Математика : пособие для поступающих в вузы
Покупка
Тематика:
Основы математики
Издательство:
Лаборатория знаний
Автор:
Шабунин Михаил Иванович
Год издания: 2020
Кол-во страниц: 747
Дополнительно
Вид издания:
Практическое пособие
Уровень образования:
Среднее профессиональное образование
ISBN: 978-5-00101-902-2
Артикул: 620327.03.99
Книга предназначена для всех, кто, обладая знаниями основ школьного курса математики, хочет систематизировать свои знания, а также стремится успешно сдать ЕГЭ и вступительные экзамены в вуз. Пособие окажется полезным студентам педагогических вузов, а также учителям средних школ. Каждый раздел пособия содержит необходимый справочный материал и подробно разобранные примеры, взятые из олимпиад МФТИ и практики вступительных экзаменов в вузы, предъявляющие достаточно высокие требования к математической подготовке абитуриентов. Кроме того, в пособие включены задачи для самостоятельной работы учащихся. Ко всем задачам даны ответы, а к некоторым наиболее трудным — краткие указания.
В пособие также включены образцы вариантов вступительных экзаменов в МФТИ.
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
- ВО - Бакалавриат
- 01.03.01: Математика
- ВО - Магистратура
- 44.04.01: Педагогическое образование
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
Москва Лаборатория знаний 2020 8-е издание, электронное Математика М. И. Шабунин Пособие х и щ ю а п у т с о п я л д в вузы
УДК 51(076) ББК 22.1.729 Ш12 Шабунин М. И. Ш12 Математика : пособие для поступающих в вузы / М. И. Шабунин. — 8-е изд., электрон. — М. : Лаборатория знаний, 2020. — 747 с. — Систем. требования: Adobe Reader XI ; экран 10". — Загл. с титул. экрана. — Текст : электронный. ISBN 978-5-00101-902-2 Книга предназначена для всех, кто, обладая знаниями основ школьного курса математики, хочет систематизировать свои знания, а также стремится успешно сдать ЕГЭ и вступительные экзамены в вуз. Пособие окажется полезным студентам педагогических вузов, а также учителям средних школ. Каждый раздел пособия содержит необходимый справочный материал и подробно разобранные примеры, взятые из олимпиад МФТИ и практики вступительных экзаменов в вузы, предъявляющие достаточно высокие требования к математической подготовке абитуриентов. Кроме того, в пособие включены задачи для самостоятельной работы учащихся. Ко всем задачам даны ответы, а к некоторым наиболее трудным — краткие указания. В пособие также включены образцы вариантов вступительных экзаменов в МФТИ. УДК 51(076) ББК 22.1.729 Деривативное издание на основе печатного аналога: Математика : пособие для поступающих в вузы / М. И. Шабунин. — 8-е изд. — М. : Лаборатория знаний, 2020. — 744 с. : ил. — ISBN 978-5-00101-199-6. В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных техническими средствами защиты авторских прав, правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации ISBN 978-5-00101-902-2 c○ Лаборатория знаний, 2015 2
Оглавление ▼ Предисловие автора 10 Глава 1. Действительные числа 11 § 1. Необходимые и достаточные условия. Целые и рациональные числа. Метод математической индукции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 § 2. Действительные числа, степени и корни, логарифмы. Тождественные преобразования алгебраических выражений . . . . . . . . . 19 Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 § 3. Последовательность. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Предел последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 § 4. Основные формулы тригонометрии. Арксинус, арккосинус и арктангенс числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 1. Основные формулы тригонометрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2. Арксинус, арккосинус и арктангенс числа . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 § 5. Числовые неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Ответы и указания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Глава 2. Алгебраические уравнения 78 § 6. Уравнение и его корни. Преобразование уравнений . . . . . . . . . . . 78 Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Оглавление § 7. Рациональные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Указания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 § 8. Иррациональные уравнения. Уравнения, содержащие знак модуля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Указания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Глава 3. Показательные и логарифмические уравнения 98 § 9. Показательные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 § 10. Логарифмические уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Глава 4. Тригонометрические уравнения 110 § 11. Простейшие тригонометрические уравнения. Уравнения, сводящиеся к алгебраическим относительно sin x, cos x и tg x . . . . . . 110 Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 § 12. Решение уравнений с помощью введения вспомогательного угла, методом замены неизвестного и разложения на множители, с помощью формул понижения степени . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 § 13. Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей. Уравнения, содержащие знаки корня и модуля . . 127 Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 § 14. Тригонометрические уравнения различных видов . . . . . . . . . . . . . 140 Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 Задачи к главе IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 Указания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Оглавление 5 Глава 5. Системы уравнений 156 § 15. Основные понятия, относящиеся к системам уравнений. Системы линейных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 Указания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 § 16. Системы алгебраических уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 1. Нелинейные системы уравнений с двумя неизвестными . . . . 170 а) Однородные системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 б) Симметрические системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 в) Другие типы систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 Указания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 2. Иррациональные системы с двумя неизвестными . . . . . . . . . . 181 Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 Указания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 3. Алгебраические системы с тремя неизвестными . . . . . . . . . . . 186 Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 Указания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 § 17. Задачи на составление и решение уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 1. Задачи на движение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 2. Задачи на сплавы и смеси . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 3. Задачи на совместную работу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 § 18. Системы показательных, логарифмических и тригонометрических уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 1. Системы показательных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 2. Системы, содержащие логарифмы с постоянными основаниями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 3. Системы, содержащие логарифмы с переменными основаниями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 Указания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 4. Системы тригонометрических уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
Оглавление Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 Указания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 Глава 6. Алгебраические неравенства 243 § 19. Основные понятия, связанные с решением неравенств . . . . . . . . 243 Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 § 20. Квадратный трехчлен и квадратные неравенства . . . . . . . . . . . . . 251 Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 § 21. Рациональные неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 1. Метод интервалов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 2. Расположение корней квадратного трехчлена на числовой оси . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 § 22. Иррациональные неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 Глава 7. Показательные, логарифмические и тригонометрические неравенства 285 § 23. Показательные неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 § 24. Логарифмические неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 1. Логарифмические неравенства с постоянными основаниями 291 Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 2. Логарифмические неравенства с переменными основаниями 301 Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308 Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 § 25. Тригонометрические неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320 Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
Оглавление 7 Глава 8. Системы неравенств с двумя переменными 322 § 26. Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 1. Прямая на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 2. Угол между прямыми . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 3. Линейные неравенства с двумя переменными . . . . . . . . . . . . . . 324 4. Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326 Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326 Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 5. Уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330 Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330 Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334 Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335 § 27. Нелинейные системы неравенств с двумя переменными . . . . . . . 336 Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342 Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 Глава 9. Планиметрия 344 § 28. Треугольник . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362 Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368 § 29. Четырехугольник . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368 Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368 Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370 Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384 Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388 § 30. Окружность и круг . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389 Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389 Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391 Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401 Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407 § 31. Комбинации геометрических фигур . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407 Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407 Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424 Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428 Глава 10. Прямые и плоскости в пространстве 429 § 32. Справочный материал по стереометрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429 § 33. Сечения многогранников . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449 Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449 Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450 § 34. Вычисление углов в пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461 1. Угол между прямыми . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461 Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461 Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462
Оглавление 2. Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикуляр и наклонная. Угол между прямой и плоскостью . . . . . . 467 а) Перпендикулярность прямой и плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467 Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467 Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467 б) Угол между прямой и плоскостью . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469 Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469 Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470 3. Двугранные углы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473 Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473 Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473 § 35. Вычисление расстояний в пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482 1. Расстояние между двумя точками . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482 Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482 Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482 2. Расстояние от точки до прямой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485 Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485 Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486 3. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние между параллельными плоскостями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486 Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488 4. Расстояние между скрещивающимися прямыми . . . . . . . . . . . 494 Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494 Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495 Глава 11. Многогранники 500 § 36. Треугольная пирамида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500 1. Объем пирамиды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500 Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500 Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500 2. Пирамида и сфера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508 Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508 Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509 3. Разные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515 Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515 § 37. Четырехугольная и шестиугольная пирамиды . . . . . . . . . . . . . . . . 530 Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530 § 38. Призма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543 Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543 Глава 12. Круглые тела, комбинации геометрических тел 559 § 39. Конус, цилиндр и сфера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559 Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559 1. Конус и сфера. Цилиндр и сфера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559 Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559 2. Сфера, прямая и плоскость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564 Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564 Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565 § 40. Комбинации круглых тел и многогранников . . . . . . . . . . . . . . . . . 568 1. Цилиндр и многогранник. Конус и многогранник . . . . . . . . . 568 Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 568 2. Комбинации многогранников . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581 Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581
Оглавление 9 Задачи к главам 10–12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585 Первый уровень . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585 Второй уровень . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587 Третий уровень . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594 Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 600 Глава 13. Производная и интеграл 603 § 41. Производная и ее применение к исследованию функций . . . . . . 603 Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603 Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606 Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618 Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621 § 42. Интеграл и его приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622 Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622 Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624 Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 630 Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632 Глава 14. Задачи с параметрами. Разные задачи 633 § 43. Уравнения и системы уравнений с параметрами . . . . . . . . . . . . . . 633 Примеры уравнений с параметрами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633 Примеры систем уравнений с параметрами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 650 Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666 Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672 § 44. Неравенства и системы неравенств с параметрами . . . . . . . . . . . . 673 Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673 Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692 Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694 § 45. Делимость целых чисел, сравнения, целочисленные решения уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694 Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694 Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 701 Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702 § 46. Элементы комбинаторики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702 Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702 Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703 Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704 Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705 § 47. Разные задачи по алгебре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705 Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705 Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 708 Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 709 Варианты олимпиад и письменных вступительных экзаменов по математике в МФТИ 710 Ответы к вариантам . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714
Предисловие автора ▼ Книга предназначена для тех, кто, обладая знаниями основ школьного курса математики, стремится систематизировать эти знания и успешно сдать вступительные экзамены в вуз. Каждый раздел пособия содержит необходимый справочный материал и подробно разобранные примеры, взятые из практики вступительных экзаменов в вузы, предъявляющие достаточно высокие требования к математической подготовке абитуриентов. Кроме того, в пособие включены задачи для самостоятельной работы учащихся, расположенные в порядке возрастания трудности. Ко всем этим задачам даны ответы, а к некоторым наиболее трудным — краткие указания. Для удобства пользования книгой ответы приводятся сразу после условий задач параграфа (главы). В пособие также включены образцы вариантов вступительных экзаменов таких вузов, как МГУ, МФТИ, МГИЭМ, МИРЭА, и др. Автор стремился подобрать примеры с тем расчетом, чтобы в каждом разделе пособия был предоставлен набор ключевых задач и методов их решения, имея в виду конечную цель: способствовать формированию умений и навыков, необходимых не только для успешной сдачи вступительных экзаменов, но и для повышения уровня математической культуры учащихся. Работа над пособием, по мнению автора, окажется особенно эффективной, если учащийся сначала попытается самостоятельно решить разобранный в тексте пример, а затем сравнит свое решение с тем, которое приводится в книге. В работе над пособием автор опирался на многолетний опыт создания учебников и учебных пособий для средней и высшей школы, участия в организации и проведении вступительных экзаменов в Московском физико-техническом институте, чтения лекций по телевидению для поступающих в вузы и на курсах повышения квалификации учителей средних школ. В седьмое издание включены задачи МФТИ 2003–2013 гг., новые разделы — делимость целых чисел и элементы комбинаторики. Добавлены задачи в §§ 43 и 44 (задачи с параметрами), среди которых — задачи ЕГЭ. М. И. Шабунин
Глава 1 Действительные числа ▼ § 1. Необходимые и достаточные условия. Целые и рациональные числа. Метод математической индукции Справочные сведения 1. Прямые и обратные теоремы. Необходимые и достаточные условия. а) Формулировка каждой теоремы содержит условие теоремы и заключение. Поменяв местами в формулировке некоторой теоремы условие и заключение, получим формулировку теоремы, обратной данной. б) Пусть A — некоторое высказывание, т. е. утверждение, о котором имеет смысл говорить, что оно истинно или ложно. Тогда всякое высказывание B, из которого следует A, называется достаточным условием для A, а всякое высказывание C, которое следует из A, называется необходимым условием для A. В этих случаях пишут: B ⇒ A, A ⇒ C. в) Если высказывания M и N таковы, что каждое из них следует из другого (M ⇒ N, N ⇒ M), то говорят, что каждое из этих высказываний является необходимым и достаточным условием другого, и пишут M ⇔ N. Тот факт, что M ⇔ N, выражают также следующими формулировками: – для справедливости M необходимо и достаточно, чтобы имело место N; – M справедливо тогда и только тогда, когда выполняется N; – M имеет место в том и только в том случае, если справедливо N. 2. Делимость целых чисел. а) Множество натуральных чисел обозначают буквой N, а множество целых чисел — буквой Z. Если n — натуральное число, то пишут n ∈ N, а если k — целое число, то пишут k ∈ Z. Натуральное число a записывают так: a = anan−1 . . . a1a0
Глава 1. Действительные числа или в виде суммы a = an · 10n + an−1 · 10n−1 + · · · + a1 · 10 + a0, где an, an−1, . . . , a1, a0 — цифры соответствующих разрядов. б) Если r — остаток от деления натурального числа a на натуральное число m, то a = mq + r, где r может принимать одно из значений 0, 1, . . . , m − 1; q — целое неотрицательное число. В том случае, когда r = 0, говорят, что a делится на m. в) Если r — остаток от деления натурального числа a на натуральное число m, то: – остаток от деления на m числа na, где n ∈ N, равен остатку от деления на m числа nr; – остаток от деления на m числа ak, где k ∈ N, равен остатку от деления на m числа rk. г) Если r1 и r2 — остатки от деления на натуральное число m натуральных чисел a и b соответственно, то остатки от деления на m чисел a + b, a − b и ab совпадают с остатками от деления на m чисел r1 + r2, r1 − r2 и r1r2 соответственно. д) Натуральное число делится на 4 тогда и только тогда, когда двузначное число, полученное из данного отбрасыванием всех цифр, кроме двух последних, делится на 4. е) Натуральное число делится на 3 (на 9) тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3 (на 9). 3. Метод математической индукции. Метод доказательства, называемый методом математической индукции, основан на следующем принципе, который является одной из аксиом арифметики натуральных чисел. Предложение A(n), зависящее от натуральной переменной n, считается истинным для всех n ∈ N, если выполнены следующие два условия: а) предложение A(n) истинно для n = 1; б) из предположения, что A(n) истинно для n = k (где k — любое натуральное число), следует, что оно истинно и для следующего значения n, т. е. для n = k + 1. Этот принцип называется принципом математической индукции. Под методом математической индукции понимают следующий способ доказательства: во-первых, проверяют истинность высказывания A(1), и, во-вторых, предположив истинность высказывания A(k), пытаются доказать, что истинно высказывание A(k + 1). Если это удается доказать (при любом натуральном k), то предложение A(n) считается истинным для всех значений n.
§ 1. Необходимые и достаточные условия 13 4. Рациональные числа. а) Рациональное число a можно записать в виде a = p q , где p ∈ Z, q ∈ N, а сумма и произведение рациональных чисел a = p q и b = p1 q1 определяются равенствами a + b = pq1 + qp1 qq1 , ab = pp1 qq1 . б) Любое рациональное число можно представить либо в виде конечной десятичной дроби, либо в виде бесконечной периодической десятичной дроби, используя алгоритм деления уголком. Например, 3 8 = 0, 375; − 27 11 = −2, 4545 . . . = −2, (45). Обратно, зная бесконечную периодическую десятичную дробь, можно найти соответствующее этой дроби рациональное число, используя формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: a + aq + aq2 + · · · = a 1 − q , |q| < 1. Например, 2, 4(31) = 2, 4 + 31 103 + 31 105 + · · · = 2, 4 + 31 103 · 1 1 − 1 102 = = 2 427 990 = 2407 990 . Этот же результат можно получить и другим спо собом. Пусть x = 2, 4(31), тогда 103x = 2431, (31), 10x = 24, (31), откуда 990x = 2431 − 24 = 2407, x = 2407 990 . Примеры с решениями Пример 1. Сформулировать и доказать теорему, обратную теореме Пифагора. Решение. Условие M теоремы Пифагора можно записать в виде следующего высказывания: M ≡ {в треугольнике ABC угол C — прямой}, а заключение N этой теоремы формулируется так: N ≡ {c2 = a2 + b2}, где a, b, c — стороны, лежащие против углов A, B и C соответственно. Справедлива также теорема, обратная теореме Пифагора: если c2 = a2 + b2, то угол C — прямой.
Глава 1. Действительные числа Для доказательства этой теоремы можно воспользоваться либо теоремой косинусов, либо третьим признаком равенства треугольников (по трем сторонам). Пример 2. Выяснить, какое из утверждений A и B следует из другого, используя символы ⇒, ⇔: 1) A ≡ {четырехугольник Q — ромб}, B ≡ {диагонали четырехугольника Q взаимно перпендикулярны}; 2) A ≡ {произведение чисел x и y равно нулю}, B ≡ {хотя бы одно из чисел x, y равно нулю}. Решение. 1) Здесь A ⇒ B, но из B не следует A. 2) В этом случае A ⇒ B и B ⇒ A, т. е. A ⇔ B. Пример 3. Доказать, что число a = n3 + 17n делится на 6 при любом натуральном числе n. Доказательство. Эту задачу можно решить, применив метод математической индукции. Приведем другой способ решения. Заметим, что натуральное число делится на 6 тогда и только тогда, когда на 6 делится число a + 6k, где k — целое число. В частности, число a делится на 6, если число b = a − 18n = n3 − n делится на 6. Но b = n3 − n = (n − 1)n(n + 1) — произведение трех последовательных натуральных чисел, из которых одно делится на 3 и по крайней мере одно делится на 2. Поэтому число b делится на 6, откуда следует, что число a также делится на 6. Пример 4. Найти последнюю цифру числа a = 432283. Решение. Последняя цифра у числа a такая же, как и у числа 2283. Выпишем последовательные степени двойки: 21 = 2, 22 = 4, 23 = 8, 24 = 16, 25 = 32, 26 = 64 и т. д. Отсюда следует, что последние цифры этих чисел повторяются через 4. Поэтому последняя цифра у числа 2k такая же, как у числа 2p, где p — одно из чисел 1, 2, 3, 4, а разность k − p кратна четырем. Так как 283 = 280 + 3, где 280 делится на 4, то последняя цифра числа 2283 — восьмерка (23 = 8). Замечание. Если рассматривать последовательные натуральные степени числа 3 (или числа 7), то можно заметить, что последние цифры получаемых чисел повторяются через 4. Поэтому последняя цифра у числа 3214 такая же, как у числа 32, т. е. девятка, так как 214 = 53 · 4 + 2. Аналогично, последняя цифра числа 7365 — семерка, так как 365 = 91 · 4 + 1.
§ 1. Необходимые и достаточные условия 15 Пример 5. Доказать, что число a = (x + 7y + 3)5(5x + 3y + 2)4 делится на 16 при любых целых x и y. Доказательство. Если числа x и y — оба четные или оба нечетные, то 5x + 3y + 2 — четное число, и поэтому (5x + 3y + 2)4 делится на 24 = 16. Если же одно из чисел x, y — четное, а другое — нечетное, то x + 7y + 3 — четное число и поэтому (x + 7y + 3)5 делится на 25 и, значит, делится на 16. Пример 6. Найти остаток от деления числа a на m, если: 1) a = 3751 · 4915, m = 3; 2) a = 2127 + 1821, m = 17. Решение. 1) Заметим, что если натуральное число n не делится на 3, т. е. n = 3p± 1, где p ∈ N, то n2 = 3q+1, где q ∈ N. Поэтому остаток от деления на 3 числа n2 равен 1, если n не делится на 3. Числа 37 и 49 не делятся на 3 и, следовательно, остаток от деления на 3 каждого из чисел 3750 = (372)25, 4914 равен 1, а остаток от деления на 3 числа a совпадает с остатком от деления на три числа b = 37 · 49 = (36 + 1)(48 + 1), т. е. равен 1. 2) Так как 24 = 16 = 17−1, 18 = 17+1, а 127 = 4·31+3, то остаток от деления на 17 числа a совпадает с остатком от деления на 17 числа b = 23 · (−1)31 + 121 = −8 + 1 = −7, т. е. равен 10, поскольку −7 = 17(−1) + 10. Ответ. 1) 1; 2) 10. Пример 7. Доказать, что натуральное число a = anan−1 . . . a1a0 = an · 10n + an−1 · 10n−1 + · · · + a1 · 10 + a0 делится на 11 тогда и только тогда, когда на 11 делится сумма s = a0 − a1 + a2 + · · · + (−1)n−1an−1 + (−1)nan, т. е. сумма цифр этого числа, взятых с чередующимися знаками. Доказательство. Остаток от деления на 11 чисел 102k, где k ∈ N, равен 1, так как 102k = 99 . . . 99 2k цифр +1, а остаток от деления на 11 чисел 102k+1, где k = 0, 1, 2, . . ., равен −1, так как 10 = 11 − 1, 102k+1 = 102k(11 − 1), а остаток от деления на 11 числа 102k равен 1. Итак, остаток от деления на 11 числа a равен s. Пример 8. Доказать, что если число a ∈ N не делится на 5, то число a4 − 1 делится на 5. Доказательство. Пусть r — остаток от деления a на 5. Так как a не делится на 5, то a = 5k + r, где k ∈ N, r — одно из чисел 1, 2, 3, 4. Из равенства a4 = (5k + r)4 = 5p + r4, где p ∈ N, следует, что
Глава 1. Действительные числа остаток от деления a4 на 5 равен остатку от деления r4 на 5. Так как 14 = 1, 24 = 5 · 3 + 1, 34 = 5 · 16 + 1, 44 = 5 · 31 + 1, то остаток от деления r4 на 5 при r = 1, 2, 3, 4 равен 1. Поэтому остаток от деления a4 − 1 на 5 равен нулю, т. е. число a4 − 1 делится на 5, если a не делится на 5. Пример 9. Методом математической индукции доказать равенство 12 + 22 + · · · + n2 = n(n + 1)(2n + 1) 6 . (1) Доказательство. При n = 1 равенство (1) является верным (1 = 1). Нужно доказать, что из предположения о том, что является верным равенство (1), следует справедливость равенства 12 + 22 + · · · + n2 + (n + 1)2 = (n + 1)(n + 2)(2n + 3) 6 , (2) полученного из (1) заменой n на n + 1. Прибавляя к обеим частям (1) слагаемое (n + 1)2, имеем 12 + 22 + · · · + n2 + (n + 1)2 = n(n + 1)(2n + 1) 6 + (n + 1)2. (3) Преобразуя правую часть (3), получаем n + 1 6 (2n2 + 7n + 6) = (n + 1)(n + 2)(2n + 3) 6 . Таким образом, равенство (2) является верным, и поэтому формула (1) доказана для любого n ∈ N. Дадим другое доказательство формулы (1), используя сим вол nk=1 ak, которым обозначается сумма a1 + a2 + · · · + an, т. е. nk=1 ak = a1 + a2 + · · · + an. Воспользуемся тождеством (x + 1)3 − x3 = 3x2 + 3x + 1. (4) Полагая в (4) x = 1, 2, . . . , n и складывая получаемые равенства, находим n k=1 (k + 1)3 − k3= 3 n k=1 k2 + 3 n k=1 k + n. (5) Левая часть (5) равна (n + 1)3 − 1, а nk=1 k = n(n + 1) 2 . Поэтому из (5) получаем 3 n k=1 k2 = (n + 1)3 − (n + 1) − 3 2 n(n + 1) = n(n + 1)(2n + 1) 2 , откуда следует равенство (1).
§ 1. Необходимые и достаточные условия 17 Пример 10. Доказать, что для любых a, b и при любом n ∈ N справедлива формула бинома Ньютона (a+b)n = C0 nan +C1 nan−1b+···+Ck nan−kbk +···+Cn−1 n abn−1 +Cn nbn = = n k=0 Ck nan−kbk, (6) где C0 n = 1, Ck n = n(n− 1)...(n− (k− 1)) k! , k = 1,2...,n; k! = 1·2·...·k. (7) Правую часть формулы (6) называют разложением бинома, числа Ck n — биномиальными коэффициентами, слагаемое Ck nan−kbk — k-м членом разложения бинома. Доказательство. Воспользуемся методом математической индукции. При n = 1 формула (6) верна, так как ее правая часть равна левой: C0 1a + C1 1b = a + b. Предполагая справедливым равенство (6), докажем, что верна формула (a + b)n+1 = n+1 k=0 Ck n+1an+1−kbk. (8) Умножая обе части равенства (6) на (a + b), получаем (a + b)n+1 = An + Bn, где An = an+1 + n k=1 Ck nan+1−kbk, Bn = n k=0 Ck nan−kbk+1 = n k=1 Ck−1 n an+1−kbk + bn+1. Следовательно, (a + b)n+1 = an+1 + n k=1 (Ck n + Ck−1 n )an+1−kbk + bn+1. (9) Сравнивая правые части равенств (8) и (9), заключаем, что для доказательства формулы (8) достаточно показать, что Ck n + Ck−1 n = Ck n+1. (10) Используя (7), находим Ck−1 n = n(n − 1) · · · (n − (k − 2)) (k − 1)! = kn(n − 1) · · · (n − (k − 2)) k! . Поэтому Ck n + Ck−1 n = n(n − 1) · · · (n − (k − 2)) k! (n − (k − 1) + k) = = (n + 1) ((n + 1) − 1) · · · ((n + 1) − (k − 1)) k! = Ck n+1.