Школьные олимпиады СПбГУ 2021. Математика
Покупка
Основная коллекция
Тематика:
Математика. Высшая математика
Издательство:
Санкт-Петербургский государственный университет
Год издания: 2022
Кол-во страниц: 120
Дополнительно
Вид издания:
Учебно-методическая литература
Уровень образования:
Среднее общее образование
ISBN: 978-5-288-06226-1
Артикул: 794348.01.99
Доступ онлайн
В корзину
В пособии представлены примеры заданий отборочного и заключительного этапов Олимпиады школьников СПбГУ по математике за 2020/2021 учебный год. Все задачи сопровождаются подробными решениями; также даются общие методические указания с разбором типичных ошибок участников.
Издание предназначено для подготовки к участию в Олимпиадах школьников СПбГУ.
Тематика:
ББК:
УДК:
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ШКОЛЬНЫЕ ОЛИМПИАДЫ СПбГУ 2021 МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие ИЗДАТЕЛЬСТВО САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
УДК 51 ББК 22.1 Ш673 С о с т а в и т е л и: Н. Ю. Власова, М. В. Гончарова, А. Л. Громов, А. В. Дементьев, Т. О. Евдокимова, К. П. Кохась, К. Ю. Лавров, А. Г. Савельева, К. А. Сухов, А. И. Храбров Ш673 Школьные олимпиады СПбГУ 2021. Математика: учеб.-метод. пособие. — СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2022. — 120 с. ISBN 978-5-288-06226-1 В пособии представлены примеры заданий отборочного и заключительного этапов Олимпиады школьников СПбГУ по математике за 2020/2021 учебный год. Все задачи сопровождаются подробными решениями; также даются общие методические указания с разбором типичных ошибок участников. Издание предназначено для подготовки к участию в Олимпиадах школьников СПбГУ. УДК 51 ББК 22.1 ISBN 978-5-288-06226-1 c⃝ Санкт-Петербургский государственный университет, 2022
СОДЕРЖАНИЕ Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 История Олимпиады школьников СПбГУ по математике. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Порядок проведения Олимпиады .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Условия задач. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Отборочный этап. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 6–7-й классы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 8–9-й классы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 10–11-й классы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Заключительный этап. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 6–7-й классы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 8–9-й классы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 10–11-й классы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Ответы и решения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Отборочный этап. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 6–7-й классы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 8–9-й классы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 10–11-й классы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Заключительный этап. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 6–7-й классы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 8–9-й классы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 10–11-й классы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Общие методические указания и типичные ошибки участников. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Литература, рекомендуемая для подготовки к Олимпиаде . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
ПРЕДИСЛОВИЕ Олимпиада по математике для школьников, которую Санкт-Петербургский государственный университет проводит ежегодно вот уже более 30 лет, даёт возможность участникам проверить и оценить свои знания и силы. Задания Олимпиа- ды, хотя и являются нестандартными, основаны на школьной программе, поэтому их интересно решать учащимся с разным уровнем подготовки — каждый год в Олимпиаде принимают участие тысячи ребят из разных регионов. В настоящий сборник вошли задачи отборочного и заклю- чительного этапов Олимпиады школьников СПбГУ по матема- тике за 2020/2021 учебный год. В разделы с условиями и реше- ниями заданий отборочного этапа включены отдельные, наи- более интересные по мнению составителей, задачи этого этапа. Они разбиты на группы в соответствии со сложностью (10, 20, 30, 40 или 50 баллов). В разделах, которые посвящены заклю- чительному этапу, приведён полный набор вариантов заданий этого этапа. Все задачи, представленные в сборнике, сопровож- даются ответами и подробными решениями; для некоторых за- дач приводятся два или три способа решения. Кроме того, да- ются общие методические указания и разбор типичных оши- бок, которые были сделаны участниками при решении заданий Олимпиады. Олимпиада школьников СПбГУ по математике вот уже ко- торый год подряд получает первый — самый высокий — уро- вень в перечне олимпиад школьников, утверждаемом Мини- стерством науки и высшего образования РФ. Это даёт возмож- ность победителям и призёрам заключительного этапа Олим- пиады претендовать на получение особых прав при поступле- нии в высшие учебные заведения. Данное издание предназначено для подготовки к участию в олимпиадах школьников по математике и может быть полез- но как учащимся, так и преподавателям. 5
ИСТОРИЯ ОЛИМПИАДЫ ШКОЛЬНИКОВ СПбГУ ПО МАТЕМАТИКЕ На протяжении всего времени своего существования Санкт- Петербургский (Ленинградский) государственный университет традиционно уделял большое внимание привлечению в Универ- ситет способной молодёжи. Особую роль в этом играла рабо- та со школьниками. По инициативе профессора Г. М. Фихтен- гольца при ЛГУ был создан первый школьный математиче- ский кружок. В 1934 году Ленинградский университет провёл первую в стране математическую олимпиаду, оргкомитет которой возглавил ряд крупных учёных: Б. Н. Делоне, Г. М. Фих- тенгольц, В. А. Тартаковский, В. И. Смирнов. Первая олимпиада по математике Ленинградского государственного университета для учащихся выпускных классов состоялась весной 1990 года. В ней приняли участие около 200 учащихся, в основном из ведущих физико-математических школ города. В определённой степени эта олимпиада была и профориентационным мероприятием, но основная её цель была в другом. Дело в том, что с конца 1970-х годов городская олимпиада школьников по математике стала по сути дела спортивным соревнованием. Для успешного выступления на ней была необходима специальная тренировка в решении задач по тематике, слабо связанной с материалом, который изучается в школе (даже в физико-математической). Задачи же олимпиады выпускников были не «олимпиадными» и не школьными, а «почти школьными», поэтому эта олимпиада начала привлекать учащихся обычных школ — ведь в ней интересно было участвовать всем тем, кто хорошо знал и понимал школьную математику, а также умел логически рассуждать. Со временем олимпиада завоевала авторитет среди школьников, и успешное 6
выступление на ней стало приравниваться к высшему баллу на вступительном экзамене по математике в Университет. С 1998 года олимпиада получила статус региональной и ста- ла проводиться не только в Санкт-Петербурге, но и в других городах России. С 2004 года олимпиада получила название «Олимпиада Санкт-Петербургского государственного универ- ситета по математике», а с 2009 года — «Олимпиада школьни- ков Санкт-Петербургского государственного университета по математике». В этот период активно участвовать в олимпиа- де стали ученики не только выпускных, но и средних клас- сов (с 6-го по 10-й). С 2011 года отборочный этап Олимпиады стал проводиться как в очной, так и в заочной форме — че- рез Интернет. Тем самым обеспечивается широкая география Олимпиады: например, в 2020/2021 учебном году в отбороч- ном этапе приняли участие более 8000 школьников практиче- ски из всех субъектов Российской Федерации, а также из де- вяти государств ближнего и дальнего зарубежья; около 600 из них участвовало в заключительном этапе. Победителями и призёрами заключительного этапа Олимпиады стали ребя- та из 33 субъектов РФ, а также из Белоруссии, Казахстана и Швейцарии. Организацией Олимпиады долгие годы руководил член- корреспондент РАН профессор Г. А. Леонов, который привлёк к этой работе профессиональных математиков, представите- лей научно-технической сферы и практикующих педагогов-ма- тематиков. В результате, несмотря на высокий уровень зада- ний Олимпиады, большинство задач, предлагаемых участни- кам, оказывается полезным для них и с методической точки зрения. Кроме того, в заданиях Олимпиады регулярно встре- чаются задачи, которые появились непосредственно в ходе на- учных исследований. Жюри Олимпиады с самого начала её проведения возглав- ляли известные специалисты по преподаванию математики — среди них профессор О. А. Иванов и профессор Ю. В. Чурин. Председателем Методической комиссии Олимпиады в настоя- щее время является профессор Н. А. Широков. 7
ПОРЯДОК ПРОВЕДЕНИЯ ОЛИМПИАДЫ В 2020/2021 учебном году Олимпиада проводилась в два этапа — отборочный и заключительный. Вследствие ограни- чений, связанных с пандемией коронавирусной инфекции, оба этапа проводились в заочной форме через Интернет. Отбо- рочный этап проходил в октябре — январе; при этом каждый участник мог выбрать удобное для себя время, чтобы присту- пить к выполнению заданий Олимпиады. Итоги отборочного этапа были опубликованы в конце января. Победители и при- зёры отборочного этапа принимали участие в заключительном этапе, который проводился в марте в заранее объявленную да- ту. Также в заключительном этапе могли участвовать без про- хождения отборочного этапа победители и призёры заключи- тельного этапа Олимпиады прошлого года при условии, что они ещё продолжают обучение в школе. Окончательные итоги Олимпиады были подведены в апреле. Как на отборочном, так и на заключительном этапе ис- пользовались разные наборы задач для учащихся 6–7-х, 8–9-х и 10–11-х классов. Вариант отборочного этапа состоял из задач разного типа, которые располагались в порядке возрастания сложности; при этом задание для каждого участника формировалось автома- тически системой проведения Олимпиады через Интернет. Для участников 6–7-х классов варианты состояли из трёх задач, ко- торые оценивались в 20, 30 и 50 баллов: в первой задаче доста- точно было дать только ответ, а в двух других требовалось также привести полное решение. В варианты для участников 8–9-х и 10–11-х классов входило по четыре задачи, которые оце- нивались в 10, 20, 30 и 40 баллов. Первая задача для участни- ков 8–9-х классов была тестовой — в ней нужно было выбрать 8
правильные варианты ответа из предложенных; во второй за- даче требовалось дать свой ответ, решение приводить было не нужно; в третьей и четвёртой задачах участник должен был представить полные решения. В первой задаче для участников 10–11-х классов нужно было дать свой ответ, решение приво- дить не требовалось; в остальных задачах участник должен был представить полные решения. Для всех участников на ре- шение варианта отборочного этапа отводилось 90 минут. Перед тем как приступить к выполнению заданий отборочного этапа, участники имели возможность прорешать для тренировки де- монстрационные варианты, составленные из заданий отбороч- ного этапа Олимпиады прошлого года. Вариант заключительного этапа состоял из задач различ- ной тематики, каждая из которых оценивалась одинаковым количеством баллов. При этом вариант для участников из 6– 7-х классов состоял из четырёх задач, для участников из 8–9-х классов — из шести задач, а для участников из 10–11-х клас- сов — из пяти задач. На решение варианта для всех участников отводилось 230 минут. Как в отборочном этапе, так и в заключительном допуска- лось только однократное участие. Подробнее о порядке прове- дения Олимпиады см. в Регламенте Олимпиады школьников СПбГУ на официальном сайте. Сайт Олимпиады школьников СПбГУ: https://olympiada.spbu.ru/ Интернет-страница Олимпиады школьников СПбГУ по математике: https://olympiada.spbu.ru/index.php/olimpiada- shkolnikov/matematika 9
УСЛОВИЯ ЗАДАЧ Отборочный этап 6–7-й классы 1. На доске выписали все двузначные числа, делящиеся на 5, у которых число десятков больше числа единиц. Таких чисел оказалось A штук. Затем выписали все двузначные числа, де- лящиеся на 5, у которых число десятков меньше числа единиц. Таких чисел оказалось B штук. Чему равно 100B +A? (20 бал- лов). 2. Найдите количество различных четырёхзначных чисел, ко- торые можно получить, переставляя цифры числа 2021 (вклю- чая и это число). (20 баллов). 3. На уроке математики каждому из семи гномов нужно най- ти одно двузначное число, при прибавлении к которому числа 18 получалось бы число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Могут ли все числа, найденные гномами, оказаться различными? (30 баллов). 4. Пусть натуральные числа m и n удовлетворяют равенству 1 m + 1 n = 1 2020. Докажите, что m и n не могут одновременно быть нечётными. (30 баллов). 5. При распределении земельных участков фермеру Новосё- лову выделили 2 квадратных участка разной площади, имею- щих целочисленные стороны. Возможно ли выделить фермеру 10
Малинникову также 2 квадратных участка с целочисленными сторонами, чтобы суммарная площадь участков Mалинникова была в 2 раза больше суммарной площади участков Новосёло- ва? (50 баллов). 6. Пусть A — арифметическая прогрессия с A1 = 3 и разно- стью 5. Докажите, что существует бесконечно много арифме- тических прогрессий B с B1 = 7, имеющих бесконечно много общих членов с A. (50 баллов). 7. Любопытная Варвара пишет рассказ о хороших людях. Она выписала из толкового словаря хорошие человеческие каче- ства: 12 качеств, начинающихся на букву «К»; 6 качеств, на- чинающихся на букву «Л»; 8 качеств, начинающихся на букву «М»; 4 качества, начинающихся на букву «Н». Варвара хочет распределить выписанные качества между героями своего рас- сказа следующим образом: каждый герой обладает ровно дву- мя качествами; эти качества обязательно начинаются с разных букв; любое качество можно использовать только для одного героя. Какое максимальное количество героев с хорошими ка- чествами из списка Варвары может быть в рассказе? (50 бал- лов). 11
Доступ онлайн
В корзину