Методы оптимальных решений

МЕТОДЫ 

ОПТИМАЛЬНЫХ

РЕШЕНИЙ

И.Н. МАСТЯЕВА, Г.И. ГОРЕМЫКИНА
О.Н. СЕМЕНИХИНА

УЧЕБНИК

Москва

КУРС

ИНФРА-М

УДК 519.8+330.45(075.8)
ББК 22.18+65.050я73
 
М32

Мастяева И.Н., Горемыкина Г.И., Семенихина О.Н.
Методы оптимальных решений: учебник. — И.Н. Мастяева, 

ISBN 978-5-905554-24-7 
(КУРС) 

ISBN 978-5-16-011361-6 
(ИНФРА-М, print)

ISBN 978-5-16-103557-3 
(ИНФРА-М, online)

В учебнике рассмотрены основные  методы оптимальных решений: 
линейные, целочисленные, нелинейные. Описаны многокритериальные, 
многошаговые модели, а также модели массового обслуживания, 
модели управления запасами, имитационные модели. 
Рассмотрено применение методов нечеткой математики. Приведены 
примеры в области экономики и прикладной информатики. Инструментальная 
поддержка учебного процесса по изучению предлагаемого 
в пособии материала произведена на основе современных программных 
средств. 

Для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению 
38.03.01 (080100) «Экономика». Соответствует рабочей 
программе дисциплины «Методы оптимальных решений». Представляет 
интерес также для студентов и магистрантов, обучающихся по 
направлениям «Прикладная информатика», «Бизнес-информатика», 
«Информатика и вычислительная техника», а также для слушателей 
системы послевузовского образования, повышения квалификации и 
переподготовки кадров.

УДК 519.8+330.45(075.8)
ББК 22.18+65.050я73

М32

© Мастяева И.Н., Горемыкина Г.И., 
     Семенихина О.Н., 2016
© КУРС, 2016

ISBN 978-5-905554-24-7 (КУРС) 
ISBN 978-5-16-011361-6 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-103557-3 (ИНФРА-М, online)

Р е ц е н з е н т ы :

И.В. Орлова — канд. экон. наук, профессор, профессор кафедры системного 
анализа и моделирования экономических процессов, Финансовый университет 
при Правительстве Российской Федерации;

Е.Ю. Хрусталёв — д-р экон. наук, профессор, главный научный сотрудник, 

ФГБУН «Центральный экономико-математический институт Российской 
академии наук (ЦЭМИ РАН)».

ФЗ

№ 436-ф3

Издание не подлежит маркировке
в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Учебник отражает содержание лекционного курса «Методы оптимальных решений», читавшегося авторами на протяжении ряда 
лет студентам и магистрантам Московского государственного университета экономики, статистики и информатики. 
В главе 1 изложено решение линейных задач графическим и симплексным методами; проведено исследование линейных моделей с помощью теории двойственности. В главе 2 рассмотрены специальные 
задачи линейного программирования: транспортная, целочисленная, 
задача коммивояжёра. В главе 3 приведены различные постановки и 
соответствующие им методы решения задач нелинейного программирования. В главе 4 рассматриваются многокритериальные модели принятия решений при условии линейности целевых функций и системы 
ограничений. В главе 5 изучаются модели принятия решений на многошаговом управляемом процессе. В главе 6 анализируются модели 
принятия оптимальных решений в логистической системе управления 
запасами на основе оценки эффективности ее функционирования. В 
главе 7 рассматривается имитационное моделирование как один из 
наиболее эффективных методов исследования сложных систем при 
условии стохастической неопределённости исходных параметров моделирования. В главе 8 изучается моделирование в условиях риска и 
неопределённости, описываемых с позиций нечеткой логики и теории 
нечетких множеств. Материалы главы 8 основаны на современных результатах исследований, в том числе на собственных работах авторов.  
Теоретический материал иллюстрируется графической интерпретацией и большим количеством специально подобранных примеров. 
Для автоматизации вычислений авторами используются инструментальные среды Excel и MatLab. 
Учебник предназначен для студентов и магистрантов, обучающихся по направлениям «Экономика», «Прикладная информатика», 
«Бизнесинформатика», «Информатика и вычислительная техника». 
Оно будет полезно слушателям системы послевузовского образования, 
повышения квалификации и переподготовки кадров.  

Авторы выражают благодарность профессорам Е.Ю. Хрусталеву и 
И.В. Орловой за полезные замечания, высказанные ими при рецензировании рукописи. 

ВВЕДЕНИЕ 

Дисциплина «Методы оптимальных решений» изучает математические модели задач принятия решений, а также методы нахождения 
оптимальных решений, в том числе, с использованием современных 
компьютерных средств и прикладного обеспечения. 
Реальные объекты слишком сложны, поэтому для их изучения создают модели — копии изучаемых реальных объектов. С одной стороны, модели должны быть доступны для изучения, в силу чего они не 
должны быть слишком сложными, значит, они неминуемо будут лишь 
упрощенными копиями. Но, с другой стороны, выводы, полученные 
при их изучении, необходимо распространить на реальные объектыпрототипы, следовательно, модель должна отражать существенные 
черты изучаемого реального объекта. 
В силу такой двойственности создание моделей во многом является искусством. Чем удачнее будет построена модель, тем успешнее будет ее исследование и полезнее вытекающие из этого исследования 
выводы и рекомендации. В научном исследовании используются самые различные модели: натуральные и абстрактные, физические и математические. 
В общем виде модель можно определить как условный образ (упрощенное изображение) реального объекта (процесса), который создается для более глубокого изучения действительности. Метод исследования, базирующийся на разработке и использовании моделей, называется моделированием. Необходимость моделирования обусловлена 
сложностью, а порой и невозможностью прямого изучения реального 
объекта (процесса). Значительно доступнее создавать и изучать прообразы реальных объектов (процессов), т.е. модели. 
 

Математическое моделирование 

Составление математических моделей называется математическим 
моделированием. Математика имеет дело не с реальным объектом, а с 
его математической моделью. Математическая формализация проблемы — это 50% успеха на пути к ее решению. Трудность состоит в том, 
чтобы избежать ненужной детализации, сохранить значимые условия и 
сформулировать задачу в виде одной из типовых моделей. Чтобы положиться на теорию оптимизации, необходима убежденность в полезности системного математического подхода к управлению. 
Именно через составление математических моделей применяется 
математика научных исследований, в частности в экономических науках. 
Математическое моделирование экономических процессов есть 
наиболее эффективное средство решения различных проблем. 
Современный аппарат математических методов для решения экономических и управленческих задач превратился в самостоятельную 
научную и прикладную области. Кроме того, возможности вычислительной техники и созданного программного обеспечения позволяют 
руководителю остановиться только на математической формализации 
проблемы, после чего решение превращается в использование имеющихся компьютерных программ. Однако умение формализовать возникающую проблему требует особой методологии рассмотрения ситуации. 
Математическое моделирование — это теоретикоэкспериментальный метод познавательносозидательной деятельности, метод исследования и объяснения явлений, процессов и систем (объектоворигиналов) на основе создания новых объектов — математических 
моделей.  
Под математической моделью принято понимать совокупность соотношений — уравнений, неравенств, логических условий, операторов 
и т.п., — определяющих характеристики состояний объекта моделирования, а через них и выходные значения параметров реакции, в зависимости от значений параметров объектаоригинала, входных действий, начальных и граничных условий, а также времени. 

Математическая модель, как правило, учитывает лишь те свойства 
(атрибуты) объектаоригинала, которые отражают, определяют и представляют интерес с точки зрения целей и задач конкретного исследования. В зависимости от целей моделирования при рассмотрении одного и 
того же объектаоригинала могут иметь место различные математические описания и, как следствие, различные математические модели. 
Математическая модель — это формальная система, представляющая собой конечное собрание символов и правил оперирования ими в 
совокупности с интерпретацией свойств определенного объекта некоторыми отношениями, символами или константами. 
Последовательность моделирования представляет собой итерационную процедуру, которая предусматривает и позволяет провести коррекцию после каждого этапа и вернуться к любому из предшествующих, а затем продолжить анализ.  

Основные этапы построения модели 

1. Постановка задачи (ПЗ).  
2. Построение математической модели (ПММ). 
2.1. Идентификация переменных (определение управляемых и 
неуправляемых переменных задачи) операции. 
2.2. Формализация цели операции (построение целевой функции). 
2.3. Формализация ограничений задачи (операции). 
3. Анализ модели (решение модели с помощью выбранного метода). 
3.1. Выбор метода решения. 
3.2. Преобразование модели. 
3.3. Получение решения задачи. 
4. Анализ решения (анализ решения на чувствительность). 
5. Проверка модели на адекватность. 
6. Реализация полученного решения. 

Краткое описание каждого этапа 

1–2. Постановка задачи является одним из наиболее важных этапов. Здесь необходимо определить цель, преследуемую субъектом 
управления, и установить, значение каких характеристик исследуемой 

системы (процесса) можно варьировать (управляемые переменные), а 
изменение значений каких переменных не зависит от решений ЛПР 
(неуправляемые). Кроме того, на данном этапе необходимо определить 
требования, условия и ограничения на исследуемую операцию. На этом 
же этапе должны быть решены проблемы информационного обеспечения модели. Здесь же необходимо выбрать модель, наиболее подходящую для адекватного описания исследуемой системы (процесса). Например, простейшая математическая модель оптимизации состоит в 
следующем. Имеется множество X стратегий x, на котором определена 
скалярная числовая функция (x) — целевая функция. Принцип оптимальности соответствует максимизации (минимизации) (x). Это означает, что оптимальной является такая стратегия x*X, для которой  

(
)
( *)
max
( *)
( *)
max
( *)
x X
x X
F x
F x
F x
F x
∈
∈
=
=
 

3. Анализ модели обычно производится с помощью методов математического программирования. 
4. На этом этапе рассматривается важнейшая с точки зрения практики проблема анализа оптимального решения с целью принятия адекватного управленческого решения. Хотя и сам по себе оптимальный 
план чрезвычайно полезен, часто бывает интересно знать, как можно 
изменить те или иные параметры системы, чтобы улучшить решение, 
получить еще большую прибыль, уменьшить издержки или усовершенствовать стратегию управления организацией. Анализ решения, или 
анализ на чувствительность — это процесс, реализуемый после того, 
как оптимальное решение задачи получено. В рамках такого анализа 
выявляется чувствительность оптимального решения к определенным 
изменениям исходной модели, т.е. фактически рассматривается совокупность моделей, что придает исследуемой операции определенную 
динамичность.  
Таким образом, многие параметры модели могут и должны изменяться с целью поиска путей улучшения работы системы. Поскольку 
изменение параметров модели часто связано с привлечением дополнительных ресурсов, необходимо ответить на ряд вопросов: 

 какой ресурс сильнее всего влияет на изменение прибыли (издержек); 
 как изменятся решение и целевая функция при изменении количества того или иного ресурса; 
 если какойнибудь продукт не входит в оптимальный план, а по 
каким не формализуемым причинам желательно, чтоб он в него входил, 
то какой параметр и в каком направлении следует изменить? И т.д. 
5. Проверка модели на адекватность (ПМА). 
Если ЛПР при анализе решения видит, что полученное решение 
правильно, и адекватно реагирует на изменение входных данных, то 
это уже является подтверждением адекватности модели и полученного 
решения. 
ПМА может происходить поразному. ЛПР может иметь какойто 
свой опыт в принятии решений данной проблемы, может сопоставлять 
полученное решение со своим пониманием решения поставленной 
задачи. Если полученное решение устраивает, то можно переходить к 
последнему шагу. 
Решение, полученное при помощи анализа модели, не может, однако, непосредственно быть рекомендовано для практической реализации. Математическая модель, как и любая другая, лишь частично отображает действительность, акцентирует отдельные ее аспекты. Адекватность модели и, следовательно, качество полученного результата можно 
проверить, сопоставляя результаты, установленные без использования 
модели, с результатами, вытекающими из анализа модели.  
Если модель проверку на адекватность не прошла, то можно перейти к тому шагу алгоритма, который и дал этот сбой (т.е. неадекватность). 
6. Реализация полученного решения. 
 

Примеры моделирования 

Пример 1. 
Шаг 1. Постановка задачи. 
Предлагается купить товар весом 100 кг. Первоначально было определено процентное содержание в товаре жидкости, которое состав

ляло 99%. На момент оформления покупки, за счет усушки, доля жидкости уменьшилась до 96%. Необходимо рассчитать, сколько весит 
предлагаемый товар на данный момент.  
Шаг 2. 
2.1. Обозначим через х (кг) вес товара на данный момент — управляемая переменная. 
Исходная информация: 100 кг, 99%, 96% — неуправляемые переменные. 
2.2. В данной задаче отсутствует формализуемая цель. 
2.3. Первоначальное соотношение воды и сухого вещества в исходных 100 кг задается соотношением: 

100 кг = 99 кг (воды) + 1 кг (сухого вещества).                (1) 

На момент оформления покупки данное соотношение приняло 
вид: 

x = 0,96х кг (воды) + 0,04х кг (сухого вещества),             (2) 

где попрежнему (изза неизменности веса сухого вещества) 

0,04х кг (сухого вещества теперь) = 
1 кг (сухого вещества до усушки)                           (3) 

Соотношения (1)–(3) являются ограничениями задачи. 
Шаг 3. 
3.3. Из соотношения (3) находим, что х = 1/0,04 = 25 кг — вес товара на данный момент. 
Шаги 4, 5, 6. Сделаем проверку: 
0,96 25 
24
⋅
=
 кг (воды); 0,04 25
1
⋅
=
 кг (сухого вещества), что и 

доказывает адекватность полученного решения.  
В рассмотренном примере, как и во многих других практических 
экономических задачах, нет необходимости производить оптимизацию. Требуется произвести лишь правильный расчет необходимого 
показателя — получить единственно возможное решение. 
Следующая задача потребует выполнить оптимизацию.  
 
 

Пример 2. 
Шаг 1. Постановка задачи. 
Вы стали обладателем 27 одинаковых по размеру и внешнему виду 
бриллиантов. В сертификате указано, что один из них весит на незначительную величину меньше, чем остальные. Вес камней неизвестен. 
Желая отбраковать неполноценный камень, вы попросили ювелира 
произвести взвешивание бриллиантов. Каждое определение веса на 
высокоточных весах стоит 100 рублей. Требуется минимизировать затраты на данную процедуру. 
Приступим к процедуре расчёта.     
Экономический смысл задачи — найти фальшивый бриллиант с 
минимальными расходами на взвешивание. Отсюда цель операции — 
определение минимального числа взвешиваний, достаточного для выявления подделки. 
Число взвешиваний связано как с количеством исследуемых 
бриллиантов, так и с порядком разделения их на части для поочередного взвешивания. Поскольку мы имеем дело с чашечными весами, 
взвешивание должно производиться путем раскладки различных количеств по чашкам весов. Если при равных количествах камней на обеих 
чашах весы уравновешиваются, значит, подделка находится среди тех 
камней, которые исключены из взвешивания. Если же груз на одной из 
чашек оказался легче, чем на другой, значит, там и находится фальшивый камень. Самый простой способ поиска — уложить на одну чашу 
какойнибудь из камней, а на другую поочередно класть остальные 26 
бриллиантов. Это потребует максимального числа взвешиваний — 26. 
Однако интересен не максимум, а минимум. Поэтому такой перебор (его называют сплошным или «слепым») нас явно не устраивает. 
Следует искать способ более рационального выбора, ведущего к 
уменьшению количества взвешиваний. Таким образом, достижение 
поставленной цели зависит от выбора такого разделения камней при 
взвешивании, при котором количество взвешиваний окажется минимальным. Основным показателем, от которого зависит достижение 
поставленной цели, является минимум количества взвешиваний, при