Дифференциальные уравнения

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ 
ФЕДЕРАЦИИ 
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ 
БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ 
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 
«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА 
(МИИТ)» 
______________________________________________________________________________ 
 
 
Кафедра  
«Высшая и вычислительная математика» 
 
А.В. Ряднов,  Т.В. Меренкова, В.В. Трубаев 
 
 
Дифференциальные уравнения 
 
 
Учебное пособие 
 
 
 
 
 
 
 
Москва - 2018 

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ 
ФЕДЕРАЦИИ 
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ 
БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ 
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 
«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА 
(МИИТ)» 
______________________________________________________________________________ 
 
 
Кафедра  
«Высшая и вычислительная математика» 
 
 
А.В. Ряднов, Т.В. Меренкова,  В.В. Трубаев 
 
 
Дифференциальные уравнения 
 
 
 
Учебное пособие для студентов всех технических 
специальностей ИТТСУ 
 
 
 
 
Москва - 2018 
 

УДК  517.9 
 
Р 98 

 

      Ряднов А.В.,  Меренкова Т.В., Трубаев В.В.  
Дифференциальные уравнения: Учебное пособие. – М.: РУТ 
(МИИТ), 2018. – 146 с. 
 

Данное учебное пособие ставит своей целью помочь 
студенту 
самостоятельно овладеть методами решения 
типовых задач по курсу обыкновенных дифференциальных 
уравнений. В каждом параграфе даны краткие теоретические 
сведения и приведены формулы, необходимые для решения 
задач. Приводятся также подробно решения задач с 
пояснениями методов их решения. Все задачи являются 
типовыми, и ознакомление с ними позволяет студенту при 
самой минимальной помощи со стороны преподавателя 
овладеть основными методами решения задач данного 
раздела. Приведены задачи для упражнений. К отдельным 
задачам даются методические указания. Все задачи имеют 
ответы. 
Предназначено для инженерных специальностей, особенно 
полезно для студентов очно-заочного и заочного отделений. 
 
         Рецензенты:  к.ф.-м.н., доцент кафедры «Прикладная 
математика» МИРЭА Воронцов  А. А.; Заведующий 
кафедрой «Математический анализ» ИПСС РУТ (МИИТ), 
кандидат физ.-мат. наук Деснянский В.Н. 
 

 

                                                          © РУТ (МИИТ), 2018 

Глава I. Дифференциальные уравнения 
первого порядка 
 
§1. Общие понятия и определения 
 
        Дифференциальным уравнением называется уравнение, 
связывающее независимую переменную х, искомую 
функцию y = y(x)  и ее производные 
)
(
,...,
,
n
y
y
y
′′
′
, т.е. 
уравнение вида 
 
F(x, 
)
(
,...,
,
n
y
y
y
′′
′
) = 0 
 
         Порядком дифференциального уравнения называется 
порядок наивысшей производной, входящей в уравнение. 
         Решением дифференциального уравнения n-го порядка 
на интервале (a,b) называется функция y = φ(x), 
определенная на интервале (a,b) вместе со своими 
производными до n-го порядка включительно, и такая, что 
подстановка функции y = φ(x)  и ее производных в 
дифференциальное уравнение превращает последнее в 
тождество по x на (a,b). 
        График решения дифференциального уравнения 
называется интегральной кривой этого уравнения. 
        Дифференциальным уравнением первого порядка 
называется уравнение вида 
 
F(
y
y
x
′
,
,
) = 0,          (1) 
 
где F(
y
y
x
′
,
,
) – заданная функция переменных x, y, y′ . 
         Если уравнение (1) удается разрешить относительно  
y′ , то получится 

y′ = f(x,y)        (2) 
 
- дифференциальное уравнение первого порядка, 
разрешенное относительно производной. 
       Иногда дифференциальные уравнения первого порядка 
записываются в форме 
 
P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0.       (3) 
 
Здесь P(x,y)  и Q(x,y)  - заданные функции переменных  x и 
y. В этом случае за неизвестную функцию можно принять 
как x, так и y. 
          Задачей Коши называют задачу нахождения решения 
y=y(x) уравнения y'= f(x,y), удовлетворяющего начальному 
условию  y(xo) = yo  (другая запись y |x=xo= yo). 
Геометрически это означает, что ищется интегральная 
кривая, проходящая через заданную точку Mo(xo,yo)  
плоскости XOY . 
      Вопрос о существовании решений дифференциального 
уравнения (2) решается следующей теоремой. 
        Теорема существования и единственности решения 
задачи Коши.  Пусть задано дифференциальное уравнение 
y'= f(x,y), где функция  f(x,y) удовлетворяет условиям: 
 
       а) f(x,y) есть непрерывная функция двух переменных x и 
y в области D, 

        б) f(x,y) имеет частную производную y
f
∂
∂ ,ограниченную 

в области D,  
тогда найдется интервал (xo – d, xo + d),  на котором 
существует и притом единственное решение y =у(x) данного 
уравнения, удовлетворяющее условию y(xo) = yo. 

Геометрически это означает, что через каждую точку  
Mo(xo,yo) проходит одна и только одна интегральная кривая 
дифференциального уравнения (2). 
        Теорема имеет локальный характер: она гарантирует 
существование единственного решения y = y(x) уравнения 
(2)  лишь в достаточно малой окрестности точки xo. 
         Из теоремы вытекает, что уравнение (2) имеет 
бесконечное множество различных решений (например, 
одно решение, график которого проходит через точку 
Mo(xo,yo); другое решение, когда график проходит через 
точку M1(xo,y1), где y1≠yo  и т.д.). 
         Теорема дает достаточные условия существования 
единственного решения задачи Коши для уравнения  
y' = f(x,y), но эти условия не являются необходимыми. 
Именно, может существовать единственное решение 
уравнения y' = f(x,y), удовлетворяющее условию y(xo)=yo, 
хотя в точке Mo(xo,yo) не выполняются условия a) или б) 
или оба вместе.  
         Если отказаться от ограниченности частной 

производной y

f
∂
∂ , то решение задачи Коши будет 

существовать, но оно может быть не единственным. 
        Функция y = φ(x,C), зависящая от одной произвольной 
постоянной C, называется общим решением  
дифференциального уравнения (2) в области D на плоскости 
xOy, где выполняются условия существования и 
единственности решения, если 1) она удовлетворяет 
уравнению (2) при любых допустимых значениях 
постоянной C; 2) для любого решения  y = y*(x) 
дифференциальное уравнение (2), график которого лежит в 
области D, найдется такое значение константы C = C*, что 
y*(x)= φ(x,C*). 

Частным решением дифференциального уравнения (2) 
называется решение, получаемое из общего решения при 
каком-либо конкретном значении произвольной постоянной 
C (иногда включают C = ±∞). Процесс нахождения решения 
дифференциального уравнения 
называется интегрированием дифференциального 
уравнения. 
       В процессе интегрирования дифференциального 
уравнения мы часто приходим к уравнению 
 
Φ(x,y,C) = 0,      (4) 
 
неявно задающего общее решение уравнения. Уравнение (4) 
называется общим интегралом 
дифференциального уравнения (2) в области D. При 
соответствующем выборе значения C оно определяет 
любую интегральную кривую, проходящую в области D. 
          Замечание.  Обычно, когда находят общее решение, 
довольствуются получением решения или интеграла, 
зависящего от произвольной постоянной C, не обращая 
внимания на область D, указанную в определении. Однако 
надо при этом иметь в виду, что полученное решение не 
обязательно включает в себя все решения данного 
уравнения. Некоторые интегральные кривые могут выпасть 
из рассмотрения в ходе решения. Для их определения 
требуется специальное исследование. 
         Решение y = Ψ(x) дифференциального уравнения (2) 
называется особым, если в каждой его точке нарушается 
свойство единственности, т.е. если через каждую его точку 
кроме этого решения проходит и другое решение уравнения 
(2), не совпадающее с y = Ψ(x) в сколь угодно малой 
окрестности этой точки. График особого решения 
называется особой интегральной кривой. Для 

существования особого решения дифференциального 
уравнения (2) необходимо, чтобы не выполнялись условия 
теоремы существования и единственности решения. 
       Через каждую точку M(x,y) из области определения 
дифференциального уравнения (2) проведем прямую, 
тангенс угла наклона которой к оси абсцисс равен f(x,y). 
Это семейство прямых называется полем направлений 
дифференциального уравнения y' = f(x,y). Интегральная 
кривая дифференциального уравнения (2) в каждой своей 
точке касается поля направлений этого уравнения. Задача 
интегрирования этого уравнения может быть истолкована 
так: найти такую кривую, чтобы касательная к ней в каждой 
точке имела направление, совпадающее с направлением 
поля дифференциального уравнения (2) в этой точке. 
        Задача построения поля направлений (а значит и 
построения интегральной кривой дифференциального 
уравнения (2)) часто решается введением изоклин. 
Изоклиной называется геометрическое место точек в 
которых направление поля дифференциального уравнения 
(2) одинаково. Все интегральные кривые, пересекающие 
данную изоклину, в точках пересечения наклонены к оси 
абсцисс под одним и тем же углом. 
        Семейство изоклин дифференциального уравнения (2) 
определяется уравнением 
 
F(x,y) = K,     (5) 
 
где K – параметр. Нулевая изоклина f(x,y) = 0 определяет 
геометрическое место возможных точек экстремума 
интегральных кривых дифференциального уравнения (2). 
Для большей точности построения интегральных кривых 
определяют направление выпуклости и точки перегиба этих 

кривых (если такие точки существуют). Для этого находят 
y''. В силу уравнения (2), получаем 
y'' = f'x + f'yy' = f'x(x,y) + f'y(x,y)f(x,y)        (6) 
 
Знак правой части (6) определяет знак y'' , т.е. направление 
выпуклости интегральных кривых. Линия, заданная 
уравнением 
 
f'x(x,y) + f'y(x,y)f(x,y)=0 
 
есть геометрическое место возможных точек перегиба 
интегральных кривых дифференциального уравнения (2). 
 
 
§2. Дифференциальные уравнения с 
разделяющимися переменными 
 
Дифференциальное уравнение вида:  

( ) ( )
y
g
x
f
dx
dy =
 (1) 

называется уравнением с разделяющимися переменными. 
        Если в точке y =  Co,  g(Co) = 0, то функция y = Co 
является решением уравнения (1). 
       Разделяя переменные (путем деления на g(y)), мы 
получим, что решения уравнения (1) (вдоль   которых 
 g(y) ≠ 0), удовлетворяют соотношению  

( )
( )
∫
∫
+
=
C
dx
x
f
y
g
dy
 (2). 

. 

Уравнения вида 
(
)
c
by
ax
f
dx
dy
+
+
=
, (3) 

где a,b,c-постоянные, заменой переменных 
c
by
ax
z
+
+
=

приводятся к уравнению с разделяющимися переменными. 
         Дифференциальное уравнение с разделяющимися 
переменными, записанное в дифференциалах, имеет вид 
 
φ1(x)ψ1(y)dx + φ2(x)ψ2(y)dy = 0       (5) 
 
В нем коэффициенты при дифференциалах распадаются на  
множители, зависящие только от x и только от y. Путем 
деления на  
)
(
1 y
ψ
)
(
2 x
ϕ
оно приводится к уравнению с 
разделенными переменными: 
 

0
)
(
)
(
)
(
)
(

1

2

2

1
=
+
dy
y
y
dx
x
x
ψ
ψ
ϕ
ϕ
          (6) 

 
Общий интеграл этого уравнения имеет вид 
 

∫
∫
=
+
C
dy
y
y
dx
x
x
)
(
)
(
)
(
)
(

1

2

2

1
ψ
ψ
ϕ
ϕ
 

 
Замечание.  Деление на 
)
(
)
(
2
1
x
y ϕ
ψ
 может привести к 

потере частных решений y =Co, таких, что 
.0
)
(
1
=
o
C
ψ
 
Пример 1. Решить уравнение     

                        (
)
(
)
0
1
1
2
2
=
+
+
+
dx
dy
x
y
y
x
 

Решение. Представим данное уравнение в виде:  

(
)
(
)
0
1
1
2
2
=
+
+
+
dy
x
y
dx
y
x
. 
 Разделив обе части уравнения на произведение 
(
)(
)
2
2 1
1
y
x
+
+
(заметим, что 
2
1
y
+
≠ 0), получим уравнение с 
разделёнными переменными