Динамика и прочность машин

№1464 

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ 
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ СТАЛИ и СПЛАВОВ 
(ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ) 

Кафедра сопротивления материалов 

Архангельский А.В. 

Одобрено 

методическим советом 

института 

ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН 

Курс лекций 
для студентов специа/Тьностей 17.03 

МОСКВА 1998 

АННОТАЦИЯ 

В курсе лекций приведены расчеты на прочность тонкостенш 
профилей, тонких пластинок, оболочек и толстостенных труб при статическ! 
нагружении и систем при динамическом нагружении. 

© 
Московский государственный 
институт стшш и сплавов 
(МИСиС) 1998 

Курс лекций 

СОДЕРЖАНИЕ 

1. ИЗГИБ И КРУЧЕНИЕ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ 
Лекция 1. Определение касательных напряжений в тонкостенном 

двутавровом сечении при попфечном изгибе 
5 

Лекция 2. Центр изгиба симметричных тонкостенных стержней 
9 

Лекция 3. Центр изгиба несимметричных сечений 
14 

Лекция 4. Определение координат центра изгиба тонкостенного 

профиля 
18 

Лекция 5. Напряжения и деформации при кручении брусьев 

некруглого поперечного сечения 
21 

2. ИЗГИБ ПЛАСТИНОК 

Лекция 6. Напряжения и деформации при цилиндрическом изгибе 27 
Лекция 7. Напряжения и деформащш при чистом изгибе 

пластинок в двух направлениях 
31 

Лекция 8. Вывод основного дифференциального уравнения 

пластинки 
40 

Лекция 9. Граничные условия при решении основного 

дифференциального уравнения пластинки 
44 

Лекция 10. Основное дифференциальное уравнение круглой 

пластинки 
48 

3. ПРОЧНОСТЬ ПРИ ДИНАМИЧЕСКОЙ НАГРУЗКЕ 
Лекция 11. Влияние сил инерции на прочность 
54 

Лекция 12. Коэффишюнт динамичности при действии ударных 

нагрузок на упругую систему 
59 

Лекция 13. Напряжершя и деформация при свободных колебаниях 

системы 
62 

Лекция 14. Напряжения и деформация при вынужденных 

колебаниях системы 
68 

4. ТОНКОСТЕННЫЕ ОБОЛОЧКИ 

Лекция 15. Расчет напряжений в тонкостенных оболочках 
73 

Лекция 16. Расчет на прочность тонкостенных оболочек 
77 

5. ТОЛСТОСТЕННЫЕ ЦИЛИНДРЫ 

Леюция 17. Расчет напряжений и перемещений в толстостенном 

цилиндре 
80 

17.1. Цилищф под внутренним и внешним давлениями .80 
17.2. Цилиндр под внутренним давлением 
86 

Архангельский А.В. 

17.3. Цилиндр под внешним давлением 
87 

17.4. Расчет составных цилиндров 
89 

Курс лекций 

1. ИЗГИБ И КРУЧЕНИЕ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ 

Лекция 1 

Определение касательных напряжений в тонкостенном 
двутавровом сечении при поперечном изгибе 

Тонкостенными назьшают сечения, составленные из длинных 
прямоугольников, к которым относжг двутавр, швеллер, уголок и ;фугие 
прокатные и прессованные сечения. Так как толщина элементов сечения 
невелика, то при изгибе в них могут возникать большие касательные 
напряжения (толщина сечения входит в знаменатель формулы 
Журавского). 
Поэтому 
исследование 
распределения 
касательных 
напряжений в тонкостенных сечашях имеет большое значение при 
оценке их прочности. 

Двутавровое сечение 

Стенка его представляет собой прямоугольник, один из размеров 
которого значительно больше другого {d « h) (рис. 1.1). При обычном 
расположении 
профиля 
(осью 
наибольшей 
жесткости 
х, 
перпендикулярной плоскости нагружения у) подсчет касательных 
напряжений х^у, в силу того что d « h-2t,c большей степенью точности 
может быть произведен по формуле Журавского: 

QyS 

от с 

L-d 
(1.1) 

где d - ширина стенки, Sj^<"' - статический момент отсеченной части 
сечения, находящейся Bbmie рассматриваемого уровня у (на рис. 1.1 эта 
площадь заштрихована) относительно оси д:. 

В точках г, S (рис. 1.2) напряжения отличаются от рассчитанных 
по формуле (1.1). Здесь имеет место концентрация напряжений и для 
смягчения стенку соединяют с полкой по радиусу. В этом случае значение ' 
Т1, рассчитанное также по формуле (1.1) близко к действительному. 

В пределах прямоугольника oprs, по-видимому, существуют 

напряжения х^у и х^/, Ъх^у - пренебрежимо мала в пределах этого 
прямоугольника и не имеет практического значения, так как 
приблизительно равна (0,03...0,05)2^. Так как TI приблизительно равно 
Ттах, то чзсто В стенкс X опредсляют как 

Архангельский А.В. 

rf-A, ' 
(1.2) 

,ЛТС 

wm 

i> ш^ 

Vij 

-Т. 
mat 

Рис. 1.1. Двутавровый профиль и эпюра касательных напряжений т^. 

; 

о г 
^ 
3 

Рис. 1.2. Прямоугольник opsr, в котором нельзя определить касательные напряжения по 

формуле Журавского 

Курс лекций 

Покажем, что формула Журавского остается справедливой и для 
полки двутавра, но при этом она огфеделяет т^д. (рис. 1.3, а). Напряжения 

х^^ равномерно распределены по толщине полки /. Напряжение т^^^ 
действует в вертикальных продольных сечениях (рис. 1.3, б). Составим 
уравнаше равновесия выделегшого элемента вдоль оси z балки: 

N + dT = N,, 
(1.3) 

^OTC 
^x 
^ o l c 
'x 

. o r e 
'x 

dT — 1^-^ t dz. 

X 
AV 

S) 

Рис. 1.3. Распределение касательных напряжений в полке (а) и элемент полки с действующими 
на него внутренними силами и напряжениями (б) 

Подставляя N, NindTa 
уравнение (1.3) получим 

т 
= т 
= 
т.е. получили 
формулу 
Журавского 
(1.1) для полки. Так 
как 

Архангельский А.В. 

т „ =—^ 
X 

2/, 

(1.4) 

На рис. 1.4 показана эпюра напряжений в верхней полке 
двутавровой балки. 

© 

^ЧЩЦ ПШь. 

Рис. 1.4. Эпюра касательных напряжений в верхней полке двутавра 

Тонкостатые незамкнутые профили 

Ддя этих профилей можно довольно точно узнать направление 
касательных напряжений при изгибе. 

Так как боковая поверхность стержня по условиям нагружения 
свободна от касательных напряжений (тангенциальная нагрузка вдоль 
оси г отсутствует), то: 
а) касательные напряжения в поперечном сечеьши всегда направлены 
вдоль контура; 

б) в силу малой толщины изменение г в поперечном к оси контура 
направлении незначительно. 

На 
основании 
сказанного 
для 
определения 
касательных 
напряжений можно применять приближенный метод Журавского и 
обобщить его следующим образом. 

Касательные напряжения при изгибе тонкостенного стержня 
направлены 
параллельно 
осевой 
линии 
сечения, 
равномерно 
распределены вдоль нормали к ней и равны: 

т = - Lb 
(1.5) 

Курс лекций 

Для профиля Криволинейного контура напряжения в точках 
линии АВ, нормальной к 
осевой линии профиля (рис. 
1.5), 
рассчитываются по формуле (1.5). 

W 
С) 

Рис. 1.5. Распределение касательных напряжений в криволинейном профиле (а) и направление 
касательных напряжений в уголке (б); заштрихованный участок - площадь пая определения 

Касательные напряжегам представляют собой как бы поток, 
руслом 
которого 
является 
поперечное 
сечение 
стержня; 

равнодействующая их Qx будет в несимметричном сечении проходить не 
через центр тяжести сечения, а через некоторую точку, расположенную 
иногда даже вне контура сечения. Эта точка называется центром изгиба 
сечения. 

Лекция 2. 

Центр изгиба симметричных тонкостенных стержней 
Найдем центр изгиба различных профилей. 

Швеллер. Оси X и Y - главные центральные оси сечения, Qy 
перерезывающая сила в сечении фис. 2.1) 

Архангельский А.В. 

iS 

fit 

ъ 

% 

т,
т 
w 

]JJJ^ 

Рис. 2.1. К определению центра изгиба швеллера 

Касательные напряжения в стенке буд>т направлены вверх (в 

сторону действия Qy), и их равнодействующая Qi будет равна (с 
достаточным приближением) поперечной силе Qy. 

Напряжения в полках найдем по формуле (1.4) 

Qy(h-t) 

т:„ = • 2/, 

Напряжения в верхней полке создают горизонтальную силу Г, 

равную: 

•' 
II 
^ 
4/ 

в нижней полке действует сила Т\ = Г, но в противоположном 
направлении. Эти две силы, ТхиТ создают пару сил с моментом 

"То 

Курс лекций 

m = T{h-i)- Q^tjh-tfjb-df 

4/, 

К этому моменту нужно добавить силу Q\ = Qy в стенке 
швеллера. 

Эту систему (Qi и т) можно заменить одной силой 2г = Qy, 
приложенной в центре изгиба (т. В) так, чтобы 

или 

Q.C 

_Qyt{h-tf(b-df 

4/. 

отсюда 

с = t{h-t)\b-d)' 
4/, 

т. е цен1р изгиба, точка В, отстоит от центра тяжести сечения, точки О 
на с + Zg. 

Таким образом, цешр изшба швеллера находится вне сечения со 
стороны, обратной полкам. 

Равнобокий уголок. Центр его изгиба лежит на пересечении осей 
полок. Центр изгиба равнобокого уголка - т. В\ момент касательных сил 
по сечению относительно т. В равен нулю (рис. 2.2). 

Рис. 2.2. Равнобокий уголок 

П 

Архангельский А.В. 

Зетовый профиль. Главные центральные оси - х, у; центр изгиба т. В 
совпадает с центром тяжести т. О, так как касателы&1е усилия в полках 
одинаковы и направлены в одну сторону (в отличии от швеллера), их 
равнодействующая Хфоходит через центр тяжести сечения фис. 2.3). 

Рис. 2.3. z-обрезной профиль 

Кольцевое сечение. Касательные 
напряжения 
симметричны 
относительно оси у, и центр изгиба совпадает с центром Т51жести 
сечения (рис. 2.4.) 

tmax 

Рис. 2.4. Неразрезное кольцо 

12