Математика. Полный курс для девятиклассников с решениями и указаниями

ПОЛНЫЙ КУРС
для девятиклассников
с решениями и указаниями

Москва
Лаборатория знаний
2021

Учебно-методическое пособие

Под редакцией 
М. В. Федотова

МАТЕМАТИКА

Н. Д. Золотарёва, Н. Л. Семендяева,
М. В. Федотов

3-е издание, электронное

УДК 373.3:51
ББК 22.1я729
З-80

Золотарёва Н. Д.
З-80
Математика. Полный курс для девятиклассников с решениями 
и указаниями : учебно-методическое пособие / Н. Д. Зо-
лотарёва, Н. Л. Семендяева, М. В. Федотов ; под редакцией
М. В. Федотова. — 3-е изд., электрон. — М. : Лаборатория знаний, 
2021. — 709 с. — (ВМК МГУ — школе). — Систем. требования: 
Adobe Reader XI ; экран 10". — Загл. с титул. экрана. —
Текст : электронный.
ISBN 978-5-93208-540-0
Настоящее пособие содержит теоретический материал, подборку
задач, а также идеи, указания (подсказки) и решения задач. Пособие
составлено преподавателями факультета ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова.

Рекомендуется школьникам при подготовке к ОГЭ и ЕГЭ (базовый 
уровень и первая часть профильного уровня), учителям математики, 
репетиторам, руководителям кружков и факультативов,
преподавателям подготовительных курсов.
УДК 373.3:51
ББК 22.1я729

Деривативное издание на основе печатного аналога: Математика. 
Полный курс для девятиклассников с решениями и указаниями : 
учебно-методическое пособие / Н. Д. Золотарёва, Н. Л. Се-
мендяева, М. В. Федотов ; под редакцией М. В. Федотова. — 2-е изд.,
испр. — М. : Лаборатория знаний, 2020. — 704 с. : ил. — (ВМК МГУ —
школе). — ISBN 978-5-00101-274-0.

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений,
установленных
техническими
средствами
защиты
авторских
прав,
правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков
или выплаты компенсации

ISBN 978-5-93208-540-0

© Золотарёва Н. Д.,
Семендяева Н. Л.,
Федотов М. В., 2017

© Лаборатория знаний, 2017

Оглавление

От редактора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6

Часть I. Теория и задачи
7

1.
Алгебра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7

1.1.
Целые числа, делимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8

1.2.
Дроби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16

1.3.
Иррациональные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28

1.4.
Буквенные выражения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36

1.5.
Текстовые задачи на движение и работу . . . . . . . . . . . . .
52

1.6.
Текстовые задачи на доли и проценты . . . . . . . . . . . . . .
67

1.7.
Числовые последовательности и прогрессии . . . . . . . . . . .
79

1.8.
Понятие функции. Линейная функция, линейные уравнения,
неравенства, системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90

1.9.
Квадратичная функция. Квадратные уравнения и неравенства105

1.10.
Модуль числа и алгебраического выражения . . . . . . . . . . 121

1.11.
Простейшие степенные функции с рациональным показателем 135

1.12.
Преобразование рациональных выражений, рациональные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
149

1.13.
Рациональные неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

1.14.
Графики функций, графическое решение уравнений
. . . . . 171

1.15.
Задачи с параметрами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

2.
Элементы комбинаторики и теории вероятностей
. . . . . . . . . . . 201

2.1.
Определение вероятности
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

2.2.
Вероятность объединения событий, вероятность пересечения
событий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

2.3.
Элементы комбинаторики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

2.4.
Смешанные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

3.
Планиметрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
3.1.
Точка, прямая, треугольник . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

3.2.
Четырёхугольники
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

3.3.
Геометрическое место точек, простейшие геометрические построения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
224

3.4.
Прямоугольный треугольник и прямоугольная система координат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
228

3.5.
Преобразование подобия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

3.6.
Углы в окружностях, касание окружности и прямой
. . . . . 242

3.7.
Свойства хорд и секущих, смешанные задачи . . . . . . . . . . 247

3.8.
Произвольные треугольники, правильные многоугольники . . 250

3.9.
Площади фигур . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

Часть II. Указания и решения
261

1.
Алгебра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
1.1.
Целые числа, делимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

1.2.
Дроби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

1.3.
Иррациональные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

1.4.
Буквенные выражения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

1.5.
Текстовые задачи на движение и работу . . . . . . . . . . . . . 316

1.6.
Текстовые задачи на доли и проценты . . . . . . . . . . . . . . 337

1.7.
Числовые последовательности и прогрессии . . . . . . . . . . . 360

1.8.
Понятие функции. Линейная функция, линейные уравнения,
неравенства, системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374

1.9.
Квадратичная функция. Квадратные уравнения и неравенства389

1.10.
Модуль числа и алгебраического выражения . . . . . . . . . . 405

1.11.
Простейшие степенные функции с рациональным показателем 421

1.12.
Преобразование рациональных выражений, рациональные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
433

1.13.
Рациональные неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453

1.14.
Графики функций, графическое решение уравнений
. . . . . 473

1.15.
Задачи с параметрами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486

2.
Элементы комбинаторики и теории вероятностей
. . . . . . . . . . . 517

2.1.
Определение вероятности
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517

2.2.
Вероятность объединения событий, вероятность пересечения
событий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526

2.3.
Элементы комбинаторики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535

2.4.
Смешанные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545

3.
Планиметрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554
3.1.
Точка, прямая, треугольник . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554

3.2.
Четырёхугольники
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566

3.3.
Геометрическое место точек, простейшие геометрические построения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
579

3.4.
Прямоугольный треугольник и прямоугольная система коор-
динат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590

3.5.
Преобразование подобия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602

3.6.
Углы в окружностях, касание окружности и прямой
. . . . . 616

3.7.
Свойства хорд и секущих, смешанные задачи . . . . . . . . . . 629

3.8.
Произвольные треугольники, правильные многоугольники . . 643

3.9.
Площади фигур . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 658

Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 677

От редактора

Уважаемый читатель, вы держите в руках одну из книг серии «ВМК МГУ – шко-
ле». Учебно-методические пособия, входящие в эту серию, являются результатом
многолетнего труда коллектива авторов, работающих на подготовительных кур-
сах факультета Вычислительной математики и кибернетики (ВМК) МГУ имени
М.В.Ломоносова.
Ранее были изданы пособия для 11-х классов по математике, физике и ин-
форматике для подготовки к ЕГЭ, олимпиадам и вступительным экзаменам в
вузы. Настоящее пособие продолжает эту серию и предназначено для учащихся
9-х классов для подготовки к сдаче ОГЭ (ранее этот экзамен назывался ГИА) по
математике.
Отличительной особенностью наших пособий является то, что наряду с
традиционными составляющими (теоретический раздел, примеры с решениями,
задачи для самостоятельного решения) мы предлагаем решения предложенных
задач с идеями и последовательными подсказками, помогающими решить зада-
чу оптимальным способом без посторонней помощи. Это позволит ученику само-
стоятельно продвигаться в решении задачи так, как если бы за его спиной стоял
учитель и направлял ход его мысли при решении трудных задач. Конечно, мы
понимаем, что настоящего учителя не может заменить никакая книга, но если
учителя рядом нет, то, как показывает опыт предыдущих изданий, наличие гра-
мотных подсказок помогает учащимся самостоятельно научиться решать задачи.
С другой стороны, наши пособия помогут молодым учителям вести занятия. Мы
знаем на собственном опыте, что не всегда легко направлять ученика так, чтобы
он сам догадался, как решить задачу.
По данному пособию можно начинать готовиться к ОГЭ и заранее, например,
начиная с 8-го класса. Его также можно использовать и в 10-м классе для того,
чтобы начать подготовку к ЕГЭ – тогда будет легче решать задачи из наших
пособий для 11-х классов.

Заместитель декана по учебной работе
факультета ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова,
доцент кафедры математической физики
М. В. Федотов

Предисловие

Настоящее пособие составлено преподавателями факультета ВМК МГУ имени
М. В. Ломоносова. Курс рассчитан на закрепление школьного материала и приоб-
ретение навыков, необходимых для решения задач ОГЭ и ЕГЭ (базового уровня
и первой части профильного уровня).
Предлагаемый курс изначально не предполагает знаний, выходящих за рам-
ки базовой школьной программы. Все приёмы, необходимые для решения задач,
демонстрируются по ходу изучения материала.
Задачи в разделах расположены по принципу «от простого – к сложному».
Аналогичная ситуация имеет место и с последовательностью разделов, поэтому
сами разделы и задачи в разделах рекомендуется изучать в предложенном поряд-
ке. Приступать к решению задач надо после изучения соответствующего теоре-
тического материала и разбора примеров. Если самостоятельное решение задачи
вызывает трудности, рекомендуется воспользоваться системой указаний (подска-
зок). В случае, если вам не удалось получить правильный ответ или у вас возникли
сомнения в правильности вашего решения, рекомендуется изучить решение, пред-
ложенное авторами.
Необходимо отметить, что в реальных экзаменационных заданиях в форму-
лировках задач наряду с математически более корректной терминологией типа
«длина отрезка AB равна 5» и записью |AB| = 5 используется школьная тер-
минология типа «отрезок AB равен 5» и запись AB = 5. По этой причине в
формулировках задач также встречаются оба вида терминологии.

Рекомендуется школьникам при подготовке к ОГЭ и ЕГЭ (базовый уровень и
первая часть профильного уровня), учителям математики, репетиторам, руково-
дителям кружков и факультативов, преподавателям подготовительных курсов.

Желаем удачи!

Часть I. Теория и задачи

1.
Алгебра

Современный цивилизованный мир применяет для представления чисел преиму-
щественно арабские цифры. Арабские цифры – традиционное название десяти чис-
ловых знаков индийского происхождения {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}, которые исполь-
зуются для позиционной записи десятичного числа. Арабские цифры появились
в южной Индии не позднее V века, были позаимствованы сначала персами, а за-
тем арабами, и в изменённом виде, адаптированном к арабскому письму, были
перенесены в Европу в X веке.

В это время в Европе использовалась римская нумерация. Римские цифры –
семь букв латинского алфавита {I;V;X;L;C;D;M}, которые применяются для обо-
значения десятичных разрядов и их половин. Цифре I соответствует число 1,
цифре V – число 5, цифре X – число 10, и так далее. При записи числа необ-
ходимо следовать двум правилам: если б´ольшая цифра стоит перед меньшей, то
они складываются; если же, напротив, б´ольшая цифра следует за меньшей, то
берётся разность.

Римская нумерация – одна из самых древних. Справедливости ради следует
отметить, что она была придумана отнюдь не древними римлянами, а этруска-
ми. Произошло это около 500 года до нашей эры. И в настоящее время римские
цифры используются в разных областях (например, для обозначения времени на
циферблатах часов, столетий, производных небольших порядков, при нумерации
страниц в предисловии книг, в нумерованных списках и др.). Римскими цифрами
нумеруют события, имеющие большую значимость – олимпиады, конгрессы, кон-
ференции. Исключительно римские цифры используют для нумерации монархов.

Однако непозиционная римская система счисления лишена многих преиму-
ществ, которыми обладают арабские цифры и основанная на них позиционная де-
сятичная система счисления. Именно поэтому арабские цифры достаточно быстро
заняли своё место в средневековой Европе. Введение арабских цифр дало мощный
импульс развитию естественных наук – математики и физики, астрономии и гео-
графии. В XVIII веке при Петре I десятичная система счисления окончательно
утвердилась и на Руси, заменив славянскую нумерацию, созданную греческими
монахами Кириллом (827—869) и Мефодием (815—885) в IX веке.

В данном учебном пособии для записи чисел используются преимущественно
арабские цифры. В разделе 1.1 будут рассмотрены множество целых чисел и его
подмножества – натуральные, простые, составные числа.

7

Теория и задачи

1.1.
Целые числа, делимость

Теоретический материал

О п р е д е л е н и е. Числа 1, 2, 3, ..., употребляемые для счёта, называются нату-
ральными. Множество натуральных чисел обозначается символом N. Множе-
ство, состоящее из натуральных чисел и нуля, будем обозначать через N0.

Сумма и произведение двух натуральных чисел есть натуральные числа. Другими 
словами, множество натуральных чисел замкнуто относительно операций
сложения и умножения. Разность и частное двух натуральных чисел не всегда
принадлежат N.
Если число n представимо в виде произведения двух натуральных чисел m
и k, то есть n = m · k, то говорят, что число n делится (нацело) на m и на k.
Данное свойство называют делимостью числа n на число m и на число k. При
этом каждое из чисел m и k называется делителем числа n.

Для обозначения делимости нацело используется знак
... . Запись n
... k означает,

что число n кратно числу k. Например, 205 ... 5, то есть число 205 делится нацело

на число 5, или 572 ... 13 (число 572 кратно числу 13).

З а м е ч а н и е 1.
Определение делимости нацело распространяется на множество
N0, а также на множество целых чисел. В частности, если n ∈ N0 , то из определения 
делимости нацело следует, что число 0 делится нацело на любое натуральное
число.

О п р е д е л е н и е. Натуральное число, большее единицы, называется простым,
если оно не имеет других делителей, кроме единицы и самого себя. Например,
числа 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 простые.

О п р е д е л е н и е.
Натуральное число называется составным, если оно имеет
хотя бы один делитель, отличный от единицы и самого себя. Например, числа
8, 15, 21, 22, 39, 51 составные.

О п р е д е л е н и е. Если составное число n делится (нацело) на число 2, оно на-
зывается чётным. Любое чётное число может быть представлено в виде n = 2k,
где k ∈ N.

Множество чётных чисел замкнуто относительно операций сложения и умноже-
ния, то есть сумма и произведение двух чётных чисел есть чётное число.

О п р е д е л е н и е. Если натуральное число не делится (нацело) на 2, оно назы-
вается нечётным. Нечётное число может быть представлено в виде n = 2l − 1,
где l ∈ N. Заметим, что все простые числа, за исключением числа 2, являются
нечётными. Нечётными являются и многие составные числа, например 27, 33, 65.

Множество нечётных чисел замкнуто относительно операции умножения, то есть
произведение двух нечётных чисел есть нечётное число.

В общем случае чётность или нечётность суммы и произведения двух натуральных
чисел определяются в соответствии со следующими замечаниями.

З а м е ч а н и е 2. Сумма двух чисел одинаковой чётности (либо оба числа чётные,
либо оба нечётные) всегда чётна. Сумма двух чисел различной чётности (одно
число чётное, второе нечётное) всегда нечётна.

1.1.
Целые числа, делимость
9

З а м е ч а н и е 3. Если хотя бы один из двух множителей является чётным числом,
то произведение этих чисел чётно; если оба числа нечётные, то их произведение
нечётно.

Для доказательства замечаний 2 и 3 достаточно представить чётное число в
виде 2k, нечётное число в виде 2l − 1 и определить, в каком из этих двух видов
можно представить результат соответствующего арифметического действия.

Утверждение (основная теорема арифметики). Каждое натуральное число,
кроме единицы, можно разложить на простые множители, то есть представить
в виде
n = pm1
1
· pm2
2
· ... · pmk
k ,

где p1, p2, ..., pk – простые числа, k, m1, m2, ..., mk – натуральные числа. Напри-
мер, 180 = 22 · 32 · 51.

Указанное представление составного числа называют его каноническим раз-
ложением. Каноническое разложение единственно с точностью до перестановки
множителей в правой части равенства.
При изучении свойств натуральных чисел удобно использовать позиционную
запись натурального числа n в десятичной системе счисления:

n = ak ak−1 ak−2 ... a2 a1 a0,

где ak , ak−1 , ... , a1 , a0 – цифры, причём ak ̸= 0.

Основные признаки делимости натуральных чисел1

1.
n ... 2 ⇐⇒ a0
... 2.

2.
n ... 4 ⇐⇒ a1 a0
... 4.

3.
n
... 8 ⇐⇒ a2 a1 a0
... 8.

4.
n ... 3 ⇐⇒ ak + ak−1 + ... + a1 + a0
... 3.

5.
n ... 9 ⇐⇒ ak + ak−1 + ... + a1 + a0
... 9.

6.
n ... 5 ⇐⇒ a0
... 5.

7.
n
... 25 ⇐⇒ a1 a0
... 25.

8.
n ... 125 ⇐⇒ a2 a1 a0
... 125.

9.
n ... 10 ⇐⇒ a0 = 0.

10.
n
... 100 ⇐⇒ a1 = 0, a0 = 0.

Основные свойства делимости натуральных чисел

1.
n ... d =⇒ m · n ... d.

2.
m ... d, n ... d =⇒ m + n ... d, m − n ... d.

1В формулировках признаков делимости под записью
0 ak−1...
подразумевается число

ak−1... .

Теория и задачи

3.
m ... p, n ... q =⇒ m · n ... p · q.

4.
m ... n, n ... p =⇒ m ... p.

О п р е д е л е н и е. Если натуральные числа n1 и n2 делятся нацело на одно и то
же натуральное число m, то число m называют их общим делителем.

О п р е д е л е н и е. Наибольшее натуральное число, на которое нацело делятся на-
туральные числа n1 и n2 , называется их наибольшим общим делителем и обо-
значается НОД(n1, n2).

Правило нахождения НОД(n1, n2):

• найти каноническое разложение чисел n1 и n2;

• выписать все общие простые множители, входящие в каноническое разложе-
ние каждого из чисел n1 и n2 ;

• возвести каждый из выписанных в предыдущем пункте простых сомножи-
телей в наименьшую степень, с которой этот множитель входит в канони-
ческое разложение чисел n1 и n2;

• произведение полученных степеней даёт НОД(n1, n2).

Если НОД(n1, n2) = 1, то числа n1 и n2 называются взаимно простыми.

О п р е д е л е н и е. Наименьшее натуральное число, которое нацело делится на на-
туральные числа n1 и n2, называется их наименьшим общим кратным и обозна-
чается НОК(n1, n2).

Правило нахождения НОК(n1, n2):

• найти каноническое разложение чисел n1 и n2;

• выписать все общие простые множители, входящие в каноническое разложе-
ние хотя бы одного из чисел n1 и n2;

• возвести каждый из выписанных в предыдущем пункте простых сомножите-
лей в наибольшую степень, с которой этот множитель входит в каноническое
разложение чисел n1 и n2;

• произведение полученных степеней даёт НОК(n1, n2).

Для любых двух натуральных чисел n1, n2 справедливо равенство

НОД(n1, n2) · НОК(n1, n2) = n1 · n2.

О п р е д е л е н и е. Множество, состоящее из натуральных чисел n, нуля и отрица-
тельных чисел −n (целых отрицательных чисел), называется множеством целых
чисел и обозначается символом Z.

Множество целых чисел замкнуто относительно операций сложения, вычи-
тания и умножения.

О п р е д е л е н и е. Два числа a и b равны, если их разность a − b равна нулю.

1.1.
Целые числа, делимость
11

Свойства числовых равенств

1.
a = b, b = c
=⇒
a = c (транзитивность).
2.
a = b, c = d
=⇒
a + c = b + d.
3.
a = b, c = d
=⇒
ac = bd.
4.
a = b
=⇒
a + c = b + c
для любого c.
5.
a = b, c ̸= 0
=⇒
ac = bc.

О п р е д е л е н и е. Число a больше числа b, если разность a − b положительна.

О п р е д е л е н и е. Число a меньше числа b, если разность a − b отрицательна.

О п р е д е л е н и е. Говорят, что справедливо двойное неравенство a > b > c, если
одновременно справедливы неравенства a > b и b > c.

Свойства строгих числовых неравенств

1.
a > b > c
=⇒
a > c (транзитивность).
2.
a > b
⇐⇒
a + c > b + c для любого c.
3.
a > b,
c > d
=⇒
a + c > b + d (возможность почленного сложения
неравенств одинакового смысла).
4.
a > b,
c < d
=⇒
a − c > b − d (возможность почленного вычитания
неравенств противоположного смысла).
5.
a > b, c > 0
⇐⇒
ac > bc.
6.
a > b, c < 0
⇐⇒
ac < bc.
7.
a > b > 0, c > d > 0
=⇒
ac > bd (возможность почленного умножения
неравенств одинакового смысла для положительных чисел).
8.
an > bn, a > 0, b > 0, n ∈ N
⇐⇒
a > b > 0 (возможность почленного
умножения n одинаковых неравенств для положительных чисел).

9.
a > b > 0,
0 < c < d
=⇒
a
c > b

d (возможность почленного деления

неравенств противоположного смысла для положительных чисел).

З а м е ч а н и е 4. Приведённые свойства числовых равенств и неравенств справедливы 
не только для целых чисел, но и для любых действительных чисел.

При сравнении двух чисел a и b составляется так называемое формальное
неравенство a ∨ b. Символом ∨ обозначен знак неравенства, который должен
быть определён. Далее алгебраическими преобразованиями, не меняющими знака
неравенства, формальное неравенство сводится к очевидному.
При исследовании делимости и решении уравнений в целых числах могут оказаться 
полезными формулы сокращённого умножения:

a2 − b2 = (a + b)(a − b);
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2;
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2;
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3;
(a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3;
a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2);
a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2).
Пусть при решении уравнения в целых числах удалось представить его в виде
равенства, в левой части которого стоит произведение нескольких множителей с
целочисленными коэффициентами, а в правой – целое число. Далее необходимо
разложить число в правой части на множители, рассмотреть всевозможные комбинации 
значений множителей левой части и решить полученные системы уравнений
на множестве целых чисел.

Теория и задачи

Примеры решения задач

П р и м е р 1. Какое из указанных чисел делится на 4?
1) 12345
2) 67890
3) 23456
4) 78902

Р е ш е н и е. Прежде всего исключим из рассмотрения нечётное число 12345. Да-
лее воспользуемся признаком делимости натурального числа на 4. Рассмотрим
число, состоящее из двух последних цифр каждого из трёх оставшихся пятизнач-
ных чисел, и определим, делится ли оно на 4:
• 90 = 4 · 22 + 2, следовательно, второе число не делится на 4;
• 56 = 4 · 14, значит, 23456 ... 4;
• 02 = 4 · 0 + 2, четвёртое число не делится на 4 нацело.
Итак, на 4 делится число 23456, правильный ответ приведён под номером 3.

О т в е т.1 3.

П р и м е р 2. Найти все числа вида 6XX3Y , делящиеся на 12.

Р е ш е н и е. Заметим, что 12 = 3 · 4. Значит, исходное пятизначное число должно
делиться и на 3, и на 4.
Согласно признаку делимости на 4 двузначное число 3Y , состоящее из двух
последних цифр исходного числа, должно делиться на 4. Таких чисел два: 32 и
36. Значит, Y = 2 или Y = 6.
Далее воспользуемся признаком делимости на 3.

1)
При Y = 2 сумма цифр исходного числа есть

6 + X + X + 3 + 2 = 11 + 2X = 9 + 2(1 + X).

Исходное число будет делиться на 3, если сумма 1 + X будет кратна 3, то есть
при X = 2, X = 5 или X = 8.

2)
При Y = 6 сумма цифр исходного числа есть

6 + X + X + 3 + 6 = 15 + 2X.

Исходное число будет делиться на 3, если слагаемое 2X будет кратно 3. Это
возможно при X = 0, X = 3, X = 6 или X = 9.
Итак, на 12 делятся числа 62232, 65532, 68832, 60036, 63336, 66636 и 69936.

О т в е т. 62232, 65532, 68832, 60036, 63336, 66636, 69936.

П р и м е р 3. Сравните числа 1020 и 9010.

Р е ш е н и е. Составим формальное неравенство:

1020
∨
9010

(102)10
∨
9010

10010
∨
9010.

Далее воспользуемся свойством 8 о возможности почленного умножения n оди-
наковых неравенств для положительных чисел и перейдём к равносильному оче-
видному неравенству
100 > 90.

1В задачах с выбором варианта ответа в ответ пишется номер правильного варианта.