Вейвлет-анализ и его приложения

ВЕЙВЛЕТ-АНАЛИЗ 
И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ

Рекомендовано 
в качестве учебного пособия для студентов 
высших учебных заведений, обучающихся 
по направлениям подготовки 01.03.01 «Математика» 
и 01.03.02 «Прикладная математика и информатика»

Москва
ИНФРА-М
2021

Т.В. ЗАХАРОВА
О.В. ШЕСТАКОВ

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Второе издание, переработанное и дополненное

УДК 51(075.8)
ББК 22.1+32.81я73
 
З38

Захарова Т.В.
Вейвлет-анализ и его приложения : учебное пособие / 
Т.В. Захарова, О.В. Шестаков. — 2-е изд., перераб. и доп. — 
Москва : ИНФРА-М, 2021. — 158 с. — (Высшее образование).

ISBN 978-5-16-005056-0

В данном пособии изложены теоретические основы Фурье-анализа и вейвлет-анализа, рассмотрены практические аспекты использования вейвлетпреобразования для анализа и обработки сигналов и временных рядов. 
Приведены примеры использования вейвлет-анализа в задачах вычислительной томографии. Пособие содержит материал курса лекций, читаемого авторами студентам факультета вычислительной математики и кибернетики 
МГУ имени М.В. Ломоносова. Второе издание дополнено примерами и иллюстрациями.
Для студентов и аспирантов университетов по специальностям «математика» и «прикладная математика и информатика».

УДК 51(075.8)
ББК 22.1+32.81я73

З38

© Т.В. Захарова, О.В. Шестаков, 2012
ISBN 978-5-16-005056-0

ФЗ 
№ 436-ФЗ
Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11

1
-7
1.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.2. 26
1.3. . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
1.4. . . . . . . . . . .
42
1.5. . . . . . . . . . .
45

2
-51
2.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
2.2. . . . .
56
2.3. . . . . . . . . . . . . .
60
2.4. 66
2.5. . . . . .
68
2.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
2.7. . . . .
80
2.8. -. . . . . .
83
2.9. -. . . . . . . . .
90
2.10. -. . . . . . .
92

3
93
3.1. . . . . . . . . . . . . .
96
3.2. . . . . . . . . . . . . . . .
101
3.2.1.
. . . . . . . . . . . .
101

3

3.2.2.
SURE-. . . . . . . . . . . . . . . . .
103

3.3. ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
108

3.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
115

3.5. . . .
119

4
-127

4.1. . . . . . . .
129

4.2. . . . . . . . . . . . . . . . .
133

4.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
137

4.4. -. . . . . . . . . . . . . .
140

4.5. . . . . . . . .
147

4.6. -. . . . . . . . . . . . . . .
150

155

4

-. , , , -, , -.
, . -, . , . -, -.

-. -, , , , , , , , , , , ..

- 5

. , .. .

.
, , . -, , . -.

6

--, .
-,
, .

-. , , , . , , .

. -. , , , . 7

, . , .

, , , , . . .

(), .

f(x) [−π, π]. a0 +

∞
∑

k=1

(ak cos kx + bk sin kx).

. ,
f(t) . sin(kt) 2π/k k (.. k [−π, π]).

, 3 sin 2t + cos 4t − 40 sin 7t + 5 sin 200t,

2, 4, 7 200. , , , 7 (.1.1).

8

0.5
1  
1.5
2  
2.5
3  
3.5
t
−50

−40

−30

−20

−10

0

10

20

30

40

50

 

 

. 1.1: , 200

. . . f(t) f(t) = a0 +

∞
∑

k=1

(ak cos kt + bk sin kt),

ak bk (k) .

, 200, , .1.2.

9

0.5
1  
1.5
2  
2.5
3  
3.5
t
−50

−40

−30

−20

−10

0

10

20

30

40

50
50

. 1.2: . f , ak bk, , . , , , , -ak bk k → ∞.

-.

1.1.
, [a, b]. .

. ⟨f, g⟩L2 10

f g L2([a, b]) ⟨f, g⟩L2 =

b
∫

a

f(x)g(x)dx.

, , ⟨f, g⟩.

, [−π, π].

f f(x) = a0 +

∞
∑

k=1

(ak cos kx + bk sin kx),
(1.1)

ak bk , f.

.

1.1. :

1
π

π
∫

−π

cos nx cos kxdx =








1, n = k ⩾ 1
2, n = k = 0
0, ,

(1.2)

1
π

π
∫

−π

sin nx sin kxdx =

{

1, n = k ⩾ 1
0, ,
(1.3)

1
π

π
∫

−π

cos nx sin kxdx = 0 n, k.
(1.4)

. , 1
√

2π, cos x
√π , sin x
√π , . . . , cos nx
√π , sin nx
√π , . . .

11

L2 [−π, π].

. (1.2) (1.3) :

cos((n + k)x) = cos nx cos kx − sin nx sin kx,
(1.5)

cos((n − k)x) = cos nx cos kx + sin nx sin kx.
(1.6)

, π
∫

−π

cos nx cos kxdx = 1

2

π
∫

−π

(cos((n + k)x) + cos((n − k)x))dx.

, n ̸= k,

π
∫

−π

cos nx cos kxdx =

= 1

2

(sin(n + k)x

n + k
+ sin(n − k)x

n − k

)π

−π

= 0.

n = k ⩾ 1,

1
π

π
∫

−π

cos2 nxdx = 1

2π

π
∫

−π

(1 + cos 2nx)dx = 1.

n = k = 0, 1
π

π
∫

−π

1dx = 2,

(1.2) .

, (1.5) (1.6) , (1.3). (1.4) cos nx sin kx
k > 0.

12