Курс математического анализа

Национальный исследовательский университет МЭИ 

Московский государственный университет  
имени М.В. Ломоносова 

А.А. Туганбаев 

КУРС  
МАТЕМАТИЧЕСКОГО 
АНАЛИЗА 

Учебник 

Москва
Издательство «ФЛИНТА»
2020

УДК 517.2(075.8) 
ББК  22.161.5я73 
  Т81 

Т81        

 Туганбаев А.А. 
Курс математического анализа  [Электронный ресурс] : учебник / 
А.А. Туганбаев. — М. :  ФЛИНТА, 2020. — 376 с. 

ISBN 978-5-9765- 4282-2 
Книга соответствует программам курсов высшей математики для студентов 

различных нематематических специальностей и может выполнять функции учебника, задачника и решебника по важнейшей части высшей математики – математическому анализу, включая разделы: пределы, непрерывность, дифференциалы, 
производные, формула Тейлора и экстремумы для функций одной и нескольких 
переменных, неопределенные, определенные, несобственные, двойные и тройные 
интегралы, числовые и функциональные ряды. 

Для студентов и преподавателей нематематических факультетов высших 

учебных заведений. 
УДК 517.2(075.8) 
ББК  22.161.5я73 

Учебное издание 

Туганбаев Аскар Аканович 

КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА 

Учебник 

Подписано к выпуску 26.02.2020. Формат 60×88/16.
Уч.-изд. л. 15,67.
Электронное издание для распространения через Интернет.

ООО «ФЛИНТА», 117342, г. Москва, ул. Бутлерова, д. 17-Б, комн. 324. 
Тел./факс: (495) 334-82-65; тел. (495) 336-03-11.
E-mail: flinta@mail.ru; WebSite: www.flinta.ru

ISBN 978-5-9765- 4282-2 
 © Туганбаев А.А., 2020 
© Издательство «ФЛИНТА», 2020 

Оглавление 

1. Пределы функций одной переменной ........................................................... 5 
1.1. Простейшие множества ................................................................................... 5 
1.2. Элементарные и неэлементарные функции .................................................. 7 
1.3. Различные определения пределов ................................................................ 12 
1.4. Бесконечно малые функции ......................................................................... 17 
1.5. Свойства пределов ........................................................................................ 19 
1.6. Общие свойства непрерывных функций ..................................................... 23 
1.7. Непрерывность элементарных функций ..................................................... 25 
1.8. Непрерывные на отрезке функции ............................................................... 27 
1.9. Два замечательных предела .......................................................................... 29 

2. Задачи по пределам ........................................................................................ 33 
2.1. Примеры решения задач по пределам .......................................................... 33 
2.2. Задачи по пределам для самостоятельного решения .................................. 36 

3. Производные ................................................................................................... 41 
3.1. Свойства производных ................................................................................. 41 
3.2. Производные элементарных функций ......................................................... 49 
3.3. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши, Лопиталя и Тейлора ............................ 51 

4. Задачи по производным ................................................................................ 62 
4.1. Примеры решения задач по производным .................................................. 62 
4.2. Задачи по производным для самостоятельного решения .......................... 65 

5. Исследование функций и их графиков ....................................................... 68 
5.1. Асимптоты ..................................................................................................... 68 
5.2. Возрастание, убывание и экстремумы функции ......................................... 68 
5.3. Направления вогнутости графика ............................................................... 74 

6. Задачи по исследованию функций .............................................................. 78 
6.1. Примеры решения задач по исследованию функций ................................ 78 
6.2. Задачи по исследованию функций для самостоятельного решения ......... 94 

7. Неопределенный интеграл ........................................................................... 99 
7.1. Общие свойства неопределенных интегралов ............................................ 99 
7.2. Интегрирование рациональных дробей .................................................... 102 
7.3. Интегрирование тригонометрических выражений .................................. 104 
7.4. Интегрирование иррациональных выражений ......................................... 105 

8. Определенный интеграл ............................................................................. 110 
8.1. Общие свойства определенного интеграла ............................................... 110 
8.2. Теоремы об определенных интегралах ...................................................... 116 
8.3. Геометрические приложения интегралов ................................................. 119 

3

9. Несобственные интегралы ......................................................................... 127 
9.1. Интегралы с бесконечными пределами ..................................................... 127 
9.2. Интегралы от неограниченных функций ................................................... 133 

10. Задачи по интегралам ................................................................................ 138 
10.1. Примеры решения задач по интегралам .................................................. 138 
10.2. Задачи по интегралам для самостоятельного решения ......................... 148 
. 
11. Числовые ряды ........................................................................................... 163 
11.1. Общие свойства числовых рядов ............................................................. 163 
11.2. Признаки сравнения и интегральный ...................................................... 165 
11.3. Признаки Даламбера, Коши и Лейбница ................................................ 169 

12. Функциональные ряды ............................................................................ 172 
12.1. Общие свойства функциональных рядов…............................................. 172 
12.2. Степенные ряды ........................................................................................ 175 
12.3. Ряды Фурье ................................................................................................. 183 

13. Задачи по рядам .......................................................................................... 186 
13.1. Примеры решения задач по рядам .......................................................... 186 
13.2. Задачи по рядам для самостоятельного решения ................................... 191 
. 
14. Функции многих переменных .................................................................. 199 
14.1. Предел и непрерывность функции многих переменных ....................... 199 
14.2. Частные производные первого порядка и дифференциал ...................... 209 
14.3. Производные сложных и неявных функций ............................................ 222 
14.4. Производные высших порядков и формула Тейлора .............................. 240 
14.5. Экстремумы функций многих переменных ............................................. 250 

15. Задачи о функциях многих переменных ................................................. 270 
15.1. Примеры решения задач по функциям многих переменных .................. 270 
15.2. Задачи для самостоятельного решения ................................................... 279 

16. Кратные интегралы ................................................................................... 283 
16.1. Двойные интегралы ................................................................................... 283 
16.2. Тройные интегралы ................................................................................... 308 
16.3. Физические приложения кратных интегралов ........................................ 335 

17. Задачи по кратным интегралам ............................................................... 350 
17.1. Примеры решения задач ............................................................................ 350 
17.2. Задачи для самостоятельного решения .................................................... 365 

18. Справочный материал .............................................................................. 370 

1.1
1.1.1. . X, Y, . . . , Z ,
x, y, . . . , z .1 . x ∈ X , x X. Y ⊆ X X ⊇ Y , Y X, .. Y X; , Y X. Y ⊊ X X ⊋ Y , Y X X ̸= Y . X = {x1, . . . , xn, . . .} , X
x1, . . . , xn, . . ..

, , , ∀, ∃ : . ∅ , .

1.1.2. . X ∩ Y X ∪ Y X Y , X \ Y X, Y . , X \X = ∅.

A + B




&%

'$

A · B




&%

'$

A \ B




&%

'$

1.1.3. . N, Z, Q, R n = 1, 2, . . ., z =
0, ±1, ±2, . . ., m/n, m ∈ Z n ∈ N, . R . R>0, R<0, R≥0 R≤0 , , . n ∈ N, 1·2·. . .·n n n!; , , 0! = 1.

(a, b), [a, b], [a, b), (a, b] , , a b, .. x, a < x < b, a ≤ x ≤ b, a ≤ x < b,
a < x ≤ b. (−∞, +∞) = R, (−∞, b), (−∞, b], (a, +∞), [a, +∞). 1.

5

, (, ) .

ε δ , x0 (). (x0 − δ, x0 + δ), |x−x0| < δ, δ-x0 δ(x0). δ(x0) x0, δ-(x0 − δ, x0 + δ) \ x0 =
(x0 − δ, x0) ∪ (x0, x0 + δ) x0, ˙δ(x0).

1.1.4. .
X (., ), M1 (., M2), M1 ≤ x (.,
x ≤ M2) x ∈ X. M1 (., M2) (., ) X. X
, X , .. M1 M2, M1 ≤ x ≤ M2 x ∈ X.
, X , M > 0, −M ≤ x ≤ M x ∈ X, .. |x| ≤ M x ∈ X.

m (., M) (., ) X, m (., M ) X , m (.,M), (., ) X. m
(., M) inf X (., sup X) , X. , 0
X = {1/2, 1/3, . . . , 1/n, . . .}
Y = {0, 1/2, 1/3, . . . , 1/n, . . .}, 0 /∈ X 0 ∈ Y .

, :
.

, :
.

, .

1.1.5. . [a1, b1] ⊃ [a2, b2] ⊃ · · · [an, bn] ⊃ · · · c, [an, bn].

6

▹ X Y an bn . . 1.1.4 sup X inf Y . sup X ≤ inf Y , c, sup X ≤ c ≤ inf Y ,
an ≤ c ≤ bn n c [an, bn]. , sup X > inf Y . M, sup X > M > inf Y . an bk,
bk < M < an. ak < bk < an < bn. ak < an bk < bn,
n < k k < n, . ◃

1.1.6. .
, .
P1, . . . , Pk, Pk+1, . . . , P1
k , P1, . . . , Pk, Pk+1. P1, P2, P3, . . . .

1.2
1.2.1. .
X Y x ∈ X -y = f(x) ∈ Y ,
, X f, Y ; f : X → Y , X f D(f). Im (f)
Y , f(x),
∀x ∈ X. Im (f) f Y , .

f : X → Y
g: Y
→ Z, gf(x) = g(f(x)) f : X → Z, f g .

X Y , X →
Y (). y =
f(x) Oxy (x; f(x)).

1.2.2. , , , .
y = f(x) X, x ∈ X , .. M1 M2, M1 ≤ f(x) ≤ M2 x ∈ X. () . 7

D(f) y = f(x) x −x f(−x) = −f(x) (., f(−x) = f(x)) x ∈ D(f),
y = f(x) (., ). y = f(x) , T > 0,
x+T ∈ D(f) x ∈ D(f) f(x+T) = f(x) x ∈ D(f).
T f(x). ,
f(x) (., ) X, f(x1) < f(x2) (., f(x1) ≤ f(x2)) x1 < x2 X. , f(x) (.,
) X, f(x1) > f(x2) (. f(x1) ≥ f(x2)) x1 < x2 X. f(x) X X, , f(x) X. .

1.2.3. .
sin x,
cos x, tg x, ctg x, xa, ax, loga x, arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x.

.
(−∞, +∞) y = sin x y = cos x 2π, sin x , cos x .

y=sin x

0
x

y


6

1

−1

π
2

π

3π
2

2π

y=cos x

0
x

y


6
1

−1

− π

2

π
2
π
3π
2

tg x ctg x , π, . (
−π

2 , π

2

)

tg x . (0, π) ctg x .

8

y=tg x

0
−π
π
x

y


6

- 3π

2
- π

2

π
2

3π
2

y=ctg x

π
2
− π

2
3π
2
x

y


6

−π
0
π
2π

y = xa a ∈ R.
, x3, x1/3, x−1 , x2 .
(−∞, ∞) x3 x1/3 , (−∞, 0) x2 x−1 ,
x2 , x−1 .

y=x2

y=x3

0
x

y


6

y=x1/3

y=x−1

0
x

y


6

9

.
(−∞, +∞) ax , ax a > 1 0 < a < 1. (0, +∞) loga x , a > 1 loga x
, 0 < a < 1 loga x .

y=ax, 0<a<1
y=ax, a>1

0
x

y


6

y=loga x, a>1

y=loga x, 0<a<1

0
x

y


6

.
y = arcsin x y = arccos x [−1; 1], [−1; 1] arcsin x , arccos x .
Ox y = arctg x y = arcctg x , arctg x , arcctg x .

10

y = arcsin
x

0
x

y


6
π
2

π 2

1
−
1

y = arccos
x

0
x

y


6
π

π
2

1
−
1

y=arctg x
π/2

−π/2

0
x

y


6
y=arcctg x
π

0
x

y


6

1.2.4. .
, , , , , , , , . .

, f(x), f(x) = 1 x ∈ Q f(x) = 0
x ∈ R \ Q, .

,
,
sh x, ch x, th x, cth x.

sh x
=
ex − e−x

2
ch x
=
ex + e−x

2
x. , ch x ,
sh x , x = 0. 11

th x = sh x

ch x = ex − e−x

ex + e−x cth x = ch x

sh x = ex + e−x

ex − e−x x.

sh x, ch x, th x, cth x , .
,

2sh xch x = 2 ex − e−x

2
ex + e−x

2
= e2x − e−2x

2
= sh 2x,

2ch2 x = e2x + 2 + e−2x

2
= ch 2x + 1,

2sh2 x = e2x − 2 + e−2x

2
= ch 2x − 1,
ch2 x − sh2 x = 1.

y = sh
x

y
=

ch
x

y=− 
1

2e
−x

y= 
1

2e
−x

y
=

1
2e
x

0
x

y


6

y = th
x

y = cth
x

y = cth
x

0
x

y


6

1

−
1

1.3
1.3.1. . x0 , Ox (. ) x0 x0+ (., x0−).

N
>
0 , |x|
>
N (., x
>
N, −x
>
N) (., , -).

12