и математического моделирования  
Уральского государственного педагогического университета  
(заведующий кафедрой доктор физико‑математических наук,  
профессор В. Е. Сидоров);
Г. Ш. Болтачев, доктор физико‑математических наук,  
заместитель директора по научной работе  
Института электрофизики УрО РАН

На обложке:
Экспериментальная установка для изучения движения гироскопа
Фото К. Н. Иванова

ОГЛАВЛЕНИЕ

ОТ АВТОРОВ 
7

1. ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ И СПОСОБЫ ИХ ИЗМЕРЕНИЯ 
10
1.1. Измерение массы 
10
1.1.1. Аналитические демпферные весы АДВ‑200 
10
1.1.2. Лабораторные весы 
14
1.2. Измерение линейных размеров 
16
1.2.1. Штангенциркуль 
16
1.2.2. Микрометр 
19
1.2.3. Линейка 
22
1.3. Измерение плотности твердого тела 
23
Лабораторная работа 1. Определение плотности вещества тел 
правильной геометрической формы 
24
Лабораторная работа 2. Измерение плотности твердых тел 
пикнометрическим методом 
33

2. УСКОРЕНИЕ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ 
39
2.1. Силы в природе 
39
2.2. Закон всемирного тяготения 
41

2.3. Определение ускорения свободного падения  
с помощью машины Атвуда 
52
2.3.1. Экспериментальная установка для измерения  
ускорения свободного падения с помощью машины Атвуда 53
2.3.2. Экспериментальная установка для изучения 
равноускоренного движения с помощью машины Атвуда 
55
Лабораторная работа 3. Определение величины земного  
ускорения при помощи машины Атвуда 
57
Лабораторная работа 4. Исследование кинематики 
равноускоренного движения 
62
Лабораторная работа 5. Исследование динамики  
равноускоренного движения 
67
2.4. Определение ускорения свободного падения  
с помощью математического маятника  
и физического (оборотного) маятника 
72
2.4.1. Математический маятник 
73
2.4.2. Физический (оборотный) маятник 
75
Лабораторная работа 6.  Измерение ускорения  
свободного падения с помощью математического маятника 
77
Лабораторная работа 7.  Определение ускорения свободного 
падения с помощью математического и физического маятников 81
Лабораторная работа 8. Определение гравитационной  
постоянной с помощью гравитационного  
торсионного балансира (весов) Кавендиша 
87

3. ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДЫХ ТЕЛ.  
МОМЕНТ ИНЕРЦИИ 
99
3.1. Способы описания вращательного движения 
99
3.2. Момент инерции 
103
3.3. Теорема Штейнера. Тензор инерции 
107
Лабораторная работа 9. Измерение моментов инерции тел 
115
Лабораторная работа 10. Измерение моментов инерции 
параллелепипеда 
126

Лабораторная работа 11. Измерение угловой скорости 
139
Лабораторная работа 12. Измерение параметров  
вращательного движения (маятник Обербека) 
150
Лабораторная работа 13. Изучение движения  
маятника Максвелла 
165

4. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ 
173
4.1. Энергия и законы сохранения 
173
4.2. Механический удар 
177
4.2.1. Определение скоростей шаров после удара 
178
4.2.2. Определение работы деформации при ударе шаров 
181
4.2.3. Определение коэффициента восстановления скорости 
тел при ударе 
182
4.2.4. Определение силы взаимодействия тел 
183
4.2.5. Определение времени соударения 
184
Лабораторная работа 14. Изучение взаимодействия тел  
при ударе 
188
Лабораторная работа 15. Измерение времени соударения  
упругих шаров 
195
4.3. Полет тела. Баллистический маятник 
202
Лабораторная работа 16. Определение скорости полета тела 
с помощью баллистического крутильного маятника 
206
4.4. Гироскоп 
209
Лабораторная работа 17. Измерение моментов инерции  
и частоты нутации гироскопа 
212
Лабораторная работа 18. Измерение скорости прецессии  
гироскопа 
225

5. СИЛА ТРЕНИЯ. НАКЛОННЫЙ МАЯТНИК 
233
5.1. Коэффициент трения скольжения. Наклонный маятник 
234
5.2. Коэффициент трения качения 
237
Лабораторная работа 19. Определение коэффициентов трения 
с помощью наклонного маятника 
239

6. ИЗУЧЕНИЕ СВОБОДНЫХ  
И ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ 
243
6.1. Гармонический осциллятор 
243
6.2. Свободные колебания консервативного гармонического 
осциллятора 
244
6.3. Свободные колебания гармонического осциллятора 
с затуханием 
246
6.4. Вынужденные колебания гармонического осциллятора 
и явление резонанса 
248
6.5. Торсионный маятник 
251
6.6. Добротность, время релаксации, декремент затухания 
253
Лабораторная работа 20. Изучение свободных и вынужденных 
колебаний торсионного маятника 
256
Лабораторная работа 21. Изучение явления резонанса  
торсионного маятника 
262

Приложение 
ПРИМЕР ОФОРМЛЕНИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ  
И ИХ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ 
267

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 
271

ОТ АВТОРОВ

Корректное измерение физических величин во время наблюде‑
ний и опытов составляет основную часть любого научного исследо‑
вания в физике, поскольку лежит в основе определения различных 
физических характеристик и установления количественного соот‑
ветствия между ними. Полнота работ, представленных в лабора‑
торном комплексе, коррелирует с полнотой знаний, полученных 
студентами, и степенью понимания курса физики. Поэтому фор‑
мирование учебного лабораторного комплекса является весьма 
актуальной задачей.
Лабораторный комплекс общего физического практикума вклю‑
чает в себя возможность наблюдения почти всего спектра характер‑
ных явлений и процессов, изучаемых в соответствующих разделах 
курса общей физики.
Лаборатория измерений физических величин является вводной 
в физический практикум. Ее задачами являются:
 
— формирование навыков измерения физических величин 
и правильного представления результатов измерения;
 
— овладение практическими навыками проведения исследова‑
ний, методами обработки и анализа результатов измерений;
 
— опытное обоснование изучаемых физических явлений.

То, что мы называем физикой, охва‑
тывает группу естественных наук, осно‑
вывающих свои понятия на измерениях.
А. Эйнштейн

Студентам предлагается выполнение работ по определению 
плотности тел различной геометрической формы, измерению 
ускорения свободного падения, моментов инерции тел с помощью 
различных методов, изучению кинематических и динамических 
характеристик поступательного и вращательного движения. Вариа‑
тивность выполнения работ на одной экспериментальной установке 
позволяет осуществлять дифференцированный подход к обучению 
студентов.
Практикум содержит описания лабораторных работ для студен‑
тов университета, специализирующихся в области физики, а также 
для студентов, обучающихся по инженерно‑техническим направ‑
лениям.
Практикум состоит из шести глав, которые соответствуют раз‑
личным темам раздела курса общей физики «Механика». В главах 
имеется теоретическая часть, общая для лабораторных работ данной 
главы. В приложении приводится пример обработки результатов 
измерения.
Практикум переработан с целью усовершенствования имею‑
щихся лабораторных работ и дополнен новыми работами, выпол‑
нение которых предполагает использование современного обору‑
дования.
В составлении описаний лабораторных работ участвовали пре‑
подаватели департамента фундаментальной и прикладной физики 
и кафедры конденсированного состояния и наноразмерных систем 
УрФУ им. Б. Н. Ельцина: профессора, доктора физико‑математиче‑
ских наук Н. А. Скулкина, В. Г. Черняк и А. В. Германенко; доценты, 
кандидаты физико‑математических наук С. Г. Колчанова, С. И. Сту‑
денок, В. А. Шихова и Е. А. Вилисова.
В организации и постановке лабораторных работ в разное время 
принимали участие преподаватели Уральского государственного 
университета им. А. М. Горького: В. П. Ворошилов, С. Д. Ванген‑
гейм, С. Н. Иванченко, Л. Я. Кобелев, А. К. Кикоин, Г. Н. Колесников, 
Ф. Д. Ковалев, А. Н. Кулев, И. А. Кузнецов, Н. Б. Лобанова, Ю. А. Ло‑

банов, Н. С. Малев, В. Х. Осадченко, В. В. Парфенов, А. С. Распопин, 
Е. Ф. Шабалина, Г. П. Яковлев.
Авторы выражают благодарность К. Н. Иванову за постановку 
лабораторных работ и А. В. Тебенькову за полезные обсуждения 
и помощь в разработке описаний.

1. ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ  
И СПОСОБЫ ИХ ИЗМЕРЕНИЯ

1.1. Измерение массы

1.1.1. Аналитические демпферные весы АДВ‑200
Измерение массы выполняется путем взвешивания на анали‑
тических весах. Аналитические весы отличаются высокой чувст‑
вительностью, которая достигается тщательным изготовлением 
деталей, использованием высококачественных материалов и неко‑
торых вспомогательных устройств. Подобно другим лабораторным 
весам аналитические весы —  это равноплечные весы с коромыслом.
В лаборатории измерений используются весы типа АДВ‑200, 
т. е. аналитические демпферные весы с предельной нагрузкой 200 г 
(рис. 1.1). Слово «демпферные» означает, что весы снабжены устрой‑
ством (демпфером), обеспечивающим быстрое затухание колебаний 
коромысла.
Весы заключены в стеклянный футляр с поднимающейся пе‑
редней дверцей. На основании весов установлена колонка. На ней 
помещается подушка для средней призмы коромысла. В середине 
коромысла укреплена агатовая призма, которая своим ребром опи‑
рается на агатовую подушку. На концах коромысла расположены 

еще две призмы, на которые с помощью сережек подвешены ста‑
каны демпферов и грузоприемные чашки. К середине коромысла 
прикреплена вертикальная стрелка. Для предохранения ребер агато‑
вых призм от быстрого изнашивания весы снабжены устройством, 
позволяющим приподнимать вверх коромысло с чашками и выво‑
дить их из соприкосновения с подушками, на которые опираются 
призмы. Такое устройство называется арретиром. Когда весами 
не пользуются и во время взвешивания они обязательно должны 
быть арретированы. Арретирующее устройство приводится в дей‑
ствие маховичком. Весы снабжены световым экраном, на который 
проектируется микрошкала, укрепленная на нижнем конце стрелки. 
Свет, освещающий шкалу, включается при реарретировании весов 
маховичком.
Лимбы (внутренний и внешний) управляют встроенными наклад‑
ными гирями, навешиваемыми на планку на правой стороне весов.
Взвешиваемые образцы всегда располагают на левой чашке. 
Гири массой 1 г и выше помещают на правую чашку через правую 
боковую дверцу. Гири малой массы (от 0,01 до 0,99 г) накладывают 

1

6

5

4

3

2

Рис. 1.1. Схема аналитических демпферных весов: 
1 —  колонка; 2 —  стаканы демпферов; 3 —  маховичок;  
4 —  световой экран; 5 —  внутренний лимб; 6 —  внешний лимб

с помощью поворота двух дисков 5 и 6 на общей оси. Поворот по ча‑
совой стрелке приводит к наложению гирь, против часовой —  к их 
снятию. Диски вращаются независимо друг от друга. Поворачивая 
малый диск 5, можно изменять массу гирь от 0,01 до 0,09 г. Поворот 
большого диска обеспечивает изменение массы от 0,1 до 0,9 г. Сум‑
марный вес наложенных кольцевых гирь отсчитывается по цифрам 
против риски.
Для еще более точного взвешивания необходимо использовать 
световую шкалу 4, которую следует предварительно проградуиро‑
вать. Вначале определяют нулевую точку, т. е. то деление шкалы, 
против которого останавливается стрелка ненагруженных весов. 
Чтобы ее найти, надо поворотом маховичка реарретировать весы 
и, дождавшись их успокоения, отсчитать деление шкалы n0, на кото‑
ром остановился световой зайчик. Если n0 отличается от нулевого 
деления шкалы на 2–5 делений, то их можно совместить ручкой, 
находящейся справа, сверху от маховичка.
Далее на правую чашку накладывается гирька массой 10 мг (это 
можно сделать, поворачивая диск 5), весы разарретируются, и после 
их успокоения по шкале отсчитывается положение равновесия n. Те‑
перь можно определить чувствительность весов ω и цену деления α:

 
n n

n n

0

0
10
1
10
дел/мг
мг/дел .
,
 

Взвешивание производится следующим образом. Груз неиз‑
вестной массы M размещают в середине левой чашки, а на правую, 
по возможности ближе к центру, помещают гири. Пока весы мало‑
уравновешены, не следует освобождать коромысло полностью, его 
освобождают лишь настолько, чтобы можно было судить, которая 
из чашек легче. После этого весы сразу же арретируют и в зависи‑
мости от того, куда отклоняется стрелка, прибавляют или убавля‑
ют разновески. Таким образом, можно определить массу груза M 
с точностью до массы минимального используемого кольцевого 
разновеса m, т. е. определить, что M лежит в диапазоне A < M < A + m, 

где A —  масса гирь на правой чашке. Наложение кольцевых разно‑
весов осуществляется при помощи лимбов 5 и 6. При этом следует 
добиться, чтобы зайчик осветителя установился в пределах световой 
шкалы как можно ближе к нулевой точке.
Масса груза подсчитывается так. Пусть масса разновеса на пра‑
вой чашке равна A, цифра против риски на внешнем диске равна 
B, а на внутреннем C. При этом зайчик осветителя установился 
на делении шкалы со значением D. Тогда очевидно, что

 
M
A
B
C
D
0 1
0 001
,
,
.


Полученный результат отягощен систематическими погреш‑
ностями, имеющими разное происхождение. За систематическую 
погрешность, обусловленную весами, можно принять цену деления 
шкалы, т. е. ΔСM = α. Однако результат также отягощен погрешно‑
стью, связанной с погрешностью разновесов. Для оценки погреш‑
ности M, связанной с погрешностью разновесов, применяют более 
сложную процедуру.
Погрешность суммарной массы гирь, уравновешивающих обра‑
зец, включает в себя погрешность отдельных разновесов, которая, 
в свою очередь, имеет систематический характер. Допустимые пре‑
делы этих погрешностей хотя и задаются (для новых разновесов), 
но точные значения абсолютных погрешностей, лежащих внутри 
этих пределов, неизвестны. Эти погрешности могут иметь любой 
знак, так что при взвешивании с использованием нескольких раз‑
новесов эти погрешности должны суммироваться алгебраически. 
Общая абсолютная погрешность может оказаться как больше, так 
и меньше погрешности отдельного разновеса. Отклонение сум‑
марной номинальной массы гирь от истинного значения их массы 
неопределенно. Значит, если провести взвешивание другим набором 
разновесов, то полученное значение массы образца может оказаться 
другим.
Таким образом, взвешивание с использованием различных набо‑
ров разновесов создает условие случайности в процессе проведения