Высшая математика. Функции нескольких переменных и несобственные интегралы. Теория и задачи

А.А. Туганбаев

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

ФУНКЦИИ 

НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 

И НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Теория и задачи

Учебник

Москва

Издательство «ФЛИНТА»

2019

УДК 517(075.8) 
ББК 22.161я73 
        Т81 

Т81

Туганбаев А.А. 
 Высшая математика. Функции нескольких переменных и 
несобственные интегралы. Теория и задачи [Электронный ресурс] : 
учебник / А.А. Туганбаев. — М. : ФЛИНТА, 2019. — 120 с.

ISBN 978-5-9765-4253-2 

Книга соответствует программам курсов высшей математики для студентов 

различных нематематических специальностей и может выполнять функции 
учебника, задачника, решебника и сборника контрольных заданий
по 

важнейшим темам высшей математики: пределы, непрерывность и производные 
функций нескольких переменных, дифференциалы и частные производные 
высших порядков функций нескольких переменных, формула Тейлора и 
экстремумы для функций нескольких переменных, несобственные интегралы.

Для студентов и преподавателей нематематических факультетов высших 

учебных заведений.

УДК 517(075.8)
ББК 22.161я73

ISBN 978-5-9765-4253-2
© Туганбаев А.А., 2019
© Издательство «ФЛИНТА», 2019

4

1.1
. . . . . . . .
4

1.2
. . . . . . . . . .
7

1.3
. . . . . .
13

2
14

2.1
. . . . . . . . . . .
14

2.2
. . . . . .
17

2.3
. . . . . .
23

2.4
. . . . . . . . . . . . . . .
28

2.5
. . . . . . . . . . . . . . . .
34

3
45

3.1
. . . . . . . . . . . . . . . .
45

3.2
. . . . . . . . . . . . . .
48

3.3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51

4
56

4.1
. . . . . . . . . . . . . .
56

4.2
. . . . . . . . . . . . . . .
59

4.3
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63

4.4
. . . . . . .
69

5
76

5.1
. . . . . . . . . . . . . . . .
76

5.2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85

5.3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89

6
108

6.1
. . . . . . . . . . . . 108

6.2
. . . . . . . . . . . 114

6.3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

3

1.1
1.1.1. Rn .
n x1, . . . , xn n-Rn; Rn x1, . . . , xn M(x1; . . . ; xn), n Rn.

Oxyz (., Oxyz; Ox) x, y, z, , R3 = Oxyz, R2 = Oxy
R1 = Ox = R.

R2 R3, n = 1 y = f(x), n > 3 n = 2, 3.

M(x1; . . . ; xn) N(y1; . . . ; yn) Rn √

(y1 − x1)2 + . . . + (yn − xn)2 ρ(M, N).
, ρ(M, N) = ρ(N, M), M N , ρ(M, N) = 0.

1.1.2. Rn, R2 R3. δ > 0,
M(x1; . . . ; xn) ∈ Rn δ(M0) M ∈ Rn, δ M0, ..

δ(M0) = {M(x1; . . . ; xn) ∈ Rn |
√

(y1 − x1)2 + . . . + (yn − xn)2 < δ}.

δ(M0) δ-M0 M. ˙δ(M0) = δ(M0) \ M0, M0 δ(M0) δ-M0 M0. δ(M0) δ M0. {M(x1; . . . ; xn) ∈ Rn |
√

(y1 − x1)2 + . . . + (yn − xn)2 = δ}

n-δ M0; δ(M0), n-δ M0.

n = 2 (., n = 3) , δ(M0) (., ) δ M0, δ(M0) (x − x0)2 + (y − y0)2 < δ2 (., (x − x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 < δ2),

4

δ-˙δ(M0) M0 0 < (x−x0)2+(y−y0)2 < δ2 (., 0 < (x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2 < δ2).

1.1.2(1), 1.1.2(2) 1.1.2(3) δ-˙δ(M0) n = 1, 2, 3, , .

. 1.1.2(1)
. 1.1.2(2)
. 1.1.2(3)

1.1.3. Rn. .
D Rn M D .
Mvn D, D M.
Mgr D, Rn , , D.

. 1.1.3

D , D M. , .

D , .

5

, () {(x, y) | x2 + y2 < R2} () {(x, y) | x2 + y2 ≤ R2} (0; 0) R R2.
{(x, y) | x2 + y2 = R2}, .

1.1.4. Rn.
Rn , x1 = x1(t), x2 = x2(t), . . . , xn = xn(t),

x1(t), x2(t), . . . , xn(t) .

D Rn.

D , , D.

, R2 D1 = {(x, y) | 1 < x2 + y2 < 4} . 1.1.4(1) , D2 = {(x, y) | (x − 2)2 + y2 < 1} ∪ {(x, y) | (x + 2)2 + y2 < 1}

. 1.1.4(2) . M1 , M2 , , D.

. 1.1.4(1)
. 1.1.4(2)

. .

6

, D1 , D2 , .

D Rn, Rn , D, .. Rn δ-M0, D ⊂ δ(M0).

D1 D1 . R2 {(x, y) | y ≥ 0} R2.

1.2
1.2.1. .
D Rn, M(x1; x2; . . . ; xn).
f : D → R, M D u, n D = D(f) u = f(x1, x2, . . . , xn) u = f(M). u u = f(M). n ≥ 2 u = f(M) , .., . n = 1 y = f(x) () x.

1.2.2. .
, . , , . z = f(x, y) u = f(x, y, z) z = f(x1, x2) u = f(x1, x2, x3). (x, y) (x, y, z) M Oxy Oxyz. , f(x, y) f(x, y, z) M D Oxy Oxyz . , V x, y z u = f(x, y, z) = xyz, D: x > 0, y > 0, z > 0.

1.2.3. . z = f(x, y)
()
, . , z =
f(x, y) f(x, y). (x; y) z 7

(. 1.2.3). , , , , z = C, f(x, y) = C, C ∈ R.

.

. 1.2.3

1.2.4. . z = x2 + y2.
, C < 0 z = f(x, y) . cC0
O(0; 0; 0). C = 1 x2 + y2 = 1 1 .
z = f(x, y) z = 1 x2 + y2 = 1, 1. z = 4 x2 + y2 = 4, z = 4 2,
.. z = x2 + y2 x = 0, z = y2 yOz. . 1.2.4.

. 1.2.4

1.2.5. . z =
√

1 − x2

a2 − y2

b2 .

▹ x y, 1 − x2

a2 − y2

b2 , ..

8

− x2

a2 − y2

b2 ≥ 0 x2

a2 + y2

b2 ≤ 1. x2

a2 + y2

b2 = 1 , , (. . 1.2.5). ◃

. 1.2.5

1.2.6. . z = ln(y2−4x+8).

▹ z = ln(y2 − 4x + 8) (x; y), y2 − 4x + 8 > 0. , y2 = 4x − 8 (2; 0). 02 − 4 · 0 + 8 > 0, (0; 0) . (3; 0), , , 02 − 4 · 3 + 8 < 0. y2 − 4x + 8 0, .. , y2 − 4x + 8 < 0 > 0
. , , y2 = 4x − 8
(. . 1.2.6). ◃

. 1.2.6

1.2.7. .
D = {(x; y; z)} 0xyz 9

u = f(x, y, z) x, y, z, D, D f(x, y, z), x, y, z f(x, y, z).
f(x, y, z) f(x, y, z) = C = const, (, , ).

1.2.8. . u =
√

R2 − x2 − y2 − z2 +
1
√

x2 + y2 + z2 − r2
R > r

, x2+y2+z2 = ρ2 ,
x2 + y2 + z2 = R2.
▹ { R2 − x2 − y2 − z2 ≥ 0
x2 + y2 + z2 − r2 > 0
{ x2 + y2 + z2 ≤ R2

x2 + y2 + z2 > r2
.

, r2 < x2 + y2 + z2 ≤ R2, r R.
, x2 + y2 + z2 = ρ2 = const u =
√

R2 − ρ2 +
1
√

ρ2 − r2
. , x2 +

y2 + z2 = ρ2 r < ρ ≤ R u = u(x, y, z). u(ρ) =
√

R2 − ρ2 +
1
√

ρ2 − r2
(r, R].

u′(ρ) = −
ρ
√

R2 − ρ2 −
ρ
√

(ρ2 − r2)3 = −ρ

(
1
√

R2 − ρ2 +
1
√

(ρ2 − r2)3

)

.

0 < r < ρ ≤ R u′(ρ) < 0, , u(ρ) ρ . u(ρ) ρ = R, .. x2 + y2 + z2 = R2.

1.2.9. .

1. . .. f(M) M0 ∈ Rn.

A f(M) M → M0, ε > 0 δ > 0, |f(M) − A| ≤ ε 10

M ∈ ˙δ(M0).
lim
M→M0 f(M) = A.

, , M M0.

n = 2 M0 = M0(x0; y0) lim
M→M0 f(M) = A lim
x→x0
y→y0
f(M) = A. ρ, θ, M0(x0, y0) Ox. x − x0 = ρ cos θ, y − y0 = ρ sin θ lim
x→x0
y→y0
f(x, y) = lim
ρ→0 f(x0 + ρ cos θ, y0 + ρ sin θ).
1.2.9(1)

x, y ρ, (1.2.9(1)) θ,
, lim
x→x0
y→y0
f(x, y) .

. 1.2.9(1)
. 1.2.9(2)

2. . M0 D .. f(M). M0 , f(M) .
f(M) M0 :

A f(M) M → M0, ε > 0 δ > 0, |f(M) − A| ≤ ε M ∈ D ∩ ˙δ(M0).
lim
M→M0 f(M) = A.

11