Математическая статистика для психологов


О. Ю. Ермолаев









            МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА ДЛЯ ПСИХОЛОГОВ



УЧЕБНИК


7-е издание, стереотипное





Рекомендовано редакционно-издательским Советом Российской академии образования к использованию в качестве учебного пособия












Москва Издательство «ФЛИНТА» 2019

         УДК 519.2
         ББК 88.4
              Е74
Библиотека психолога
Главный редактор д-ррр псих, и., проф., лД-Лф.<ПёКАитейн Зам. главного редакто аад-р псих, и., проф., акад. РЛ(0’./<.Бондырева
Члены р е д к ц и о и и о й колл еее г и и:
д-р псих, и., проф., акад. РАО Ш.А. Амонашвили; д-р п д. и., член-корр. РАО В А. Болотов; д-р псих, и., проф., акад. РАО А.А. Деркац д-р псих, и., проф., акад. РАО А.И. Донцов; д-р псих, и., проф., акад. РАО И.В. Дубровина, д-р псих, и., проф. В.П. Зинченкд д-р филол. и., проф., акад. РАО
              В.Г. Костомаров; д-р пед. и., проф., акад. ~PKQH.II. Малофеев;
д-р физ.-мат. и., проф., акаддд. РА®.Л. Матросов, д-р пед. и., проф., акад. РАО Н.Д. Никандров; -р псих, и., проф., акад. РАО В.В. Рубцов, д-р пед. и., проф., акад. РАО М.В. Рыжаков; д-р ист. и., проф. Э.В. Сайка
Под редакцией
профессора, докт. психол. наук Т.М. Марютиной Рецензент:
профессор, канд. техн. наук В.Н. Калинина


Е74

            Ермолаеввв.Ю.
     Математическая статистика для психологов [Электронный ресурс] : учебник / О.Ю. Ермолаев. — 7-е изд., стер. - М. : ФЛИНТА, 2019. - 336 с.


                    ISBN 978-5-9765-1917-6
                    Учебник представляет практическое руководство по математической статистике для психологов, не имеющих специальных математических знаний. В доступной иллюстративной форме на примерах рассматриваются основные методы обработки данных, включая непараметрические и параметрические критерии оценки различий, корреляционный, дисперсионный, факторный, регрессионный анализы. Приведены необходимые теоретические сведения и формулы для расчета типовых задач, наиболее часто встречающихся в экспериментальных психологических исследованиях.
                     Учебник предназначен для студентов вузов, но может также быть использован и исследователями в различных областях науки, применяющими статистические методы при решении практических задач.
                                                                       УДК 519.2
                                                                       ББК 88.4

ISBN 978-5-9765-1917-6

© Издательство «ФЛИНТА», 2014

Оглавление





Введение ................................................ 7

Гл ава 1 ПОНЯТИЕ ИЗМЕРЕНИЯ ..................................... 10
1.1. Измерительные шкалы .............................. 11
1.2. Номинативная шкала ............................... 12
1.3. Порядковая (ранговая, ординарная) шкала .......... 16
   1.3.1. Правила ранжирования......................... 18
   1.3.2. Проверка правильности ранжирования........... 19
   1.3.3. Случай одинаковых рангов .................... 23
1.4. Шкала интервалов ................................. 27
1.5. Шкала отношений .................................. 28

Гл ава2 ПОНЯТИЕ ВЫБОРКИ ....................................... 29
2.1. Полное исследование................................29
2.2. Выборочное исследование .......................... 30
2.3. Зависимые и независимые выборки....................30
2.4. Требования к выборке...............................31
2.5. Репрезентативность выборки.........................32
2.6. Формирование и объем репрезентативной выборки......34

Гл аваЗ ФОРМЫ УЧЕТА РЕЗУЛЬТАТОВ      НАБЛЮДЕНИЙ ............... 36
3.1. Таблицы .......................................... 36
3.2. Статистические ряды .............................. 39
3.3. Понятие распределения и гистограммы................40

Гл ава4
ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ. НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ .............................. 43
4.1. Мода ............................................. 43
4.2. Медиана .......................................... 44

Оглавление

4.3. Среднее арифметическое............................45
4.4. Разброс выборки ................................. 48
4.5. Дисперсия ....................................... 48
4.6. Степень свободы ................................. 51
4.7. Понятие нормального распределения ............... 52

Гл ава5
ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ ПРОВЕРКИ СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ .............................................. 56
5.1. Проверка статистических гипотез...................56
5.2. Нулевая и альтернативная гипотезы ............... 57
5.3. Понятие уровня статистической значимости..........59
5.4. Этапы принятия статистического решения............63
5.5. Классификация психологических задач, решаемых с помощью статистических методов................................ 64

Гл ава 6 СТАТИСТИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ РАЗЛИЧИЙ...................... 66
   6.1.1. Параметрические и непараметрические критерии.68
   6.1.2. Рекомендации к выбору критерия различия .... 69
6.2. Непараметрические критерии для связных выборок .. 70
   6.2.1. Критерий знаков G........................... 70
   6.2.2. Парный критерий Г— Вилкоксона................78
   6.2.3. Критерий Фридмана .......................... 82
   6.2.4. Критерий тенденций Пейджа................... 89
   6.2.5. Критерий Макнамары...........................95

Гл ава 7
НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ ДЛЯ НЕСВЯЗАННЫХ ВЫБОРОК.............................................. 101
7.1. Критерий U Вилкоксона—Манна—Уитни .............. 101
    7.1.1. Первый способ расчета по критерию U....... 102
    7.1.2. Второй способ расчета по критерию U....... 106
7.2. Критерий Q Розенбаума .......................... 110
7.3. Н — критерий Крускала—Уоллиса .................. 113
7.4. S — критерий тенденций Джонкира ................ 120

Оглавление

5

Гл ава8
КРИТЕРИИ СОГЛАСИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ И МНОГОФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ КРИТЕРИЙ «ф» ........................ 125
8.1. Критерий хи-квадрат................................. 125
   8.1.1. Сравнение эмпирического распределения с теоретическим.126
   8.1.2. Сравнение двух экспериментальных распределений........ 137
   8.1.3. Использование критерия хи-квадрат для сравнения показателей внутри одной выборки................ 151
8.2. Критерий Колмогорова-Смирнова....................... 159
8.3. Критерий Фишера ф................................... 164
    8.3.1. Сравнение двух выборок по качественно определенному признаку ...................................... 165
    8.3.2. Сравнение двух выборок по количественно определенному признаку....................................... 167

Гл ава9 ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ РАЗЛИЧИЙ........................ 169
9.1. t-критерий Стьюдента ............................... 169
    9.1.1. Случай несвязных выборок...................... 169
    9.1.2. Случай связных выборок........................ 172
9.2. F — критерий Фишера................................. 175

Гл ава 10
ВВЕДЕНИЕ В ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ ANOVA.................... 178
10.1. Однофакторный дисперсионный анализ................. 179
10.2. «Быстрые» методы — критерии дисперсионного анализа. 195
    10.2.1. Критерий Линка и Уоллеса..................... 196
    10.4.2. Критерий Немени.............................. 199

Гл ава 11
КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ...........................................202
11.1. Понятие корреляционной связи........................202
11.2. Коэффициент корреляции Пирсона......................207
11.3. Ранговый коэффициент корреляции Спирмена............212
    11.3.1. Случай одинаковых (равных) рангов.............217
11.4. Расчет уровней значимости коэффициентов корреляции..222
11.5. Коэффициент корреляции «ф»..........................223
    11.5.1. Второй способ вычисления коэффициента «ф»...........226

Оглавление

11.6. Коэффициент корреляции «т» Кендалла................228
11.7. Бисериальный коэффициент корреляции..............232
11.8. Рангово-бисериальный коэффициент корреляции......235
11.9. Корреляционное отношение Пирсона ц...............238
11.10. Множественная корреляция........................245
11.11. Частная корреляция..............................250

Глава 12 РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ...................................255
12.1. Линейная регрессия ............................. 255
12.2. Множественная линейная регрессия.................263
12.3. Оценка уровней значимости коэффициентов регрессионного уравнения...............................................268
12.4. Нелинейная регрессия.............................271

Глава 13 ФАКТОРНЫЙ АНАЛИЗ.......................................274
13.1. Основные понятия факторного анализа..............274
13.2. Условия применения факторного анализа .......... 282
13.3. Приемы для определения числа факторов............283
13.4. Вращение факторов .............................. 285
13.5. Использование факторного анализа в психологии....287

ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение 1. Статистические таблицы критических значений............290
Приложение 2.
Пример использования методов математической статистики в дипломной работе.....................................326
Приложение 3.
Классификация задач и методов их статистического решения.332

Литература.............................................334

Введение











   В древней китайской энциклопедии говорится, что «животные подразделяются на: а) принадлежащих Императору, б) бальзамированных, в) прирученных, г) молочных поросят, д) сирен, е) сказочных, ж) бродячих собак, з) включенных в настоящую классификацию, и) буйствующих, как в безумии, к) неисчислимых, л) нарисованных очень тонкой кисточкой из верблюжей шерсти, м) и прочих, и) только что разбивших кувшин, о) издалека кажущихся мухами». (Цит. по Мишель Фуко. Слова и вещи. Санкт-Петербург. 1994 г.) Сегодня этот перечень вызывает у нас улыбку. А не будут ли и наши статистические выкладки казаться столь же забавными нашим далеким потомкам? Кто знает?
   «Зрелость науки обычно измеряется тем, в какой мере она использует математику. Сама же математика не является наукой в эмпирическом смысле, но представляет собой формальную логическую, символическую систему, своего рода игру знаков и правил», — так начинает С.С. Стивенс свой капитальный труд «Экспериментальная психология», оказавший большое влияние на становление психологии не только за рубежом, но и в нашей стране. Как же психологи используют математику?
   Из истории психологии хорошо известно, что, например, психофизика начала свое развитие с установления математических закономерностей (знаменитая формула Вебера—Фехнера). В настоящее время математические процедуры обязательно входят в такие разделы психологии как психометрика, психодиагностика, дифференциальная психология. Современная психогенетика, например, широко использует такой раздел высшей математики, как структурное моделирование и т.д.

Введение

   С другой стороны, многие фундаментальные психологические теории, например: теория деятельности А.Н. Леонтьева, теория развивающего обучения В.В. Давыдова, психоанализ Фрейда, трансактный анализ Берна и другие хорошо известные теории, были созданы без всякой опоры на математику. В то же время главное отличие отраслей психологических знаний, использующих математические методы, заключается в том, что их предмет исследования не только может быть описан, но измерен. Возможность измерения того или иного психологического феномена, свойства, характеристики, черты и т.д. открывает доступ для применения методов количественного анализа, а значит, и соответствующих вычислительных процедур.
   Наиболее естественным путем, которым математика проникает в психологию, является математическая статистика. Современная статистика является разделом математики. При этом многие статистические процедуры достаточно просты и легко выполнимы.
   Правильное применение статистики позволяет психологу:
   1) доказывать правильность и обоснованность используемых методических приемов и методов;
   2) строго обосновывать экспериментальные планы;
   3) обобщать данные эксперимента;
   4) находить зависимости между экспериментальными данными;
   5) выявлять наличие существенных различий между группами испытуемых (например, экспериментальными и контрольными);
   6) строить статистические предсказания;
   7) избегать логических и содержательных ошибок и многое другое.
   Нельзя забывать, однако, что сама по себе статистика — это только инструментарий, помогающий психологу эффективно разбираться в сложном экспериментальном материале. Наиболее важным в любом эксперименте является четкая постановка задачи, тщательное планирование эксперимента, построение непротиворечивых гипотез.

Введение

9

   Математическая статистика в руках психолога может и должна быть мощным инструментом, позволяющим не только успешно лавировать в море экспериментальных данных, но и, прежде всего, способствовать становлению его объективного мышления.
   Настоящее учебное пособие призвано решить следующие задачи:
   1) дать представление об основных статистических процедурах и способах их применения;
   2) научить студентов самостоятельно проводить первоначальную статистическую обработку данных экспериментальных исследований;
   3) научить студентов делать правильные психологические выводы на основе результатов статистического анализа;
   4) научить студентов понимать психологическую литературу, в которой используется статистическая обработка экспериментальных данных;
   5) грамотно подготавливать данные для работы со статистическими пакетами на ЭВМ и правильно понимать результаты их работы;
   6) использовать данное пособие как справочник.

Глава 1

ПОНЯТИЕ ИЗМЕРЕНИЯ









   В своей работе психолог достаточно часто сталкивается с проблемой измерения индивидуально-психологических особенностей таких, например, как креативность, нейротизм, импульсивность, свойства неврной системы и т.п. Для этого в психодиагностике разрабатываются специальные измерительные процедуры, в том числе и тесты. Помимо того в психологии широко используются экспериментальные методы и модели исследования психических феноменов в познавательной и личностной сферах. Это могут быть модели процессов познания (восприятия, памяти, мышления) или особенности мотивации, ценностных ориентаций, личности и т.п. Главное заключается в том, что в ходе эксперимента изучаемые характеристики могут получать количественное выражение. Количественные данные, полученные в результате тщательно спланированного эксперимента по определенным измерительным процедурам, используются затем для статистической обработки.
   Измерение в самом широком смысле может быть определено как приписывание чисел объектам или событиям, которое осуществляется по определенным правилам. Эти правила должны устанавливать соответствие между некоторыми свойствами рассматриваемых объектов, с одной стороны, и ряда чисел — с другой. В целом можно сказать, что измерение — это процедура, с помощью которой измеряемый объект сравнивается с некоторым эталоном и получает численное выражение в определенном масштабе или шкале.
   В каждом конкретном случае измерение является операцией, с помощью которой экспериментальным данным придается

1.1. Измерительные шкалы

11

форма связного числового сообщения. Именно закодированная в числовой форме информация позволяет использовать математические методы и выявлять то, что без обращения к числовой интерпретации могло бы остаться скрытым; кроме того, числовое представление объектов или событий позволяет оперировать сложными понятиями в более сокращенной форме. Именно это и является причиной использования измерений в любой науке, в том числе и психологии. В целом научно-исследовательскую работу психолога, проводящего эксперименты, можно представить по следующей схеме:


ИССЛЕДОВАТЕЛЬ (психолог)
Ф
предмет исследования (психические свойства, процессы, функции и т.п)
Ф
испытуемый (группа испытуемых)
Ф
эксперимент (измерение)
Ф
данные эксперимента (числовые коды)
Ф
статистическая обработка данных эксперимента
Ф
результат статистической обработки (числовые коды)
Ф
выводы (печатный текст: отчет, диплом, статья и т.п.)
Ф
ПОЛУЧАТЕЛЬ НАУЧНОЙ ИНФОРМАЦИИ (руководитель курсовой, дипломной или кандидатской работы, заказчик, читатель статьи и т.п.).



1.1. Измерительные шкалы

   Любой вид измерения предполагает наличие единиц измерения. Единица измерения это та «измерительная палочка», как говорил С. Стивенс, которая является условным эталоном для осу

Глава 1. Понятие измерения

ществления тех или иных измерительных процедур. В естественных науках и технике существуют стандартные единицы измерения, например, градус, метр, ампер и т.д.
   Психологические переменные за единичными исключениями не имеют собственных измерительных единиц. Поэтому в большинстве случаев значение психологического признака определяется при помощи специальных измерительных шкал.
   Согласно С. Стивенсу (1951), существует четыре типа измерительных шкал (или способов измерения):
   1) номинативная, номинальная или шкала наименований;
   2) порядковая, ординарная или ранговая шкала;
   3) интервальная или шкала равных интервалов;
   4) шкала равных отношений, или шкала отношений.
   Все находящиеся в одной строчке наименования являются синонимами и поэтому в дальнейшем изложении будут использоваться на равных основаниях.
   Процесс присвоения количественных (числовых) значений, имеющейся у исследователя информации, называется кодированием. Иными словами — кодирование это такая операция, с помощью которой экспериментальным данным придается форма числового сообщения (кода).
   Применение процедуры измерения возможно только четырьмя вышеперечисленными способами. Причем каждая измерительная шкала имеет собственную, отличную от других форму числового представления, или кода. Поэтому закодированные признаки изучаемого явления, измеренные по одной из названных шкал, фиксируются в строго определенной числовой системе, определяемой особенностями используемой шкалы. Измерения, осуществляемые с помощью двух первых шкал, считаются качественными, а осуществляемые с помощью двух последних шкал — количественными.
   Специфические особенности измерительных шкал обязательно должны учитываться при получении экспериментального материала в прикладных исследованиях. После измерения, проведенного в той или иной шкале, исследователь будет оперировать реальными свойствами изучаемого психологического явления,

1.2. Номинативная шкала (шкала наименований)

13

представленного числовыми кодами. Именно это и позволяет психологу применять соответствующие статистические операции к полученным экспериментальным данным.
   Поэтому закодированные признаки изучаемого явления, измеренные по одной из названных выше шкал, фиксируются в строго определенной знаковой или числовой системе, задаваемой правилами построения используемой шкалы. Нестандарти-зованная процедура оперирования с числами (кодами), полученными в разных измерительных шкалах, неизбежно приведет к искажению результатов исследования, а то и просто к неправильному выводу.
   Получив в соответствующей шкале массив экспериментальных данных, психолог начинает окончательное оформление результатов своей работы в виде таблиц, графиков, статистических выкладок и других процедур, необходимых для получения строгого вывода из его экспериментального исследования. Самое главное, однако, о чем должен помнить психолог при выборе способа измерения, это то, что он должен соответствовать поставленной задаче исследования.
   Рассмотрим подробно все четыре шкалы.


1.2. Номинативная шкала (шкала наименований)

   Измерение в номинативной шкале (номинальной, или шкале наименований) состоит в присваивании какому-либо свойству или признаку определенного обозначения или символа (численного, буквенного и т.п.). По сути дела, процедура измерения сводится к классификации свойств, группировке объектов, к объединению их в классы, группы при условии, что объекты, принадлежащие к одному классу, идентичны (или аналогичны) друг другу в отношении какого-либо признака или свойства, тогда как объекты, различающиеся по этому признаку, попадают в разные классы.
   Иными словами, при измерениях по этой шкале осуществляется классификация или распределение объектов (например, особенностей личности) на непересекающиеся классы, группы. Та

Глава 1. Понятие измерения

ких непересекающихся классов может быть несколько. Классический пример измерения по номинативной шкале в психологии — разбиение людей по четырем темпераментам: сангвиник, холерик, флегматик и меланхолик.
   Номинальная шкала определяет, что разные свойства или признаки качественно отличаются друг от друга, но не подразумевает каких-либо количественных операций с ними. Так, для признаков, измеренных по этой шкале нельзя сказать, что какой-то из них больше, а какой-то меньше, какой-то лучше, а какой-то хуже. Можно лишь утверждать, что признаки, попавшие в разные группы (классы) различны. Последнее и характеризует данную шкалу как качественную.
   Приведем еще ряд примеров измерения в номинативной шкале. Социолог изучает вопрос о том, как люди предпочитают проводить досуг:
   а) с приятелями;
   б) на лоне природы;
   в) в занятиях спортом;
   г) в кругу семьи;
   Получается четыре непересекающихся множества, причем этот перечень может быть продолжен в зависимости от задач исследования.
   Еще пример — группировка по мотивам увольнения с работы:
   а) не устраивал заработок;
   б) неудобная сменность;
   в) плохие условия труда;
   г) неинтересная работа;
   д) конфликт с начальством и т.д.
   Здесь все респонденты (опрашиваемые) делятся на пять классов: а), б), в), г) и д).
   Пример большего числа классов разбиения по номинативной шкале — нумерация игроков спортивных команд.
   Следует подчеркнуть, что присваиваемые объектам в номинативной шкале символы являются условными, их можно заме