Прикладная механика

УДК 621.01 

А87 

Р е ц е н з е н т 
кандидат технических наук, доцент В.Д. Попов 

Архангельский А.В., Белов М.И. 

А87 
Прикладная механика: Учеб.-метод. пособие. - 2-е изд., испр. 

идоп.-М.:МИСиС,2003.-46с. 

В пособии представлена методика расчета элементов конструкций и деталей машин на прочность и жесткость, даны основные расчетные формулы. 
Показана последовательность расчетов на прочность и жесткость при различных видах деформации деталей. 

Приведены домашние задания, содержащие указания по выбору индивидуального задания, тексты заданий, расчетные схемы, исходные численные 
значения к ним, а также методические указания по выполнению задания и 
оформлению отчета. 

Методическая часть пособия подготовлена доц. А.В. Архангельским, 
практическая часть - доц. М.И. Беловым. 

Предназначено для студентов специальностей 110100, 110200, 110300, 
110400, 110500, 090300, 072000, 210200, 070800, 551600. 

© Московский государственный институт 
стали и сплавов (Технологический 
университет) (МИСиС), 2003 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

1. т о ч н о с т ь ВЫЧИСЛЕНИЙ в ИНЖЕНЕРНЫХ РАСЧЕТАХ 
4 

2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПРИ РАЗЛИЧНЫХ ВИДАХ 
ДЕФОРМИРОВАНИЯ И ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РАСЧЕТНЫХ ФОРМУЛ 
6 

2.1. Определение опорных реакций 
6 

2.2. Определение геометрических характеристик плоских сечений 
6 

2.3. Анализ растяжения и сжатия бруса 
8 

2.4. Анализ кручения бруса 
9 

2.5. Анализ напряженно-деформированного состояния и применение 

теории прочности 
10 

2.6. Анализ изгиба 
12 

2.6.1. Порядок построения эпюр 
12 

2.6.2. Определение напряжений и деформаций 
13 

2.7. Анализ сложного сопротивления 
14 

2.7.1. Косой изгиб 
15 

2.7.2. Внецентренное растяжение или сжатие 
16 

2.7.3. Кручение с изгибом 
16 

2.8. Исследование устойчивости сжатых стержней 
16 

3. ОБЩИЕ методические указания 
по выполнению ДОМАШНИХ ЗАДАНИЙ 
19 

3.1. Выбор варианта задания 
19 

3.2. Порядок выполнения заданий 
20 

3.3. Оформление отчета и защита заданий 
21 

4. ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К НИМ 
23 

Домашнее задание 1 

Определение опорных реакций 
23 

Домашнее задание 2 

Растяжение и сжатие бруса 
29 

Домашнее задание 3 

Анализ внутренних силовых факторов при изгибе балки 
32 

Домашнее задание 4 

Изгиб балки 
34 

Домашнее задание 5 

Сложное сопротивление 
38 

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 
44 

ПРИЛОЖЕНИЕ 
45 

3 

1. точность ВЫЧИСЛЕНИЙ 
в ИНЖЕНЕРНЫХ РАСЧЕТАХ 

Расчеты в домашних заданиях, как и инженерные расчеты, 
должны выполняться с точностью, которая определяется точностью 
исходных данных. 

В прикладной механике степень точности результатов расчета ограничивается предпосылками и гипотезами, положенными в ее 
основу, а также точностью установления линейных размеров рассчитываемой конструкции, достоверностью механических характеристик ее материала, точностью величины приложенных нагрузок. 

Таким образом, в расчетах приходится иметь дело с приближенными числами. Эти числа записываются по наиболее распространенному правилу - выписывать все верные цифры и первую сомнительную. Например, модуль упругости стали - £ = 2,1-10^ МПа есть число с двумя значащими цифрами - 2 и 1, где сомнительной 
цифрой является единица; для стали может быть £ = 2,2-10^ МПа. В 
числе 0,0005 сомнительной цифрой будет 5. Истинное значение этого 
числа может лежать в интервале от 0,0004 до 0,0006, а может находиться и в более широком интервале значений. 

При действиях с приближенными числами не следует стремиться к высокой абсолютной точности расчета, обеспечиваемой 
возможностями вычислительных машин (микрокалькуляторов). 

Большое количество значащих цифр в числе еще не говорит о 
его точности. Например, пусть при осевом растяжении стержня продольная сила равна 25 МП, а площадь поперечного сечения стержня 
- 0,17 м\ Разделив силу на площадь, получим напряжение в сечении: 

25: 0,17 =147,0588... МПа. 

На первый взгляд кажется, что напряжение вычислено с 
очень высокой степенью точности. Однако нагрузка задана приближенно, цифра 5 является сомнительной, а в значении площади поперечного сечения сомнительна последняя цифра 7: эти сомнительные 
цифры могут быть ошибочными на ±1. При изменении значений 
этих сомнительных цифр на единицу получаются следующие результаты: 

26 : 0,16 - 162,5... МПа или 24 : 0,18 - 133... МПа. 

4 

Таким образом, видно, что цифра в разряде десятков уже является сомнительной, приближенной. 

Поэтому окончательный результат расчета может быть представлен только в виде 1,5-10^ МПа, т.е. с двумя значащими цифрами. 

Ниже приводятся некоторые правила, которых следует придерживаться при решении задач прикладной механики и в инженерных расчетах в целом. 

1. При сложении (вычитании) приближенных чисел можно с 
большой вероятностью считать, что сумма (разность) имеет такое же 
число знаков после запятой, что и исходное число, имеющее наименьшее число этих знаков. 

Например: 1,5423 + 0,29 + 2,137 = 3,97. 
В данном случае число 1,5423 предварительно округлено до 
1,54 путем отбрасывания двух последних цифр, а число 2,137 - до 
2,14 путем прибавления единицы во втором разряде после запятой. 

2. При умножении (делении) можно с большой вероятностью 
считать, что результат имеет столько значащих цифр, сколько их 
имеет наименьшее по числу значащих цифр исходное число. 

Например, умножим 1,974 на 0,6. 
Округлив множимое до одной значащей цифры, как во множителе, т.е. считая равным 2, найдем, что произведение, в котором 
удерживаем последнюю значащую цифру, равно 1. 

Действительно, учитывая сомнительность цифры 6 множителя, можно получить следующие результаты: 

1,974-0,6 = 1,1844; 

1,974-0,5 = 0,9870; 

1,974-0,7 = 1,3818. 

Эти результаты различаются уже на целые единицы и поэтому нет смысла учитывать четыре цифры после запятой. 

3. При возведении в квадрат (куб) в результате следует сохранить столько же значащих цифр, сколько их имеет основание; при 
возведении в четвертую степень - уменьшить число значащих цифр 
на одну. 

5 

2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ РЕШЕНИЯ 

ЗАДАЧ ПРИ РАЗЛИЧНЫХ ВИДАХ 

ДЕФОРМИРОВАНИЯ И ИСПОЛЬЗОВАНИЕ 

РАСЧЕТНЫХ ФОРМУЛ 

2.1. Определение опорных реакций 

При плоской системе внешних нагрузок могут применяться 
следующие виды закреплений: 

-шарнирно-подвижная опора, в которой возникает одна 
опорная реакция; 

- шарнирно-неподвижная опора, в которой возникают две реакции - вертикальная и горизонтальная; 

-жесткое защемление, в котором возникают три реакции вертикальная, горизонтальная и момент. 

Пространственную систему внешних нагрузок можно рассматривать как совокупность плоских систем нагрузок в двух взаимно перпендикулярных плоскостях. 

Плоская система нагрузок описывается тремя уравнениями 
равновесия: 

ZF, = 0; 
ZF, = 0; 
ZF, = 0. 

Пространственная система описывается шестью уравнениями 
равновесия: 

1 Х = 0; 
SF, = 0; 
1 Х = 0; 

2.2. Определение геометрических 
характеристик плоских сечений 

Статические моменты площади сечения: 

А 
А 

6 

Статические моменты сложного (составного) плоского сечения: 

где 
5*^ , 5*,, - статические моменты площадей составляющих 

сложной фигуры. 

Координаты центра тяжести плоского сечения: 

S. 
Sy 

А 
А 

где Ус, ^с ~ расстояние от произвольных осей у, х до центра тяжести сечения, м; 
S^, S - статические моменты площади сечения относительно 

осейх,^, м^; 
А 
- площадь плоского сечения, м^. 

Моменты инерции и моменты сопротивления плоского сечения соответственно: 

I^^jy^-dA; 
I^^jx^-dA; 

К 

робежный момент 

А 
Jy 

\у max 

инерции 

ху - \ ' 

• 
W = 

? 
' ' у 

• у • dA; 

А 

Jy 

1 niax 

А 

полярный момент инерции 

I.-jp'-dA; 
W^^^P 
Р/ 

A 
' 
' " 

Теорема о параллельном переносе осей: 

Х| 
Х^. 
' 
Ух 
Ус 
' 

где 
х\ 
- 
ось, параллельная центральной оси Хс\ 
У\ - 
ось, параллельная центральной оси у с, 
а, b - 
расстояния между осями х и Хс, j njc. 

2.3. Анализ растяжения и сжатия бруса 

Продольная сила в произвольном сечении, Н: 

Интегрирование производится по длине каждого участка 
бруса с распределенной нагрузкой, а суммирование - по всем участкам по одну сторону от сечения. 

Нормальное напряжение в поперечном сечении. Па: 

где 
А - площадь поперечного сечения, м^. 

Изменение длины бруса, м: 

где 
Е- модуль упругости при растяжении, МПа; 
i - номер участка бруса. 

Относительная продольная деформация 

Е 
Относительная поперечная деформация 

s'=-|as^, 

где 
\i - коэффициент Пуассона. 

Условие прочности бруса: 

где 
[а] - допускаемое напряжение для материала бруса. 

Удлинение (укорочение) бруса при изменении его температуры 

где 
а 
- коэффициент температурного расширения материала 
бруса, 1/°С; 
Аг - изменение температуры бруса, °С. 

2.4. Анализ кручения бруса 

Крутящий момент в поперечном сечении бруса, Н • м: 

Интегрирование производится по длине каждого участка с 
распределенным моментом, а суммирование - по всем участкам по 
одну сторону от сечения. 

Касательное напряжение в поперечном сечении бруса круглого сечения, МПа: 

Р 

где 
/ - полярный момент сопротивления сечения, м"*; 

р - длина радиуса-вектора рассматриваемой точки сечения, м. 

Максимальное касательное напряжение 

^ ^ 

max 
|-т7 
' 
УУ р 

где 
W - полярный момент сопротивления сечения, м^. 

Условие прочности бруса при кручении: 

max 
L J ' 

где 
[х] - допускаемое касательное напряжение для материала бруса. 

Угол закручивания бруса круглого сечения 

V cM^dz 

' 
Ij 
р 

где 
1^ - длина участка бруса, м; 
G 
- модуль сдвига материала бруса. Па; 
i 
- номер участка бруса. 

Условие жесткости при кручении: 

^тах 
т 
i^j 
— 
\У\^ 

[е] 
где 
[WJ - допускаемый относительный угол закручивания. 

2.5. Анализ напряженнодеформированного состояния 
и применение теории прочности 

Если элемент объема деформируемого тела нагружен главными напряжениями а, и а^, то нормальные и касательные напряжения на наклонной площадке определяются по формулам соответственно: 

a„=a,-cos^a + a2sin4 

2 

где 
а - угол, откладываемый против часовой стрелки от вектора 
напряжения а, в сторону вектора а^. 

Максимальные касательные напряжения на площадках, расположенных под углом 45 ° к главным осям, соответственно: 

.
.
=
^
; 
.
3
=
^
; 
х
.
=
^
. 

Если одно из главных напряжений известно, то остальные два 
определяются по формуле 

^у+^. 

= 
2 
2 ^ ^ ^ 
^^ 

Положение главных площадок определяется углом, который 
откладывается от направления алгебраически наибольшего напряжения (uy или а.) в сторону действующего на этой площадке касательного напряжения т: 

tg2ao = 
2т 

^.-^г 

. 

10 

Обобщенный закон Гука: 

в,=1К-ц(а,+аз)]; 

82=^[а2-ц(а,+аз)]; 

Относительное изменение объема тела 

8 , = ^ = Ь ^ ( а , + а 2 + а з ) , 

где 
F 
-начальный объем элемента; 
AV - изменение объема элемента. 

Условие прочности для сложного напряженного состояния: 

где 
азкв -эквивалентное напряжение, Па. 

Эквивалентное напряжение определяется так: 
- по I теории прочности 

a'^3 = ai(ai>0); 

-по II теории прочности 

а 1 = а,-ц(а2 + аз); 

-по III теории прочности 

с^экв = ст,-аз; 

-по IV теории прочности 

"4/2 

= ^a',+al 
+ 
al-a,a,-a,a,-a,a,. 

11 

2.6. Анализ изгиба 

При прямом изгибе бруса в его поперечных сечениях возникают следующие внутренние силовые факторы: 

- при поперечном изгибе - поперечная сила а и изгибающий 
момент М,; 

- при чистом изгибе - только изгибающий момент. 
Для определения положения опасного сечения по длине бруса необходимо построить эпюры внутренних силовых факторов. 

2.6.1. Порядок построения эпюр 

1. Выбрать систему координат с началом на левом конце бруса. 
2. Определить реакции в закреплениях бруса. 
3. Разделить брус на участки. 
4. Записать аналитические выражения для поперечной силы 
а и изгибающего момента М, по участкам бруса. 

Поперечная сила а в любом сечении численно равна алгебраической сумме всех внешних сил, действующих на брус с одной 
стороны сечения. Она считается положительной, если левая от сечения часть бруса под действием приложенных к ней внешних сил 
стремится переместиться вверх. 

Изгибающий момент М, в любом сечении численно равен алгебраической сумме моментов сил, действующих по одну сторону от 
сечения, относительно центра тяжести этого сечения, включая и сосредоточенные моменты. Он считается положительным, если равнодействующий момент от внешних нагрузок, расположенных по одну 
сторону от сечения, стремится изогнуть брус выпуклостью вниз. 

5. Вычислить а и М, на границах участков и в других характерных сечениях и построить их эпюры. 

6. Проверить правильность построения эпюр, руководствуясь 
правилами, следующими из дифференциальных зависимостей Журавского: 

dz 
^ 
dz 
' 

Тангенс угла между касательной к эпюре поперечной силы и 
осью эпюры равен интенсивности распределенной нагрузки в рассматриваемом сечении. 

12