Начертательная геометрия

Предисловие 
 

1 

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 
Сибирский федеральный университет 
 
 
 
 
 
И. Г. Борисенко, К. С. Рушелюк, А. К. Толстихин 
 
 
 
 
НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ 
ГЕОМЕТРИЯ 
 
Начертательная геометрия и инженерная графика 
 
Допущено Учебно-методическим советом Сибирского  
федерального университета в качестве учебника  
для студентов, обучающихся по направлению подготовки  
бакалавров «Эксплуатация транспортно-технологических  
машин и комплексов» (23.03.03) 
 
8-е издание, переработанное и дополненное 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Красноярск 
СФУ 
2018 

Начертательная геометрия 
 

2 

УДК 514.18(07) 
ББК 22.151.34я73 
         Б825 
 
 
 
 
 
Р е ц е н з е н т ы: 
К. А. Вольхин, кандидат педагогических наук, доцент, заведующий кафедрой 
начертательной геометрии Новосибирского государственного архитектурностроительного университета (Сибстрин); 
О. В. Бразговка, кандидат технических наук, доцент кафедры инженерной графики СибГУ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Борисенко, И. Г. 
Б825            Начертательная геометрия. Начертательная геометрия              
и инженерная графика : учебник / И. Г. Борисенко, К. С. Рушелюк, 
А. К. Толстихин. – 8-е изд., перераб. и доп. – Красноярск : Сиб.  
федер. ун-т, 2018. – 332 с. 
ISBN 978-5-7638-3757-5 
 
Изложены основные методы проецирования, позволяющие строить изображения пространственных геометрических образов на плоскости. Рассмотрены 
способы решения позиционных и метрических задач, имеющих практическое значение. 
Предназначен для студентов, обучающихся по направлению подготовки 
23.03.03 «Эксплуатация транспортно-технологических машин и комплексов». 
 
 
Электронный вариант издания см.: 
http://catalog.sfu-kras.ru
УДК 514.18(07) 
ББК 22.151.34я73
 
ISBN 978-5-7638-3757-5                                                                 © Сибирский федеральный  
                                                                                                университет, 2018 

Предисловие 
 

3 

 
ПРЕДИСЛОВИЕ 
 
Начертательная геометрия базируется на основных положениях 
элементарной геометрии, поэтому содержание курса начертательной геометрии должно соответствовать современному изложению курса геометрии в средней общеобразовательной школе. Аксиоматика начертательной 
геометрии строится на системе аксиом элементарной геометрии. 
В начертательной геометрии под геометрическим телом понимают 
предмет, лишенный всех свойств, кроме пространственных. Поэтому точка рассматривается как тело, лишенное размеров, линия – тело, лишенное 
толщины и ширины, а поверхность – часть тела, мысленно отделенная от 
него и лишенная толщины. След, оставляемый при движении точки в пространстве, образует линию, а линия при ее движении формирует поверхность, которая в свою очередь формирует тело. 
В природе нет геометрических точек, линий и поверхностей, но все 
их геометрические свойства находят применение при изучении и проектировании тех или иных объектов. Изучение геометрических свойств в чистом виде является основной задачей начертательной геометрии, как дисциплины, рассматривающей геометрические модели, в отличие от математических, которые описывают в виде формул основные свойства объектов 
и физических моделей. 
Начертательная геометрия – область науки и техники, занимающаяся разработкой научных основ построения и исследования геометрических моделей проектируемых инженерных объектов и процессов и их 
графического отображения. 
Задачи этой науки – создание оптимальных геометрических форм 
объектов машиностроения, архитектуры и строительства, разработка геометрических основ их воспроизведения в процессе производства, оптимизация технологических процессов на основе созданных геометрических 
моделей, разработка теории графического отображения объектов и процессов при их проектировании в промышленности и строительстве.  
Начертательная геометрия – один из разделов геометрии, в котором                    
пространственные формы (совокупности точек, линий, поверхностей) 
с геометрическими закономерностями изучают в виде изображений на 
плоскости. 
В процессе изучения начертательной геометрии приходит умение 
изображать всевозможные сочетания геометрических форм на плоскости, 
решать позиционные и метрические задачи, производить исследования 
геометрических образов по их изображениям. 

Начертательная геометрия 
 

4 

Начертательную геометрию называют «грамматикой языка техники». Кроме того, она по своему содержанию и методам занимает особое 
положение среди других наук. Наглядность и простота решения многих 
задач не только обогащают точные науки, но и помогают тем, кто занимается техническим творчеством. Знания по начертательной геометрии нужны для построения перспективы предметов, т. е. для изображения предметов такими, какими они представляются в действительности нашему глазу. 
В инженерной практике мы часто встречаемся с геометрическими 
моделями в виде чертежей, которые служат средством общения людей 
в их производственной деятельности. 
Словесное описание не может заменить чертежа, построенного по 
определенным геометрическим правилам. Начертательная геометрия – 
наилучшее средство развития у человека пространственного воображения, 
без которого немыслимо никакое техническое творчество. Без живой силы 
воображения и наглядности мышления нельзя прийти и к абстрактной математической формулировке проблемы, невозможно вывести понятия, 
а тем более осуществить экспериментальные исследования на практике. 
При использовании систем автоматизированного проектирования 
основной проблемой является математическое описание геометрических 
форм рассматриваемых объектов. На качестве проектируемых технических объектов в значительной степени будут сказываться знания и умение 
использовать геометрические закономерности. 
В математических науках вопросы теории геометрических форм 
сопровождаются реальным и конкретным их представлением. Решая математические задачи в графическом изложении, начертательная геометрия 
находит применение в физике, астрономии, химии, механике, кристаллографии и многих других науках. Методы начертательной геометрии служат связующим звеном между прикладной математической наукой и профессиональными техническими дисциплинами. 

1. Основные понятия и положения 
 

5 

 
1. ОСНОВНЫЕ 
ПОНЯТИЯ  И  ПОЛОЖЕНИЯ 
 
В начертательной геометрии, как и в любой другой области математики, для упрощения записи условий и решения задач принята система 
условных обозначений элементов и действий. Ниже приведены символы 
и условные обозначения, используемые в процессе изучения дисциплины. 
 
 
1.1. Обозначения и символика 
 
При освоении дисциплины необходимо знать специальные символы и знаки, обозначающие те или иные геометрические элементы или           
понятия. Это позволяет кратко записывать геометрические положения, 
алгоритмы решения задач и доказательства теорем. 
Приведем условные обозначения объектов и действий, которые 
будут использоваться в данном курсе при изучении теоретического материала и записи алгоритмов решения задач. 
1. Геометрическая фигура – Ф.  
2. Точки – прописные буквы латинского алфавита или арабские 
цифры: 
A, B, C, D, … или 1, 2, 3, 4, … . 
3. Линии, произвольно расположенные в пространстве по отношению к плоскостям проекций: 
a, b, c, d, … . 
Линии уровня: h – горизонталь; f – фронталь; р – профильная прямая линия уровня. 
Кроме того, прямые линии обозначаются так: 
(АВ) – прямая, проходящая через точки А и В; 
[AB) – луч с началом в точке А; 
[AB] – отрезок прямой, ограниченный точками А и В; 
|АВ| – расстояние от точки А до точки В (длина отрезка АВ); 
|Аа| – расстояние от точки А до прямой линии а; 
|АФ| – расстояние от точки А до плоскости Ф; 
|ΣΩ| – расстояние между плоскостями Σ и Ω. 
4. Углы обозначают как α, β, γ, … , α, β, γ, а также АВС – 
угол с вершиной в точке В. 

Начертательная геометрия 
 

6 

5. Поверхности обозначают строчными буквами греческого алфавита: α, β, γ, δ, … . 
Для описания способа задания поверхности указывают геометрические элементы, которыми она определяется, например: 
α (a  ׀׀ b) – плоскость  задана двумя параллельными прямыми a и b; 
Ф(g, i) – поверхность определяется образующей g и осью вращения i. 

6. Центр и направление проецирования – S и S



 соответственно. 
Плоскости проекций обозначают греческой буквой П(), причем 
П1, 1 – горизонтальная плоскость проекций x0y; 
П2, 2 – фронтальная плоскость проекций x0z; 
П3, 3 – профильная плоскость проекций y0z. 
При замене плоскостей проекций или введении новых плоскостей 
их обозначают как 4, 5 и т. д. 
Оси проекций: x – ось абсцисс; y – ось ординат; z – ось аппликат. 
7. Координаты точек А, В, … обозначают как xA, yA, zA, xB, yB, zB, …  
8. Проекции точек, линий, поверхностей, любой геометрической 
фигуры обозначают теми же буквами (или цифрами), что и оригинал, 
с добавлением нижнего индекса, соответствующего плоскости проекции, 
на которой они получены: 
А1, В1, С1, … – горизонтальные проекции точек; 
А2, В2, С2, … – фронтальные проекции точек; 
Аn, Bn, Cn, … – проекции точек на дополнительную (n-ую) плоскость 
проекций; 
a1, b1, c1, … – горизонтальные проекции линий; 
a2, b2, c2, … – фронтальные проекции линий;  
an, bn, cn, … – проекции линий на дополнительную (n-ую) плоскость 
проекций. 
Символы, отражающие отношения между геометрическими фигурами, следующие: 
= – результат действия, знак равенства, например: |AB| = |CD| – 
длины отрезков АВ и CD равны; 
 – совпадение, тождество, например: А1  В1 – горизонтальные 
проекции точек А и В  совпадают; 
 – конгруэнтность (отношение эквивалентности на множестве 
геометрических фигур); 
 – перпендикулярность; 
 – параллельность; 
 – скрещивание; 
,∩ – пересечение; 
 – импликация (логическое следствие). Например, а  b означает, 
что «если есть а, то есть и b, или из а следует b»; 

1. Основные понятия и положения 
 

7 

,  – принадлежность; например: А  а – точка А принадлежит 
прямой а; А  а – прямая а проходит через точку А; 
∞ – подобие; 
,  – включение (содержит в себе), например: Ω  а – плоскость Ω 
проходит через прямую а; а  Ω – прямая а принадлежит плоскости Ω; 
 – объединение множеств. Так, ABCD = [AB]  [BC]  [CD] – ломаная ABCD состоит из отрезков АВ, ВС, СD; 
, ,  – отрицание, например, А  а – точка А не принадлежит 
прямой а, или прямая а не проходит через точку А; 
 – конъюнкция предложений, соответствует союзу «и»; 
 – дизъюнкция предложений, соответствует союзу «или»; 
 – квантор общности, читается так: «для всех, для любого». Выражение (х)Р(х) означает – «для всякого х имеет место свойство Р(х)»; 
 – квантор существования, читается так: «существует». Выражение (х)Р(х) означает – «существует х, обладающее свойством Р(х)»; 
1 – квантор единственности существования, читается так: «существует единственное (-я, -й)…». Выражение (1х)(Рх) означает: существует 
единственное (только одно) х, обладающее свойством Р(х); 



Px  – отрицание высказывания (Рх), например: аb  ( α

)(α a, b). 

Если прямые а и b скрещиваются, то не существует плоскости α, которая 
содержит их; 
\ – отрицание знака. 
 
 
1.2. Свойства евклидова пространства 
и его реконструкция 
 
Изображение предмета на какой-либо поверхности можно получить путем проецирования его на данную поверхность. При этом предполагается, что основные свойства трехмерного пространства могут быть 
выражены следующими положениями. 
1. Если точка А принадлежит прямой а, которая принадлежит 
плоскости α, то точка А принадлежит плоскости α (рис. 1.1): 

А  а   А  α. 

2. Две различные точки А и В всегда принадлежат одной и той же 
и только одной прямой а (или каждой прямой а принадлежат, по крайней 
мере, две точки А и В) (рис. 1.2): 

( A, B)(A ≠ B)  (
1 a)(a  A, B). 
 

Начертательна
 

8 

3. 
принадлеж

(

4. 
плоскости

По

касающие
 

 
5. 
жать (рис
прямые ли

ая геометрия 

Три различ
жат одной и

 A, B, C) (A

Если две т

и α, то прям

( A, B

омимо указа
еся аксиомы

Рис. 1.

Рис. 1.

Две прямы

с. 1.5, а) или
ибо пересек

( а,

чные точки А
и той же и то

 ≠ B ≠ C)  (

точки А и В
ая а принад

B)(A ≠ B)(А, 

анных свойс
ы параллельн

1 

.3 

ые, принадле
и не принад
каются, либо

, b)(a ≠ b)(a,

А, В и С, не 
олько одной

(A, B, C  a

В, принадлеж
длежит плос

В  a)  (А

ств, можно 
ности. 

ежащие одн
длежать (ри
о параллель

, b  α)  (a

принадлежа
й плоскости

)  (
1 α)(α

жащие прям
кости α (рис

, Вα)  (a

добавить тр

Р

Р

ой плоскост

ис. 1.5, б) од
ны: 

a ∩ b)  (a ׀

ащие одной
и (рис. 1.3): 

α  (A, B, C)

мой а, прин
с. 1.4): 

a  α). 

ри положен

 

Рис. 1.2 

Рис. 1.4 

ти, могут пр
дной точке, 

׀ b). 

 прямой, 

). 

надлежат 

ия (5–7), 

 

ринадлет. е. две 

лежать (
секаютс

7

(рис. 1.7
лежащая
лельной

6. Две плос
(рис. 1.6, б)
ся, либо пар

а 

а 

7. Плоскост
7, а) или не 
я плоскости
й: 

кости могут
) одной и то
аллельны: 

( α, β)(α

ть и не прин
принадлежа
и прямая мо

( а, α)(a 

т принадлеж
ой же прямо

α ≠ β)  (α ∩

 

 

Рис. 1.5 
 
 

 

Рис. 1.6 

надлежащая
ать (рис. 1.7
жет ее либо

α)  (a ∩

1

жать (рис. 1
ой, т. е. две 

∩ β)  (α׀׀β)

я ей прямая
7, б) одной т
о пересекать

∩ α)  (a ׀׀ α)

. Основные понят

1.6, а) или н
плоскости л

). 

б 

б 

я могут при
точке, т. е. н
ь, либо быть

). 

тия и положения 

9 

не принадлибо пере
 

 

надлежать 
не принадь ей парал

Начертательна
 

10 

Тр

лельности
дят к нек
геометрич
неоднород
Для того 
выполнит
бесконечн
несобстве
зультате т

пу

всегда при
ные прямы
(точка на
(см. рис. 1

 
пу

одной и т
одну несо
лельные п
ном прост

пу

гда прина
либо собс

ая геометрия 

ри последни
и при после
которым тру
ческих фигу
дностью ев
чтобы изба
ть его рекон
но удаленно
енной прямо
три последн
ункт 5 тракт
инадлежат о
ые принадл
аходится в б
1.5, а) прина

(

 
 

а 

ункт 6 тракт
той же и то
обственную
плоскости) 
транстве (пе

ункт 7 тракт
адлежат одн
ственной (см

их положени
едующем из
удностям, т
ур, располож
вклидова пр
авиться от н
нструкцию, 
ой точки –
ой,  в прост
них положен
товать: две п
одной и той
ежат одной 
бесконечнос
адлежат одн

а, b)(a ≠ b)(

товать: две 
олько одной
 прямую –
(рис. 1.9), л
ересекаются

( α, β)(α

товать: плос
ной и той ж
м. рис. 1.7, а

ия, изложен
зучении нач
так как при
женных в пр
ространства 
неоднородно

т. е. допуст

– несобстве
транстве – н
ния можно п
прямые, при
й же и тольк

и только од
сти) (рис. 1
ной и той же

(a, bα)  (

 

Рис. 1.7 

различные 
й прямой, т.
l∞, находящ
либо одну п
я) (см. рис. 1

≠ β)  (α, β

скость и не 
же и только 
а), либо несо

нные в пунк
чертательно
и проециров
ространстве

и находящ

ости простр
тить сущест
енной точки
несобственн
перефразиро
инадлежащи
ко одной точ
дной несобс
1.8) и перес
е и только о

(a, bК  К∞

плоскости в
. е. две пло
щуюся в бес
прямую, нах
1.6, б): 

β l  l∞); 

принадлежа
одной точк
обственной 

ктах 5, 6, 7, 
й геометрии
вании на пл
е, мы сталки
щихся в нем
ранства, нео
твование на
и,  на плос
ой плоскост
овать: 
ие одной пл
чке, т. е. па
твенной то
секающиеся
одной точке 

∞); 

б 

всегда прин
оскости име
сконечности
ходящуюся 

ащая ей пря
ке, т. е. точ
(рис. 1.10) т

о парали приволоскость 
иваемся с 
м фигур. 
бходимо 
а прямой 
скости –    
ти. В ре
лоскости, 
араллельочке – К∞ 
 прямые 
К: 

надлежат 
еют либо 
и (паралв конеч-

ямая всека будет 
точкой.