Квантовая механика в космологических моделях де Ситтера
Покупка
Тематика:
Физика
Издательство:
Беларуская навука
Авторы:
Веко Ольга Владимировна, Дашук Кристина Валерьевна, Кисель Василий Васильевич, Овсиюк Елена Михайловна, Редьков Виктор Михайлович
Год издания: 2016
Кол-во страниц: 515
Дополнительно
Вид издания:
Монография
Уровень образования:
ВО - Бакалавриат
ISBN: 978-985-08-2027-3
Артикул: 729018.01.99
Доступ онлайн
В корзину
В книге развивается квантовая механика частиц со спином 0. 1/2, 1 в предположении неевклидовости пространства—времени. Исследуются случаи геометрий Минковского, Лобачевского. Римана и де Ситтера. Акцент делается на точно решаемых задачах. В основу обобщения волновых уравнений положен тетрадный формализм Тетроде—Вейля—Фока— Иваненко. Исследованы следующие квантово-механические системы: атом водорода на основе уравнений Клейна—Фока—Гордона и Дирака в статических моделях де Ситтера: частица со спином 1/2 в поле абелева монополя на фоне геометрий де Ситтера; нерелятивистская векторная частица в полях абелева монополя, Кулона и осциллятора на фоне плоского пространства Минковского: частица со спином 1 в полях Кулона п осциллятора на фоне пространств Лобачевского п Римана в нерелятивистском приближении Паули: частицы спина 0 и 12 в расширяющемся и осциллирующем пространствах де Ситтера — даны релятивистское п нерелятивистское описания. Развит метод решения дифференциальных уравнений 4-го порядка на основе метода факторизации. Предназначена для научных работников и аспирантов, занимающихся вопросами физики элементарных частиц, классической и квантовой теории поля. Может быть использована в качестве учебного пособия.
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
- ВО - Бакалавриат
- 03.03.01: Прикладные математика и физика
- ВО - Магистратура
- 03.04.01: Прикладные математика и физика
- 03.04.02: Физика
- Аспирантура
- 03.06.01: Физика и астрономия
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ НАУК БЕЛАРУСИ Институт физики имени Б. И. Степанова КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА В КОСМОЛОГИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ ДЕ СИТТЕРА Минск «Беларуская навука» 2016
УДК 530.145:539.12 Квантовая механика в космологических моделях де Ситтера / О. В. Веко [и др.]. - Минск : Беларуская навука, 2016. - 515 с. -ISBN 978-985-08-2027-3. В книге развивается квантовая механика частиц со спином 0, 1/2, 1 в предположении неевклидовости пространства-времени. Исследуются случаи геометрий Минковского, Лобачевского, Римана и де Ситтера. Акцент делается на точно решаемых задачах. В основу обобщения волновых уравнений положен тетрадный формализм Тетроде-Вейля- Фока-Иваненко. Исследованы следующие квантово-механические системы: атом водорода на основе уравнений Клейна- Фока- Гордона и Дирака в статических моделях де Ситтера; частица со спином 1/2 в поле абелева монополя на фоне геометрий де Ситтера; нерелятивистская векторная частица в полях абелева монополя, Кулона и осциллятора на фоне плоского пространства Минковского; частица со спином 1 в полях Кулона и осциллятора на фоне пространств Лобачевского и Римана в нерелятивистском приближении Паули; частицы спина 0 и 1/2 в расширяющемся и осциллирующем пространствах де Ситтера -даны релятивистское и нерелятивистское описания. Развит метод решения дифференциальных уравнений 4-го порядка на основе метода факторизации. Предназначена для научных работников и аспирантов, занимающихся вопросами физики элементарных частиц, классической и квантовой теории поля. Может быть использована в качестве учебного пособия. Ил. 9. Библиогр.: 250 назв. А в т о р ы: О. В. Веко, К. В. Дашук, В. В. Кисель, Е. М. Овсиюк, В. М. Редьков Р е ц е н з е н т ы: доктор физико-математических наук Ю. А. Курочкин, доктор физико-математических наук, профессор В. А. Плетюхов ISBN 978-985-08-2027-3 © Оформление. РУП «Издательский дом «Беларуская навука», 2016
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие.............................................. 9 1. Атом водорода и геометрии пространств де Ситтера.... 11 1.1. Введение..................................... 11 1.2. Разделение переменных в пространстве де Ситтера.... 12 1.3. Качественное рассмотрение.................... 14 1.4. Анализ классического движения в пространстве де Ситтера ............................................. 17 1.5. Сведение радиального уравнения к уравнению Гойна 21 1.6. Вычисление корней уравнения pᵣ = 0........... 25 1.7. Вычисление интеграла......................... 27 1.8. Кулоновская задача в пространстве анти де Ситтера и функции Гойна................................... 30 1.9. Качественный анализ задачи в пространстве анти де Ситтера........................................... 36 1.10. ВКБ-анализ в пространстве анти де Ситтера.. 39 1.11. Частица со спином 1/2 в кулоновском поле на фоне пространства де Ситтера........................... 40 1.12. Частица со спином 1/2 в кулоновском поле в пространстве анти де Ситтера........................... 46 1.13. Выводы...................................... 50 2. Частица со спином 1/2 в присутствии абелева монополя на фоне пространства-времени де Ситтера.................... 51 2.1. Уравнение Дирака в статических координатах де Ситтера.............................................. 51 2.2. Разделение переменных в поле монополя........ 52 2.3. Решение радиальных уравнений................. 58 2.4. Решение радиальных уравнений при j ₘᵢₙ....... 64 2.5. Стоячие и бегущие волны, j > jₘᵢₙ............ 70
О. Веко, К. Дашук, В. Кисель, Е. Овсиюк, В. Редьков 2.6. Стоячие и бегущие волны при j = j ......... 74 2.7. Обсуждение и выводы........................ 75 3. Частица со спином 1/2 в присутствии абелева монополя на фоне пространства анти де Ситтера................... 79 3.1. Разделение переменных............................ 3.2. Решение радиальных уравнений при j ₘᵢₙ........... 3.3. Предельный переход к пространству Минковского.... 3.4. Разделение переменных в поле магнитного заряда, j > j ................................................ min 3.5. Решение уравнений при j > j Jmin 79 81 84 87 88 4. Векторная частица в поле магнитного заряда, нерелятивистское приближение в пространстве Минковского........ 93 4.1. Введение.................................... 93 4.2. Разделение переменных в релятивистском уравнении Даффина- Кеммера........................ 94 4.3. Нерелятивистское приближение................. 101 4.4. Решение радиальной системы уравнений....... 107 4.5. Явные представления для трех классов решений. 117 4.6. Случай минимального значения j............... 120 4.7. Частица в полях Кулона и магнитного заряда... 121 4.8. Частица в полях квадратичного потенциала и магнитного заряда.............................. 123 4.9. Заключение................................. 124 5. Векторная частица в сферически-симметричных потенциалах, нерелятивистское приближение в пространстве Лоба чевского............................................... 125 5.1. Введение.................................... 125 5.2. Разделение переменных в уравнении Даффина-Кеммера........................................... 131 5.3. Нерелятивистское приближение................ 137 5.4. Частица в присутствии монополя в состояниях минимального j, учет кулоновского и осцилляторного потенциалов....................................... 145 5.5. Частица со спином 1 в отсутствие монопольного поля.............................................. 150
Квантовая механика в космологических моделях де Ситтера 5 5.6. Частица со спином 1 в кулоновском поле притяжения.. 156 5.7. Частица в осцилляторном поле............... 167 5.8. Релятивистская задача в поле осциллятора, случай пространства Лобачевского....................... 175 5.9. Релятивистская частица в поле осциллятора, случай плоского пространства........................... 180 5.10. Выводы.................................... 182 6. Векторная частица в сферически симметричных потенциалах, нерелятивистское приближение в сферическом пространстве ............................................ 183 6.1. Разделение переменных в модифицированном уравнении Даффина-Кеммера....................... 183 6.2. Нерелятивистское приближение............... 187 6.3. Частица в состояниях минимального j: учет кулоновского потенциала......................... 195 6.4. Частица в состояниях минимального j: учет осцилляторного потенциала....................... 197 6.5. Частица в отсутствие монопольного потенциала. 198 6.6. Частица в кулоновском поле притяжения...... 204 6.7. Частица в осцилляторном поле............... 211 7. Сферические волны для поля со спином 1 в статической метрике де Ситтера, матричный 10-мерный формализм....... 219 7.1. Разделение переменных...................... 219 7.2. Решение радиальных уравнений............... 222 7.3. Расходящаяся, сходящаяся и стоячая волны..... 228 7.4. Безмассовый предел......................... 230 8. Сферические волны для поля со спином 1 в статической метрике анти де Ситтера, матричный 10-мерный формализм . 231 8.1. Постановка задачи. Разделение переменных... 231 8.2. Решение радиальных уравнений при j > 0..... 234 8.3. Безмассовый предел частицы со спином 1..... 239 9. Скалярная частица в нестатических Вселенных де Ситтера . ... 241 9.1. Нерелятивистский предел в теории скалярной частицы на фоне римановой геометрии............. 241
О. Веко, К. Дашук, В. Кисель, Е. Овсиюк, В. Редьков 9.2. Уравнение Шредингера в пространствах де Ситтера и анти де Ситтера, нестатические координаты.... 246 9.3. Уравнение Клейна- Фока- Гордона в гравитационном поле........................................... 256 9.4. Частица Клейна- Фока- Гордона в нестатической модели де Ситтера.............................. 257 9.5. Частица Клейна- Фока- Гордона в модели анти де Ситтера........................................ 264 10. Частица со спином 1/2 в нестатических Вселенных де Ситтера.............................................. 267 10.1. Уравнение Дирака в ортогональных координатах. 267 10.2. Нейтрино в пространстве де Ситтера....... 284 10.3. Уравнение Паули в расширяющейся Вселенной де Ситтера........................................ 286 10.4. Частица со спином 1/2 в осциллирующей Вселенной анти де Ситтера...................... 292 10.5. Уравнение Паули в осциллирующей Вселенной.... 303 11. Частица со спином 1 в нестатических пространствах де Ситтера, тетрадный формализм............................ 309 11.1. 10-мерный матричный формализм, разделение переменных......................................... 309 11.2. Условие Лоренца.......................... 323 11.3. Электромагнитное поле в формализме Майораны- Оппенгеймера в расширяющейся Вселенной де Ситтера ....................................... 334 11.4. Связь между формализмами Майораны- Оппенгеймера и Даффина- Кеммера........................ 345 11.5. Электромагнитное поле в формализме Майораны-Оппенгеймера во Вселенной анти де Ситтера...... 359 11.6. Частица со спином 1 в пространстве анти де Ситтера, формализм Даффина- Кеммера..................... 367 11.7. Связь между формализмами Майораны- Оппенгеймера и Даффина- Кеммера в пространстве анти де Ситтера........................................ 371
Квантовая механика в космологических моделях де Ситтера 7 12. Частицасоспином 1, нерелятивистскоеприближение в нестатических метриках де Ситтера.......................... 385 12.1. Нерелятивистское приближение для векторной ча стицы в расширяющейся Вселенной де Ситтера...... 385 12.2. Нерелятивистское приближение для векторной ча стицы в осциллирующей Вселенной анти де Ситтера.. 402 13. Частица Дирака—Кэлера в пространствах постоянной кривизны: релятивистское и нерелятивистское описания, точные решения............................................... 421 13.1. Нерелятивистское приближение в римановом пространстве......................................... 421 13.2. Двумерный спинорный формализм............. 424 13.3. Нерелятивистское уравнение в пространстве Минковского........................................ 429 13.4. Сферически-симметричные решения в плоском пространстве, релятивистский случай.................. 431 13.5. Состояния со значением j = 0.............. 436 13.6. Сферически-симметричные решения в плоском пространстве, нерелятивистский предел........... 438 13.7. Явный вид решений и калибровочные преобразования .......................................... 444 13.8. Точные решения в сферическом пространстве Римана, нерелятивистское приближение.............. 446 13.9. Решение радиальных уравнений в сферическом пространстве......................................... 451 13.10. Решения в пространстве Лобачевского, нерелятивистское приближение............................ 457 13.11. Решение уравнений в гиперболическом пространстве 461 14. Дублет дираковских частиц в поле неабелева монополя, нерелятивистское описание............................. 467 14.1. Введение.................................. 467 14.2. Уравнение Паули для дублета фермионов, общий анализ.......................................... 468 14.3. Неабелев монополь, калибровка Швингера..... 470
14.4. Разделение переменных в релятивистском уравнении. 475 14.5. Дискретный оператор отражений в изотопическом и координатном пространствах..................... 477 14.6. Решение уравнений для случая простейшего монопольного потенциала.............................. 480 14.7. Дублет в нерелятивистском приближении Паули, слу чай j = 0....................................... 482 14.8. Дублет в нерелятивистском приближении: случай j > 0 488 14.9. Выводы..................................... 492 Заключение............................................ 493 Литература............................................ 497
Предисловие Физические задачи, допускающие точное аналитическое решение, всегда привлекали пристальное внимание. В настоящей работе будут исследованы некоторые новые точно решаемые задачи, возникающие при обобщении классической теории поля (главным образом речь идет об электромагнитном поле) и квантовой механики в пространствах с псевдоримановой геометрией [1-3]. Многие традиционные задачи квантовой теории и теории поля [4-6] при их обобщении на пространства с неевклидовой геометрией допускают исчерпывающую аналитическую трактовку. Причем, также как и большинство задач в пространстве Минковского они поддаются анализу в терминах гипергеометрических функций - решений дифференциального уравнения с тремя особыми точками [7, 8]. Однако в настоящее время задачи теории поля и квантовой механики все чаще приводят к необходимости решать дифференциальное уравнение с четырьмя особыми точками - уравнение Гойна [9-11]. Хотя это уравнение и его решения известны уже много лет, развитый для этих функций аппарат все еще является недостаточно разработанным, чтобы его можно было эффективно использовать при исследовании физических задач. Часто с помощью специальных приемов многие задачи, приводящие к уравнению Гойна, удается преобразовывать к форме, поддающейся трактовке в гипергеометрических функциях. Ряд таких примеров рассмотрен в настоящей книге. Кроме того, изложен анализ нескольких задач, решение которых возможно только в функциях Гойна. При этом оказывается, что использование простого условия, выделяющего так-называемые трансцендентные (неполиномиальные) функции Гойна, часто позволяет придти к разумным правилам квантования энергии в системах, где возможно существование связанных состояний. Применительно к нескольким квантово-механическим задачам развит также метод факторизации при решении дифференциальных уравнений четвертого порядка. В большей части настоящей работы в качестве обобщенных геометрических моделей используются статическое (сферическое) пространство-время Эйнштейна и его гиперболический аналог - пространство Лобачевского; мы будем поль 9
О. Веко, К. Дашук, В. Кисель, Е. Овсиюк, В. Редьков зоваться терминами пространство Римана S ₃ и пространств о Лобачевского H3, поскольку все интересные геометрические свойства 4-мерных моделей сосредоточены именно в их пространственных частях. Рассматривается ряд физических систем на фоне более сложных моделей: пространства-времени де Ситтера первого и второго рода (де Ситтера и анти де Ситтера). В основу обобщения квантово-механических уравнений на модели пространств с неевклидовой геометрией положен тетрадный формализм Тетроде-Вейля-Фока-Иваненко. Акцент сделан на получении точных аналитических решений. Авторы благодарны сотрудникам Лаборатории теоретической физики Института физики Национальной академии наук Беларуси за обсуждение на лабораторных семинарах составивших основу книги результатов и дружескую критику. Авторы признательны рецензентам Юрию Андреевичу Курочкину и Владимиру Анестиевичу Плетюхову за интерес к работе и полезные советы. Авторы также благодарны Президиуму Национальной Академии наук Беларуси за поддержку издания книги.
Глава 1 Атом водорода и геометрии пространств де Ситтера 1.1. Введение В контексте развития квантовой теории в литературе постоянное внимание уделяется геометрическим моделям де Ситтера (см., например, [12, 13]). В частности, долгую историю имеет проблема описания частиц с разными значениями спина на фоне этих пространственно-временных геометрий - см. [ 14]—[42]. В работе исследуется влияние геометрий де Ситтера на квантово-механическое описание атома водорода на основе уравнения Клейна-Фока-Гордона. Анализируются оба случая геометрий: де Ситтера dS и анти де Ситтера AdS. В случае пространства dS проведен качественный анализ классического выражения для квадрата обобщенного радиального импульса p2(r). Уравнение p2 = 0 сводится к полиному четвертой степени; характер расположения корней полинома говорит, что существует режим трех положительных вещественных корней и одного отрицательно вещественного корня, который отвечает ситуации нахождения частицы в эффективной потенциальной яме с расположенной справа запрещенной для классического движения областью; далее существует область разрешенная для классического движения. Другими словами, геометрия де Ситтера интересна тем, что атом водорода оказывается здесь принципиально нестабильной квантово-механической системой; электрон может туннелировать из потенциальной ямы через потенциальный барьер в область, далекую от места расположения центрального заряда. Соответствующее квантово-механическое уравнение сведено к уравнению типа Гойна с четырьмя особыми точками [9-11]; выполнен анализ возможных решений. И
О. Веко, К. Дашук, В. Кисель, Е. Овсиюк, В. Редьков Найдены приближенные значения корней полинома 4-й степени, на этой основе вычислены основной член и первая по кривизне поправка к уровням энергии (вещественной части уровней); оценена вероятность распада системы. Аналогичное исследование выполнено для случая пространства AdS: проведен качественный анализ классического выражения для квадрата обобщенного радиального импульса р2(г); уравпение р2 = 0 также сводится к полиному четвертой степени. Характер расположения корней полинома говорит, что возможен только режим двух положительных вещественных корней и двух отрицательных, который отвечает ситуации нахождения частицы в эффективной потенциальной яме с расположенной справа запрещенной для классического движения областью вплоть до бесконечности. Другими словами, геометрия пространства анти де Ситтера интересна тем, что атом водорода оказывается здесь принципиально стабильной квантово-механической системой. Соответствующее квантово-механическое уравнение также сведено к уравнению типа Гойна. Найти спектр энергии точно из анализа этого уравнения не удается. Проведен ВКБ-анализ возникающего дифференциального уравнения, получено приближенное правило квантования для атома водорода в пространстве анти де Ситтера. Также в обеих геометрических моделях исследуется кулоновская задача для частицы со спином 1/2. Хотя качественно поведение фермионов в моделях де Ситтера в кулоновском поле не отличается от поведения скалярных частиц, но математическое описание ситуации оказывается существенно более сложным: возникающие дифференциальные уравнения второго порядка уравнения имеют 8 особых точек - в такой ситуации можно выполнять только численный анализ. Отметим, что аналогичные задачи для дираковской частицы в пространствах Лобачевского и Римана сводятся к уравнениям с пятью особыми точками [43]. 1.2. Разделение переменных в пространстве де Ситтера Найдем поле, создаваемое точечным зарядом в пространстве де Ситтера dS² = ^1 — Г2^ dt² — ^1 — Г2^ dr² — г²(d0² + sin² 0dф²). (1.1) Начало сферической системы координат поместим в точку нахождения заряда. Решение уравнений Максвелла для точечного источника в этом пространстве дает д V—gFва(х) = — 4пJа, Aа = (-, 0, 0, 0) . (1.2) —-доха Гг )
Квантовая механика в космологических моделях де Ситтера 13 Рассматриваем уравнение Клейна-Фока-Гордона [(ihVа + -Aа) (ihVа + eAа) - M²c²] Ф = 0, в пространстве де Ситтера и с потенциалом, определенным согласно (1.2); переменные разделяются подстановкой Ф = e—iet/hYₗₘ(0, ф) f (r): - "12 TT¹² ² g¹¹ Tf + r² dr dr ’ g ⁰⁰(e + eA o)² c ²h² Радиальное уравнение принимает вид (e + e²/r )² c² h² l(l + 1) r² d² f 2(1 - 2r²/p²) dr² + r(1 - r²/p²) Т f + dr 1 (M ² c ² (1 - r²1p²)² \ h² ⁺ Соответствующее уравнение Гамильтона-Якоби выглядит так: g⁰⁰ (SS e V „fdS\² [d7- ⁻ ~cA⁰) ⁺ g [7^) ⁺ +g 00 ®²+g фф Ш² - m 2 c 2=o. \d0 J \oф/ (1.3) (1.4) Очевидно, что траектория движения будет плоской, поэтому можно зафиксировать координату 0 = П, и функцию действия искать в виде S(t,r, ф) соответственно для квадрата обобщенного импульса получим представление ₂ (e + e²/"с)² 1 / ₂ ₂ L²\ Pr = c² (1 - r²/р²)² ⁻ M c ⁺ Т²) 1 1 Т^Тр² . (1.5) Таким образом, классическая задача о движении частицы в кулоновском поле в пространстве де Ситтера сводится к нахождению интеграла P pᵣ dr, где pᵣ определяется согласно (1.5), а квантовая - к решению дифференциального уравнения (1.3). + M ² c⁴ f = 0. l ⁽l + 1) A _ r² / 1 —e t + L ф + У p(r)dr; 1 y p² f = 0.
О. Веко, К. Дашук, В. Кисель, Е. Овсиюк, В. Редьков 1.3. Качественное рассмотрение Проведем вначале качественное исследование задачи, основанное на анализе выражения для квадрата импульса. Удобно для сравнения рассматривать параллельно случаи плоского и искривленного пространств. Квадрат импульса свободной частицы в плоском пространстве обращается в ноль в точках rо: рГ = f Д - M² с² - L2 ^ =^ rо = ±а II² ₂ с . (1.6) \ с² r² ) V е² — М²с⁴ Движение возможно только в тех областях значений переменной г, в которых Pr > 0, и при е > Мс² такая область существует. Рассмотрим теперь таким же образом свободную частицу в пространстве де Ситтера. Квадрат импульса равен P 2 r -------- - f M² с ² + ^ с²(1 — r²/р²)² \ r² } 1 1 — r² / р² ’ около начала координат и на горизонте (в области r ~ р) квадрат импульса ведет себя соответственно так: P2(r ~ 0) P2(r ~ р) е² с²(1 Г² \2 р² ) —ОО. ~ L ²/r², ~ Найдем точки обращения импульса в ноль: r⁴ + r 2 Р² М ² с ² ( е² с² ⁺ Р² L² Р² М ² с⁴ L ² ) М ² с ² = 0, корни этого уравнения 4-й степени равны r о = ± Р --± a² l² 4 Т ⁺ М² с²р², (1.7) A 2 где е² — М² с⁴ L ² М ² с⁴ ⁺ М ² с ²р². (1.8) Всего есть четыре корня, причем два из них всегда вещественны, один из них - всегда положительный, другой - всегда отрицательный. Расположение и характер корней указывают на то, что качественно движение свободной частицы в пространстве де Ситтера не отличается от движения в плоском пространстве.
Квантовая механика в космологических моделях де Ситтера 15 Рис. 1.1: Кулоновская задача в плоском пространстве Теперь рассматриваем частицу в кулоновском поле на фоне плоского пространства. Здесь квадрат радиального импульса равен рГ ^t+s/p - М2222 ₊ LX. с² \ r² } (1.9) Асимптотическое поведение следующее: Р2 (r ~ 0) L² - е⁴/с² е² — М ² с⁴ с ² Найдем точки поворота (нули) функции pr: Г ⁰ е² — М² с⁴ е ²е с² /е⁴е² , ,ᵣ₂ ' ' \ с4 ⁺ ⁽L ² — 22) е² — М² с⁴ с ² (1.Ю) p2(r ~ ж) ~ с 2 Если (L² — е⁴/с²) > 0, е < Мс² и выражение под корнем в (1.10) положительно: е >мс ² У¹ - eLr, (мп то будут существовать два положительных корня; при этом (схематический) график функции р2 (рис. 1.1). Сравним теперь эту ситуацию с той, которая реализуется в пространстве де Ситтера. Здесь квадрат радиального импульса равен = е _ (м2с2 + L2) = pr2 с2 (1 --- р2)2 \ r2/1 --- р2 1 Г М2с2 r4 + f е2 М2с2 + L2 A r2 +2e2е r + ( e4 L2) r 2(1 --- р2 )2 [ р2 r 1 \с2 М с 1 р2) r 1 с2 r 1 (с2 L ) = 1 М2 с2 . .. .. .. . = г/л r 2,9 О (r r 1)(r r 2)( r r 3)( r r 4). Г2(1 --- p2 )2 P (1.12)
О. Веко, К. Дашук, В. Кисель, Е. Овсиюк, В. Редьков Рис. 1.2: Кулоновская задача в пространстве де Ситтера На горизонте (r ^ р) и около начала координат квадрат импульса ведет себя так: Р2(Г ^ р) -■ 2 ¹ r^ =^ + X. c²⁽¹ - р2⁾² L ² — e⁴/cc _ Р2(r ^ 0) r² (1.13) ~ — т. е. график функции pc в пространстве де Ситтера (рис. 1.2) указывает на то, что имеем дело с нестабильной квантово-механической системой. Обсудим смысл обращения импульса в бесконечность в области горизонта r ~ р. Выясним физический смысл этого факта. Этот вопрос тем более возникает в связи с квантово-механической задачей — ситуация внешне выглядит так, как если бы горизонт действовал как притягивающая область и может появиться мысль о ситуации падения частицы на горизонт, т. е. вообще - о незаконности постановки одночастичной задачи во внешнем кулоновском поле в пространстве-времени де Ситтера. Для прояснения этого вопроса найдем радиальную скорость, измеренную в собственном времени: Рг - Mc ds -(1 — rc-) cdт, ds Р Р / vr=( dr)’-M (1—Р-)⁻; т. e. V I(£ + e²/r)² 1+ L² yq ~c^ r C M M²c⁴ у M² c² r² ) \ p²/ На горизонте радиальная скорость равна \Г - c л/(е + e² / p)² Mc ² -^ | е + p |< M²c⁴; (1.14) (1-15) (1.16)
Доступ онлайн
В корзину