Сборник задач по курсу "Математика в экономике". В 3-х ч. Ч.3. Теория вероятностей

. 3. 

УДК 330.4(076.5) 
ББК 65в6я73 
 
С23 
 
 

Р Е Ц Е Н З Е Н Т Ы:  

Кафедра «Теория вероятностей» 
механико-математического факультета 
МГУ им. М.В. Ломоносова; 

В.П. Носко, 
кандидат физико-математических наук, 
старший научный сотрудник лаборатории теории вероятностей 
МГУ им. М.В. Ломоносова 
 
 
 
 
 
 

 

 

С23 
Сборник задач по курсу «Математика в экономике». В 3-х ч.
Ч
Браилов А.В. Теория вероятностей: учеб. пособие / А.В. Браилов, 
А.С. Солодовников; под ред. В.А. Бабайцева, В.Б. Гисина. – М.: 
Финансы и статистика, 2013. – 128 с.: ил. 

ISBN 978-5-279-03442-0 
 
В эту часть Сборника включены задачи и упражнения по основным разделам теории вероятностей: случайным событиям, случайным величинам и случайным векторам. Содержание и набор задач полностью соответствуют программе обучения бакалавров по направлению «Экономика». Тематика задач
максимально приближена к соответствующим главам учебника тех же авторов.
Главы Сборника разбиты на параграфы-темы. Каждый параграф начинается с 
основных сведений по рассматриваемой теме и разбора решения типовых примеров, а заканчивается задачами и упражнениями для самостоятельной работы. 
Для студентов и преподавателей экономических вузов и бизнес-школ, а 
также для всех, кто интересуется математическими приложениями в экономике.  

 
УДК  330.4(076.5) 
ББК 65в6я73

ISBN 978-5-279-03442-0  
© Браилов А.В., Солодовников А.С., 2010, 2013 
 
  
 
 
© Издательство «Финансы и статистика»,
2010, 2013

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Предисловие.............................................................................................. 
4 

Глава 1. Случайные события.............................................................. 
5 

§ 1.1. Элементы комбинаторики ..................................................  
5 

§ 1.2. Комбинации событий. Классический способ  
подсчета вероятностей........................................................  
11 

§ 1.3. Геометрические вероятности .............................................  
18 

§ 1.4. Правила сложения и умножения вероятностей .................  
21 

§ 1.5. Формула полной вероятности и формула Байеса..............  
26 

§ 1.6. Независимые испытания. Схема Бернулли.  
Приближенные формулы Лапласа и Пуассона..................  
31 

Глава 2. Случайные величины........................................................... 
40 

§ 2.1. Распределение дискретной случайной величины..............  
40 

§ 2.2. Независимые дискретные случайные величины ...............  
44 

§ 2.3. Математическое ожидание дискретной случайной  
величины .............................................................................  
49 

§ 2.4. Дисперсия дискретной случайной величины ....................  
55 

§ 2.5. Ковариация и коэффициент корреляции............................  
59 

§ 2.6. Моменты случайных величин ............................................  
64 

§ 2.7. Числовые характеристики основных дискретных  
законов распределения .......................................................  
68 

§ 2.8. Непрерывные случайные величины...................................  
73 

§ 2.9. Нормальные случайные величины.....................................  
86 

Глава 3. Случайные векторы ............................................................. 
92 

§ 3.1. Двумерные случайные векторы. Дискретные  
векторы................................................................................  
92 

§ 3.2. Абсолютно непрерывные случайные векторы ..................  
99 

§ 3.3. Условные распределения и их числовые  
характеристики ...................................................................  
107 

Ответы ....................................................................................................... 
118 

Приложение............................................................................................... 
123 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Сборник задач, подготовленный коллективом преподавателей 
кафедры математики Финансовой академии при Правительстве 
Российской Федерации, дополняет созданный на той же кафедре 
учебник «Математика в экономике».1 После выхода в свет упомянутого учебника возникла потребность в сборнике задач, в полной 
мере отражающем содержание учебника, а также новации в области высшего образования на современном этапе развития экономики. 
Материал учебника и Сборника задач соответствует программе 
бакалавриата по направлению «Экономика». 
Сборник задач состоит из трех частей: часть 1 «Линейная алгебра, аналитическая геометрия и линейное программирование»; 
часть 2 «Математический анализ»; часть 3 «Теория вероятностей». 
В трех частях Сборника содержится более 2000 задач и упражнений, собранных в 20 главах, тематика которых максимально приближена к соответствующим главам учебника. Особого внимания 
заслуживают разобранные типовые примеры, имеющие экономическое содержание. Среди задач для самостоятельной работы также 
имеются задачи с экономическим и финансовым содержанием. 
В часть 3 включены задачи и упражнения по основным разделам теории вероятностей: случайным событиям, случайным величинам и случайным векторам. 
Так же, как и в предыдущих частях Сборника задач, в этой части каждый параграф начинается с изложения основных теоретических сведений по данной теме параграфа и разбора типовых примеров, после чего приводятся упражнения и задачи для самостоятельной работы. 
Разделение задач по трудности не проводилось, однако, наиболее сложные из них отнесены в конец параграфа. 
Ко всем задачам, в которых требуется получить ответ в виде 
числа или таблицы, в конце книги даны ответы, а в задачах на доказательство приведены указания. 

                                                        
1 Солодовников А.С. Математика в экономике: в 3-х ч. / А.С. Солодовников, В.А. Бабайцев, А.В. Браилов, Г. Шандра. – 2-е изд., перераб. и доп. – 
М.: Финансы и статистика, 2007–2008. 

ГЛАВА 1 
 

СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ 

§ 1.1. Элементы комбинаторики 

Основные сведения 

В основе решения многих комбинаторных задач лежит правило 
произведения. Назовем строкой длины k любую последовательность (x1, x2, …, xk), где x1, x2, …, xk − какие-либо объекты. Две 
строки одинаковой длины (x1, x2, …, xk) и (y1, y2, …, yk) считаются 
различными, если хотя бы для одного номера i имеем xi ≠ yi. 
Правило произведения. Пусть объект x1 может быть выбран m1 способами; при фиксированном выборе x1 объект x2 может быть выбран m2 способами; при фиксированном выборе x1, x2 
объект x3 может быть выбран m3 способами и т.д. Тогда число 
различных строк (x1, x2, …, xk) будет m1⋅m2⋅…⋅mk. 
В частности, если объект x1 может быть выбран m1 способами, а 
при каждом фиксированном выборе x1 объект x2 может быть выбран m2 способами, то число различных строк (x1, x2) равно m1⋅m2. 
Пусть X − множество, состоящее из n элементов. Перестановкой множества X называется расположение элементов этого множества в каком-то определенном порядке. Число различных перестановок множества, состоящего из n элементов, равно n! = 
= 1⋅2⋅3⋅…⋅n. 
Пусть снова X − множество из n элементов. Любое подмножество Y множества X, состоящее из m элементов (m ≤ n), называется 
сочетанием m элементов из n. Число различных сочетаний m элементов из n обозначается 
.
m
n
C
 Справедлива формула 

 
(
)

!
!
!

m
n
n
C
m
n
m
=
−
 
 

или 

(
)(
)
(
)
(
)
1
2
1
.
1 2
3

m
n
n n
n
n
m
C
m

−
−
−
−
=
⋅
⋅
⋅
⋅

…

…
 
 

Например, 

(
)
(
)(
)
1
2
3
1
1
2
,
,
,...
1
1 2
1 2 3
n
n
n
n n
n n
n
n
С
n C
C
−
−
−
=
=
=
=
⋅
⋅ ⋅
 

По определению, 
0
1.
n
C =
 

Свойства чисел 
:
m
n
C
 

1. 
.
m
n m
n
n
C
C −
=
 

2. 
1
1
1 .
m
m
m
n
n
n
C
C
C
+
+
+
+
=
 

Для любого натурального n справедлива формула 

 
(
)
0
0
1
1
1
1
1
0
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
b
C a b
C a b
C
a
b
C a b
−
−
−
+
=
+
+
+
+
…
 
 

(формула бинома Ньютона). Из школьного курса известны частные случаи этой формулы: 

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2, 

 
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3. 

Примеры 

1. У одного книголюба 7 книг, у другого − 6. Все книги различные. Сколькими способами можно осуществлять обмен книги на 
книгу? 
Р е ш е н и е . Любой обмен можно представить как строку (x1, 
x2), где x1 − любая из книг первого, а x2 − любая из книг второго 
книголюба. Книга x1 может быть выбрана 7 способами, а при любом выборе x1 книга x2 − 6 способами. По правилу произведения 
число различных обменов будет 7⋅6 = 42. 
2. В группе 30 студентов. Ежедневно для дежурства выделяются два человека. Можно ли составить расписание дежурств 

на год вперед так, чтобы никакая пара студентов не дежурила 
дважды? 
Р е ш е н и е . Дежурная группа представляет собой подмножество из двух элементов во множестве, состоящем из 30 элементов. 
Поэтому число всех возможных дежурных групп равно 

2
30
30 29
435.
1 2
C
⋅
=
=
⋅
 

Это превосходит число дней в году (365). Следовательно, требуемое расписание дежурств составить можно. 
3. Сколькими способами группа из 10 человек может выстроиться в очередь за получением стипендии? 
Р е ш е н и е . Любое выстраивание в очередь есть перестановка 
множества из 10 элементов. Поэтому число всех возможных очередей будет 

10! = 1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6⋅7⋅8⋅9⋅10 = 3628800. 

4. Найти коэффициент при x4 в разложении бинома  

10
1
.
x
x
⎛
⎞
+
⎜
⎟
⎝
⎠
 

Р е ш е н и е . Любой член указанного бинома имеет вид  

10
2
10
10
10
1
.

k
k
k
k
k
C x
C x
x

−
−
⎛
⎞
=
⎜
⎟
⎝
⎠
 

Полагая 2k − 10 = 4, получим k = 7. Поэтому член бинома, со
держащий x4, будет 
7
3
10
10
10 9 8
120.
1 2 3
C
C
⋅ ⋅
=
=
=
⋅ ⋅
 

5. Сколько различных слов максимальной длины можно составить из двух букв "а" и 10 букв "в"? 
Р е ш е н и е . Для пояснения приведем два примера требуемых 
слов: 

 
вввввваввавв, 
(1.1) 
 
вввавваввввв. 
(1.2) 

Рассмотрим любое из требуемых слов и отметим номера тех 
мест, где стоит буква "а". Например, для слов (1.1) это будут номера 7, 10, а для слова (1.2) – номера 4, 7. Совокупность таких номеров представляет собой подмножество из двух элементов в множестве X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}, состоящем из 12 номеров. И обратно, каково бы ни было подмножество из двух элементов в множестве X, ему отвечает в указанном смысле слово из двух 
букв "а" и десяти букв "в". (Например, для подмножества {1, 7} 
таким словом будет аввввваввввв.) Таким образом, различных слов 
требуемого вида будет столько же, сколько различных подмножеств из двух элементов имеется в множестве X, т.е. 
2
12
66.
C
=
 

6. На фондовой бирже продаются акции трех предприятий I, II, 
III. Сколькими способами можно приобрести 10 акций? 

Р е ш е н и е . Сопоставим каждому набору из 10 акций указанных предприятий слово из десяти единиц и двух нулей следующим 
способом. Вначале пишем единицы в количестве, равном числу 
купленных акций предприятия I, затем пишем нуль, чтобы отделить акции первого предприятия от акций второго, затем пишем 
единицы в количестве, равном числу купленных акций предприятия II, пишем нуль и дописываем единицы для акций третьего 
предприятия. Например, если было куплено 5 акций предприятия I, 
3 акции предприятия II и 2 акции предприятия III, то получим слово 111110111011. 
Таким образом, каждому набору из 10 акций сопоставлено слово из 10 единиц и 2 нулей. Число таких слов, согласно примеру 5, 

равно 
2
10 2
12 11
1 2
C
+
⋅
=
=
⋅
 = 66. 

7. Для поступления в вуз нужно сдать 3 вступительных экзамена: русский язык, иностранный язык и математику. Экзамены сдаются по пятибалльной системе, причем получение оценки "2" делает поступление невозможным. Сколькими способами абитуриент 
может получить на экзаменах не менее 12 баллов (сдача экзамена с 
оценкой "2" исключается). 

Р е ш е н и е . Для получения не менее 12 баллов нужно "потерять" не более трех баллов. Пусть последовательность экзаменов 
такова: русский язык, математика, иностранный язык. Рассмотрим 
так называемое "дерево вариантов" (рис. 1.1). 

Суммируя оценки по всем дисциплинам, мы видим, что имеется ровно 17 возможностей набрать не менее 12 баллов (соответствующие отрезки снабжены стрелками). 

 

3 

4 

5 

3 

3 

3 

4 

4 

4 
5 

5 

5 

Русский 
язык 
Математика 
Иностранный 
язык 
 
Рис. 1.1. 

Упражнения 

1.1.  Сколькими способами можно поставить 7 человек в очередь? 
1.2.  На сколько нулей оканчиваются числа: а) 30!; б) 200!? 
1.3.  Сколько различных словарей необходимо для непосредственного перевода с любого из данных 5 языков на любой другой 
(из тех же 5 языков)? 
1.4.  В учреждении 20 отделов. Любые два отдела соединены 
телефонной линией. Сколько всего телефонных линий?  
1.5.  У одного книголюба 6 книг, у другого − 7 (все книги различны). Сколькими способами можно осуществить обмен двух 
книг на две книги?  
1.6.  В автомашине 7 мест. Сколькими способами семь человек 
могут сесть в эту машину, если занять место водителя могут только 
трое из них?  

1.7.  Сколько четырехзначных чисел, в которых нет 0, 1 и 2, а 
все цифры различны? 
1.8.  Сколько имеется пятизначных чисел, в которых две одинаковые цифры не стоят рядом? 
1.9.  Сколько семизначных чисел, в которых три 3 и четыре 4? 
1.10.  Сколько шестизначных чисел, в которых две 2, две 3 и 
две 4? 
1.11.  Сколько шестизначных чисел, в которых две 2, две 3 и 
нет 0? 
1.12.  В гостинице свободны одноместные номера с 1-го по  
30-й. Сколькими способами можно разместить в этих номерах двух 
человек, если первый предпочитает номера с 1-го по 20-й, а второй 
– с 11-го по 30-й? 
1.13.  Имеется 6 карточек, на каждой из которых написано по 
одной цифре: на трех – цифра 7, еще на трех – цифра 9. Сколько 
различных пятизначных чисел можно составить из этих карточек? 
1.14.  В пассажирском поезде девять вагонов. Сколькими способами можно рассадить в поезде четырех человек при условии, 
что все они поедут в разных вагонах?  
1.15.  Сколькими способами шесть различных учебников можно распределить поровну между двумя студентами?  
1.16.  Сколькими способами 12 различных книг можно распределить поровну между тремя людьми?  
1.17.  Сколькими способами можно расставить на полке 7 различных книг, если две определенные книги должны стоять рядом?  
1.18.  Студенту необходимо сдать 4 экзамена в течение 10 дней. 
Сколькими способами можно составить ему расписание экзаменов?  
1.19.  Сколько чисел, заключенных между 1000 и 9999, содержат цифру 3?  
1.20.  Предприятие может предоставить работу по данной специальности четырем женщинам, по другой специальности − пяти мужчинам, и по третьей специальности − трем работникам любого пола. 
Сколькими способами можно заполнить эти места, если имеется 18 
претендентов на них, среди которых 8 женщин и 10 мужчин?  
1.21.  В группе 12 девушек и 10 юношей. Сколькими способами 
можно выстроить их в очередь, если в ней как все девушки, взятые 
отдельно, так и все юноши, взятые отдельно, должны стоять по 
росту?  
1.22.  На фондовой бирже продаются акции 5 предприятий. 
Сколькими способами можно приобрести 20 акций?  

1.23.  По формуле бинома Ньютона напишите разложение для 
(1 − x3)5.  

1.24.  В разложении выражения (
)
13
3
5
1
x
x−
+
+
 по степеням x  

найдите член, содержащий 
1.
x−   
1.25.  Используйте биномиальную формулу для приближенного 
вычисления: а)1,00210; б)0,99710.  
1.26.  Докажите равенство 
0
1
2
2
n
n
n
n
n
n
C
C
C
C
+
+
+
+
=
…
. Дайте ис
толкование этому равенству исходя из смысла чисел 
k
n
C .  

1.27.  Чему равна сумма 
0
1
2
3
1
1
1
1
...
2
3
4
1

n
n
n
n
n
n
C
C
C
C
C
n
+
+
+
+
+
+
? 

1.28.  Пусть r – годовая ставка банковского процента. Тогда 
при ежемесячном начислении сложных процентов вклад в банке 

увеличится за год в 

12
1
12
r
⎛
⎞
+
⎜
⎟
⎝
⎠
 раза, а при ежеквартальном начисле
нии – в 

4
1
4
r
⎛
⎞
+
⎜
⎟
⎝
⎠
 раза. Найдите коэффициент при наименьшей сте
пени r в многочлене 

12
1
12
r
⎛
⎞
+
⎜
⎟
⎝
⎠
–

4
1
.
4
r
⎛
⎞
+
⎜
⎟
⎝
⎠
 

1.29.  Сколькими способами группу из 12 человек можно разбить на три подгруппы по 3, 4 и 5 человек? 
1.30.  Сколькими способами можно расставить последовательные 10 чисел так, чтобы четные числа имели четные номера? 
1.31.  Код замка состоит из 4 цифр, в который однократно входят цифры 1, 3, 7. Найдите число возможных кодов. 

§ 1.2. Комбинации событий. Классический способ 
подсчета вероятностей 

Суммой событий A и B называется событие A + B, заключающееся в наступлении хотя бы одного из событий A и B. Вообще, 
суммой конечного или счетного множества событий называется 
событие, заключающееся в наступлении хотя бы одного из событий данного множества. 
Произведением событий A и B называется событие AB, заключающееся в одновременном (совместном) наступлении обоих собы