Введение в теорию гладких многообразий
Покупка
Тематика:
Геометрия и топология
Автор:
Натанзон Сергей Миронович
Год издания: 2020
Кол-во страниц: 95
Дополнительно
Вид издания:
Учебное пособие
Уровень образования:
ВО - Бакалавриат
ISBN: 978-5-4439-3451-8
Артикул: 798128.01.99
Книга содержит краткий курс теории гладких многообразий (включая теоремы Уитни и Стокса), векторных расслоений, когомологий де Рама и римановой геометрии. Приведены многочисленные упражнения и примеры.
Книга является записью лекций, которые автор читал для студентов второго курса Независимого московского университета и факультета математики Высшей школы экономики.
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
- ВО - Бакалавриат
- 00.03.06: Математика
- 00.03.36: Начертательная геометрия и инженерная графика
- ВО - Магистратура
- 01.04.01: Математика
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
С. М. Натанзон Введение в теорию гладких многообразий Электронное издание Москва Издательство МЦНМО
УДК . ББК . Н Натанзон С. М. Введение в теорию гладких многообразий Электронное издание М.: МЦНМО, с. ISBN ---- Книга содержит краткий курс теории гладких многообразий (включая теоремы Уитни и Стокса), векторных расслоений, когомологий де Рама и римановой геометрии. Приведены многочисленные упражнения и примеры. Книга является записью лекций, которые автор читал для студентов второго курса Независимого московского университета и факультета математики Высшей школы экономики. Подготовлено на основе книги: С. М. Натанзон. Введение в теорию гладких многообразий. — М.: МЦНМО: НМУ, . — ISBN ----. Учебное издание для вузов Издательство Московского центра непрерывного математического образования , Москва, Большой Власьевский пер., . Тел. () -- http://www.mccme.ru ISBN ---- © Натанзон С. М., . © МЦНМО, .
Оглавление § . Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § . Категория гладких многообразий . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Гладкие многообразия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Морфизмы и изоморфизмы . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Задание многообразий уравнениями . . . . . . . . . . . . § . Касательное пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Касательные векторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Операторы дифференцирования в точке . . . . . . . . . . .. Координатное описание касательных векторов . . . . . .. Дифференциал отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . § . Гладкие отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Регулярные точки отображения . . . . . . . . . . . . . . . .. Теорема Сарда о критических значениях . . . . . . . . . . .. Теорема Уитни о вложении многообразий . . . . . . . . . § . Векторные расслоения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Определения и примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Сечения расслоений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Сопряжение и тензорное произведение расслоений . . .. Внешние степени расслоений . . . . . . . . . . . . . . . . . § . Тензорные поля и дифференциальные формы . . . . . . . . . .. Тензорные расслоения и тензоры . . . . . . . . . . . . . . .. Дифференциальные формы в локальной карте . . . . . . .. Инвариантность оператора дифференцирования . . . . .. Интегрирование дифференциальных форм . . . . . . . . § . Формула Стокса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Многообразия с краем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Общая формула Стокса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Частные случаи формулы Стокса: формулы Грина, Гаус- са—Остроградского и классическая формула Стокса . . § . Когомологии де Рама . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Определение когомологий де Рама . . . . . . . . . . . . . .. Гладкие отображения и когомологии . . . . . . . . . . . . .. Гомотопическая инвариантность когомологий де Рама .. Точные последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Когомологическая последовательность Майера—Вьето- риса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Двойственность Пуанкаре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § . Риманова геометрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Риманова метрика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Оглавление .. Алгебра векторных полей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Аффинная связность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Аффинная связность, согласованная с римановой мет- рикой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Параллельный перенос и геодезические . . . . . . . . . . .. Риманов тензор кривизны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ . Введение Многообразия (в частности, гладкие многообразия) являются одним из главных объектов изучения в математике. Это связано с тем, что именно на языке многообразий удобно описывать фунда- ментальные законы естествознания. Определение многообразия было выкристаллизовано в течение почти ста лет, начиная с середины XIX века. Имеются многообразия разного вида с теми или иными дополнительными структурами, мы будем заниматься гладкими многообразиями. Гладкие многообразия можно представлять себе как гладкие фи- гуры в многомерном пространстве. Примерами таких многообра- зий могут служить поверхность Земли или более сложные поверх- ности типа тора. Однако изучать многообразия и функции на них значительно сложнее, чем привычное пространство n и функции на нем. Это связано с тем, что обычно на многообразии (например, на сфере) не существует глобальной системы координат. Многообразие — это геометрический объект, склеенный из от- дельных карт, т. е. кусков пространства n. В рамках одной карты можно пользоваться методами обычного многомерного анализа. Взаимосвязь различных карт между собой зависит от топологиче- ских свойств конкретного многообразия и составляет важную часть теории многообразий. Мы начинаем с определения гладкого многообразия и основ- ных примеров. Широкий класс важных примеров многообразий да- ют множества уровня гладких отображений. Далее мы доказываем в некотором смысле обратное утверждение (теорему Уитни) о том, что всякое m-мерное гладкое многообразие гладко вкладывается в пространство 2m+1. Для этого мы подробно обсуждаем свой- ства касательных пространств в точках многообразия, отображения между многообразиями и критические значения этих отображений (теорема Сарда). Далее мы переходим к обсуждению современных методов иссле- дования многообразий. Они основаны на разработанной во второй половине XX века теории векторных расслоений, которая позволя- ет определить и исследовать широкий класс отображений (сечений расслоения), играющих для теории многообразий ту же роль, что и вектор-функции в классическом многомерном анализе. Специальную роль в теории гладких многообразий играют тен- зорные и внешние степени касательных и кокасательных расслое- ний. Их сечения (тензоры) несут важную информацию о свойствах
§ . Введение многообразий. Мы подробно исследуем особенно важный класс тен- зоров, называемых дифференциальными формами. На этом классе тензоров удается определить операции дифференцирования и инте- грирования, похожие на соответствующие операции классического анализа. Более того, мы доказываем, что на произвольном гладком многообразии между этими операциями существует взаимосвязь (общая формула Стокса), обобщающая классическую формулу Нью- тона—Лейбница. Следствием этой общей формулы являются клас- сическая формула Грина, формула Гаусса—Остроградского и др. Далее мы переходим к изучению когомологий де Рама. Эта тео- рия, созданная в середине XX века, выявляет глубокую взаимосвязь между множеством дифференциальных форм и топологическими свойствами многообразия. Мы доказываем, в частности, гомотопи- ческую инвариантность когомологий де Рама и теорему Майера— Вьеториса, помогающую вычислять когомологии де Рама и свя- занные с ними топологические инварианты для широкого класса многообразий. Заключительный параграф посвящен римановой геометрии, т. е. многообразиям, на которых задана метрика, позволяющая изме- рять расстояние между точками. С помощью метрики можно также определить параллельный перенос касательных векторов, написать уравнение линии минимальной длины и построить тензор кривиз- ны, измеряющий отличие метрики от евклидовой. В этом параграфе, как и на протяжении всей книги, мы обсужда- ем понятия, результаты и конструкции как на инвариантном языке, позволяющем понять их общематематический смысл, так и в коор- динатной форме, позволяющей выполнять реальные вычисления. Книга является записью лекций, которые автор читал для сту- дентов второго курса Независимого московского университета и факультета математики Высшей школы экономики. Автор благодарит С. М. Гусейн-Заде за консультации и С. Н. Ма- лыгина за помощь в редактировании книги.
§ . Категория гладких многообразий .. Гладкие многообразия Анализ, который вы изучали на -м курсе, позволяет исследовать подмножества M ⊆ n. Все точки множества M наделяются координатами из n, и это позволяет отождествлять функции на множестве M с функциями от n переменных f (x1,…, xn). В реальной жизни, однако, интересующие нас множества не имеют естественных координат и эти координаты приходится вводить дополнительно. Более того, эти координаты можно вводить по-разному. Например, для описания и исследования Московской области ее удобно покрыть мысленной сеткой параллелей и меридианов, расстояния между которыми измеряются в километрах. Но можно, конечно, как это делалось раньше, покрыть область сеткой, где расстояние измеряется в верстах. Можно вообще, если это покажется удобным, повернуть сетку на какой-то угол. Для согласования различных систем координат нужно использовать функции перехода, пересчитывающие одну систему координат в другую. Такой подход, что особенно важно, годится и для множеств, которые не являются подмножествами пространства n, например, для исследования всего земного шара или областей, гомеоморфных тору, и т. п. В этом случае мы поступаем так, как это делается в картографии, т. е. мы произвольным образом покрываем множество областями (картами), гомеоморфными областям в n, вводим на этих областях системы координат и указываем отображения перехода между системами координат для подмножеств, попадающих в несколько карт. Для того чтобы функции, гладкие в одной системе координат, оставались гладкими и в другой системе координат, надо, чтобы отображения перехода были гладкими. Дадим теперь формальное определение. Рассмотрим хаусдорфо- во сепарабельное топологическое пространство M. Картой размерности n на M называется пара (U,ϕ), где U ⊂ M — открытое подмножество в M и ϕ: U → n — гомеоморфизм на открытое подмножество ϕ(U) ⊂ n. Карты {(Uα1,ϕα1)} и {(Uα2,ϕα2)} называются пересекающимися, если Uα1 ∩Uα2 ̸=∅. Пересекающимся картам отвечают непустые множества V1 =ϕα1(Uα1 ∩Uα2), V2 =ϕα2(Uα1 ∩Uα2) и гомеоморфизм ϕ1,2 = = ϕα2ϕ−1 α1 : V1 → V2. Отображения ϕ1,2 называются отображениями перехода, переходными отображениями или переходными функциями.
§ . Категория гладких многообразий Гладким атласом на M размерности n называется такое семей- ство карт {(Uα,ϕα) | α ∈ A} размерности n, что α∈A Uα = M и все отображения перехода являются гладкими, т. е. бесконечно диф- ференцируемыми отображениями. Карту (U,ϕ) назовем согласо- ванной с гладким атласом {(Uα,ϕα) | α ∈ A}, если все отображения перехода между картами (U,ϕ) и (Uα,ϕα) являются гладкими. Гладкие атласы {(Uα,ϕα)|α∈A} и {(Uβ,ϕβ)|β ∈B} считаются эк- вивалентными, если их объединение {(Uα,ϕα),(Uβ,ϕβ)|α∈A,β ∈B} также является гладким атласом. Задача .. Докажите, что гладкие атласы {(Uα,ϕα) | α ∈ A} и {(Uβ,ϕβ) | β ∈ B} эквивалентны тогда и только тогда, когда все карты (Uβ,ϕβ) согласованы с атласом {(Uα,ϕα) | α ∈ A}. Класс эквивалентности гладких атласов размерности n называ- ется гладкой структурой размерности n. Многообразие M с гладкой структурой размерности n называется гладким многообразием раз- мерности n. В этом случае мы пишем dim M = n. Приведем несколь- ко простейших примеров гладких многообразий. Пример .. Векторное пространство n обладает естественной картой, превращающей ее в гладкое многообразие. Эта гладкая структура на n называется стандартной. Гладкая структура на n единственна при n ̸= 4, а на 4 имеется континуальное семейство попарно неэквивалентных гладких структур. Пример .. Рассмотрим гладкую функцию f : X → на области X ⊂ n. Ее график Γf = {(x, f(x)) ⊂ n+1 | x ∈ X} обладает естествен- ной картой ϕ: Γf → X, где ϕ(x, f (x)) = x. Эта карта превращает Γf в гладкое многообразие. Задача-пример .. Сфера Sn = x = (x1,…, xn+1) ∈ n+1 | n+1 j=1 (x j)2 = 1 обладает атласом карт (U+ i ,ϕ+ i ), (U− i ,ϕ− i ), где i = 1,…, n + 1. Эти карты состоят из областей U+ i = {x ∈ Sn | xi > 0}, U− i = {x ∈ Sn | xi < 0} и отображений ϕ± i (x1,…, xn+1) = (x1,…, xi−1, xi+1,…, xn+1). Докажи- те, что этот атлас гладкий. Задача-пример .. Зададим структуру гладкого многообразия на проективной плоскости P2. Будем представлять ее как мно- жество прямых в 3, проходящих через начало координат. Каж- дая из прямых задается вектором с координатами (x, y, z), при- чем пропорциональные векторы задают одну и ту же прямую. Рас- смотрим на P2 атлас из трех карт (U1,ϕ1), (U2,ϕ2), (U3,ϕ3), где
.. Морфизмы и изоморфизмы U1 = {(x, y, z) | x ̸= 0}, U2 = {(x, y, z) | y ̸= 0}, U3 = {(x, y, z) | z ̸= 0}, ϕ1(x, y, z) = y x , z x , ϕ2(x, y, z) = x y , z y , ϕ3(x, y, z) = x z , y z . Дока- жите, что этот атлас гладкий. Постройте гладкий атлас для Pn. .. Морфизмы и изоморфизмы Изучим вопрос, какие дополнительные свойства приобретет то- пологическое многообразие M, если зафиксировать на нем гладкий атлас {(Uα,ϕα) | α ∈ A}. В этом случае гомеоморфизм ϕα: U → n позволяет отождествить область Uα c областью в n и считать, что функции на Uα — это обычные функции от n переменных. Отобра- жения перехода между картами позволяют исследовать глобальные свойства отображения. На пересечении двух карт отображение пе- рехода записывается как отображение замены координат. Для любой лежащей в Uα окрестности U ⊂ Uα и точки p ∈ U ⊂ Uα мы можем, в частности, указать, какие отображения области U в пространство k считаются гладкими в точке p. Ввиду гладкости отображений перехода между картами (т. е. гладкости замены ко- ординат в n) множество гладких отображений на U не зависит от того, подмножеством какой конкретно карты Uα считается множе- ство U. По тем же причинам множество гладких отображений не меня- ется при замене гладкого атласа на эквивалентный ему. Таким об- разом, структура гладкого многообразия позволяет выделить среди всех отображений M → k класс гладких отображений и с помощью карт исследовать их методами многомерного математического ана- лиза. Пусть M и N — гладкие многообразия. Рассмотрим отображение F : M → N и карты (U,ϕ), (V,ψ) из гладких атласов многообразий M и N соответственно, причем F(U) ⊂ V. Отображение F называет- ся гладким на U, если отображение ψFϕ−1 : ϕ(U) → ψ(V) является гладким в смысле многомерного анализа. Назовем отображение F гладким в точке p ∈ M, если оно гладкое в некоторой окрестности точки p. Задача .. Докажите, что гладкость отображения в точке не за- висит от выбора карты (V,ψ) и не меняется при замене атласа на эквивалентный. Отображение F : M → N, гладкое в каждой точке, назовем глад- ким отображением. Такие отображения считаются морфизмами в категории гладких многообразий.
§ . Категория гладких многообразий Гладкое отображение f : M → гладкого многообразия M в ве- щественную прямую со стандартной гладкой структурой на ней на- зывается гладкой функцией. Гладкие функции на M образуют алгеб- ру (M). Гомеоморфизм F : M → N между гладкими многообразиями на- зывается диффеоморфизмом, если он и обратный к нему гомеомор- физм F−1: N → M являются гладкими. Другими словами, диффео- морфизм — это изоморфизм в категории гладких многообразий. Гладкие многообразия, между которыми существует диффеомор- физм, называются диффеоморфными. Гладкие функции и отображения на диффеоморфных многооб- разиях обладают одинаковыми свойствами. Задача .. Докажите, что диффеоморфизм F : M → N порождает по формуле f → fF изоморфизм F∗: (N) → (M) между алгебра- ми гладких функций на N и M. Замечание .. Гомеоморфные гладкие многообразия не обя- зательно диффеоморфны, но примеры таких многообразий доста- точно сложны и появляются начиная с размерности 4 (см., напри- мер, []). .. Задание многообразий уравнениями В приложениях гладкие многообразия часто возникают как мно- жества уровня {x ∈ U ⊂ n | f (x) = c} гладких функций f : U → . Сферу Sn из примера . можно рассматривать, например, как мно- жество уровня f (x) = 1 для функции f (x) = (x1)2 + … + (xn+1)2. Однако не все множества уровня являются гладкими многообра- зиями. Пример .. Множество уровня {(x1, x2) ∈ 2 | ( f (x1, x2) = c} функции f (x1, x2) = x2 1 − x2 2 является многообразием при c ̸= 0, но не является многообразием при c = 0. В последнем случае множе- ство уровня является объединением пересекающихся в нуле прямых x1 + x2 = 0, x1 − x2 = 0 и поэтому не имеет карты, содержащей 0. Достаточное условие того, что множество уровня является глад- ким многообразием, следует из теоремы о неявной функции. Она утверждает, что если задана функция f (x), где x = (x1,…, xn), и в некоторой точке x0 = (x1 0,…, xn 0) выполнено условие ∂ f ∂xi (x1 0,…, xn 0) ̸= 0,
.. Задание многообразий уравнениями то в малой окрестности U точки x0 множество уровня {x ∈ U | f (x) = = f (x0)} совпадает с графиком некоторой гладкой функции h = = h(x1,…, xi−1, xi+1,…, xn) на V ⊂ {(x1,…, xi−1, xi+1,…, xn)} = n−1, т. е. {x ∈ U | f (x) = f (x0)} = {x ∈ n | (x1,…, xi−1, xi+1,…, xn) ⊂ V; xi = h(x1,…, xi−1, xi+1,…, xn)}. Пример .. Рассмотрим функцию f (x, y) = y − x2 в окрестно- сти точки (0,0). Поскольку f (0,0) = 0 и ∂ f ∂y (x, y) = 1 ̸= 0, примени- ма теорема о неявной функции. Гарантированную ей функцию h(x) можно задать формулой h(x) = x2. Для нее {(x, y) ∈ 2 | f (x, y) = 0} = {(x, y) ∈ 2 | x ∈ ; y = h(x)}. Теорема .. Рассмотрим гладкую функцию f : n → . Предпо- ложим, что множество уровня Mc = {x ∈ n | f (x) = c}, где c ∈ , непусто. Предположим также, что градиент функции grad f = ∂ f ∂x1 ,…, ∂ f ∂xn не обращается в 0 на Mc. Тогда Mc является гладким многообразием размерности n − 1. Доказательство. Пусть x0 = (x1 0,…, xn 0) ∈ Mc. Так как в точке x0 градиент f не обращается в 0, ∂ f ∂xi (x0) ̸= 0 для некоторого i. Тогда согласно теореме о неявной функции существуют такие • окрестность Ui ⊂ n точки x0, • окрестность Vi ⊂ n−1 точки (x1 0,…, xi−1 0 , xi+1 0 ,…, xn 0), • гладкая функция hi = hi(x1,…, xi−1, xi+1,…, xn) на Vi, что Ui = Mc ∩ Ui = {(x1,…, xn) ∈ n |(x1,…, xi−1, xi+1,…, xn) ∈ Vi; xi = hi(x1,…, xi−1, xi+1,…, xn)}. Положим теперь ˜ϕi(x1,…, xn)=(x1,…, xi−1, xi+1,…, xn) и ϕi= ˜ϕi|Ui. Тогда пара (Ui,ϕi) будет картой в окрестности точки x0. Отображе- ние перехода ϕjϕ−1 i имеет вид (x1,…, xi−1, xi+1,…, xn) → (˜x1,…, ˜x j−1, ˜x j+1,…, ˜xn), где ˜xk = xk при k ̸= i и ˜xi = hi(x1,…, xi−1, xi+1,…, xn), и, следователь- но, оно гладкое.
§ . Категория гладких многообразий В качестве примера используем эту теорему, чтобы определить структуру гладкого многообразия на специальной линейной группе SL(n,) — группе всех квадратных матриц порядка n с определите- лем 1. Группа SL(n,) вложена в множество Mn()={A={aij}|aij∈} всех квадратных матриц A = {aij} порядка n. Множество Mn() можно рассматривать как векторное пространство n2 с коорди- натами {aij}. Тогда группа SL(n,) является множеством уровня {A ∈ SL(n,) | f (A) = 1} функции f (A) = det A. Таким образом, мы определим на SL(n,) структуру гладкого многообразия, если дока- жем, что градиент grad f не обращается в 0 на SL(n,). Докажем сначала, что grad f не обращается в на единичной матрице E. Разложив определитель по строке, получим f (A) = det A = a11 det A11 − a12 det A12 + … + (−1)n+1a1n det A1n, следовательно, ∂ f ∂a11 (A) = det A11. В частности, ∂ f ∂a11 (E) = 1. Рассмотрим теперь произвольную точку A0 ∈ SL(n,). Введем на множестве Mn() новые координаты, сопоставив матрице A ∈ ∈ SL(n,) набор чисел {bij}, представляющий собой матричные элементы матрицы B = A−1 0 A. Тогда набору чисел {bij} отвечает матрица A({bij}) = A0B. С другой стороны, f (A({bij})) = det(A0B) = det(A0)det(B) = det(B) = f (B). Следовательно, ∂ f ∂b11 (B) = ∂ f ∂b11 (A({bij})) = i,j ∂ f ∂aij (A) ∂aij ∂b11 и, в частности, ∂ f ∂b11 (E) = i,j ∂ f ∂aij (A0) ∂aij ∂b11 . Левая часть последнего равенства, как уже доказано, не равна 0. Следовательно, не равен 0 и градиент grad f в точке A0. Теорема . обобщается на случай гладких отображений f = = ( f 1,…, f m): n → m. Роль градиента играет в этом случае мат- рица Якоби df = ∂ f 1 ∂x1 … ∂ f 1 ∂xn ........ ........ ∂ f m ∂x1 … ∂ f m ∂xn .