Теория вероятностей, математическая статистика в примерах, задачах и тестах

П.Н. САПОЖНИКОВ
А.А. МАКАРОВ
М.В. РАДИОНОВА

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Москва
КУРС
ИНФРА-М
2022

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, 
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ 
СТАТИСТИКА

В примерах, задачах и тестах

Допущено  НМС по математике Минобрнауки РФ
в качестве учебного пособия для студентов высших
учебных заведений, обучающихся по направлениям подготовки:
01.03.04, 01.04.04 «Прикладная математика» (квалификация
«Бакалавры», «Магистры» соответственно),
38.03.01, 38.04.01 «Экономика» (квалификация «Бакалавры», 
«Магистры» соответственно)

УДК 519.2(075.8)
ББК В172я73
 
С19

Сапожников П.Н., Макаров А.А., Радионова М.В. 
Теория вероятностей, математическая статистика в примерах, 
задачах и тестах: учеб. пособие / П.Н. Сапожников, А.А. Макаров, М.В. Радионова. — Москва : КУРС: ИНФРА-М, 2022. —
496 с. 

ISBN 978-5-906818-47-8 (КУРС)
ISBN 978-5-16-011956-4 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-104551-0 (ИНФРА-М, online)
Сборник содержит свыше 350 задач по основным разделам университетского курса «Теория вероятностей и математическая статистика», 
оформленных в виде заданий с четырьмя ответами, из которых только 
один правильный. Задания расположены по темам, что облегчает формирование как тематических, так и сводных тестов для текущего или итогового контроля знаний студентов.
В предисловиях к заданиям каждой темы рассматриваются необходимые 
для их решения понятия и методы теории вероятностей и математической 
статистики в доступной для студентов нематематических специальностей 
форме. Вместо доказательств большинство положений иллюстрируется на 
содержательных примерах, которые не только способствуют пониманию 
сущности понятий и утверждений, но и знакомят студентов с возможностями применения вероятностно-статистических методов. Несмотря на 
элементарный стиль изложения, все понятия и утверждения математически корректны и полностью соответствуют современным представлениям. 
Кроме того, сборник содержит решения всех заданий с анализом ошибочных ответов там, где это необходимо.

Р е ц е н з е н т ы:
В.С. Мхитарян — д-р экон. наук, профессор, руководитель департамента статистики и анализа данных Факультета экономических наук 
НИУ ВШЭ;
В.В. Чичагов — канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры высшей математики Пермского государственного национального исследовательского университета, главный редактор межвузовского сборника научных трудов «Статистические методы оценивания и проверки гипотез»

С19

©  Сапожников П.Н., 
Макаров А.А., Радионова М.В., 
2016
© КУРС, 2016

ISBN 978-5-906818-47-8 (КУРС)
ISBN 978-5-16-011956-4 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-104551-0 (ИНФРА-М, online)

ФЗ 
№ 436-ФЗ
Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11

Предисловие

Цель настоящего издания — помочь студентам, обучающимся по спе
циальностям математика, прикладная математика и инженерно-техническим, освоить университетский курс теории вероятностей и математической статистики. Книга будет полезна и преподавателям вузов для 
организации регулярного текущего контроля знаний студентов по указанному курсу. Некоторые разделы книги будут полезны для чтения различных спецкурсов и курсов по выбору, связанных с прикладными вопросами теории вероятности и математической статистики как в бакалавриате, так и магистратуре и аспирантуре. Читатель найдет в книге 
разбор многих примеров использования теории вероятностей и статистики и в области технических и экономических приложений.

Книга состоит из двух разделов. В первом разделе по каждой теме 

курса вводятся основные теоретические понятия и теоремы, поясняемые 
многочисленными примерами. Затем следует обширный материал для 
оперативного контроля знаний студентов в форме тестов. Во втором 
разделе проводится краткий разбор каждого тестового задания. При 
этом указывается не только правильный ответ, но и поясняется, почему 
другие ответы ошибочны.

Следует отметить, что наряду с простым и стандартным материалом 

по курсу для инженерно-технических специальностей в книгу включен 
и более сложный материал, который будет полезен студентам и аспирантам, обучающимся по математическим специальностям и специализирующимся в области теории вероятностей и математической статистики.

Замысел организации учебного материала подобным образом исхо
дит из многолетней преподавательской практики авторов, которая показывает, что без регулярной работы студентов с материалами курса 
и периодического текущего контроля их знаний невозможно добиться 
хороших результатов по курсу. Именно поэтому книга составлена 
не в традиционном жанре сборника задач по теории вероятностей и статистике, таких хороших задачников прикладного плана достаточно [6], 
[20], [21], а предложена тестовая форма контроля и самоконтроля знаний.

При этом в зависимости от уровня формализации изложения мате
риала и глубины проработки каждой темы преподаватель может компоновать из предложенных тестовых вопросов мини-тесты для контроля 
знаний студентов на семинарах. Студенты при подготовке к семинарам 
и экзаменам также могут использовать тестовые задания для самоконтроля усвоения материала. Хочется подчеркнуть, что подобный контроль 

текущих знаний студентов, который в тестовой форме не очень обременителен и для преподавателей, мобилизует студентов на работу в течение 
всего семестра. В Высшей школе экономики оценки по текущим формам контроля знаний студентов в течение курса обычно непосредственно участвуют в формировании итоговой оценки по курсу наряду 
с экзаменационной оценкой.

Материал книги прошел многолетнюю апробацию по текущему 

контролю знаний студентов в Пермском государственном университете 
и частично Пермском филиале Высшей школы экономики, где авторы 
этой книги много лет на разных факультетах читали курсы теории вероятностей и математической статистики и вели специальные курсы 
по этой тематике. Отметим, что материал, включенный в книгу, охватывает не только стандартный курс теории вероятностей и математической 
статистики, но и ряд смежных тем, которые возникают в приложениях. 
В частности, в книгу включены некоторые распределения вероятностей, 
возникающие в теории надежности, теории массового обслуживания 
и демографии (п. 4.6) и смеси распределений (п. 4.8).

За рамки стандартного курса теории вероятностей выходит гл. 8, 

в которой речь идет о приближении случайных величин функциями других случайных величин (рассматриваемые здесь вопросы тесно перекликаются с вопросами регрессионного анализа). Материал этой главы 
иллюстрируется экономическими примерами. В заметно большей общности и объеме, чем принято в стандартных курсах, в бакалавриате дается материал гл. 10, где обсуждаются предельные теоремы для сумм 
независимых случайных величин. Здесь на примерах обсуждаются характеристические функции и их использование в доказательствах различных предельных теорем, включая теоремы для безгранично делимых 
законов распределения (п. 10.2), нормализуемых сумм (п. 10.3) и т. п. 
В разделах, посвященных математической статистике, в большей общности, чем принято обычно, рассматриваются вопросы доверительного 
оценивания (гл. 12).

Заданиям каждой главы предшествует изложение основных понятий 

и утверждений по данной теме, но авторы сочли разумным заменить 
цитирование доказательств, которые можно найти в многочисленных 
учебниках, примерами, способствующими более глубокому усвоению 
теоретических положений и иллюстрирующими их применение. Кроме 
того, такое представление материала точнее отвечает названию книги. 
В качестве учебников читатель может ориентироваться на книги [17], 
[18], [19].

Авторы выражают благодарность нашим редакторам и рецензентам, 

В. С. Мхитаряну и В. В. Чичагову, работа которых позволила заметно 
улучшить книгу.

список принятых обозначений,  

сокращений и терминов

1. Символ • —  начало решения иллюстративного примера.
2. Буквы A, B, C, ... c индексами или без —  обозначения событий.
3. Прописные латинские буквы c индексами или без и греческие буквы — 

обозначения случайных величин. Строчные латинские буквы —  обозначения для значений случайных величин.

4. Xn = (X1, X2, ..., Xn) — обозначения вектора, XT —  транспонированный век
тор.

5. F x
P X
x
( )
{
}
=
<
 —  функция распределения случайной величины X, f x
( ) — 

плотность распределения случайной величины X.

6. Символ ∝, стоящий вместо знака равенства, является знаком пропорцио
нальнальности. Если он применен при задании плотности или ряда распределения, то неуказанный коэффициент определяется из условия нормировки.

7. n* — номера более сложных заданий, n — номера заданий, если для реше
ния нужен калькулятор.

8. P{A} или P(A), MX, DX —  вероятность события A, математическое ожидание 

и дисперсия случайной величины X.

9. Если X ≥ 0, то подразумевается, что ее функция распределения равна нулю 

при отрицательных значениях аргумента.

10. Если случайная величина X подвергается преобразованию bX + a, то a на
зывается параметром аддитивного сдвига, или положения, а b —  параметром маштаба.

11. F(x) —  функция распределения стандартной нормальной величины.

12. X
n
X
S
X
X
l
n
k
l

k

n

n
n
=
=

=∑

1

1

2
2
2
,
(
) .
 

13. ОММ, ОМК, ОМП —  оценки, полученные методом моментов, квантилей 

и максимального правдоподобия, соответственно.

14. НОРМД —  несмещенная оценка равномерно минимальной дисперсии.
15. Обозначения для наиболее употребительных распределений: Bi(n, p) —  бино
миальное, n — число испытаний, p — вероятность успеха в каждом испытании; NB(m, p) —  отрицательно-биномиальное; P(l) —  Пуассона с параметром интенсивности l; H(k, N, D) —  гипергеометрическое с параметрами 
k, N, D; N(a, s2) —  нормальное с MX = a, DX = s2; Nm(a, Q) —  m-мерное 
нормальное с MX = a, Cov(X, X) = Q; UNI[a, b] —  равномерное на промежутке 
[a, b]; GAM(a, b, a) —  гамма с параметром формы a, параметром масштаба 
b > 0 и параметром положения a; Gam
b
GAM
b
( , )
( , ,
)
a
a
 
 
 
=
0; E(l) —  показа
тельное с параметром l; Er(l, m) —  Эрланга (распределение суммы m независимых величин E(l)); LGN(a, s2) —  логнормальное с параметрами a и s2; 
WG(a, b) —  Вейбулла—Гнеденко с параметром формы a и параметром масштаба b, a, b > 0; Bet(a1, a2) —  бета с параметрами a1, a2; Tm —  статистика 
Стьюдента с m степенями свободы; cm

2  —  хи-квадрат с m степенями свободы; 

Fn n
1
2
,  —  Фишера—Снедекора с n1 и n2 степенями свободы.

раздел I 

КратКие сведения 

По теории вероятностей 

и математичесКой 

статистиКе с Примерами

Глава 1 

начальные Понятия  
теории вероятностей

1.1. Определения и свОйства сОбытий

Здесь напоминаются некоторые начальные понятия, утверждения, 

термины и обозначения теории вероятностей, необходимые для понимания и решения тестовых заданий, приведенных в конце параграфа.

испытание, событие, элементарные исходы испытания
Испытание —  реализация определенного набора условий. Реали
зацию измененного набора условий следует считать другим испытанием.

Событие —  ожидаемый результат испытания, определенный до его 

проведения. После проведения испытания событие может произойти 
или не произойти вследствие непредсказуемого проявления скрытых 
причин, не учтенных в наборе условий, задающих испытание. Исключение составляют невозможное и достоверное события.

Невозможное событие —  событие, наступление которого в данном 

испытании исключено. Достоверное событие —  событие, которое обязательно происходит в данном испытании.

Элементарные исходы испытания. Формальный подход к понятию 

события заключается в следующем. Испытанию ставится в соответствие 
некоторое множество W, называемое множеством элементарных исходов, а наступление события отождествляется с выбором любого элемента w из определенного, соответствующего только данному событию, 
подмножества. Несмотря на то что испытание —  это реализация определенного набора условий, ему можно поставить в соответствие различ

ные множества элементарных исходов, но с обязательным ограничением: выбор какого-угодно элементарного исхода исключает выбор 
другого.

Если выбор произвольного элементарного исхода из подмножества A 

отождествляется с наступлением события A, а появление исхода, не принадлежащего подмножеству а, отождествляется с ненаступлением события А, то а называют подмножеством элементарных исходов, благоприятствующих наступлению события А (для краткости, «множество, 
соответствующее А»). Само множество W соответствует достоверному 
событию, а пустое множество ∅ —  невозможному событию.

Пример 1. Испытание заключается в 4-кратном подбрасывании мо
неты и регистрации выпавшего набора гербов и надписей после падений 
ее на гладкий пол. Описать множество элементарных исходов.

• В качестве множества элементарных исходов здесь можно взять 

множество двоичных кодов W = {
}
(
), (
), ..., (
)
0000
0001
1111
 
 
 
, сопоставив 

выпадению надписи цифру 0, а выпадению герба цифру 1. Событию — 
сумма выпавших гербов равна i — соответствуют подмножества Ai элементарных исходов с суммой цифр, равной i. С другой стороны, если 
интерес представляет только общее число выпавших гербов, то можно 
принять за элементарные исходы именно подмножества Ai или числа 
множества W1 = {0, 1, 2, 3, 4}. Событиям —  герб выпадет не менее 3 раз, 
меньше 4 раз и т. п. — соответствуют подмножества A
A
3
4
∪
, W \ A4  в про
странстве W и подмножества {3, 4}, W1
4
0 1 2 3
\ { }
{ , , , }
=
  
 
 в простран
стве W1.

Пример 2. Пусть результатом испытания является размер иска, предъ
явленного страховой компании одним из клиентов.

• Теперь в качестве множества элементарных исходов естественно 

принять некоторое ограниченное сверху подмножество W положительных чисел (игнорируя, для простоты, тот факт, что расчеты ведутся с точностью до копеек). Тогда события: A —  размер иска будет в пределах 
50–100 т. р., B —  размер иска будет в пределах 80–150 т. р. можно отождествить с подмножествами A = [50, 100], B = [80, 150]. Многие другие 
подмножества W также должны соответствовать каким-то событиям. 
Например, утверждения о том, что множествам C = [0, 100], C \ A = [0, 50), 
A ∩ B = [80, 100] не соответствуют никакие события, представляются 
абсурдными.

Приведенные простейшие примеры показывают, что выбор множе
ства элементарных исходов обусловлен постановкой задачи, однако 
класс  всех подмножеств, каждое из которых соответствует некоторому 
событию, должен обладать следующими, естественными для приложений, свойствами.

1. Множества W и ∅ принадлежат , первое соответствует достовер
ному событию, а второе невозможному.

2. Если подмножество A ∈  соответствует событию A, то подмно
жество A
A
=
∈
W \
, так как оно соответствует событию A  —  событие A 

не произойдет, которое принято называть противоположным A.

3. Если подмножества A
A
A
1
2
n
,
, ...,
 
 
 
∈   соответствуют наступлению 

событий A1, A2, ..., An, то объединение 
Ak

k

n

=

∈

1∪
, так как оно соответ
ствует наступлению хотя бы одного из событий A1, A2, ..., An.

4. Если подмножества A
A
A
1
2
n
,
, ...,
 
 
 
∈   соответствуют наступлению 

событий A1, A2, ..., An, то пересечение 
Ak

k

n

=

∈

1∩
, так как оно соответ
ствует одновременному наступлению событий A1, A2, ..., An.

Для наглядности представления операций над подмножествами ис
пользуют рисунки, называемые диаграммами Эйлера—Венна (рис. 1.1–
1.4). Элементарные исходы, соответствующие надписям под рисунками, 
заштрихованы.

Эти диаграммы позволяют также выражать сложные события через 

более простые составляющие, используя теоретико-множественные операции. В частности, множества, заштрихованные на диаграммах, можно 
рассматривать как: ненаступление события A; наступление хотя бы одного из двух событий — A, B; наступление событий A, B одновременно; 
наступление только события A из двух событий A, B.

A

A
Ω

A
B

Ω

∪
A
B

рис. 1.1. A  —  дополнение  

множества A

рис. 1.2. A
B
∪
 —  объединение 

множеств а, в

Ω

A
B

∩
A
B
Ω

A

B

A \ B

рис. 1.3. A
B
∩
 —  пересечение 

множеств A, B

рис. 1.4. A
B
\
 —  дополнение к B  

во множестве A

алгебра событий
В силу отмеченного соответствия между событиями и подмноже
ствами множества элементарных исходов будем сами эти подмножества 
называть событиями, а класс подмножеств  множества W с указанными 
свойствами событий 1–4 —  алгеброй событий.

Пример 3. Показать, что четвертое свойство, используемое в опреде
лении алгебры событий, можно исключить, так как оно является следствием трех предыдущих.

• Противоположным событию 
Ak

k

n

=1∩
 —  все Ak наступили одновре
менно —  является событие 
Ak

k

n

=1∪
 —  хотя бы одно из Ak не наступило. 

Но из свойства 2 следует, что все Ak ∈ , а из свойства 3 следует, что 

Ak

k

n

=

∈

1∪
. Тогда и противоположное к нему 
Ak

k

n

=

∈

1∩
.

Отметим еще один важный термин. Если одновременное наступле
ние событий A, B невозможно, т. е. A
B
∩
= ∅, то такие события назы
вают несовместными.

Для обозначения событий и результатов операций над ними исполь
зуются различные способы. Текст или формулу, определяющие события, 
помещают в скобки. Для краткого обозначения обычно применяются 
печатные латинские буквы A, B, C, ..., в случае большого числа событий 
возможно использование индексов Ai, Ai,j и т. п.

Для обозначения подмножеств и событий в п. 3, 4 часто применяют 

обозначения и терминологию из алгебры. Вместо термина «хотя бы одно 
из событий A1, A2, ..., An» говорят «сумма событий» и применяют обозначение A
A
An
1
2
+
+ … +
, вместо термина «события A1, A2, ..., An происходят 

одновременно» говорят о «произведении событий» и используют обозначение A1, A2, ..., An. Однако в отличие от операций, используемых для 
свертывания указанных формул в алгебре, для событий сохраним обо
значения 
Ak

k

n

=1∪
, 
Ak

k

n

=1∩
. Эти обозначения более естественны при задании 

событий текстом или формулами. В последнем случае часто используется еще одно обозначение: если события Ak определены формулами, 

то вместо 
Ak

k

n

=1∩
 формулы, определяющие Ak, просто выписываются 

в строчку и отделяются запятыми.

Пример 4. Пусть Xk, k = 1, 2, ..., n —  ожидаемые размеры выплат 

по депозитным счетам и w —  некоторое фиксированное число. Рассмотрим следующие события, которые могут представлять интерес для 
банка: 

1) клиент затребует сумму превосходящую w; 
2) хотя бы один клиент затребует сумму превосходящую w; 
3) все клиенты затребует суммы превосходящие w; 
4) клиентов, с требованиями выше w не будет. 
Какие обозначения можно использовать для этих событий?
• 1. Во всех случаях можно использовать указанные текстовые опре
деления, или обозначения {
}
X
w
k >
, или ввести события A
X
w
k
k
=
>
{
}. 

2. Формулу A
A
An
1
2
+
+ … +
 можно свернуть в 
Ak

k

n

=1∪
 или записать как 

{
}.
X
w
k

k

n

>

=1∪
 

3. Наряду с обозначением A A
An
1
2...
 можно использовать также обо
значения 
Ak

k

n

=1∩
 или 
{
}
X
w
k

k

n

>

=1∩
, {
>
,
>
,
,
>
}
1
2
X
w X
w
X
w
k
 
 
 
...
. 

4. Подобное обозначение для одновременного наступления событий 

можно применить и здесь: {
,
, ...,
}
X
w X
w
X
w
k
1
2
≤
≤
≤
 
 
 
.

В алгебре событий существует также аналог арифметических нера
венств A < B или A
B
≤
. Событие A влечет событие B, если AB = A, т. е. при 

наступлении события A одновременно наступает событие B (обозначения: 
A
B
⊂
 или B
A
⊃
). 

Использование обозначений A
B
⊆
 или B
A
⊇
 отражает тот факт, 

что событие A либо влечет B, либо совпадает с ним (в теории множеств 
вместо этих терминов используют термины «содержится» или «содержит»).

Пример 5. Пусть t1, t2 —  времена нормальной работы однотипных 

изделий (в часах). Каковы соотношения между событиями A1 = 
=
+
<
{
},
t
t
1
2
600
 A2
1
600
=
<
{
},
t
 B1
1
2
600
=
+
≥
{
},
t
t
 B2
1
600
=
≥
{
}
t
?

• Если большая сумма меньше 600, то меньшая тем более мень- 

ше 600, так что A1 влечет A2. Наоборот, B2 влечет B1.

Из четырех базовых свойств событий выводится ряд других, которые 

приведены ниже. Некоторые из них отражают теоретико-множественную природу событий, другие аналогичны свойствам арифметических 
операций: сложению, умножению, вычитанию.

5. AA = A, A + A = A.
6. Если A
B
⊆
, то A
B
B
+
=
.

7. Результаты операций A
B
C
+
+
+ ...  и ABC... не зависят от порядка 

расположения событий A, B, C, ... и очередности их выполнения.

8. B A
A
A
A
BA
BA
BA
BA
m
m
(
...
)
(
)
(
)
(
)
...
(
).
1
2
3
1
2
3
+
+
+
+
=
+
+
+
+

9. Из свойства 8 следует, что B
BA
BA
=
+
 для любых двух событий 

A, B. Поэтому событие B
A
\
 определяется как BA. Кроме того, 

C B
A
CB
CA
(
\
)
\
=
 для любого C.