Профессионально-педагогическая направленность в математическом образовании будущего педагога

А.В. Дорофеев 

ПРОФЕССИОНАЛЬНО-ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ 

НАПРАВЛЕННОСТЬ

В МАТЕМАТИЧЕСКОМ ОБРАЗОВАНИИ

БУДУЩЕГО ПЕДАГОГА

Монография

3-е издание, стереотипное

Москва
Издательство «Флинта»  

2017 

УДК 51:1:378.016
ББК 22.1 

Д 69 

Р е ц е н з е н т ы :

д-р психол. наук, профессор, чл.-корр. РАО Э.Ф. Зеер

(Российский государственный профессионально-педагогический 

университет, г. Екатеринбург); 

д-р физ.-мат. наук, проф., чл.-корр. АН Республики Башкортостан

К.Б. Сабитов (Стерлитамакская государственная педагогическая академия);

д-р пед. наук, проф. А.С. Гаязов 

(Башкирский государственный педагогический университет, г. Уфа) 

Н а у ч н ы й  р е д а к т о р :

д-р пед. наук, проф. Н.Е. Эрганова 

(Российский государственный профессионально-педагогический

университет, г. Екатеринбург) 

Дорофеев А.В. 

Д 69       Профессионально-педагогическая направленность в математическом образовании будущего педагога [Электронный ресурс] : 
монография / А.В. Дорофеев. – 3-е изд., стер. – М. : Флинта, 2017. –
228 с.

ISBN 978-5-9765-0288-8 

В монографии рассматриваются методологические подходы 

к проектированию математического образования будущего педагога, 
на основе которых формулируются теоретические положения по формированию его профессионально-педагогических умений. Разработана 
методика диагностики профессиональной направленности математической 
подготовки для повышения эффективности преподавания и изучения 
дисциплин, а также выявления резервов профессиональной мотивации 
студентов педагогического вуза. 

Адресована книга научным и практическим работникам сферы обра
зования, интересующимся вопросами математической подготовки. 

ISBN 978-5-9765-0288-8 
 Дорофеев А.В., 2017

© Издательство «ФЛИНТА», 2017

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ. ....................................................................................................................... 4 
ГЛАВА 1. Философия математики ........................................................................... 8 
1.1.  Математическое знание в системе наук . ...................................................... 8 
1.2.  Деятельностный подход в профессиональном образовании ................ 19 
1.3.  Методологические подходы в математической подготовке ................. 30 
Резюме по 1-й главе ................................................................................................... 37 
ГЛАВА 2. Профессионально-педагогическая направленность математического образования.. .............................................................................. 39 
2.1.  Математическое образование будущего педагога: 
от знаний к деятельности ................................................................................ 39 
2.2.  Процесс отбора содержания математического образования ................ 49 
2.3.  Дидактические принципы математического образования педагога ... 55 
Резюме по 2-й главе ................................................................................................... 68 
ГЛАВА 3. Моделирование математической учебной деятельности будущего педагога ............................................................................................. 69 
3.1. Основные дидактические функции моделей . ............................................ 69 
3.2. Учебные задания и метод моделирования в обучении математике .... 
80 
3.3. Моделирование математической учебной деятельности профессионально-педагогической направленности . .................................................... 94 
3.4. Система профессионально-педагогических компетенций 
будущего педагога ............................................................................................ 116 
3.5. Модель математической учебной деятельности .................................... 129 
Резюме по 3-й главе ................................................................................................. 138 
ГЛАВА 4. Реализация профессионально-педагогической направленности математической подготовки в вузе . .................. 141 
4.1.
Формирование профессионально-педагогических умений ................. 141 
4.2.
Реализация профессионально-педагогической направленности 
в учебной дисциплине «История математики» ....................................... 162 
4.3.
Обобщение результатов по формированию профессионально-педагогических умений будущего педагога ......................................................... 172 
Резюме по 4-й главе ................................................................................................. 189 
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ........................................................................................................... 192 
ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Применение дифференциальных уравнений в моделировании 
   педагогических явлений ................................................................... 197 
ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Профессионально-педагогические задания курса «История
   математики»....................................................................................... 199
ПРИЛОЖЕНИЕ 3. Диагностика профессиональной направленности 
   математической подготовки будущего педагога .................................. 208 
ПРИЛОЖЕНИЕ 4. Диагностика уровня сформированности профессионально- 
   педагогических умений студента . ........................................................ 213 
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК. ............................................................... 217 

Жене и дочери

с любовью посвящается

ВВЕДЕНИЕ

Высшее назначение математики состоит

в том, чтобы находить скрытый порядок в 
хаосе, который нас окружает.

Н. Винер

Математика, как неотъемлемая часть цивилизации, выступает 

средством познания и активизации мыслительной деятельности человека, содействуя в решении всевозможных прикладных задач. Описательно-наглядными рассуждениями, алгоритмами и доказательствами 
она оказывает существенное влияние на общее развитие личности и 
способствует переносу знаний в новые ситуации. Исторически сложилось, что методы и технологии разрабатываются на конкретной понятийной базе только в теории деятельности и математике, но лишь последняя адаптирована до уровня учебного содержания.

На разных уровнях абстракции средствами математики можно 

формировать виды деятельности, развивающие способности будущего 
педагога к нормотворчеству, которое включает системообразование
научных понятий, разработку методов и доведение методики до уровня
технологии. Математика – наука о форме и количестве – является основанием общенаучной подготовки в вузе: еѐ методы для получения 
достоверного знания – универсальны, а приложения – эффективны.

Стратегия реформирования профессиональной подготовки педа
гога нового типа с высокой компетентностью в предметной области,
профессиональной культурой и организаторскими способностями определена «Программой развития системы непрерывного педагогического образования России на 2001 – 2010 годы». И, соответственно, 
ключевая проблема современной социокультурной ситуации – это становление творческой личности, овладевающей гуманистическими ценностями. Но творческое начало невозможно без адекватного математического образования, потому оно должно стать «краеугольным камнем 
в подготовке специалиста любой квалификации и, особенно, – педагога
различного профиля» [15, с. 32].

Образование есть «ценность, цель, средство, деятельность, путь и 

результат» [67, с. 7]. Фундаментализация профессиональной подготовки предполагает вооружение студента надпредметными и методологическими знаниями, поэтому совершенно оправданно математическая 
подготовка считается методологической основой большинства образовательных и специальных дисциплин. Знания, наполненные деятельностью, выводятся на личностно-активный и творческий уровень применения, так как будущий педагог учится мыслить «версионно» (гипотезами, предположениями) и воспринимает информацию как практическую ценность для получения конкретного результата.

Необходимость преодоления противоречий между предметно
методической, психолого-педагогической и социально- культурологической подготовкой в высшей школе обусловливает идею «наполнения
изучаемых учебных дисциплин профессионально-педагогическим содержанием» [125, с. 60]. Профессиональная направленность базируется
на методах, средствах и формах обучения, организующих самореализацию личности для развития его компетентности в педагогической деятельности. Именно в этом заключается единая логика построения и 
развертывания не только математики, но и всего содержания профессиональной подготовки. «Направленность» проявляется во всех формах 
организации учебного процесса, посему категории «профессиональная 
направленность» и «педагогическая направленность», выражающие 
перспективы и реальные возможности студента в рамках осваиваемой 
деятельности, рассматриваются нами в единстве.

При построении математического образования будущего педагога

следует рассматривать: а) соотношение математики как науки и учебного предмета; б) цели и содержание обучения; в) мировоззренческие,
развивающие и воспитательные аспекты. Определение целей и содержания обучения актуализирует проблему формирования стиля научного мышления. Физик-теоретик М. Борн в «стиль научного мышления» 
вкладывает обобщения, выражающие сложившиеся нормы научного 
изыскания. В современном понимании термин более дифференцирован 
и вбирает совокупность правил, предопределяющих общие алгоритмы 
исследования и особенности, присущие научному подходу в изучении
объектов и явлений.

Стиль научного мышления выражается в способности к усвоению 

собственно научного знания. Классики Больцано, Гаусс, Декарт, Лейбниц, Ньютон и Эйлер указывают, что математика – эвристическая наука, и для нее характерно наблюдение, эксперимент, гипотеза, аналогия 
и неполная индукция. Равноправие логики и интуиции – индуктивнодедуктивный дуализм математики – может иллюстрироваться на материале всяких еѐ областей, на это акцентируют внимание в методических трудах В.А. Гусев, А.Г. Мордкович,
Д. Пойа, Г.И. Саранцев,

Л.М. Фридман и Г. Фройденталь.

Становление профессионализма начинается с того, что студент

учится добывать и применять научные методы для изучения целей, содержания и объекта деятельности. Базовое высшее образование ориентируется на профессиональную деятельность и, согласно примерной
программе по математике, цели математического образования заключаются в развитии у будущего педагога: 1) навыков математического 
мышления; 2) умений использования математических методов и основ 
моделирования; 3) математической культуры.

Первые две позиции подразумевают, на наш взгляд, формирова
ние стиля научного мышления, проявляющегося в единстве содержания и форм математического творчества через понимание естественного и символического языков. С точки зрения субъекта и задач, решаемых им, мышление допустимо рассматривать, по преимуществу, как 
деятельность [21, с. 61]. Корректное применение понятий и символов, 
выражающих количественные и качественные отношения объектов 
реального мира, активизирует логическое мышление и творческий потенциал будущего специалиста.

Третья позиция – развитие математической культуры – включает 

осознание необходимости математики в профессиональной подготовке 
студента для выработки у него представления о месте и роли науки в 
мировой культуре. Математическая культура сегодня нужна не меньше, 
чем физическая.

Главное назначение высшего профессионального образования –

«развитие и закрепление мировоззренческих установок личности, обеспечение еѐ профессионально-значимыми знаниями, умениями и навыками» [36, с. 85]. Содержание математического образования не отожде

ствляется только с учебным материалом, а значит, следует разрабатывать профессионально-педагогические задания, в которых учение сочетается с исследованием и реализуется операционально-деятельностный 
компонент обучения, устраняющий изолированность между естественнонаучным и социально-гуманитарным знанием.

Профессионально-педагогическую направленность целесообразно 

представлять как систему содержательно-методических линий курса 
математики, 
объединяющую: 
а) методологические
знания; 

б) моделирование педагогической деятельности; в) учебную деятельность по формированию стиля научного мышления; г) творческую самореализацию субъектов образовательного процесса.

В монографии рассматриваются методологические подходы к

проектированию математического образования будущего педагога, на
основе которых формулируются теоретические и практические положения для построения профессионально-ориентированных технологий
процесса обучения и формирования профессионально-педагогических
умений. Эффективность преподавания учебной дисциплины и поиск 
резервов повышения профессиональной мотивации исследуются методикой диагностики профессионально-педагогической направленности 
математической подготовки в вузе.

Автор выражает сердечную благодарность за поддержку и по
мощь доктору педагогических наук, профессору Н.Е. Эргановой; глубокую благодарность за ценные советы, замечания и пожелания доктору физико-математических наук, профессору, члену-корреспонденту
АН Республики Башкортостан К.Б. Сабитову и большую признательность за поддержку доктору психологических наук, профессору, членукорреспонденту РАО Э.Ф. Зееру.

Глава 1

Философия математики

Учение о природе будет содержать 

науку, в собственном смысле, лишь в той 
мере, в какой может быть применена в ней 
математика.

И. Кант

1.1. Математическое знание в системе наук

В истории науки математике всегда отводилась особая роль, так 

как с ней связывался идеал научной истины. Знание математическое 
трактовалось как «божественное» – результат беспристрастного выведения заключений из аксиом. Разнообразнейшая деятельность людей 
«требовала» абстракций – и число, «рожденное» на заре цивилизации, 
стало одной из них. Абстрактные понятия появлялись на протяжении 
многих веков, возникают они и сейчас.

Математическое знание, как продукт наиболее абстрактной и ра
циональной деятельности интеллекта, оказывает влияние на психологическую структуру личности. Довольно часто математическую деятельность связывают со специфическим стилем мышления. Трудно 
назвать «чистыми» математиками таких видных мыслителей прошлого, 
как Пифагор, Платон, Архимед, Декарт, Ньютон и Лейбниц: они занимались изучением явлений окружающего мира и математика для них –
непреложно возвышенное учение, ведущее к созерцанию идей.

Платон в математическом знании «видит ключ» к пониманию не 

только 
природы, 
но 
и 
логического 
мышления.
Религиозно
символическая школа Пифагора, составившая основу ионийской системы образования, рассматривает учение о числе как о «лежащей в основе бытия причине стройности, порядка и господствующей самородной связи вечного постоянства в мировом строе» [190, с. 8]. А после 
глубокого кризиса, затронувшего основания науки на рубеже XIX и XX 
веков, начинает осознаваться, что математика, как творение человеческого духа, подвергается воздействию внешних факторов.

Математику можно изобразить в виде пирамиды, перевернутой 

вверх основанием. «Боковой» поверхностью она опирается на общечеловеческую практику и, по замечанию К.А. Рыбникова, поток взаимо

действия через эту поверхность чрезвычайно велик и существенно 
влияет на рост и строение самой науки [146, с.16]. Подтверждением 
служит факт появления в Древней Греции научной области матема (с 
греч. яз.  знание, наука), объединяющей важные астрономические и
технические открытия, новые методы вычислений и решений задач.

Становление математики свидетельствует о грандиозном интел
лектуальном развитии общества за последние тысячелетия. В современном обществе еѐ, по праву, считают универсальным языком науки и 
мощным методом исследования. Как заметил Пьер Гассенди: «Если мы 
что-то знаем, – то это благодаря изучению математики» [35, с.7].

Любое научное знание – результат нелегкого поиска ответов на 

бесконечно возникающие вопросы и не всегда оно выступает как строгая дедуктивная система, выраженная формулами и исчислениями. 
Знание содержит гипотезы, концепции, принципы, требования, условия
и потому может пониматься в широком смысле. Роль и значимость
математики в научном познании определяется спецификой объекта,
предмета изучения и основных методов исследования. Существуют 
разные подходы к описанию науки:

Математика – это наука о пространственных формах и количест
венных отношениях окружающего мира (Ф. Энгельс).

Математика – учение о количестве (Галилей).
Математика – наука о мере и порядке (Р. Декарт).
Математика – доказательство и особый вид интеллектуальной 

деятельности (Н. Бурбаки).

Математика – искусство давать разным вещам общее имя (Д.Гильберт).

Определения «высвечивают» немаловажные стороны математики, 

которая исследует многочисленные модели, создаваемые учеными –
как по внутреннему побуждению, так и запросам практики. Естественные науки изучают природу, гуманитарные – человеческое общество, а
математика – абстракции, полученные в еѐ же недрах (в некотором 
смысле – «самое себя»). В этом она близка к философии, чья научная 
составляющая отражается в постоянно развивающейся системе категорий. Таким образом, объект науки – всевозможные проявления формы 
и количества, изучаемые в наиболее общем виде, предмет – математи

ческие структуры и модели той или иной реальности, а  главный метод
– строгая дедукция.

В XVIXVII веках присутствует мнение, что математика особой 

роли в исследовании реального мира не играет, поскольку имеет дело с 
явлениями, выхваченными из их физического контекста, и поэтому еѐ
не относят ни к искусству, ни к казуальной науке.

Экспериментальной считает математику В.И. Арнольд, с точки 

зрения которого, она «является частью теоретической физики и членом
семейства естественных наук: из практики возникла и совершенствуется, а своими приложениям – ценится» [6]. Иного подхода придерживается М.М. Постников, считающий неправомерным относить математику к естественным или гуманитарным наукам: «Задача математики –
создание и изучение разнообразных абстрактных структур (или схем). 
Развивается наука по внутренней необходимости – в соответствии с 
принципом эстетического отбора. Физика изучает природу, физики –
модели реальной природы, а математика – возможные схемы (даже 
мысленные), их взаимосвязи и методы конструирования» [138, с. 83]. В 
математическом описании явлений основные вопросы философии 
«Что первично: материя или сознание?» и «Познаваем ли мир?» ученым интерпретируются следующим образом: «Почему мир познается 
посредством моделей?» и «В чем заключается причина схожести различных моделей?».

Отражая реальный ход развития общества, точная наука матема
тика распределена по времени и широте познания. «Точными науки 
называются не потому, что достоверны, а потому, что в них ученые 
знают меру неточности своих утверждений», – замечает русский биолог, математик и философ А.А. Любищев [89, с. 55].

Постепенно математика «срастается» с другими областями науч
ного знания. В середине XVI века изучение математики в университетах признается обязательным. Так, для студентов-философов, претендовавших на степень магистра искусств, требуются, как минимум, –
элементарные знания Евклидовых «Начал» и Птолемеевой астрономии 
[27]. Подобное усиление роли математического знания в подготовке 
специалиста скорее диктуется не удовлетворением практических запросов, а меняющимися отношениями науки и образования.

С середины ХVII века математическое введение в университет
ском годичном курсе физики занимает три месяца, включая основы 
алгебры, тригонометрии и элементы геометрии [27]. В науке предпринимаются попытки разработать универсальный метод изучения явлений окружающего мира. Ф. Бэкон и Р. Декарт направляют усилия на 
создание плодотворного метода познания. Автора «Нового Органона» 
интересует методология естественнонаучного (опытного) познания, а
Декарта  приемы и методы математического знания, основанные на 
интуиции и дедукции [48, с. 271].

Рене Декарт разрабатывает правила для руководства ума, всегда 

своевременные и актуальные в воспитании человека:

– Не торопиться в суждениях и делать обзоры всего сделанного 

предшественниками: «… ищущие верного пути к истине не должны заниматься исследованием таких вещей, о которых они не могут иметь знаний, – по достоверности равных арифметическим и геометрическим доказательствам» [48, с. 84]. Правилом высказывается необходимость единства 
научности и доступности в обучении.

– Избавляться от предвзятых мнений: «Мы никогда не сделаемся ма
тематиками, даже зная наизусть все чужие доказательства, если наш ум не 
способен самостоятельно разрешать какие бы то ни было проблемы...» [48, 
с. 85]. Постулируется неизбежность самостоятельности и диалогизации в 
нахождении ответов на вопросы: «Почему делать так, а не иначе?» и «Каковы пути достижения подобных открытий?».

– Разделять на простые сложные вопросы и начинать с простей
шего: «Располагать свои мысли в определенном порядке, начиная с предметов простейших и легко познаваемых, и восходить – мало-помалу до 
познания наиболее сложных, допуская существование порядка даже среди 
тех, которые в естественном ходе вещей не предшествуют друг другу» [48, 
с. 86]. Предполагается обязательность выявления взаимосвязей или соотношений объектов в процессе познания.

Введение буквенного исчисления позволяет Декарту устанавли
вать функциональные отношения между величинами и исследовать их 
связи и взаимозависимости. «Движение» в математику привносят переменные величины и функции, описывающие законы динамики урав