Операционное исчисление


Министерство образования и науки Российской Федерации

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ





    Е. В. КАЗАНЦЕВА, И. М. ПУПВ1ШЕВ, Г. С. ШЕФЕЛВ



            ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ


Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия



НОВОСИБИРСК

2018

УДК 517.445(075.8)
      К142

          Рецензенты:
          канд. физ.-мат. наук, доцент В. В. Хаблов, д-р физ.-мат. наук, профессор В. А. Селезнев

Работа подготовлена на кафедре высшей математики для студентов технических направлений факультетов РЭФ, ФТФ, МТФ

      Казанцева Е. В.
К142 Операционное исчисление : учеб, пособие / Е. В. Казанцева, И. М. Пупышев, Г. С. Шефель. — Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2018. - 64 с.

      ISBN 978-5-7782-3477-2



    Настоящее учебное пособие подготовлено для студентов всех направлений факультетов РЭФ, ФТФ, МТФ, изучающих в курсе математики раздел «операционное исчисление». Пособие содержит теоретический материал, примеры типовых задач с подробными решениями, задания для самостоятельной работы студентов. Все замечания по содержанию пособия просим передавать на кафедру высшей математики. Они будут с благодарностью приняты и учтены в следующих изданиях.


УДК 517.445(075.8)
ISBN 978-5-7782-3477-2
                          © Казанцева Е.В., Пупышев И.М., Шефель Г. С., 2018
                          © Новосибирский государственный технический университет, 2018

            Оглавление




Введение                                                      4

Глава 1. Основные понятия и свойства операционного исчисления. Нахождение изображений                  6
   1.1. Определения оригинала и изображения.................. 6
   1.2. Свойства, используемые для нахождения изображений . . 8
   1.3. Оригиналы и их изображения (формулы соответствия) . . 12
   1.4. Примеры нахождения изображений...................... 16

Глава 2. Нахождение оригиналов по изображениям                26
   2.1. Способы нахождения оригинала по изображению..         26
   2.2. Примеры нахождения оригиналов по изображениям ...     28

Глава 3. Решение линейных дифференциальных уравнений и их систем операционном методом                   35
   3.1. Операционный метод решения линейных дифференциаль       ных уравнений и их систем. Примеры................... 35
   3.2. Решение линейных дифференциальных уравнений с помощью интеграла Дюамеля. Примеры.................... 38
   3.3. Применение операционного исчисления для расчета электрических контуров................................ 40

Глава 4. Задачи для индивидуальных заданий                   43

   Список литературы                                         63


3

            Введение




    В 1893 г. английский физик О. Хевисайд предложил метод работы с уравнениями, содержащими производные и интегралвт от неизвест-HBix функций, который назвал операционным.
    Точка зрения Хевисайда, который скорее руководствовался интуицией и физическим смыслом явлений, чем математической строгоствю, состояла в следующем.
    Хевисайд рассматривал знак дифференцирования d как оператор р. Операция дифференцирования функции f (t) записывалась как р f (t), а производная порядка n — как pⁿ f (t) (так как оператор р применялся n раз к функции f (t) ). One ратор p и ли р⁻¹ представлял операцию интегрирования, так как оператор р, приложенный к р⁻¹ f (t), снова давал в резулвтате функцию f(t), т. е. рр-f(t) = f(t).
    Формула, содержащая интегралы или дифференциалы, сводиласв к алгебраической форме при рассмотрении р в качестве алгебраической переменной. Это Хевисайд называл «алгебраизацией» задачи. Однако обращение с р как с алгебраической переменной таило в себе множество ловушек. И толвко гениалвная интуиция Хевисайда позволяла ему обходитвся без ошибок при вычислениях.
    Строгое математическое обоснование операционного исчисления бвтло дано в работах П. Леви и Дж. Р. Карсона. Было определено ин-тегралвное преобразование Лапласа, которое функции f (t) (оригиналу) ставит в соответствие новую функцию (изображение) F(р). При этом свойства этого преобразования таковы, что при дифференцировании (интегрировании) оригинала изображение умножается (делится) на переменную р. Таким образом, при переходе в дифференциальных

4

уравнениях от функций к их изображениям по существу исполвзуются идеи Хевисайда.
    Отметим, что операционное исчисление изначалвно рассматривало либо функции, связанные интегральным преобразованием Карсона
<х> f (p) = Р J h(t)e⁻pt dt, 0
либо функции, связанные преобразованием Лапласа
ОО
F ⁽Р⁾=/         dt
0
Между функциями f (p) и F(p), связанными с h(t) этими формулами, имеется соотношение pF (p) = f (p).
    Интегральное преобразование Карсона естественно входит в изучение электрических цепей. Мы, однако, будем рассматривать преобразование Лапласа, которое получило в мировой практике более широкое распространение.

5

Глава 1
Основные понятия и свойства операционного исчисления. Нахождение изображений


    1.1. Определения оригинала и изображения


    Пусть f (t) — комплекснозначная функция действительного переменного, удовлетворяющая условиям:
а)  f (t) _ кусочно-непрерывна при t > 0;
б)  f (t) = 0 пр и t < 0;
в)  f (t) может расти не быстрее некоторой показательной функции, т. е. существуют такие константы M и а, что |f(t)| 6 Meat. Такие функции будем называть оригиналами. Точная нижняя грань множества всех чисел а, для которых выполняется условие в) с некоторой константой M, называется показателем роста функции f (t).
    Преобразованием Лапласа функции f (t) называется функция комплексного переменного F (p), определяемая формулой


+^

F(p) = У f(t)e⁻pt dt.

(1-1)

о

6

    Функцию F (p) называют изображением функции f (t). Она определена и аналитична в полуплоскости Re p > а₀, где ао — показатели роста функции f (t).
Доказательство. Пусть p = а1 + га₂, а1 > а₀. Выберем а е (а₀; а1), тогда |f (t)| 6 Meat для некоторого M. Так как

|f(t)e-pt| = |f(t)e—aⁱt| • |e—"²ⁱt| 6 M-at- a t = M- a " t,


и интеграл

то

У Me-"'a⁾t dt =

(a । —a)t

ai

ai

M

—

—

a

e

—

M

0

0

—

a

сходится, то и интеграл

F(p) = f f (t)

e—pt dt

0

сходится абсолютно. Аналитичность функции F(p) — без доказательства.
    В дальнейшем, записывая аналитическое выражение для оригинала f (t), мы будем считать, что функция задается этим выражением на [0; +то), а при t < 0 полагаем, что f (t) = 0. Иными словами, вместо функции f(t) будем на самом деле рассматривать функцию f(t)p(t), где через

ч⁽г⁾={0:

t > 0, t<0

обозначена функция Хевисайда.
    Для обозначения соответствия между f (t) и F (p) используются следующие формы записи: f (t) л F(p), f (t) = F(p), F(p) = L{f (t)}.

7

    1.2.  Свойства, используемые для нахождения изображений

1. Если f (t) с F(p), g(t) с G(p), то для любых A,B е R (или даже A,B е C)
Af (t) + Bg(t) с A F(p) + B G(p)
(свойство линейности).
Доказательство. Если |f(t)| 6 M1eaⁱt, |g(t)| 6 M₂ea2t, to
|Af(t) + Bg(t)l 6 |A|-|f(t)| + |B|-|g(t)| 6 |A|Mieaⁱt + |B|M2ea2t 6 Meat,
где M = |A|M1 + |B|M₂, a = max{a1,a₂}. Таким образом, функция Af (t) + Bg(t) является оригиналом. Далее,

Af (t) + Bg(t) с

                  Ж
J (Af (t) + Bg(t)) e⁻pt dt = 0

ж

=A

f f (t)e⁻pt dt + B 0

Ж
/g⁽t⁾e⁻pt dt=AF ⁽p⁾⁺BG⁽p>-0

2. Если f (t) с F (p), то для любого A > 0
f <Aⁱ’c AF (A)
(свойство подобия).
Доказательство. Очевидно, что функция f (At) является оригиналом. Далее,

Ж

         Ж
f (At) с у f (At)e⁻pt dt =
         0

Af f (.к-/' ■ = F 0

aJ ’

Здесь мы сделали в интеграле замену переменных At = и.
3. Если f (t) с F(p), то

eatf (t) с F(p - a)

8

(свойство смещения, или затухания).
Доказательство. Если |f(t)| 6 Meat, a = а1 + ia₂, то

|eatf (t)| = |eaⁱtf(t)| • |ea2it| 6 Me⁽tt⁺ft¹⁾t.


Далее,

           Ж
eatf (t) c у eatf (t)e~pt dt =
           0

ОС
f f (t)e⁻⁽-p⁻a⁾ dt = F(p - a). 0

4.  Если f (t) c F(p), a > 0, to


f (t — a)n(t — a) c e apF(p)

(свойство запаздывания).
Доказательство. Если |f(t)| 6 Meat, то

|f (t — a)| 6 Mea⁽t⁻a⁾ = M1eat.


Далее,


                        ОС
  f (t — a)n(t — a) c У f (t — a)e~pt dt = a

ОС
У f (u)e⁻p⁽u⁺a⁾ du = 0

= e ap

                                            О
                                             У f (u)e⁻pu du = e⁻apF (p). 0

Здесь мы сделали в интеграле замену переменных t — a = u.
5. Если f (t, x) c F(p,x), to


f ⁽t,x⁾ c FX ⁽p,x⁾


(свойство дифференцирования по параметру) — без доказательства.
6. Если f(t) с F(p), и f'(t), ..., f ⁽ⁿ⁾(t) — оригиналы, то

  f'(t) c pF(p) — f (0), f ⁽ⁿ⁾(t) c pⁿF(p) — pⁿ⁻¹f (0) — ... — f⁽ⁿ⁻¹⁾(0)


9

(свойство дифференцирования оригинала).
Здесь под f⁽j⁾ (0) понимаются пределы справа:

f ⁽j⁾(0) = tlim₀ f⁽j⁾ (t), j = 0,1,...,n - 1.


Доказательство.

        <x>                           OO
f0(t) c I f 0(t)e⁻pt dt = (f     + p J f (t)e⁻pt dt = pF(p) - f (0).

Здесь мы применили формулу интегрирования по частям, полагая u = e⁻pt, dv = f 0(t) dt, du = -pe⁻pt dt, v = f (t).
    Применяя это свойство повторно, получаем:

f00(t) p(pF(p) - f (0)) - f 0(0) = p2F(p) - pf (0) - f 0(0),

для f⁽ⁿ⁾ (t) — аналогично.
7. Если f (t) c F(p), to

                         t
Уf ⁽t )dT':¹ ⁽
                        0

(свойство интегрирования оригинала).
t
Доказательство. Если f (t) — оригинал, то функция f f (т) dr непре0
рывна для всех t и равна 0 для всех t < 0. Кроме того, если |f (t)| 6
Meat, а > 0, то


             t
           У f⁽т)dr 0


6 M У <а dr = M (eat

t

1) 6 M₁ealt,

—

0

10

где M1 = 2M. Далее,


    t          +o / t       \
  f f (r) dr Л У I ! f (r) dr I e⁻pt dt =
  0            0 \0         /

+o + +o /f ⁽r) (/e
0           т

dr =

= + f (r) (—1e⁻pt) p p
  0

+o
    dr =
т

+o
/ f ⁽rbpe- dr = Fpp). 0

Здесь мы изменили порядок интегрирования по t и r, r 6 t.

-tf (t) л F0(p), (-t)nf (t) л F⁽ⁿ⁾(p)

(свойство дифференцирования изображения).
Доказательство. Так как для любого n > 0 и в > 0
tⁿ
lim -tr = 0, t^+^ ett
то для любого n > 0 и в > 0 найдется константа C, такая, что

tⁿ ett

6 C.

Если |f(t)| 6 Meat, то
l(-t)”f (t)| 6 CettMeat = M₁e“¹t,

где M1 = CM, a1 = a + в- Далее продифференцируем n раз функцию F (p):

                (on           \ ⁽ⁿ⁾    ^
                  f f (t)e⁻}¹t dt I = f f (t)(-t)rae⁻pt dt -H-t)raf (t). 00

11