Интегральное исчисление. Определенный и несобственный интегралы

Министерство образования и науки Российской Федерации 

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 

 
 
 
 
 
 
Е.В. КАЗАНЦЕВА 
 
 
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ  
И НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛЫ 
 
 
 
 
Утверждено  
Редакционно-издательским советом университета 
в качестве учебного пособия 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
НОВОСИБИРСК 
2018 

УДК 517.3(075.8) 
         К 142 
 
 
 
 
Рецензенты: 
д-р физ.-мат. наук, профессор В.А. Селезнев, 
канд. физ.-мат. наук, доцент В.В. Комиссаров 
 
 
 
 
Казанцева Е.В.  
К 142  
Интегральное исчисление. Определенный и несобственный 
интегралы: учебное пособие / Е.В. Казанцева. – Новосибирск: 
Изд-во НГТУ, 2018. – 71 с. 

 
 
ISBN 978-5-7782-3560-1 

Учебное пособие состоит из трех разделов: вычисления определенных и несобственных интегралов; геометрических приложений определенных интегралов; физических приложений и приближенных вычислений определенных интегралов. Каждый раздел содержит краткие 
теоретические сведения, примеры решения типовых задач, варианты 
индивидуальных заданий. 
Настоящее учебное пособие подготовлено для студентов I курса 
очного и заочного отделений технических направлений и специальностей. При написании были использованы методические разработки и 
другие материалы, ранее изданные кафедрой высшей математики 
НГТУ.  
 
УДК 517.3(075.8) 
 
 
 
ISBN 978-5-7782-3560-1 
© Казанцева Е.В., 2018 
 
 Новосибирский государственный 
 
    технический университет, 2018 

СПРАВОЧНАЯ ИНФОРМАЦИЯ 

Таблица основных интегралов 

1. 

1

1
x
x dx
C




 

 
(
const,  
1)
 
  
 

2. 
ln
dx
x
C
x 


 (в любом интервале, в котором 
0)
x 
. 

3. 
x
x
e dx
e
C



. 

4. 
ln

x
x
a
a dx
C
a



 
(
const,  
0,  
1)
a
a
a



. 

5. cos
sin
xdx
x
C



. 

6. sin
cos
xdx
x
C
 


. 

7. 
2
tg
cos

dx
x
C
x



 
(в любом интервале, где cos
0)
x 
. 

8. 
2
ctg
sin

dx
x
C
x
 


 
(в любом интервале, где sin
0)
x 
. 

9. 
2
2
1 arctg
dx
x
C
a
a
a
x




. 

10. 

2
2
arcsin
dx
x
C
a
a
x





 


a
x
a



. 

11. 
2
2
2
2
ln
dx
x
a
x
C
a
x







 
(
const).
a 
 

12. 
2
2
1 ln
.
2
dx
x
a
C
a
x
a
x
a







 

13. 
2
2
1 ln
.
2
dx
a
x
C
a
a
x
a
x







 

14. 
ch
sh
.
xdx
x
C



 

15. sh
ch
.
xdx
x
C



 

16. 
2
th
.
ch

dx
x
C
x



 

17. 
2
cth
.
sh

dx
x
C
x



 

Обзор методов интегрирования 

№ 
п/п 
Вид интеграла 
Метод интегрирования 

1 


( )
( )
F f x
f
x dx


 
Подстановка 
( )
f x
t
  

2 
uv dx
udv




 

 

Интегрирование 
по 
частям 
по 
формуле 

udv
uv
vdu




. Метод интегрирования по ча
стям применяется, например, к интегралам вида 

( ) ( )
P x f x dx

, где 
( )
P x ‒ многочлен (в частности 

степенная функция 
n
x ), а 
( )
f x  ‒ одна из следующих функций: 

,  cos
,  sin
,
x
e
ax
ax  

ln ,  arctg ,  arcsin ,
x
x
x  

а также к интегралам от произведений показательной функции на косинус или синус 

3 

2

2
4
0

Mx
N
dx
x
px
q

p
q










 

Выделение полного квадрата 

2
2
2
2
4
p
p
x
px
q
x
q




















, 

затем подстановка 

2

2
4
p
p
x
t q



 

4 

2
(
1)
n
n
dx
I
x



 
Рекуррентная формула 

1
2
1
2
3
2
2
(2
2)(
1)
n
n
n
x
n
I
I
n
n
x









 

П р о д о л ж е н и е  т а б л и ц ы  

№ 
п/п 
Вид интеграла 
Метод интегрирования 

5 

2

2

, 
(
)

4
0

n
Mx
N
dx
x
px
q

p
q










 

Тот же, что в интегралах вида 3, после чего получается интеграл вида 4 

6 
( )
R x dx

 
Выделение целой части, разложение знаменателя 

на множители вида (
)k
x
a

 и 
2
(
)n
x
px
q


, 

затем разложение 
( )
R x  на простейшие дроби 

7 
(sin , cos )
R
x
x dx

 
Универсальная подстановка tg 2
x
t
  или, если 

( sin , cos )
(sin , cos )
R
x
x
R
x
x

 
, 
подстановка 

cos x
t
 ;  
если 
(sin ,
cos )
(sin , cos )
R
x
x
R
x
x

 
, подста
новка sin x
t
 ;  
если 
( sin ,
cos )
(sin , cos )
R
x
x
R
x
x



, подста
новка tg x
t
  

8 
Интеграл от произведения 
синусов и косинусов, например 

sin3 cos4
x
xdx

 

Разложение подынтегральной функции по формулам 

1
1
cos
cos
cos(
)
cos(
)
2
2

 
  
   , 

1
1
sin
sin
cos(
)
cos(
)
2
2

 
   
   , 

1
1
sin
cos
sin(
)
sin(
)
2
2

 
   
    

9 
sin
cos
m
n
x
xdx

 
Если m ‒ нечетное положительное, подстановка 
cos x
t
 ; если n ‒ нечетное положительное, подстановка sin x
t
  

10 
sin
cos
m
n
x
xdx

 

m
n

 – четное отрицательное 

Подстановка tg x
t
  

11 
sin
cos
m
n
x
xdx

 

  и  
m
n  – четные неотрицательные 

Применение формул  

2
1
cos2
sin
2

x
x


, 
2
1
cos2
cos
2

x
x


 

О к о н ч а н и е  т а б л и ц ы  

№ 
п/п 
Вид интеграла 
Метод интегрирования 

12 


, n
R x
x dx

 
Подстановка 
n
x
t

, n ‒ общее наименьшее кратное показателей всех радикалов, под которыми 
x  входит в подынтегральную функцию 

13 

, n ax
b
R x
dx
cx
d












 
Подстановка 
n
ax
b
t
cx
d



, n ‒ общее наименьшее 

кратное показателей всех радикалов, под кото
рыми ax
b
cx
d



 входит в подынтегральную функ
цию 

14 

2
dx

ax
bx
c



 
Выделение полного квадрата под радикалом, 
затем линейная подстановка (вид 3) 

15 

2
dx

x ax
bx
c



 
Обратная подстановка 
1
x
t

, приводящая к 
интегралам вида 14 

16 
 
 



2
2
,
R x
a
x
dx


 



2
2
,
R x
x
a
dx


 



2
2
,
R x
x
a
dx


 

Сведение к интегралам вида 7 подстановкой 
 
sin
x
a
t

 (или 
cos )
x
a
t

, 
 
tg
x
a
t

 (или 
ctg )
x
a
t

, 

cos
a
x
t

 или  
sin
a
x
t







 

17 


2
,
R x
ax
bx
c dx



 
Выделение полного квадрата под радикалом, 
затем линейная подстановка (вид 3), приводящая 
к интегралам вида 16 

18 


p
m
n
x
a
bx
dx


 
При p  целом положительном ‒ формула бинома 
Ньютона и непосредственное интегрирование; 

при p  целом отрицательном, 
q
m
s

, 
r
n
s

 ‒ 

подстановка 
s
x
t

; при (
1) /
m
n

 целом ‒ под
становка 
n
a
bx
t

 ; при 
1
m
n
p


 целом ‒ 

подстановка 
n
ax
b
t
 
  

 

Р А З Д ЕЛ  I 

ОПРЕДЕЛЕННЫЕ И НЕСОБСТВЕННЫЕ 
ИНТЕГРАЛЫ 

1. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ (в смысле Римана) 

Рассмотрим задачу об определении площади S криволинейной трапеции aABb. Трапеция ограничена прямыми 
x
a

, 
,
x
b

0
y 
, кривой
( )
y
f x

 (рис. 1). Разделим 
произвольным образом основание трапеции 
на n частей (рис. 2). Тогда площадь криволинейной трапеции aABb будет равна сумме 
площадей криволинейных трапеций с основаниями
1
,
i
i
i
x
x
x




 
1, ...,
i=
n . Пусть 
i  – произвольная точка 
отрезка 
1
[
,
]
i
i
x
x

, тогда 
(
)
 
i
i
i
S
f
x


 
– 
площадь 
прямоугольника 
со 
сторонами 

(
),
 
i
i
f
x


, 
n
S
1
2 ...
n
S
S
S





1

n

i
Si




 ‒ 

площадь ступенчатой фигуры (рис. 3). Тогда 

n
S
S

. Если устремим число разбиений n к 
бесконечности, причем max
0
ix


, то получим 

1

0

1

max
0
0

lim
lim

lim
(
)
.
i n

n

n
i
n
n
i

n

i
x
i

S
S
S

f
x
i






 













 





 

Определение. Выражение 
1

0
(
)
n

i
i
n
i

f
x
I




 


 называют интеграль
ной суммой функции 
( )
f x  на отрезке [ , ]
a b . 

a
b

A

B
y

x
Рис.1

a
b

A

B
y

x
x i-1 x i

x i
D
x 1
D
x
D n

Рис.2

a
b

A

B
y

x
=
x0
x i
x i-1x i
 n
=
Рис.3

Рис. 1 

Рис. 2 

Рис. 3 

Определение. Пусть функция 
( )
y
f x

 определена на конечном 

отрезке 

,a b . Если существует конечный предел последовательности 
интегральных сумм n
I , не зависящий ни от способа разбиения отрезка 
на  
,  
1, ...,
ix
i=
n

, ни от выбора точек 
i , 
1
i
i
i
x
x
   
, то это число 
называется определенным интегралом (в собственном смысле) от 
функции 
( )
f x  на отрезке [ , ]
a b : 

1

max
0
0
( )
lim
(
)
.
i

n

i
i
x
i

b

f x dx
f
x
a



 



 


 

Функции 
( )
f x , для которых вышеупомянутый предел существует, 
называются интегрируемыми (собственно) на отрезке [ , ]
a b . 
Классы интегрируемых на отрезке [ , ]
a b  функций: 
а) непрерывная на [ , ]
a b  функция; 
б) ограниченная на [ , ]
a b  функция, имеющая на этом отрезке конечное число точек разрыва; 
в) ограниченная монотонная на [ , ]
a b  функция (которая может 
иметь в этом промежутке и бесконечное число точек разрыва). 
Если функция 
( )
f x  не ограничена на отрезке [ , ]
a b , то она собственно (т. е. в собственном смысле) не интегрируема на [ , ]
a b . 

2. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 

1. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного 
интеграла:  

если 
const,
A 
 то   
( )
( )
b
b

a
a

Af x dx
A f x dx



. 

2. Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного 
числа функций равен алгебраической сумме интегралов от каждой из 
слагаемых функций: 



1
2
1
2
( )
( )
...
( )
( )
( )
...
( )
b
b
b
b

n
n
a
a
a
a

f
x
f
x
f
x
dx
f
x dx
f
x dx
f
x dx











. 

3. При перемене местами нижнего и верхнего предела интегрирования определенный интеграл изменяет знак на обратный (его абсолютная величина при этом не изменяется): 

( )
( )
b
a

a
b

f x dx
f x dx
 


, 

отсюда следует, что  

( )
0
a

a
f x dx 

. 

4. Для любых трех чисел , , 
a b c  справедливо равенство 

( )
( )
( )
b
c
b

a
a
c

f x dx
f x dx
f x dx





, 

если все три интеграла существуют. 

5. Если 
( )
0
f x 
 на отрезке [ , ]
a b , (
)
a
b

, то 
( )
0
b

a
f x dx 

. 

6. Если 
( )
( )
f x
g x

 на отрезке [ , ]
a b , (
)
a
b

, то  

( )
( )
b
b

a
a

f x dx
g x dx



. 

7.  
( )
( )
b
b

a
a

f x dx
f x dx



, (
)
a
b

. 

8.  Теорема об оценке определенного интеграла. Если: 
а) 
( )
f x  интегрируема на [ , ]
a b , (
)
a
b

, 
б) во всем этом промежутке 
( )
m
f x
M


, то  

(
)
( )
(
)
b

a
m b
a
f x dx
M b
a





. 

9. Обобщенная теорема об оценке определенного интеграла. 
Если: 
а) 
( )
f x  и ( )
g x  интегрируемы на [ , ]
a b , (
)
a
b

, 

б) во всем этом промежутке 
( )
m
f x
M


, 

в) ( )
0
g x 
 на [ , ]
a b , то 

 
( )
( )
( )
b
b
b

a
a
a
m g x dx
f x g x dx
M g x dx





. 

10. Теорема о среднем. Пусть: 
а) 
( )
f x  интегрируема на [ , ]
a b , (
, 
)
a
b b
a


, 

б) во всем этом промежутке 
( )
m
f x
M


, тогда  

( )
(
)
b

a

f x dx
b
a
 


, 

где m
M
  
 (  – среднее значение функции 
( )
f x  на [ , ]
a b ). 

Если функция 
( )
f x  непрерывна на [ , ]
a b , то 
( )
f c
 
, где 
[ , ]
c
a b

, т. е. 

( )
( )(
)
b

a

f x dx
f c b
a



. 

11. Обобщенная теорема о среднем. Пусть: 
а) 
( )
f x и ( )
g x  интегрируемы на [ , ]
a b , (
, 
)
a
b b
a


, 

б) во всем этом промежутке 
( )
m
f x
M


, 

в) ( )
g x  на [ , ]
a b  не меняет знака: ( )
0
g x 
 ( ( )
0
g x 
), тогда 

( ) ( )
( )
b
b

a
a

f x g x dx
g x dx
 


, 

где m
M
  
 (  – среднее значение функции 
( )
f x  на [ , ]
a b ).