Прикладная математика в социальных науках

 

 
УДК 51:316(075.8) 
ББК 22.1+60.5я73 

Д99 

 

Печатается по решению кафедры регионалистики и евразийских  

исследований Института социологии и регионоведения  

Южного федерального университета (протокол № 6 от 29 января 2020 г.) 

 

Рецензенты: 

доктор социологических наук, профессор Института социологии  

и регионоведения Южного федерального университета А. В. Верещагина; 

доктор социологических наук, профессор кафедры социологии  

и психологии Южно-Российского государственного политехнического 

университета (НПИ) им. М. И. Платова Л. И. Щербакова 

 

 

Дятлов, А. В. 

Д99  
Прикладная математика в социальных науках : учебник /  

А. В. Дятлов ; Южный федеральный университет. – Ростов-на-Дону ; 
Таганрог : Издательство Южного федерального университета, 
2020. – 226 с. 

ISBN 978-5-9275-3581-1 
Учебник содержит изложение раздела «Линейная алгебра», входящего 

в учебную программу курса «Математический анализ», изучаемого студентами 
специальности «Регионоведение» Института социологии и регионо-
ведения Южного федерального университета. Главная цель этой книги – 
дать читателю принципы для понимания основных математических методов, 
использующихся в количественных исследованиях в области социальных 
наук. Другая важная задача книги – помочь студентам достичь 
уровня вычислительных навыков, которого требует применение математических 
методов в реальных ситуациях. Содержание традиционно 
для вводного курса для нематематиков, но вместе с тем содержит некоторые 
специальные моменты, важные для современного подхода к применению 
математических методов. 

Предназначен для аспирантов, магистрантов, студентов бакалаври-

ата, а также для всех интересующихся указанной проблематикой.  

УДК 51:316(075.8) 
ББК 22.1+60.5я73 

ISBN 978-5-9275-3581-1 

 
© Южный федеральный университет, 2020 
© Дятлов А. В., 2020  
© Оформление. Макет. Издательство Южного 

федерального университета, 2020  

 

Оглавление 

 

Часть I. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА 

Глава 1. Основные понятия………………………………………………….......... 7 

1.1. Числовые множества………………………………………………........ 7 

1.2. Числовая ось…………………………………………………………......... 25 

1.3. Уравнения и неравенства первой степени  

с одним неизвестным..................................................................... 29 

1.4. Абсолютная величина (модуль) ……………………..……….... 40 

1.5. Абсолютная и относительная погрешность…………….... 45  

1.6. Проценты……………………………………………………………........... 55 

1.7. Прогрессии…………………………………………………………............ 62 

1.7.1. Арифметическая прогрессия........................................... 62 

1.7.2. Геометрическая прогрессия............................................. 69 

1.8. Степень………………………………………………………...........……….  72 

1.9. Логарифмы…………………………………………………………......….  77 

Глава 2. Применение в экономике………………………………………...... 82 

2.1. Вычисление процентов……………………………………………… 82 

2.1.1. Простые проценты……...……………………………………. 84 

2.1.2. Сложные проценты…………………………………………… 90 

2.1.3. Текущий счет…………………...………………………………… 97 

2.1.4. Сконто и расчет сконто.….………………………………. 100 

2.2. Динамическая оптимизация………………............……………. 103 

2.2.1. Кратчайший и критичный путь……...........………… 105 

2.2.2. Оптимальное распределение ресурсов……..……… 114  

Часть II. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ 

Глава 3. N-мерное координатное пространство………………....... 131 

3.1. Определение n-мерного  

координатного пространства…............................................... 131 

3.2. Основные понятия и теоремы……………………………….…. 136 

3.3. Скалярное произведение……………………………………….… 143 

Глава 4. Матрицы……………………………………………………………….......... 148 

4.1. Основные понятия………………………………………….......……. 148 

4.2. Виды матриц……………………………………………………............. 152 

4.3. Операции с матрицами……………………………………………... 155 

4.3.1. Равенство и сумма матриц...........................................  155 

4.3.2. Произведение матрицы на число................................ 156 

4.3.3. Транспонированная матрица....................................... 158 

4.3.4. Произведение матриц....................................................... 159 

4.4. Определитель матрицы…………………………………………… 170 

4.5. Обратная матрица.  

Элементарные преобразования матриц............................ 179 

4.6. Ранг матрицы…………………………………………....………………  194 

4.7. Системы линейных уравнений………………………………… 200 

4.7.1. Основные понятия……………………………………………. 200 

4.7.2. Основные теоремы…………………..………………………. 206 

4.7.3. Методы решения системы  

линейных уравнений........................................................... 207 

4.7.4. Системы однородных уравнений……………………… 218 

Литература....................………………………………………………………………… 224 

 

 

Часть I. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА 

 
 
 
Многие понятия в социальных и экономических науках 

имеют количественную оценку. Это не случайно и может 
отражать как сущность понятия, так и наше желание понять 
природу сложных социальных и экономических концепций. 
Представляя определенное количество чего-либо, 
мы будем использовать соответствующее ему (этому определенному 
количеству) действительное число. Например, 
если 
материальные 
активы 
компании 
составляют  

M = 2 ∙ 109 рубля и амортизация А такова, что М12 = А10, то 
расчет активов и амортизации должен вестись соответственно 
с использованием действительных чисел. 

Первая часть книги состоит из двух глав. В первой главе 

вспомним основные понятия школьного курса математики – 
натуральные, рациональные и действительные числа; 
числовую ось; решение линейных и модульных равенств и 
неравенств; проценты; арифметические и геометрические 
прогрессии. Кроме того, уточним понятия действительных 
чисел, степенной и логарифмической функций. Также бу-
дет рассмотрена тема абсолютной и относительной по-
грешности, что очень важно для специалистов, исполь-
зующих компьютерные расчеты.  

Во второй главе представлены приложения по примене-

нию описанных в первой главе математических понятий.  
В параграфе 2.1 представлены задачи, с которыми будущие 
специалисты встречаются в финансовых расчетах. В пара-
графе 2.2 иллюстрируется общий подход к поиску опти-
мального решения в многоступенчатом процессе принятия

 

управленческого решения. Это позволяет на множестве 
большого количества стратегий показать алгоритм, опре-
деляющий оптимальную стратегию. 

Во второй части книги представлены начальные поня-

тия линейной алгебры. В главе 3 вводятся понятия упоря-
доченного n-мерного кортежа, равенства, суммы и разницы 
кортежей, произведения кортежа на число, линейной неза-
висимости кортежей. В главе 4 показаны различные виды 
матриц и основные действия с ними. Представлены основ-
ные определения, связанные с понятиями определителя 
матрицы, ранга матрицы и обратной матрицы. Рассмотре-
ны основные вопросы, касающиеся решения систем ли-
нейных уравнений.  

 
 

Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 

 
 
Вспомним основные понятия школьного курса матема-

тики, касающиеся натуральных, рациональных, иррацио-
нальных и действительных чисел; арифметические дей-
ствия с числами; решение равенств и неравенств с неиз-
вестными первой степени; числовой оси; абсолютной ве-
личины числа и нахождения модулей уравнений и нера-
венств. Расширено знание о действительных числах, дано 
представление рациональных чисел в виде десятичных 
дробей, принцип непрерывности, абсолютная и относи-
тельная погрешности. 

 
 

1.1. Числовые множества 

 
Напомним основные виды чисел, которые изучаются в 

школьном курсе. Кроме того, для задания множества эле-
ментов будем использовать распространенный способ – 
фигурные скобки. 

Нам известно, что натуральные числа – это 1, 2, 3, 4, 5 и 

т. д. Для множества натуральных чисел мы будем исполь-
зовать обозначение N, и оно будет записано как 

N = {1, 2, 3, …}. 

Формально определение натуральных чисел выходит за 

рамки нашего курса. Будем только говорить, что натуральные 
числа определяют число (количество) элементов конечного 
множества. Натуральные числа могут быть введены 
и аксиоматически, например с помощью аксиомы Пеа-
но. Известно, что сумма двух натуральных чисел также есть 

натуральное число. Так, например, 2359 + 9532 = 11891. 
Также умножение и возведение в степень натуральных чисел 
обладает этим свойством. Например, 2359 ∙ 9532 =  
= 22485988 и 35 = 3∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 = 243.  

Это свойство нарушается, когда производим вычитание 

натурального числа из натурального или когда производим 
операцию деления на этих числах. Легко убедиться, 
что не существует натурального числа, равного разности 
2359 – 9532, как не существует натурального числа, равного 
отношению 

    

    . На практике нам часто приходится при 

решении задач делать подобные расчеты. Возникает необходимость 
множество натуральных чисел расширить до 
множества целых чисел и затем последнее – до множества 
рациональных чисел. Обозначается множество целых чисел 
следующим образом:  

Z = {… , –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, … }. 

Суммой и разностью двух целых чисел также будет це-

лое число, но частное от деления двух целых чисел не все-
гда будет целым числом. Так, например, 12 : (–3) = –4, но 
вот 10 : (–3) не будет являться целым числом.  

Для того чтобы найти отношение произвольных целых 

чисел, используют множество рациональных чисел. 

Рациональное число – это любое число вида 

 

 , где m – 

целое число, а n – натуральное число. Обозначим множе-
ство рациональных чисел Q, используя принятые в мате-
матике сокращенные обозначения. Множество рациональ-
ных чисел сокращенно может быть записано так:  

Q = {

 

             }  

(В выражении мы использовали принятый в математи-

ке символ « », который следует читать как «для любого», и 
символ «˄», который читается как «и».) 

Пример 1.1. Три компании вкладывают капитал в про-

изводство. Инвестированный капитал и капитал, который 
каждая компания получила в конце года, приведен в 
табл. 1.1. 

Таблица 1.1 

Инвестиции и капитал 

Компания 
А 
В 
С 

Инвестированный капитал 
9345 
7431 
9898 

Средства на конец года 
10000 
8100 
10770 

 
Необходимо: 
1. Найти прибыль для каждой компании и прибыль на 

единицу капитала, вложенного каждой из них в производ-
ство. 

2. Если в следующем году остается та же прибыль на 

единицу капитала, вложенного каждой компанией, опре-
делить, какой компании наиболее выгодно инвестиро-
вать. 

Решение:  
1. Рассчитаем прибыль фирмы А: 10000 – 9345 = 655.  
Тогда прибыль на единицу вложенного капитала ком-

пании А равна отношению 

   

      

   

    . 

Получаем для компаний соответственно:  

a = 

   

      , b = 

   

     , c = 

   

     . 

2. Для расчетов по второму пункту нам необходимо 

сравнить рациональные числа a, b, c. Сделаем это двумя 
способами. 

2а. Приведем сравнение рациональных чисел a, b и c к 

сравнению целых чисел, для этого используем разность  

a – b = 

   

     

   

     = 

                       

           
  

     

       , следова-

тельно a < b. 

Теперь сравним числа b и c, для чего вычислим b – c = 

= 

   

     

   

     = 

                       

           
 

     

           b – c > 0 и, соот-

ветственно, b больше и а, и с. 

2б. Запишем рациональные числа a, b и c в виде деся-

тичных дробей:  

     

                    

                 

   

   

               , 

тогда из их сравнения следует, что a < c < b.  

Ответ:  
1. Прибыль и прибыль на единицу инвестированного 

капитала для каждой компании представлены в табл. 1.2. 

Таблица 1.2 

Прибыль компаний 

Компания 
A 
B 
C 

Инвестиционный капитал  
9345 
7431 
9898 

Капитал на конец года 
10000 
8100 
10770 

Прибыль 
655 
669 
872 

Прибыль на единицу капитала 
   
     
   
     
   
     

 
2. Наиболее выгодно инвестировать в компанию В, так 

как ее прибыль в расчете на единицу вложенного капитала 
является наибольшей. 

Примечание 1.1. Из представленных решений по 

пункту 2 может сформироваться убеждение, что решение 
2б проще. Более того, при использовании калькулятора 
деление целых чисел дается в виде десятичной дроби. 
Для применения этого подхода необходимо знать взаи-
мосвязь между записью рационального числа как частно-
го от деления двух целых чисел и как десятичной дроби. 
Когда используются десятичные дроби, необходимо знать, 

будут ли они точно равны соответствующим рациональ-
ным числам. Например, если компания D инвестирует ка-
питал 9360 и получает в конце года 10 203, то прибыль со-
ставляет 843, а прибыль на единицу инвестированного ка-

питала составляет d = 

   

    .  

Если сравнивать b и d, учитывая их десятичные части до 

тысячных, получаем b = 0,090 = с.  

Но если рассчитать десятичные дроби до шестого зна-

ка, мы получаем b = 0,090028 > 0,0880986 = с. Этот при-
мер показывает, что при сравнении приближений вместо 
самих рациональных чисел вывод может быть непра-
вильным. Кроме того, аргументация в этом случае явля-
ется более сложной (решение 2б недостаточно аргумен-
тировано). 

Необходимо отметить, что при выполнении точных рас-

четов десятичная дробь примерно равна соответствующему 
рациональному числу. Для этого мы будем использовать 
символ «≈». Решение комментируемого примера выглядит 
так: b ≈ 0,090028, с ≈ 0,0880986, 0,090028 > 0,0880986, и то-
гда b > c, потому что мантиссы в обоих числах являются 
точными цифрами.  

Решение 2а всесторонне аргументировано и использует 

только правило для отличия дробей. 

Вспомним основные определения и теоремы школьного 

курса математики, которые связаны с рациональными 
числами. 

Положительные рациональные числа также называют-

ся обыкновенными дробями. Обыкновенная дробь 

  

  опре-

деляется как n-я часть от единицы, а 

 

  = 

 

  + … +  

 

   

       

Принято, что число 

  

 , где m есть положительное целое 

число, то есть    , должно быть записано так:  

 

 , т. е. 

  

    

   

Такие рациональные числа называются отрицательными 
рациональными числами. Кроме того, отождествляется 
целое число m с рациональным числом 

 

   Например, число 

5 и число 

 

  – одно и то же число. Таким образом, множества 

N и Z являются подмножествами Q. 

Определение 1.1. Утверждение о том, что рациональное 
число 

 

  равно рациональному числу 

 

   обозначается 

как 

 

  = 

 

  и выполняется при условии, что m ∙ q = p ∙ n. 

Из данного определения следует, что для любого целого 

ненулевого числа k справедливо равенство 

     

       

 

 . Замена 

рационального числа 

     

      равным ему 

 

  называется сокращением 
на k. Рациональное число 

 

  называется несократимой 
дробью, когда р и q – взаимно простые числа.  

Существует число, которое называется нулем в множестве 
рациональных чисел и обозначается как 0, если для 

любого натурального числа n справедливо равенство 

 

  = 

 

 .  

Определение 1.2. Под суммой 

 

    

 

  понимается рациональное 
число 

             

     
. Сумма обозначается как 

 

  

  

  , т. е. 

 

  

 

  

             

     
. 

Очевидно, что для любого рационального числа 

 

   выполняется: 

 
     

   

          

   
  

    

Определение 1.3. Под произведением 

 

    

 

  понимается 
рациональное число 

     

     . Произведение обозначается 

как 

 

  

  

  , т. е. 

 

  

 

  

     

     . 

Очевидно, что для любого рационального числа 

 

   выполняется: 

 
     

   

      

       

 
     

   

      

     

   


Вспомним, что когда вычитаем из одного произвольного 
рационального числа  

 

  другое рациональное число 

  

 , 

получаем разницу 

 

  

  

 , которая вычисляется по формуле  

 
   

               

     
  

Кроме того, когда делим одно произвольное рациональное 
число  

 

  на другое отличное от нуля рациональное число 

  

 , получаем частное 

 

  

  

 , которое вычисляется по формуле 

 
   

   

    

       

       

Примечание 1.2. Пусть известно, что для производства 

единицы продукции P необходимо количество a ресурса R, 
называемое расходной нормой. Пусть технология производства 
продукта P такова, что для него при каждом цикле 
необходимо дополнительное количество b ресурса R, тогда 
требуемое количество ресурса R для производства количества 
x продукта Р рассчитываются по формуле:  
 
у = ах + b, 
(1.1) 

где: у – общий расход; b – постоянный расход; aх – переменный 
расход.