Высшая математика. Комплексные функции и интегралы. Ряды и многочлены

Национальный исследовательский университет МЭИ 

А.А. Туганбаев 

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА 

Комплексные функции и интегралы 

Ряды и многочлены 

Учебник 

Москва 

Издательство «ФЛИНТА» 

2022 

УДК 511.176+517.5(076.2) 
ББК  22.161я73 
 Т81 

       Туганбаев А.А. 
Т81         Высшая математика. Комплексные функции и интегралы. 

Ряды и многочлены [Электронный ресурс] : учебник / А.А. 
Туганбаев. — Москва : ФЛИНТА, 2022. — 152 с. 

ISBN 978-5-9765-4615-8 

Книга соответствует программам курсов высшей матема
тики для студентов специальностей с расширенным изучением высшей математики и может выполнять функции учебника, задачника, решебника и сборника контрольных заданий по важнейшим разделам высшей математики: поля, многочлены, кольца. 

Для студентов, аспирантов и преподавателей по специ
альностям с расширенным изучением высшей математики. 
УДК 511.176+517.5(076.2) 
ББК  22.161я73 

ISBN 978-5-9765-4615-8 
  © Туганбаев А.А., 2022 
© Издательство «ФЛИНТА», 2022 

Оглавление

Глава 1. Комплексные функции и их производные ................ 6 
1.1. Комплексные числа и комплексная плоскость ....................... 6 

1.1.1. Комплексные числа и действия над ними ................. 6 
1.1.2 Подмножества комплексной плоскости .................... 11 
1.1.3. Кривые и области ....................................................... 13 
1.1.4. Основные элементарные функции ........................... 14 

1.2. Производные комплексных функций .................................... 16 

1.2.1. Условия Коши-Римана .............................................. 16 
1.2.2. Достаточное условие дифференцируемости ........... 17 

1.3. Задачи к главе 1 . ....................................................................... 18 

Глава 2. Комплексные интегралы и их свойства ................... 19 
2.1. Комплексные интегралы ......................................................... 19 

2.1.1. Достаточное условие интегрируемости ................... 20 
2.1.2. Основные свойства комплексных интегралов ......... 20 

2.2. Теорема Коши и интеграл Коши ............................................ 21 

2.2.1. Теорема Коши ............................................................ 21 
2.2.2. Формула Коши, интеграл Коши  
и интеграл типа Коши ......................................................... 23 
2.2.3. Аналитичность всех производных  аналитической 
функции . .............................................................................. 24 

2.3. Задачи к главе 2 ...................................................................... 27 

Глава 3. Действительные и комплексные ряды ..................... 28 
3.1. Числовые ряды над С и R ........................................................ 28 

3.1.1. Общие свойства числовых рядов ............................. 28 
3.1.2. Признак сравнения. Интегральный признак ........... 33 
3.1.3. Признаки Даламбера, Коши и Лейбница ................ 38 

3.2. Функциональные ряды над С и R .......................................... 41 

3.2.1. Общие свойства функциональных рядов ................ 42 
3.2.2. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус,
круг и интервал сходимости ................................................ 48 
3.2.3. Свойства степенных рядов ........................................ 51 
3.2.4. Ряды Тейлора аналитических функций ................... 53 
3.2.5. Ряды Тейлора действительных функций ................. 55 

3

3.2.6. Разложения в ряды Тейлора и Фурье ....................... 55 

3.3. Задачи к главе 3 ....................................................................... 60 

3.3.1. Задачи с краткими решениями ................................. 60 
3.3.2. Задачи с ответами ...................................................... 64 

Глава 4. Ряды Лорана и вычеты ............................................... 68 
4.1. Ряды Лорана . ............................................................................ 68 

4.1.1. Нули аналитических функций .................................. 68 
4.1.2. Теорема Лорана .......................................................... 69 
4.1.3. Изолированные особые точки .................................. 71 

4.2. Вычеты и их применение ....................................................... 75 

4.2.1. Вычеты в изолированных особых точках ............... 75 
4.2.2. Вычет в бесконечно удаленной точке ..................... 76 
4.2.3. Вычеты и вычисление интегралов ........................... 77 

4.3. Задачи к главе 4 . ...................................................................... 78 

Глава 5. Комплексные и действительные многочлены ........ 81 
5.1. Комплексные многочлены ...................................................... 81 

5.1.1. Общие сведения о многочленах над С и R .............. 81 
5.1.2. Комплексные последовательности и пределы ........ 83 
5.1.3. Модули комплексных многочленов ......................... 83 
5.1.4. Алгебраическая замкнутость поля С ....................... 86 
5.1.5. Разложения и корни комплексных многочленов .... 88 
5.1.6. Решение кубических уравнений над С .................... 92 
5.1.7. Решение уравнений степени 4 над С ........................ 97 

5.2. Действительные и рациональные многочлены ..................... 98 

5.2.1. Действительные многочлены ................................... 98 
5.2.2. Рациональные и целочисленные многочлены ........ 99 

5.3. Задачи к главе 5 ...................................................................... 103 

Глава 6. Поля, кольца и многочлены ..................................... 105 
6.1. Поля и кольца . ........................................................................ 105 

6.1.1. Поля и подполя. Кольца и подкольца ...................... 105 
6.1.2. Характеристики и примеры колец и полей ............. 108 
6.1.3. Идеалы в кольцах и главные идеалы ....................... 110 

6.2. Евклидовы кольца и области главных идеалов .................... 113 

6.2.1. Евклидовы кольца .................................................... 113 
6.2.2. Области главных идеалов ........................................ 115 

4

6.2.3. Факториальные области ........................................... 118 
6.2.4. Кольца многочленов ................................................ 124 
6.2.5. Поле частных. Многочлены  
над факториальными областями ....................................... 129 

6.3. Расширения полей ................................................................. 136 

6.3.1. Алгебраические и конечные расширения ............... 136 
6.3.2. Минимальные многочлены  
и степень алгебраического элемента ............................... 138 
6.3.3. Простые расширения полей .................................... 139 
6.3.4. Составные алгебраические расширения ................ 142 
6.3.5. Поле алгебраических чисел ..................................... 145 
6.3.6. Квадратичные расширения полей  
и разрешимость в квадратных радикалах ........................ 147 
6.3.7. Построения с помощью циркуля и линейки ........... 149 

 
 
 

z = (x, y)x, y ∈ Rλ ∈ R z1 + z2 = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2),
(1.1.1)

λz = (λx, λy) = zλ,
(1.1.2)

z1 · z2 = (x1, y1) (x2, y2) = (x1x2 − y1y2, x1y2 + x2y1).
(1.1.3)

Cz = (x, y) 
!"#(0, 1) i"$%&"&"'i · i = i2 = (0, 1) (0, 1) = (−1, 0).

#z = (x, y) z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + iy.

(

x, y ∈ R z =
x + iy z z C !z = x + iy" # $ x" y %$&i %!&"&
"

#$$"i2 = −1#z #$z = (x, y) = x + iyz = (x, y) ∈ C Oxy $$(x; y)'R2 = C"&
$(C"(x, 0) = x(1, 0)")*"$$&x ∈ R"*#z #$z = (x, y) = x · 1 + y · i, #$&C = R2 $1 = (1, 0) i = (0, 1)(x, 0) = x(1, 0)")*"$$&x ∈ R"*'""R ⊂ C"#x = x+i0"$&Ox $+"1 = 1 + i0 0 = 0 + i0 $C(0, y) = y(0, 1) = iy #$"

& "iy ,#z = x + iy −z = −x − iy z = x−iy z -"z z Oxy Ox" zz = x2 + y2 = |z|2 ≥ 0" zz ̸= 0 z ̸= 0a, b ∈ C a + (−b) ∈ C"a − b.*$

(2 − 5i) − (−3 + 7i) = (2 + 3) + (−5 − 7)i = 5 − 12 iIV II a + b = b + a ab = ba a, b ∈ Ca + (b + c) = (a + b) + c (ab)c = a(bc) a, b, c ∈ Ca + 0 = 0 + a = a a1 = 1a = a a ∈ Ca + (−a) = (−a) + a = 0 a ∈ Ca(b + c) = ab + ac(b + c)a = ba + ca a, b, c ∈ C!C !"!R! " #0 ̸= a ∈ C 0 ̸= |a| = aa ∈ R!a a |a|−1 = a |a|−1a = 1$ a |a|−1 !!
! a a−1##%z1, z2 ∈ C z2 ̸= 0|z2|2 = z2z2 = x2
2 + y2
2 ̸= 0 z1
z2
= z1z2

z2z2
= x1x2 + y1y2

x2
2 + y2
2
+ iy1x2 − x1y2

x2
2 + y2
2
.
(1.1.5)

(11 + 13i)(3 + 7i)

9 + 49
= −58 + 116i

58
= −1 + 2 i.

$"&!' F "!(0 1!(a, b ∈ F (a + b ∈ F ab ∈ F(a b %!!F !)!F C &C"!' ! C "!(a, b !! a + b ab *!a ̸= 0+ (a−1'R 'Q 

Z N CR Qz = z + iy ∈ Cx, y ∈ R|z| =
x2 + y2!ρ(z)!z" |z| = ρ(z) #
z O(0; 0)$|z| = 0
z = 0z = x ∈ R %&'(

z = z, z1 ± z2 = z1 ± z2, z1z2 = z1 z2"
z
= |z|, |z1 ± z2| ≤ |z1| + |z2|, |z1z2| = |z1||z2|z1
z2

= |z1|

|z2|.

z + z = 2Re z = 2x, z − z = i2Im z = i2y, z · z = |z|2 = x2 + y2.

)ρ, ϕ # z = x+iy |z| = ρϕ2πkk ∈ Z!z !*+, z)!ϕ = *+, z'(−π, π] !z !! -+, z*+, z = -+, z + 2πkk ∈ Z.x = |z| cos ϕy = |z| sin ϕ/!%-+, z =

⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨

⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩

arctg(y/x),
x > 0,
arctg(y/x) + π,
x < 0, y ≥ 0,
arctg(y/x) − π,
x < 0, y < 0,
π/2,
x = 0, y > 0,
−π/2,
x = 0, y < 0.

(1.1.4)

0!z 2π(

*+, z = -+, z + 2πk, k ∈ Z.

y ∈ R !! eiy cos y +
i sin y ∈ C0|eiy| = cos2 y + sin2 y = 1y ∈ R eiy

1 0 = 0+i02-+, eiy = y3 y ∈ (−π, π] eiy

z = x + iy z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ z = |z|eiϕzz = x + iy z!"• z1z2 = |z1|eiϕ1|z2|eiϕ2 = |z1||z2|ei(ϕ1+ϕ2)• z1

z2
= |z1|eiϕ1

|z2|eiϕ2 = |z1||z2|ei(ϕ1−ϕ2),

• zn =
|z|eiϕn = |z|ei nϕ.

#$%%%&'

zn = rn(cos nϕ + i sin nϕ), n ∈ Z,
(1.1.6)

n√z =
n√r
cos ϕ + 2πk

n
+ i sin ϕ + 2πk

n

, k = 0, n − 1, n ∈ N.
(1.1.7)

(%%)$%n√r n & %" *" ρ(z1, z2) = |z1 − z2| C )ρ(z1, z2) )%%z1 = x1 + iy1 z2 = x2 + iy2+&%,)'

z1 · z2 = r1r2 [cos(ϕ1 + ϕ2) + i sin(ϕ1 + ϕ2)] ,

z1
z2
= r1

r2
[cos(ϕ1 − ϕ2) + i sin(ϕ1 − ϕ2)] ,

&zj = rj(cos ϕj + i sin ϕj), ϕj = -./ zj, rj = |zj|, j = 1, 2.

z1 = 2 + 3i z2 = 3 − i &,%"
%%z1(z1 + 2z2);

z1 + 2z1

z2
;

z2 − 2z2

z1
◁ )0"0"%%1 z1(z1 + 2z2) = z1z1 + 2z1z2 = |z1|2 + 2z1z2 = 22 + 32 + 2(2 − 3i)(3 − i) =

= 13 + 2(6 − 2 i − 9i + 3i2) = 13 + 2(3 − 11i) = 19 − 22 i.

z2z1 + 2z1

z2
= (z1 + z1 + z1)z2

z2z2
= (2 Re z1 + z1)z2

|z2|2
= (4 + 2 − 3i)(3 + i)

32 + (−1)2
=

= 1

10(18 + 6i − 9i − 3i2) = 1

10(21 − 3i) = 3

10(7 − i).

z1z2 − 2z2

z1
= (z2 − z2 − z2)z1

z1z1
= (2 i Im z2 − z2)z1

|z1|2
= (−2 i − 3 − i)(2 − 3i)

22 + 32
=

= − 3

13(1 + i)(2 − 3i) = − 3

13(2 − 3i + 2i − 3i2) = − 3

13(5 − i). ▷

{zn}∞
k=m
=
zm, zm+1,... zn ∈ Cnznzm
m ∈ Z !"#{zn}∞
k=0 {zn}∞
k=1 

$#"R > 0 %N#n > N #{zn}n =
1, ∞ #|zn| > R, #&#""##% #'z = ∞
%%( %C = C ∪ {z = ∞}%%( %C #%
( %#( %z = ∞ 

)%( ( *( %%( %%( +R #1%%( %C %C S %O(0; 0) ,( +N R #( %(
z ∈ C -#( % %%z′ ∈ C .#z ↔ z′ #+( /R *( %C"#N %#%∞ 

N

C
z → z′ z ∈ S \ N

R \ N
C

C → R

ϕ =
O
C
R

ρ =
C
O

R

Re (z − z0) = a
Oy

(a + x0; 0)
z0 = x0 + iy0

Im (z − z0) = b
Ox

(0; b + y0)
z0 = x0 + iy0

|z − z0| = R (R > 0)
z0 = (x0, y0)

R

arg(z − z0) = ϕ
z0 = (x0, y0)

ϕ
Ox (−π < ϕ ≤ π)

|z−z1| = |z−z2|

z1
z2
z1
z2

Re (a(z − z0)) = 0
z0

a = (A, B) = A + iB

Im (a(z − z0)) = 0
z0

a = (A, B) = A + iB

|z − z1| + |z − z2| = 2a

z1
z2

2a > 0 2a > |z1 − z2|
z1
z2

z1 = −c, z2 = c > 0
x2

a2 + y2

b2 = 1,

b =
√

a2 − c2 (a > c)

||z − z1| − |z − z2|| = 2a z1 z2 2a > 02a < |z1 − z2|z1 z2z1 = −c, z2 = c > 0 x2

a2 − y2

b2 = 1, b =
√

c2 − a2 (c > a)!

|z − z1| − |z − z2| = 2a "z2!

|Re (a(z − z1))| = |a| · |z − z0| z0 #$ % Re (a(z − z1)) = 0 #$Re (a(z0 − z1)) ̸= 0z0 = p/2,
z1 = −p/2, a = 1 y2 = 2px.

&t [α, β] Ox "γ [α, β] %  C 'x(t), y(t): [α, β] → Rγ(t) = x(t) + i y(t) ∈ C("γ #"C$ %C)γ [α, β] 'x(t) y(t)
%x′(t) y′(t) #'αβ
*%$0 t ∈
[α, β])")"γ [α, β] C+"%*t = α t = β %"M(γ(α), γ(β)!"(z0 ∈ M ⊂ C M*,'"*"M-"M "M(z0 "M ⊂ C%"*M "*-"M "