Расчет стержней на растяжение и сжатие

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

Министерство транспорта Российской Федерации 

Федеральное государственное бюджетное образовательное 

учреждение высшего образования 

«Российский университет транспорта (МИИТ)»  

 
 

Институт пути, строительства и сооружений 

 

Кафедра     строительной  механики 

 
 

А.М. Лукьянов, М.А. Лукьянов 

 
 
 

РАСЧЕТ СТЕРЖНЕЙ НА РАСТЯЖЕНИЕ И 

СЖАТИЕ 

 
 
 
 

Учебное пособие 

по дисциплине «Сопротивление материалов» 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Москва  -   2018 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                                                      

 

 
Министерство транспорта Российской Федерации 

Федеральное государственное бюджетное образовательное 

учреждение высшего образования 

«Российский университет транспорта (МИИТ)» 

 ------------------------------------------------------------------------------- 

 

Институт пути, строительства и сооружений 

 

Кафедра     строительной механики 

 

А.М. Лукьянов, М.А. Лукьянов 

                                              
 

РАСЧЕТ СТЕРЖНЕЙ НА РАСТЯЖЕНИЕ И 

СЖАТИЕ 

 

Учебное пособие 

для студентов электромеханических специальностей. 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Москва  -   2018  

 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                                                      

 
 

УДК    539 

Л  84 

 

   Лукьянов А.М., Лукьянов М.А. Расчет стержней на растяжение  и 
сжатие: Учебное пособие. - 3-е изд. исп. - М.: РУТ (МИИТ), 2018. – 
48 с.: ил. 
 

Излагаются сведения из курса «Сопротивление материалов» - 

основы расчетов  на прочность и жесткость при растяжении 
(сжатие). Учебное пособие следует рассматривать как дополнение 
к лекциям и указанной  учебной литературе. Даны характерные 
примеры с подробными решениями.  

Уделено внимание основам расчета гибких нитей, это вызвано 

тем, что студенты, обучающиеся по специальности электроснабжение 

железных 
дорог, 
будут 
в 
дальнейших 
курсах  

сталкиваться с необходимостью проектирования и эксплуатации  
контактной  сети и линий электропередачи. 

Учебное 
пособие 
предназначено 
для 
студентов 

электромеханических и транспортных специальностей изучающих 
сопротивление материалов, а также студентам, изучающим 
прикладную и техническую механику. 

 

Рецензенты: 
доктор 
технических 
 
наук, 
профессор                   

В.П. Мальцев (РУТ (МИИТ); кандидат технических наук, доцент В.И. 
Иванов-Дятлов (МАДИ). 

 
 

                                           РУТ (МИИТ), 2018                                  

 

 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                                                      

 

Введение 

Учебное пособие, составлено в соответствии с программой 

курса сопротивление материалов и  прикладной  или технической 
механики. В каждом разделе пособия содержится  необходимый 
теоретический материал и ряд рекомендаций к выполнению 
расчетно-проектировочного 
задания 
«Расчет 
стержней 
на 

растяжение и сжатие», выполняемого студентами, в соответствии с 
учебным планом, в третьем или четвертом  семестре. 

 Цель пособия  ориентировать студента при его самостоятельной 

работе 
над 
материалом 
дисциплины, 
выделив 

узловые вопросы, необходимые  для решения задач, поставленных 
в расчетно-проектировочном задании. При составлении пособия 
учитывалось, что определение внутренних усилий и построение 
эпюр освоено студентами ранее и закреплено при выполнении 
задания «Построение эпюр внутренних усилий». Поэтому эти 
важные вопросы разбираются лишь в той степени, в какой 
необходимо осветить специфику вновь ставящихся задач. 

1. Напряжения и деформации при растяжении, сжатии 

Растяжение 
(сжатие) 
стержней 
является 
простейшей 

деформацией, при которой напряженное состояние всех точек 
стержня 
однородно[1;5]. 
Нормальные 
напряжения 
( ) 
в 

поперечных сечениях стержней, (см. рис.1,а, б) при растяжении, 
сжатии определяются по формуле:   

A
N /


,             
(1)

где: N - продольная сила в сечении; A - площадь поперечного 
сечения. 

Правило знаков для нормальных напряжений принимается, как  

и для продольной силы.  Растягивающие напряжения  считаем  
положительными, сжимающие – отрицательными.                     

Рассматривая рассеченный брус   плоскостью, наклоненной под 

углом 
α 
к 
произвольному 
поперечному 
сечению 
(рис.1,в) 

устанавливаем, что нормальные (


) и касательные (


) 

напряжения на наклонной площадке (рис.1,г)  можно определить из 
выражений: 





2
cos

;             



2
sin
)
2
/
(

(2)

где:   - нормальные  напряжения в поперечном сечении; 
  -  угол наклона рассматриваемой площадки.                                     

 
3 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                                                      

Рис. 1. 

 
Условимся считать угол   положительным, если он 

отсчитывается против хода часовой стрелки от поперечного 
сечения к наклонному (рис.1,а) или, что одно и то же, от оси 
бруса z до направления внешней нормали n   наклонного сечения 
(рис.1в). 

Касательные 
напряжения 


 
будем 
считать 

положительными, если внешнюю нормаль n (рис. 1,г) необходимо 
повернуть на 90º по ходу часовой стрелки до совмещения с  
направлением 


. 

Анализируя выражение (2), отметим - при   = 0º   в  поперечных 

сечениях растянутого (сжатого) стержня нормальные напряжения 
максимальны, 
а 
касательные 
– отсутствуют, при   =450  

касательные 
напряжения 
максимальны 
и 
равны 
половине 

нормальных, при   = 90º  в продольных сечениях  отсутствуют 
любые напряжения.  

Рассмотрим 
стержень, 
нагруженный 
на 
правом 
конце 

равномерно 
распределенной 
продольной 
нагрузкой, 
которая 

вызывает его растяжение (рис. 2).  

Рис. 2. 

 
4 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                                                      

Удлинение участка стержня длиной dz  равно  dz =  dw, а 

относительное удлинение (деформация): 

E
EA
N
dz
dw
z
/
/
/





(3)

Интегрируя 
уравнение 
(3), 
определим 
перемещение 

произвольного сечения: 





z

dz
EA
N
w
z
w

0

0
)
/
(
)
(
,   
(4)

где 
0
w -  перемещение стержня при 
o
z 
; Е – модуль упругости 

материала. 

 Если на некотором участке  
const
A
N
z



, то 

z
EA
N
w
z
w



)
/
(
)
(
0
;          
(5)

на 
этом 
участке 
перемещения 
изменяются 
по 
линейной 

зависимости, 
а 
деформация 
const
z 

. 
Тогда 
удлинение 

(укорочение) стержня определяется по формуле:  
 

)
(
)
(
o
w
w





E
A
E
N
/)
(
)
/(
)
(








,

где: - длина  стержня. 
       Модуль 
упругости 
имеет 
размерность 
напряжения  .     

Произведение Е·А называется  жесткостью стержня при 
растяжении или сжатии.  

В  табл.1 даны значения модуля Е  для некоторых материалов.  

 

Таблица 1. 

Модули упругости и коэффициенты поперечной деформации 

для некоторых конструкционных материалов 

Материал
Модули 
упругости
Коэффициент
Пуассона µ
E; ГПа (кг /см 2) G;ГПа (кг /см 2)

Сталь
200 (2·106)
80 (8·105)
0,3

Чугун
100 (1·106)
45 (4,5·105)
0,25

Медь
100 (1·106)
40 (4·105)
0,32

Алюминий
70 (0,7·106)
27 (2,7·105)
0,3

Дерево
10 (0,1·106)
0,55(0,055·105)
-

 Сформулируем правило знаков для продольных перемещений: 

положительными перемещениями считаем перемещения, 
совпадающие с положительным направлением оси z . 

 
5 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                                                      

Если по длине стержня продольная сила N(z) и площадь 

сечения A(z) переменны, то удлинение 

  определяется по 

формуле: 

 

                     









l

i
i

n

i
z
A
E
dz
z
N

0
1
))
(
/(
)
)
(
(

              (6) 

Если наряду с внешними нагрузками имеется температурное 

воздействие, то согласно принципу суперпозиции деформация 
рассматривается как сумма силовой и температурной деформаций. 
Для однородного стержня, равномерно нагретого и нагруженного по 
концам силой F,  имеем: 

t
l
EA
F








)
/(
)
(


(7)

где:   - коэффициент температурного расширения;  

0
1
t
t
t



-  изменение температуры элемента конструкции. 

Рассматривая процесс деформации при растяжении (рис. 2), 
можно 
заметить, 
что 
при 
увеличении 
длины 
стержня 

уменьшаются поперечные размеры. Эксперимент показывает, 
что зависимость между поперечной и продольной  деформацией 
имеет вид:
ε1 = - με
(8)

где:
t - 
относительная 
поперечная 
деформация;

/



 
- 

относительная продольная деформация; 
  - коэффициент 

Пуассона (коэффициент поперечной деформации).  

Величина   для широкого класса конструкционных материалов 

изменяется в диапазоне  0 ≤  μ ≤ 0,5. Для некоторых  материалов 
значения коэффициент Пуассона   представлены в табл. 1.    

Для большинства материалов с достаточной точностью можно 

считать, 
что 
в 
известных 
пределах 
нагружения 
между 

относительной продольной деформацией   и нормальными 
напряжениями   существует линейная зависимость. Это 
утверждение носит название закона Гука и записывается  в виде:  




 E
(9)

Коэффициент Пуассона   вместе с модулем упругости Е и  

модулем упругости при сдвиге -G , характеризует  упругие 
свойства материалов. Они связаны между собой зависимостью: 

G
μ)
2(1
E



(10)

 

6 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                                                      

Пример  1.  Определить максимальное нормальное напряжение 

в листе ослабленным отверстиями, рис.3, а, поперечные размеры 
листа и отверстий даны в сантиметрах. В наклонном сечении Вα - 
Вα 
определить 
действующие 
напряжения, 
если 


300. 

Концентрация напряжений не учитывается. 
Решение.  Определим  продольное усилие, действующее в 
стержне, из условия равновесия:  

∑ Fz  = 0;   F - Nz = 0,   находим   Nz  =  F = 60 кН. 

В каждом сечении стержня (рис. 3 а, б),  найдем площадь 
поперечного  сечения  и нормальное напряжение.  

Рис.3. 

Сечение 1-1:   

8
2
6
2
10
b
d
b
h
A
1
1










2
cм =
2
4 м
10
8


;

.
/
/
1
МПа
75
10
8
10
60
A
N
4
3

1
z








Сечение 2-2:  

4
2
4
2
2
10
b
d
2
b
h
A
2
2












2
cм =
2
4 м
10
4


;

МПа
150
10
4
10
60
A
N
σ
4
3

2
z
2






/
/
.

Сечение 3-3: 

6
2
7
2
10
b
h
b
h
A
1
3









2
cм =
2
4 м
10
6


;

МПа
100
10
6
10
60
A
N
4
3

3
z
3
 
/
/







.

Сечение 4-4:

2
4
0

4
м
10
3
3cм
2
2
2
6
2
2
10
2sbsin45
hb
A












2
.

МПа
200
10
3
10
60
A
N
4
3

4
z
4






/
/

.

 

7 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                                                      

Следовательно, 
в 
сечение 
4-4 
нормальное 
напряжение 

достигает максимального  значения.  

В наклонном сечении Вα - Вα   (рис.3, в) возникают нормальные и 

касательные напряжения. Определим  


 и 


 используя 

выражение (2). 

МПа.
13
/2)
3
(
2
30
sin2α
2
σ
τ

;
МПа
22,5
)
2
3
(
30
α
cos
σ
σ

α

2
2

α













)
/
(

Пример  2.  Груз F = 2 кН  подвешен на двух  наклонных 

стержнях длиной = 1 м, изготовленных из чугуна, площадью 
поперечного сечения A =310 –4 м2  , каждого  (рис. 4, а). Угол 
наклона стержней равен =300. Определить усилия возникающие 
в стержнях конструкции и  вертикальное перемещение  узла В.  
Решение. Определение усилий в стержнях. Используем основное 
допущение 
сопротивления 
материалов. 
При 
составлении 

уравнений 
равновесия 
система 
рассматривается, 
как 

недеформированное тело, имеющее после нагружения те же 
геометрические размеры, что и до нагружения. 

Рис. 4 . 

Мысленно рассечем два стержня, рис. 4, б  и отбросим верхнее 

закрепление, заменив его действие неизвестными усилиями N1 и 
N2. 
Для плоской системы сходящихся сил составим два уравнения 
статики. Сумма проекций всех сил, сходящихся в узле А, на  ось  

х→ ∑ Fx  = 0; 

 и сумма проекций всех сил, сходящихся в узле А на  ось  

 

8 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                                                      

y→  ∑ F y = 0. 

Первое уравнение  ∑ Fx  = 0; дает 

0
sin
sin
2
1




N
N
 

Полученное уравнение в силу симметрии обращается в 

тождество 

N
N
N


2
1

Из второго уравнения   ∑ F y = 0,  находим:     

0
F
Ncosα


2

Тогда усилия, возникающие в стержнях конструкции, будут 

равны:                  N = 2000 / (2 cos 30 0 ) = 1156,06 Н. 

Определение перемещения узла В. Узел В под действием 

силы F переместится вертикально вниз в положение ВI вследствие 
симметрии системы. Стержень СВ  при этом получит удлинение ∆
l  равное отрезку ВВ II. Точка В // перемещается  в точку В  / по дуге 
с центром окружности в точке С. Вследствие малости удлинения 
стержней (по сравнению с их длиной) можно считать, что угол α 
практически не изменяется и дуга может быть заменена 
перпендикуляром, опущенным  из точки В // в точку В  /. Тогда  ВВ  / 
= =ВВ // / соs α   или 





cos
/

.

Учитывая, что 

м
10
3,85
10
3
10
100

1
1156,06

A
E
N
Δ
5

4
9

















.

Получим  вертикальное перемещение узла В: 

.
см
10
4,45
/2)
3
/(
10
3,85
δ
5
5







2. Методы расчета конструкций на прочность. 

Метод  допускаемых  напряжений. Основой метода 

допускаемых напряжений [3] является предположение, что 
критерием 
надежности 
конструкции 
будет 
выполнение 

следующего условия прочности: 

n
A
N
0

max
]
[








(11)

где  
max

- наибольшее рабочее напряжение, возникающее в 

одной из точек опасного сечения и определяемое расчетом; 

]
[ - допускаемое (предельное) для данного материала 

 
9